Arf invariant - Arf invariant

Arf og en formel for Arf invarianten vises på bagsiden af 2009 tyrkiske 10 lira seddel

I matematik blev Arf invarianten af en ikke -singulær kvadratisk form over et felt med karakteristik 2 defineret af den tyrkiske matematiker Cahit Arf  ( 1941 ), da han startede den systematiske undersøgelse af kvadratiske former over vilkårlige felter af karakteristisk 2. Arf invarianten er substitutten, i karakteristik 2, for diskriminanten for kvadratiske former i karakteristik ikke 2. Arf brugte sin invariant blandt andet i sit forsøg på at klassificere kvadratiske former i karakteristik 2.

I specialtilfældet for 2-elementets felt F ₂ kan Arf invarianten beskrives som det element i F _2, der oftest forekommer blandt formens værdier. To ikke -singulære kvadratiske former over F ₂ er isomorfe, hvis og kun hvis de har den samme dimension og den samme Arf -invariant. Denne kendsgerning var i det væsentlige kendt for Leonard Dickson  ( 1901 ), selv for ethvert begrænset felt af karakteristisk 2, og Arf beviste det for et vilkårligt perfekt felt .

ARF invariant er især anvendt i geometrisk topologi , hvor det primært anvendes til at definere en invariant af (4 k + 2) dimensionale mangfoldigheder ( enkeltvis endda dimensionale mangfoldigheder : overflader (2-manifolder), 6-manifolder 10-manifolder osv.) med en vis yderligere struktur kaldet en indramning og dermed Arf - Kervaire invarianten og Arf invarianten af ​​en knude . Arf invarianten er analog med signaturen af ​​en manifold , som er defineret for 4 k -dimensionale manifolder ( dobbelt lige -dimensionale); denne 4-fold periodicitet svarer til 4-fold periodiciteten af L-teori . Arf invarianten kan også defineres mere generelt for visse 2 k -dimensionale manifolder.

Definitioner

Arf -invarianten er defineret for en kvadratisk form q over et felt K med karakteristik 2, således at q er ikke -singular, i den forstand at den associerede bilinære form er ikke -degenereret . Formen er alternerende siden K har karakteristisk 2; det følger heraf, at en ikke -singulær kvadratisk form i karakteristik 2 skal have en jævn dimension. Ethvert binært (2-dimensional) non-singul kvadratisk form over K svarer til en form med i K . Arf invarianten er defineret som produktet . Hvis formularen svarer til , derefter produkterne og afviger med et element af formen med i K . Disse elementer danner et additiv undergruppe U af K . Derfor er coset af modulo U en invariant af , hvilket betyder, at det ikke ændres, når det erstattes af en ækvivalent form. ${\ displaystyle b (u, v) = q (u+v) -q (u) -q (v)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle q (x, y) = ax^{2}+xy+af^{2}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle q '(x, y) = a'x^{2}+xy+b'y^{2}}$${\ displaystyle q (x, y)}$${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle a'b '}$${\ displaystyle u^{2}+u}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$

Hver ikke -singulær kvadratisk form over K svarer til en direkte sum af ikke -singulære binære former. Dette blev vist af Arf, men det var tidligere blevet observeret af Dickson i tilfælde af begrænsede felter af karakteristisk 2. Arf invarianten Arf ( ) er defineret til at være summen af ​​Arf invarianterne for . Per definition er en sidegruppe af K modulo U . Arf viste, at det faktisk ikke ændres, hvis det erstattes af en ækvivalent kvadratisk form, det vil sige, at det er en invariant af . ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q = q_ {1} +\ cdots +q_ {r}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {Arf} (q)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$

Arf invarianten er additiv; med andre ord, Arf invarianten af ​​en ortogonal sum af to kvadratiske former er summen af ​​deres Arf invarianter.

For et felt K af karakteristiske 2, Artin-Schreier teori identificerer kvotienten gruppe af K af undergruppen U ovenfor med Galois cohomology gruppe H ¹ ( K , F ₂ ). Med andre ord nonzero elementer af K / U er i en-til-en korrespondance med de adskillelige kvadratiske extensionfelter af K . Så Arf invariant af en non-singul kvadratisk form over K er enten nul eller det beskriver en adskillelig kvadratisk udvidelse inden for K . Dette er analogt med diskriminanten af ​​en ikke -enkelt kvadratisk form over et felt F med karakteristik ikke 2. I så fald tager diskriminanten værdier i F ^* /( F ^* ) ² , som kan identificeres med H ¹ ( F , F ₂ ) efter Kummer -teorien .

Arfs hovedresultater

Hvis feltet K er perfekt, bestemmes hver enkelt ikke -kvadratisk form over K entydigt (op til ækvivalens) af dens dimension og dens Arf -invariant. Dette gælder især feltet F ₂ . I dette tilfælde er undergruppen U ovenfor nul, og derfor er Arf -invarianten et element i basisfeltet F ₂ ; det er enten 0 eller 1.

Hvis feltet K i karakteristisk 2 ikke er perfekt (det vil sige, K er forskelligt fra dets underfelt K ² i firkanter), så er Clifford -algebraen en anden vigtig invariant af en kvadratisk form. En korrigeret version af Arfs originale udsagn er, at hvis graden [ K : K ² ] højst er 2, så er hver kvadratisk form over K fuldstændig præget af dens dimension, dens Arf -invariant og dens Clifford -algebra. Eksempler på sådanne felter er funktionsfelter (eller power series -felter ) for en variabel over perfekte basisfelter.

Kvadratiske former over F ₂

Over F ₂ er Arf -invarianten 0, hvis den kvadratiske form svarer til en direkte sum af kopier af den binære form , og det er 1, hvis formen er en direkte sum af med et antal kopier af . ${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$${\ displaystyle xy}$

William Browder har kaldt Arf invarianten for den demokratiske invariant, fordi det er den værdi, der oftest antages af den kvadratiske form. En anden karakterisering: q har Arf invariant 0, hvis og kun hvis det underliggende 2 k -dimensionale vektorrum over feltet F ₂ har et k -dimensionelt underrum, hvor q er identisk 0 -det vil sige et totalt isotropt underrum af den halve dimension. Med andre ord har en ikke -singulær kvadratisk form af dimension 2 k Arf invariant 0, hvis og kun hvis dets isotropiindeks er k (dette er den maksimale dimension af et totalt isotropisk underrum af en ikke -singular form).

Arf -invarianten i topologi

Lad M være en kompakt , forbundet 2 k -dimensionel manifold med en grænse, så de inducerede morfismer i -koefficient homologi ${\ displaystyle \ delvis M}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ displaystyle H_ {k} (M, \ delvis M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ til H_ {k-1} (\ delvis M; \ mathbb {Z} _ {2}), \ quad H_ {k} (\ delvis M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ til H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$

er begge nul (f.eks. hvis er lukket). Den vejkryds formular${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ lambda: H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ gange H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ til \ mathbb {Z} _ {2}}$

er ikke ental. (Topologer skriver normalt F ₂ som .) En kvadratisk forfining for er en funktion, der opfylder ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mu: H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ til \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ displaystyle \ mu (x+y)+\ mu (x)+\ mu (y) \ equiv \ lambda (x, y) {\ pmod {2}} \; \ forall \, x, y \ i H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$

Lad være ethvert 2-dimensionelt underrum af , sådan at . Så er der to muligheder. Enten er alle 1, eller også er bare en af ​​dem 1, og de to andre er 0. Ring til det første tilfælde og det andet tilfælde . Da enhver form svarer til en symplektisk form, kan vi altid finde underrum med x og y være -Dual. Vi kan derfor opdele i en direkte sum af underrum isomorfe til enten eller . Desuden definerer vi derfor ved en smart basisændring Arf -invarianten ${\ displaystyle \ {x, y \}}$${\ displaystyle H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$${\ displaystyle \ lambda (x, y) = 1}$${\ displaystyle \ mu (x+y), \ mu (x), \ mu (y)}$${\ displaystyle H^{1,1}}$${\ displaystyle H^{0,0}}$${\ displaystyle \ {x, y \}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$${\ displaystyle H^{0,0}}$${\ displaystyle H^{1,1}}$${\ displaystyle H^{0,0} \ oplus H^{0,0} \ cong H^{1,1} \ oplus H^{1,1}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Arf} (H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}); \ mu) = ({\ text {antal kopier af}} H^{1,1} { \ text {i en dekomponeringsmod 2}}) \ in \ mathbb {Z} _ {2}.}$

Eksempler

• Lad være en kompakt, forbundet, orienteret 2-dimensionel manifold , dvs. en overflade , af slægt , så grænsen enten er tom eller er forbundet. Integrer i , hvor . Vælge en indramning af M , der er en trivialisering af det normale ( m  - 2) -plane vektor bundt . (Dette er muligt for , så det er bestemt muligt for ). Vælg et symplektisk grundlag for . Hvert basiselement er repræsenteret af en integreret cirkel . Den normale ( m  - 1) -plane vektor bundt af to trivializations, én bestemt ved en standard udformning af en standard indlejring og én bestemt af udformningen af M , der adskiller sig ved et kort dvs et element af for . Dette kan også ses som den indrammede cobordismeklasse med denne indramning i den 1-dimensionelle indrammede cobordismegruppe , som genereres af cirklen med Lie-gruppen indramning. Isomorfismen her er via Pontrjagin-Thom-konstruktionen . Definer at være dette element. Arf invarianten af ​​den indrammede overflade er nu defineret${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ delvis M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle S^{m}}$${\ displaystyle m \ geq 4}$${\ displaystyle m = 3}$${\ displaystyle m \ geq 4}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {2g-1}, x_ {2g}}$${\ displaystyle H_ {1} (M) = \ mathbb {Z} ^{2g}}$${\ displaystyle x_ {i}: S^{1} \ delsæt M}$${\ displaystyle S^{1} \ delsæt M \ delsæt S^{m}}$${\ displaystyle S^{1} \ delsæt S^{m}}$${\ displaystyle S^{1} \ til SO (m-1)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (m-1)) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle m \ geq 4}$${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle \ Omega _ {1}^{\ tekst {indrammet}} \ cong \ pi _ {m} (S^{m-1}) \, (m \ geq 4) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle \ mu (x) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ displaystyle \ Phi (M) = \ operatorname {Arf} (H_ {1} (M, \ delvis M; \ mathbb {Z} _ {2}); \ mu) \ in \ mathbb {Z} _ {2 }}$

Bemærk, at så vi var nødt til at stabilisere, idet vi var mindst 4, for at få et element af . Sagen er også tilladt, så længe vi tager restmodul 2 af indramningen.${\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (2)) \ cong \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle m = 3}$

• Arf invarianten på en indrammet overflade registrerer, om der er en 3-manifold, hvis grænse er den givne overflade, der strækker den givne indramning. Dette er fordi det ikke er bundet. repræsenterer en torus med en trivialisering på begge generatorer, som vrider et ulige antal gange. Den centrale kendsgerning er, at op til homotopi er der to valg om trivialisering af et trivielt 3-plan bundt over en cirkel, svarende til de to elementer af . Et ulige antal vendinger, kendt som Lie -gruppens indramning, strækker sig ikke over en disk, mens et lige antal vendinger gør det. (Bemærk, at dette svarer til at lægge en spin-struktur på vores overflade.) Pontrjagin brugte Arf invarianten på indrammede overflader til at beregne den 2-dimensionelle indrammede cobordism- gruppe , som genereres af torus med Lie-gruppen. Isomorfismen her er via Pontrjagin-Thom-konstruktionen .${\ displaystyle \ Phi (M)}$${\ displaystyle H^{1,1}}$${\ displaystyle H^{1,1}}$${\ displaystyle T^{2}}$${\ displaystyle H_ {1} (T^{2}; \ mathbb {Z} _ {2})}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (3))}$${\ displaystyle \ Omega _ {2}^{\ tekst {indrammet}} \ cong \ pi _ {m} (S^{m-2}) \, (m \ geq 4) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle T^{2}}$

• Lad være en Seifert overflade til en knude, som kan repræsenteres som en skive med bånd fastgjort. Båndene vil typisk være snoet og knyttede. Hvert bånd svarer til en generator . kan repræsenteres af en cirkel, der krydser et af båndene. Definer til at være antallet af fulde vendinger i båndmodulet 2. Antag, at vi lader bundne og skubber Seifert -overfladen ind , så dens grænse stadig ligger inde . Omkring enhver generator har vi nu et trivielt normalt 3-plan vektorbundt. Trivialiser det ved hjælp af den trivielle indramning af det normale bundt til indlejringen i 2 af de nødvendige sektioner. For det tredje skal du vælge et afsnit, der forbliver normalt for , mens det altid forbliver tangent til . Denne trivialisering bestemmer igen et element af , som vi tager for at være . Bemærk, at dette falder sammen med den tidligere definition af .${\ displaystyle (M^{2}, \ delvis M) \ delsæt S^{3}}$${\ displaystyle \ partial M = K: S^{1} \ hookrightarrow S^{3}}$${\ displaystyle D^{2}}$${\ displaystyle x \ i H_ {1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mu (x)}$${\ displaystyle S^{3}}$${\ displaystyle D^{4}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle D^{4}}$${\ displaystyle S^{3}}$${\ displaystyle x \ i H_ {1} (M, \ delvis M)}$${\ displaystyle M \ hookrightarrow D^{4}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (3))}$${\ displaystyle \ mu (x)}$${\ displaystyle \ mu}$

• Den Arf invariant af en knude er defineret via sin Seifert overflade. Det er uafhængigt af valget af Seifert-overflade (Den grundlæggende kirurgiske ændring af S-ækvivalens, tilføjelse/fjernelse af et rør, tilføjer/sletter en direkte summand), og det er en knude invariant . Det er additiv under tilsluttet sum og forsvinder på skiveknob , så er en knude -konkordans invariant.${\ displaystyle H^{0,0}}$

• Den vejkryds formular på (2 k + 1) dimensionale -coefficient homologi af en indrammet (4 k + 2) dimensional manifold M har en kvadratisk raffinement , som afhænger af indramning. For og repræsenteret ved en indlejring er værdien 0 eller 1, i henhold til det normale bundt af er trivielt eller ej. Den Kervaire invariant af det indrammede (4 k + 2) dimensional manifold M er Arf invariant af den kvadratiske raffinement på . Kervaire invarianten er en homomorfisme på (4 k + 2) -dimensionel stabil homotopigruppe af kugler. Kervaire invarianten kan også defineres for en (4 k + 2) -dimensionel manifold M, der er indrammet undtagen på et punkt.${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle H_ {2k+1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle k \ neq 0,1,3}$${\ displaystyle x \ i H_ {2k+1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle x \ colon S^{2k+1} \ delsæt M}$${\ displaystyle \ mu (x) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle H_ {2k+1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$${\ displaystyle \ pi _ {4k+2}^{S} \ til \ mathbb {Z} _ {2}}$

• I kirurgi teori , for enhver dimensional normal kort der er defineret en non-singul kvadratisk form på -coefficient homologi kerne${\ displaystyle 4k+2}$${\ displaystyle (f, b): M \ til X}$${\ displaystyle (K_ {2k+1} (M; \ mathbb {Z} _ {2}), \ mu)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ displaystyle K_ {2k+1} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) = ker (f _ {*}: H_ {2k+1} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ til H_ {2k+1} (X; \ mathbb {Z} _ {2}))}$

forfining af den homologiske skæringsform . Arf invarianten af ​​denne form er Kervaire invarianten af ( f , b ). I det særlige tilfælde er dette den Kervaire invariant af M . Kervaire invarianten er karakteriseret ved klassificering af eksotiske sfærer af Michel Kervaire og John Milnor og mere generelt i klassificeringen af ​​manifolder ved kirurgisk teori . William Browder defineret ved hjælp af funktionelle Steenrod -firkanter og CTC Wall defineret ved hjælp af indrammede nedsænkninger . Den kvadratiske forbedring giver afgørende flere oplysninger end  : det er muligt at dræbe x ved kirurgi, hvis og kun hvis . Den tilsvarende Kervaire invariant registrerer kirurgisk obstruktion i L-gruppen .${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle X = S^{4k+2}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (x)}$${\ displaystyle \ lambda (x, x)}$${\ displaystyle \ mu (x) = 0}$${\ displaystyle (f, b)}$ ${\ displaystyle L_ {4k+2} (\ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} _ {2}}$

Se også

• de Rham invariant , en mod 2 invariant af -dimensionale manifolder${\ displaystyle (4k+1)}$

Noter

Referencer

• Se Lickorish (1997) for forholdet mellem Arf invarianten og Jones -polynomet .
• Se kapitel 3 i Carters bog for en anden tilsvarende definition af Arf invarianten med hensyn til selvkrydsninger mellem diske i 4-dimensionelt rum.
• Arf, Cahit (1941), "Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I", J. Reine Angew. Matematik. , 183 : 148–167
• Glen Bredon : Topologi og geometri , 1993, ISBN  0-387-97926-3 .
• Browder, William (1972), Surgery on simply-connected manifolds , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0358813
• J. Scott Carter: How Surfaces Intersect in Space , Series on Knots and Everything, 1993, ISBN  981-02-1050-7 .
• AV Chernavskii (2001) [1994], "Arf invariant" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Dickson, Leonard Eugene (1901), Lineære grupper: Med en redegørelse for Galois -feltteorien , New York: Dover Publications, MR  0104735
• Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, 1374 , Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2, MR  1001966
• WB Raymond Lickorish , En introduktion til knudeori , kandidattekster i matematik, Springer, 1997, ISBN  0-387-98254-X
• Martino, J .; Priddy, S. (2003), "Group Extensions And Automorphism Group Rings", Homology, Homotopy and Applications , 5 (1): 53–70, arXiv : 0711.1536 , doi : 10.4310/hha.2003.v5.n1.a3
• Lev Pontryagin , Smooth manifolds og deres anvendelser inden for homotopiteori American Mathematical Society Translations, Ser. 2, bind. 11, s. 1–114 (1959)

Yderligere læsning

• Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2013), "Cahit Arf og hans invariant" (PDF) , Bidrag til talteoriens historie i det 20. århundrede , Heritage of European Mathematics, Zürich: European Mathematical Society , s. 189–222, ISBN 978-3-03719-113-2, MR  2934052 , Zbl  1276.11001
• Knus, Max-Albert (1991), kvadratiske og hermitiske former over ringe , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294 , Berlin: Springer-Verlag , s. 211–222, doi : 10.1007/978-3-642-75401-2 , ISBN 3-540-52117-8, MR  1096299 , Zbl  0756.11008