Grænseværdi problem - Boundary value problem

Viser et område, hvor en differentialligning er gyldig, og de tilhørende grænseværdier

I matematik , inden for differentialligninger , er et grænseværdiproblem en differentialligning sammen med et sæt yderligere begrænsninger, kaldet grænsebetingelserne . En løsning på et grænseværdiproblem er en løsning på differentialligningen, som også opfylder randbetingelserne.

Grænseværdiproblemer opstår i flere grene af fysik, som enhver fysisk differentialligning vil have dem. Problemer med bølgelegningen , såsom bestemmelse af normale tilstande , angives ofte som grænseværdiproblemer. En stor klasse af vigtige grænseværdiproblemer er problemerne Sturm – Liouville . Analysen af ​​disse problemer involverer egenfunktionerne i en differentialoperatør .

For at være nyttig i applikationer bør et grænseværdiproblem være godt stillet . Det betyder, at i betragtning af input til problemet findes der en unik løsning, som løbende afhænger af input. Meget teoretisk arbejde inden for partielle differentialligninger er afsat til at bevise, at grænseværdiproblemer, der opstår fra videnskabelige og tekniske applikationer, faktisk er veloplagte.

Blandt de tidligste grænseværdiproblemer, der skal undersøges, er Dirichlet -problemet , at finde de harmoniske funktioner (løsninger på Laplaces ligning ); løsningen blev givet efter Dirichlets princip .

Forklaring

Grænseværdiproblemer ligner problemer med oprindelige værdier . Et grænseværdiproblem har betingelser angivet i ekstremerne ("grænser") af den uafhængige variabel i ligningen, mens et startværdiproblem har alle betingelserne angivet til den samme værdi af den uafhængige variabel (og den værdi er ved den nedre grænse af domænet, således udtrykket "initial" værdi). En grænseværdi er en dataværdi, der svarer til en minimum eller maksimal input-, intern- eller outputværdi, der er angivet for et system eller en komponent.

For eksempel, hvis den uafhængige variabel er tid over domænet [0,1], ville et grænseværdiproblem angive værdier for både og , mens et initialværdiproblem ville angive en værdi af og på et tidspunkt . ${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle t = 1}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle y '(t)}$${\ displaystyle t = 0}$

At finde temperaturen på alle punkter i en jernstang med den ene ende holdt på absolut nul og den anden ende ved vandets frysepunkt ville være et grænseværdiproblem.

Hvis problemet er afhængigt af både rum og tid, kunne man angive værdien af ​​problemet på et givet tidspunkt for hele tiden eller på et givet tidspunkt for alt rum.

Konkret er et eksempel på en grænseværdi (i en rumlig dimension) problemet

${\ displaystyle y '' (x)+y (x) = 0}$

skal løses for den ukendte funktion med randbetingelserne ${\ displaystyle y (x)}$

${\ displaystyle y (0) = 0, \ y (\ pi /2) = 2.}$

Uden randbetingelserne er den generelle løsning på denne ligning

${\ displaystyle y (x) = A \ sin (x)+B \ cos (x).}$

Fra grænsetilstanden opnår man ${\ displaystyle y (0) = 0}$

${\ displaystyle 0 = A \ cdot 0+B \ cdot 1}$

hvilket indebærer, at man fra grænsetilstanden finder ${\ displaystyle B = 0.}$${\ displaystyle y (\ pi /2) = 2}$

${\ displaystyle 2 = A \ cdot 1}$

og så ser man, at pålægning af randbetingelser tillod én at bestemme en unik løsning, hvilket i dette tilfælde er ${\ displaystyle A = 2.}$

${\ displaystyle y (x) = 2 \ sin (x).}$

Typer af grænseværdiproblemer

Grænseværdi betingelser

At finde en funktion til at beskrive temperaturen på denne idealiserede 2D -stang er et grænseværdiproblem med Dirichlet -grænsebetingelser . Enhver løsningsfunktion vil både løse varmeligningen og opfylde randbetingelserne for en temperatur på 0 K på venstre grænse og en temperatur på 273,15 K på den højre grænse.

En grænsebetingelse, der angiver værdien af ​​selve funktionen, er en Dirichlet-grænsebetingelse eller grænsebetingelse af første type. For eksempel, hvis den ene ende af en jernstang holdes på absolut nul, ville værdien af ​​problemet være kendt på det tidspunkt i rummet.

En grænsetilstand, der angiver værdien af ​​den normale derivat af funktionen, er en Neumann-grænsebetingelse eller en anden type grænsebetingelse. For eksempel, hvis der er en varmelegeme i den ene ende af en jernstang, vil der blive tilføjet energi med en konstant hastighed, men den faktiske temperatur ville ikke være kendt.

Hvis grænsen har form af en kurve eller overflade, der giver en værdi til det normale derivat og selve variablen, er det en Cauchy -grænsetilstand .

Eksempler

Resumé af randbetingelser for den ukendte funktion ,, konstanter og specificeret af randbetingelserne, og kendte skalarfunktioner og specificeret af randbetingelserne. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Navn	Formular på 1. del af grænsen	Skema på 2. del af grænsen
Dirichlet	${\ displaystyle y = f}$
Neumann	${\ displaystyle {\ delvis y \ over \ delvis n} = f}$
Robin	${\ displaystyle c_ {0} y+c_ {1} {\ delvis y \ over \ delvis n} = f}$
Blandet	${\ displaystyle y = f}$	${\ displaystyle c_ {0} y+c_ {1} {\ delvis y \ over \ delvis n} = f}$
Cauchy	både og${\ displaystyle y = f}$${\ displaystyle c_ {0} {\ delvis y \ over \ delvis n} = g}$

Differentielle operatører

Bortset fra grænsebetingelsen klassificeres grænseværdiproblemer også efter typen af ​​differentialoperatør, der er involveret. For en elliptisk operator diskuterer man problemer med elliptiske grænseværdier . For en hyperbolsk operator diskuterer man problemer med hyperbolsk grænseværdi . Disse kategorier er yderligere opdelt i lineære og forskellige ikke -lineære typer.

Ansøgninger

Elektromagnetisk potentiale

I elektrostatik er et almindeligt problem at finde en funktion, der beskriver det elektriske potentiale i en given region. Hvis regionen ikke indeholder ladning, skal potentialet være en løsning på Laplaces ligning (en såkaldt harmonisk funktion ). Grænsebetingelserne i dette tilfælde er grænsefladebetingelserne for elektromagnetiske felter . Hvis der ikke er nogen strømtæthed i regionen, er det også muligt at definere et magnetisk skalarpotentiale ved hjælp af en lignende procedure.

Se også

Noter

Referencer

• AD Polyanin og VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2. udgave) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN  1-58488-297-2 .
• AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9 .

eksterne links

• "Grænseværdiproblemer i potentiel teori" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Grænseværdiproblem, komplekse-variable metoder" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Lineære partielle differentialligninger: Nøjagtige løsninger og grænseværdiproblemer på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Grænseværdiproblem" . Scholarpedia .