Vinkelacceleration - Angular acceleration

Radianer pr. Sekund i kvadrat
Enhedssystem SI afledt enhed
Enhed af Vinkelacceleration
Symbol rad/s 2

I fysik , vinkelacceleration henviser til den tid ændringshastigheden af vinkelhastighed . Da der er to typer vinkelhastighed, nemlig spinvinkelhastighed og orbital vinkelhastighed, er der naturligvis også to typer vinkelacceleration, kaldet henholdsvis spinvinkelacceleration og orbital vinkelacceleration. Spin vinkelacceleration henviser til vinkelacceleration af et stift legeme omkring dets rotationscenter, og orbital vinkelacceleration henviser til vinkelacceleration af en punktpartikel omkring en fast oprindelse.

Vinkelacceleration måles i enheder af vinkel pr. Tid i kvadrat (som i SI -enheder er radianer pr. Sekund i kvadrat), og er normalt repræsenteret ved symbolet alfa ( α ). I to dimensioner er vinkelacceleration en pseudoskalar, hvis tegn antages at være positivt, hvis vinkelhastigheden stiger mod uret eller falder med uret, og anses for at være negativ, hvis vinkelhastigheden stiger med uret eller falder mod uret. I tre dimensioner er vinkelacceleration en pseudovektor .

For stive legemer, skal vinkelacceleration være forårsaget af en netto ekstern drejningsmoment . Dette er imidlertid ikke tilfældet for ikke-stive kroppe: For eksempel kan en kunstskøjteløber fremskynde sin rotation (derved opnå en vinkelacceleration) simpelthen ved at trække arme og ben indad, hvilket ikke indebærer eksternt drejningsmoment.

Orbital vinkelacceleration af en punktpartikel

Partikel i to dimensioner

I to dimensioner er den orbitale vinkelacceleration den hastighed, hvormed partikelens todimensionale orbitale vinkelhastighed om oprindelsen ændres. Den øjeblikkelige vinkelhastighed ω på et hvilket som helst tidspunkt er givet ved

,

hvor er afstanden fra oprindelsen og er den tværradiale komponent i den øjeblikkelige hastighed (dvs. komponenten vinkelret på positionsvektoren), som konventionelt er positiv for bevægelse mod uret og negativ for bevægelse med uret.

Derfor er partikelens øjeblikkelige vinkelacceleration α givet ved

.

Dette udvides ved at udvide den højre side ved hjælp af produktreglen fra differentialregning

.

I det særlige tilfælde, hvor partiklen gennemgår cirkulær bevægelse omkring oprindelsen, bliver det bare til den tangentielle acceleration og forsvinder (da afstanden fra oprindelsen forbliver konstant), så ovenstående ligning forenkles til

.

I to dimensioner er vinkelacceleration et tal med plus- eller minustegn, der angiver retning, men ikke peger i en retning. Tegnet anses konventionelt for at være positivt, hvis vinkelhastigheden stiger i retning mod uret eller falder i retning med uret, og tegnet tages negativt, hvis vinkelhastigheden stiger i retning med eller falder i retning mod uret. Vinkelacceleration kan derefter betegnes som en pseudoskalar , en numerisk størrelse, der ændrer tegn under en paritetsinversion , såsom at vende en akse eller skifte de to akser.

Partikel i tre dimensioner

I tre dimensioner er den orbitale vinkelacceleration den hastighed, hvormed tredimensionel orbital vinkelhastighedsvektor ændres med tiden. Den øjeblikkelige vinkelhastighedsvektor på et hvilket som helst tidspunkt er givet ved

,

hvor er partikelens positionsvektor, dens afstand fra oprindelsen og dens hastighedsvektor.

Derfor er den orbitale vinkelacceleration vektoren defineret af

.

Når man udvider dette derivat ved hjælp af produktreglen for krydsprodukter og den almindelige kvotientregel, får man:

Da det bare er , kan det andet udtryk omskrives som . I det tilfælde, hvor partikelens afstand fra oprindelsen ikke ændres med tiden (som inkluderer cirkulær bevægelse som en undermappe), forsvinder det andet udtryk, og ovenstående formel forenkles til

.

Fra ovenstående ligning kan man gendanne den tværradiale acceleration i dette særlige tilfælde som:

.

I modsætning til i to dimensioner, behøver vinkelaccelerationen i tre dimensioner ikke forbundet med en ændring i den vinkelmæssige hastighed : Hvis partiklens position vektor "drejninger" i rummet, ændre sin øjeblikkelige plan vinkelforskydning, ændringen i retning af vinkelpositionen hastighed vil stadig producere en ikke -nul vinkelacceleration. Dette kan ikke ske, hvis positionsvektoren er begrænset til et fast plan, i hvilket tilfælde har en fast retning vinkelret på planet.

Vinkelaccelerationsvektoren kaldes mere korrekt en pseudovektor : Den har tre komponenter, der transformeres under rotationer på samme måde som de kartesiske koordinater for et punkt gør, men som ikke transformeres som kartesiske koordinater under refleksioner.

Forhold til moment

Netto drejningsmoment på et punkt partikel er defineret til at være den pseudovector

,

hvor er nettokraften på partiklen.

Drejningsmoment er kraftens rotationsanalog: det fremkalder ændringer i et systems rotationstilstand, ligesom kraft fremkalder ændring i et systems translationelle tilstand. Da kraft på en partikel er forbundet med acceleration ved ligningen , kan man skrive en lignende ligning, der forbinder drejningsmoment på en partikel med vinkelacceleration, selvom denne relation nødvendigvis er mere kompliceret.

Først, ved at erstatte i ovenstående ligning med drejningsmoment, får man

.

Fra forrige afsnit:

,

hvor er orbital vinkelacceleration og er orbital vinkelhastighed. Derfor:

I det særlige tilfælde af partikelens konstante afstand fra oprindelsen ( ) forsvinder det andet udtryk i ovenstående ligning, og ovenstående ligning forenkles til

,

som kan tolkes som en "rotationsanalog" til , hvor mængden (kendt som partikelens inertimoment ) spiller massens rolle . I modsætning hertil gælder denne ligning ikke for en vilkårlig bane, kun for en bane indeholdt i en sfærisk skal om oprindelsen.

Se også

Referencer