Vinkelforskydning - Angular displacement

Drejning af et stift legeme P omkring en fast akse O .

Vinkelforskydning af et legeme er vinklen i radianer , grader eller omdrejninger, gennem hvilke et punkt drejer sig om et centrum eller en bestemt akse i en specificeret forstand. Når et legeme roterer omkring sin akse, kan bevægelsen ikke bare analyseres som en partikel, da den i cirkulær bevægelse til enhver tid gennemgår en skiftende hastighed og acceleration ( t ). Når man beskæftiger sig med et krops rotation, bliver det enklere at betragte selve kroppen som stiv. En krop anses generelt for stiv, når adskillelserne mellem alle partiklerne forbliver konstante gennem hele kroppens bevægelse, så for eksempel flyver dele af dens masse ikke. I realistisk forstand kan alle ting være deformerbare, men denne påvirkning er minimal og ubetydelig. Således betegnes rotation af et stift legeme over en fast akse rotationsbevægelse .

Eksempel

I eksemplet illustreret til højre (eller ovenfor i nogle mobile versioner) er en partikel eller krop P i en fast afstand r fra oprindelsen, O , roterende mod uret. Det bliver vigtigt derefter at repræsentere positionen for partikel P med hensyn til dets polære koordinater ( r , θ ). I dette særlige eksempel ændres værdien af ,, mens værdien af ​​radius forbliver den samme. (I rektangulære koordinater ( x , y ) varierer både x og y med tiden). Når partiklen bevæger sig langs cirklen, bevæger den sig med en buelængde s , som bliver relateret til vinkelpositionen gennem forholdet: -

Målinger

Vinkelforskydning kan måles i radianer eller grader. Brug af radianer giver et meget simpelt forhold mellem den tilbagelagte afstand rundt om cirklen og afstanden r fra centrum.

For eksempel, hvis et organ roterer 360 ° omkring en cirkel med radius r , er vinkelforskydningen givet ved den afstand omkring omkredsen - som er 2π r - divideret med radius: som let forenkler til: . Derfor er 1 omdrejning radianer.

Når en partikel bevæger sig fra punkt P til punkt Q over , som det gør i illustrationen til venstre, går radius af cirklen gennem en ændring i vinkel, der svarer til vinkelforskydningen .

Tre dimensioner

Figur 1 : Eulers rotationssætning. En stor cirkel forvandles til en anden stor cirkel under rotation og efterlader altid en kugles diameter i sin oprindelige position.
Figur 2 : En rotation repræsenteret af en Euler-akse og vinkel.

I tre dimensioner er vinkelforskydning en enhed med en retning og en størrelse. Retningen specificerer rotationsaksen, som altid eksisterer i kraft af Eulers rotationssætning ; størrelsen specificerer rotationen i radianer omkring den akse (ved hjælp af højre regel for at bestemme retning). Denne enhed kaldes en aksevinkel .

På trods af retning og størrelsesorden er vinkelforskydning ikke en vektor, fordi den ikke overholder kommutativ lov for tilføjelse. Ikke desto mindre, når man beskæftiger sig med uendelige rotationer, kan andenordens uendelige størrelser kasseres, og i dette tilfælde vises kommutativitet.

Der findes flere måder at beskrive vinkelforskydning på, som rotationsmatricer eller Euler-vinkler . Se diagrammer på SO (3) for andre.

Matrixnotation

Da enhver ramme i rummet kan beskrives ved hjælp af en rotationsmatrix, kan forskydningen blandt dem også beskrives ved hjælp af en rotationsmatrix. At være og to matricer, kan vinkelforskydningsmatricen mellem dem opnås som . Når dette produkt udføres med en meget lille forskel mellem begge rammer, opnår vi en matrix tæt på identiteten.

I grænsen vil vi have en trinløs rotationsmatrix.

Uendelig minimale rotationsmatricer

En infinitesimal vinkelforskydning er en infinitesimal rotationsmatrix :

  • Da enhver rotationsmatrix har en enkelt reel egenværdi, som er +1, viser denne egenværdi rotationsaksen.
  • Dets modul kan udledes af værdien af ​​den uendelige rotation.
  • Matrixens form er sådan:

Vi kan her introducere den uendelige minimale vinkelforskydningstensor eller den tilknyttede rotationsgenerator :

Sådan at dens tilknyttede rotationsmatrix er . Når det divideres med tiden, giver dette vinkelhastighedsvektoren .

Generatorer af rotationer

Antag, at vi specificerer en rotationsakse med en enhedsvektor [ x , y , z ], og antag, at vi har en uendelig lille rotation af vinklen Δ θ omkring den vektor. Udvidelse af rotation matrix som en uendelig tilsætning og under den første ordre tilgang, rotation matrix Δ R er repræsenteret som:

En endelig rotation gennem vinklen θ omkring denne akse kan ses som en række små drejninger omkring den samme akse. Omtrentligt Δ θ som θ / N hvor N er et stort antal, kan en rotation af θ omkring aksen repræsenteres som:

Det kan ses, at Eulers sætning i det væsentlige siger, at alle rotationer kan være repræsenteret i denne form. Produktet er "generatoren" for den bestemte rotation, idet den er vektoren ( x , y , z ) associeret med matricen A. Dette viser, at rotationsmatricen og akse-vinkelformatet er relateret til den eksponentielle funktion.

Man kan udlede et simpelt udtryk for generatoren G. Man starter med et vilkårligt plan defineret af et par vinkelrette enhedsvektorer a og b. I dette plan kan man vælge en vilkårlig vektor x med vinkelret y. Man da løser for y i form af x og substituere til et udtryk for en drejning i et plan, giver rotation matrix R, som indbefatter generatoren G = ba T - ab T .

For at inkludere vektorer uden for planet i rotationen er det nødvendigt at ændre ovenstående udtryk for R ved at inkludere to projektionsoperatorer, der partitionerer rummet. Denne modificerede rotationsmatrix kan omskrives som en eksponentiel funktion .

Analyse er ofte lettere med hensyn til disse generatorer snarere end den fulde rotationsmatrix. Analyse med hensyn til generatorer er kendt som rotationsgruppens Lie-algebra .

Forholdet til Lie algebras

Matricerne i Lie-algebra er ikke i sig selv rotationer; De skæv-symmetriske matricer er derivater, proportionale rotationsforskelle. En faktisk "differentiel rotation" eller uendelig minimal rotationsmatrix har formen

hvor er forsvindende lille og A (n) , for eksempel med A = L x ,

Beregningsreglerne er som sædvanlige bortset fra at uendelige størrelser af anden orden rutinemæssigt droppes. Med disse regler tilfredsstiller disse matricer ikke alle de samme egenskaber som almindelige endelige rotationsmatricer under den sædvanlige behandling af uendelige dyr. Det viser sig, at rækkefølgen, i hvilken uendelige rotationer anvendes, er irrelevant . For at se dette eksemplificeret, se infinitesimale rotationer SO (3) .

Eksponentielt kort

Tilslutning af Lie algebra til Lie gruppe er den eksponentielle kort , som er defineret ved hjælp af standard matrix eksponentielle serie for e A For enhver skew-symmetrisk matrix A , exp ( A ) er altid en rotation matrix.

Et vigtigt praktisk eksempel er 3 × 3- sagen. I rotationsgruppe SO (3) vises det, at man kan identificere hver A ∈, (3) med en Euler-vektor ω = θ u , hvor u = ( x , y , z ) er en enhedsstørrelsesvektor.

Af egenskaberne af identifikationen su (2) ≅ R 3 , u er i nul rum A . Således efterlades u uændret ved eksp ( A ) og er derfor en rotationsakse.

Ved hjælp af Rodrigues 'rotationsformel på matrixform med θ = θ2 + θ2 sammen med standardformater med dobbelt vinkel får man,

hvor c = cos θ2 , s = sin θ2 .

Dette er matrixen for en rotation omkring aksen u ved vinklen θ i halvvinklet form. Se eksponentielt kort SO (3) for at få alle detaljer .

Bemærk, at for uendelige minimale vinkler kan andenordens termer ignoreres og forbliver exp ( A ) = I + A

Se også

Referencer

  1. ^ Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). En introduktion til mekanik . McGraw-Hill. s.  288 –89.
  2. ^ i det euklidiske rum
  3. ^ ( Goldstein, Poole & Safko 2002 , §4.8)
  4. ^ ( Wedderburn 1934 , §8.02)