Atlas (topologi) - Atlas (topology)

I matematik , især topologi , beskriver man en manifold ved hjælp af et atlas . Et atlas består af individuelle diagrammer , der groft sagt beskriver individuelle regioner i manifolden. Hvis manifolden er jordens overflade, har et atlas sin mere almindelige betydning. Generelt ligger begrebet atlas bag den formelle definition af en manifold og relaterede strukturer såsom vektorknipper og andre fiberbundter .

Diagrammer

Definitionen af ​​et atlas afhænger af forestillingen om et diagram . Et diagram for et topologisk rum M (også kaldet et koordinatdiagram , koordinatplaster , koordinatkort eller lokal ramme ) er en homeomorfisme fra en åben delmængde U af M til en åben delmængde af et euklidisk rum . Diagrammet registreres traditionelt som det bestilte par . ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$

Formel definition af atlas

Et atlas for et topologisk rum er en indekseret familie af diagrammer, som dækker (dvs. ). Hvis codomain for hvert diagram er det n -dimensionelle euklidiske rum , siges det at være et n -dimensionelt manifold . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}): \ alpha \ i I \}}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} U _ {\ alpha} = M}$${\ displaystyle M}$

Flertallet af atlas er atlaser , selvom nogle forfattere bruger atlanter .

An atlas på en dimensional manifold kaldes en passende atlas hvis billedet af hvert diagram enten eller , er et lokalt begrænset åbent dæksel , og , hvor er den åbne kugle med radius 1 centreret på oprindelsen og er det lukkede halvrum . Hvert nummer, der kan tælles, indrømmer et passende atlas. Desuden, hvis der er en åben dækning af den anden tællbare manifold, så er der et passende atlas på sådan, at det er en forbedring af . ${\ displaystyle \ left (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$${\ displaystyle \ left (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M = \ bigcup _ {i \ in I} \ varphi _ {i} ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ right)}$${\ displaystyle B_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ venstre (V_ {j} \ højre) _ {j \ i J}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ left (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ left (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Overgangskort

${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle U _ {\ beta}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ beta}}$

${\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta}}$

${\ displaystyle \ tau _ {\ beta, \ alpha}}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$

To diagrammer på en manifold og deres respektive overgangskort

Et overgangskort giver en måde at sammenligne to diagrammer over et atlas på. For at gøre denne sammenligning overvejer vi sammensætningen af ​​det ene diagram med det omvendte af det andet. Denne sammensætning er ikke veldefineret, medmindre vi begrænser begge diagrammer til skæringspunktet af deres domæner af definitionen. (For eksempel, hvis vi har et diagram over Europa og et diagram over Rusland, så kan vi sammenligne disse to diagrammer på deres overlapning, nemlig den europæiske del af Rusland.)

For at være mere præcis, antage, at og er to diagrammer til en manifold M således at er ikke-tom . Den Overgangen kort bliver kortet defineret ved ${\ displaystyle (U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha})}$${\ displaystyle (U _ {\ beta}, \ varphi _ {\ beta})}$${\ displaystyle U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta}: \ varphi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}) \ to \ varphi _ {\ beta} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta})}$

${\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta} = \ varphi _ {\ beta} \ circ \ varphi _ {\ alpha} ^ {- 1}.}$

Bemærk, at siden og begge er homomorfier, er overgangskortet også en homeomorfisme. ${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta}}$

Mere struktur

Man ønsker ofte mere struktur på en manifold end blot den topologiske struktur. For eksempel, hvis man ønsker en entydig forestilling om differentiering af funktioner på en manifold, er det nødvendigt at konstruere et atlas, hvis overgangsfunktioner er differentierbare . En sådan manifold kaldes differentierbar . Med en differentierbar manifold kan man utvetydigt definere begrebet tangentvektorer og derefter retningsderivater .

Hvis hver overgangsfunktion er et glat kort , kaldes atlaset et glat atlas , og manifolden selv kaldes glat . Alternativt kan man kræve, at overgangskortene kun har k kontinuerlige derivater, i hvilket tilfælde atlaset siges at være . ${\ displaystyle C ^ {k}}$

Meget generelt, hvis hver overgangsfunktion tilhører en pseudogruppe af homeomorfier i det euklidiske rum, kaldes atlaset et -atlas. Hvis overgangskortene mellem diagrammer over et atlas bevarer en lokal trivialisering , definerer atlas strukturen af ​​et fiberbundt. ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$

Se også

• Glat atlas
• Glat ramme

Referencer

eksterne links

• Atlas af Rowland, Todd