Kartesisk produkt - Cartesian product

I matematik , specielt mængdelære , det kartesiske produkt af to sæt A og B , betegnet A  ×  B , er det sæt af alle bestilte par ( a , b ) hvor en er i A og B er i B . Med hensyn til sæt-builder notation , det vil sige

${\ displaystyle A \ gange B = \ {(a, b) \ midt a \ i A \ {\ mbox {og}} \ b \ i B \}.}$

En tabel kan oprettes ved at tage det kartesiske produkt af et sæt rækker og et sæt kolonner. Hvis kartesiske produkt rækker × søjler er taget, indeholder cellerne i tabellen bestilt par af formen (række værdi, kolonne værdi) .

Man kan ligeledes definere den kartesiske produkt af n sæt, også kendt som en n -fold kartesisk produkt , som kan være repræsenteret af en n -dimensional matrix, hvor hvert element er en n - tupel . Et bestilt par er en 2-tupel eller et par . Mere generelt kan man stadig definere det kartesiske produkt af en indekseret familie af sæt.

Det kartesiske produkt er opkaldt efter René Descartes , hvis formulering af analytisk geometri gav anledning til konceptet, som yderligere generaliseres med hensyn til direkte produkt .

Eksempler

Et kortspil

Et illustrerende eksempel er standard 52-kort dæk . De faste spillekort rækker {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} danner en 13-element sæt. Kortet passer til {♠, ♥ , ♦ , ♣} danner et sæt med fire elementer. Det kartesiske produkt af disse sæt returnerer et sæt med 52 elementer bestående af 52 bestilte par , som svarer til alle 52 mulige spillekort.

Ranks × Suits returnerer et sæt af formen {(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠),…, (3, ♣), (2 , ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)}.

Suits × Ranks returnerer et sæt af formen {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10),…, (♣, 6), (♣ , 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Disse to sæt er forskellige, endda uensartede .

Et todimensionalt koordinatsystem

Det vigtigste historiske eksempel er det kartesiske plan i analytisk geometri . For at repræsentere geometriske former på en numerisk måde og udtrække numeriske oplysninger fra figurernes numeriske repræsentationer tildelte René Descartes hvert punkt i planet et par reelle tal , kaldet dets koordinater . Normalt kaldes sådan et par første og anden komponenter henholdsvis dets x- og y -koordinater (se billede). Sættet af alle sådanne par (dvs. det kartesiske produkt ℝ × ℝ , hvor ℝ betegner de reelle tal) tildeles således sættet af alle punkter i flyet.

Mest almindelige implementering (sætteori)

En formel definition af det kartesiske produkt ud fra sætteoretiske principper følger af en definition af ordnet par . Den mest almindelige definition af ordnede par, Kuratowskis definition , er . Ifølge denne definition er et element af , og er en delmængde af denne helhed, hvor repræsenterer indstillede effekt operatør. Derfor følger eksistensen af ​​det kartesiske produkt af to sæt i ZFC fra aksiomerne parring , forening , effektsæt og specifikation . Da funktioner normalt defineres som et specielt tilfælde af relationer , og relationer normalt defineres som undergrupper af det kartesiske produkt, er definitionen af ​​det to-sæt kartesiske produkt nødvendigvis forud for de fleste andre definitioner. ${\ displaystyle (x, y) = \ {\ {x \}, \ {x, y \} \}}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ cup Y))}$${\ displaystyle X \ gange Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Ikke-kommutativitet og ikke-associativitet

Lad A , B , C og D være sæt.

Det kartesiske produkt A × B er ikke kommutativt ,

${\ displaystyle A \ gange B \ neq B \ gange A,}$

fordi de bestilte par vendes, medmindre mindst en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

• A er lig med B eller
• A eller B er det tomme sæt .

For eksempel:

A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

Strengt taget er det kartesiske produkt ikke associativt (medmindre et af de involverede sæt er tomt).

${\ displaystyle (A \ gange B) \ gange C \ neq A \ gange (B \ gange C)}$

Hvis for eksempel A  = {1}, så ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

Kryds, fagforeninger og undersæt

Det kartesiske produkt opfylder følgende egenskab med hensyn til kryds (se midterste billede).

${\ displaystyle (A \ cap B) \ times (C \ cap D) = (A \ times C) \ cap (B \ times D)}$

I de fleste tilfælde er ovenstående udsagn ikke sandt, hvis vi erstatter kryds med forening (se billedet til højre).

${\ displaystyle (A \ cup B) \ times (C \ cup D) \ neq (A \ times C) \ cup (B \ times D)}$

Faktisk har vi det:

${\ displaystyle (A \ times C) \ cup (B \ times D) = [(A \ setminus B) \ times C] \ cup [(A \ cap B) \ times (C \ cup D)] \ cup [ (B \ setminus A) \ gange D]}$

For den fastsatte forskel har vi også følgende identitet:

${\ displaystyle (A \ times C) \ setminus (B \ times D) = [A \ times (C \ setminus D)] \ cup [(A \ setminus B) \ times C]}$

Her er nogle regler, der demonstrerer distribution med andre operatører (se billedet længst til venstre):

${\ displaystyle {\ begin {align} A \ times (B \ cap C) & = (A \ times B) \ cap (A \ times C), \\ A \ times (B \ cup C) & = (A \ times B) \ cup (A \ times C), \\ A \ times (B \ setminus C) & = (A \ times B) \ setminus (A \ times C), \ end {align}}}$

${\ displaystyle (A \ times B)^{\ complement} = \ left (A^{\ complement} \ times B^{\ complement} \ right) \ cup \ left (A^{\ complement} \ times B \ højre) \ kop \ venstre (A \ gange B^{\ komplement} \ højre) \ !,}$

hvor betegner den absolutte komplement af A . ${\ displaystyle A^{\ complement}}$

Andre egenskaber relateret til undersæt er:

${\ displaystyle {\ text {if}} A \ subseteq B {\ text {, derefter}} A \ gange C \ subseteq B \ gange C;}$

${\ displaystyle {\ text {hvis begge}} A, B \ neq \ emptyset {\ text {, derefter}} A \ gange B \ subseteq C \ gange D \! \ iff \! A \ subseteq C {\ tekst { og}} B \ subseteq D.}$

Kardinalitet

Den kardinalitet af et sæt er antallet af elementer i sættet. For eksempel at definere to sæt: A = {a, b} og B = {5, 6}. Både sæt A og sæt B består af to elementer hver. Deres kartesiske produkt, skrevet som A × B , resulterer i et nyt sæt, der har følgende elementer:

A × B = {(a, 5), (a, 6), (b, 5), (b, 6)}.

hvor hvert element i A er parret med hvert element i B , og hvor hvert par udgør ét element i udgangssættet. Antallet af værdier i hvert element i det resulterende sæt er lig med antallet af sæt, hvis kartesiske produkt tages; 2 i dette tilfælde. Udgangssættets kardinalitet er lig med produktet af kardinaliteterne i alle inputsæt. Det er,

| A × B | = | A | · | B |.

I dette tilfælde, | A × B | = 4

Tilsvarende

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

og så videre.

Sættet A × B er uendeligt, hvis enten A eller B er uendeligt, og det andet sæt ikke er det tomme sæt.

Kartesiske produkter i flere sæt

n -ary kartesisk produkt

Det kartesiske produkt kan generaliseres til det n -ary kartesiske produkt over n sæt X ₁ , ..., X _n som sættet

${\ displaystyle X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mid x_ {i} \ i X_ {i} \ {\ tekst {for hver}} \ i \ i \ {1, \ ldots, n \} \}}$

af n -par . Hvis tuples er defineret som indlejrede ordnede par , kan det identificeres med ( X ₁ × ⋯ × X _{n −1} ) × X _n . Hvis en tuple er defineret som en funktion på {1, 2,…, n }, der tager sin værdi på i for at være det i element i tuplen, så er det kartesiske produkt X ₁ × ⋯ × X _n funktionssættet

${\ displaystyle \ {x: \ {1, \ ldots, n \} \ til X_ {1} \ cup \ cdots \ cup X_ {n} \ | \ x (i) \ i X_ {i} \ {\ tekst {for hver}} \ i \ i \ {1, \ ldots, n \} \}.}$

n -ary kartesisk magt

Den kartesiske firkant af et sæt X er den kartesiske produkt X ² = X × X . Et eksempel er 2-dimensional plan R ² = R × R hvor R er mængden af reelle tal : R ² er mængden af alle punkter ( x , y ) , hvor x og y er reelle tal (se kartesiske koordinatsystem ) .

Den n -ary kartesiske kraft i et sæt X , betegnet , kan defineres som ${\ displaystyle X^{n}}$

${\ displaystyle X^{n} = \ underbrace {X \ times X \ times \ cdots \ times X} _ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ | \ x_ { i} \ i X \ {\ tekst {for hver}} \ i \ i \ {1, \ ldots, n \} \}.}$

Et eksempel på dette er R ³ = R × R × R , med R igen mængden af ​​reelle tal og mere generelt R ⁿ .

Den n -foldig kartesiske magt af et sæt X er isomorf til rummet af funktioner fra en n -element sæt til X . Som et særligt tilfælde, 0-foldige kartesiske magt X kan tages som en singleton sæt , der svarer til den tomme funktion med codomain X .

Uendelige kartesiske produkter

Det er muligt at definere det kartesiske produkt af en vilkårlig (muligvis uendelig ) indekseret familie af sæt. Hvis jeg er et indekssæt , og er en familie af sæt indekseret af I , er det kartesiske produkt af sætene defineret til at være ${\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i \ i I}}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i \ i I}}$

${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i} = \ left \ {\ left.f: I \ to \ bigcup _ {i \ in I} X_ {i} \ \ right | \ (\ forall i) (f (i) \ i X_ {i}) \ højre \},}$

det vil sige sættet af alle funktioner, der er defineret på indekssættet, således at værdien af ​​funktionen ved et bestemt indeks i er et element i X _i . Selvom hver af X _i er ikke -fritaget, kan det kartesiske produkt være tomt, hvis valgfrit aksiom , der svarer til erklæringen om, at hvert sådant produkt ikke er fritaget, ikke antages.

For hver j i I , funktionen

${\ displaystyle \ pi _ {j}: \ prod _ {i \ i I} X_ {i} \ til X_ {j},}$

defineret af kaldes det j th projektionskort . ${\ displaystyle \ pi _ {j} (f) = f (j)}$

Kartesiske magt er et kartesiske produkt, hvor alle de faktorer, X _jeg er det samme sæt X . I dette tilfælde,

${\ displaystyle \ prod _ {i \ i I} X_ {i} = \ prod _ {i \ i I} X}$

er mængden af alle funktioner fra jeg til X , og er ofte betegnes X ^jeg . Denne sag er vigtig i undersøgelsen af kardinal eksponentiering . Et vigtigt specialtilfælde er, når indekssættet er de naturlige tal : dette kartesiske produkt er mængden af alle uendelige følger med i th udtrykket i sin tilsvarende sæt X _i . For eksempel kan hvert element af ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ cdots}$

kan visualiseres som en vektor med utallige uendelige reelle talskomponenter. Dette sæt betegnes ofte , eller . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{\ omega}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{\ mathbb {N}}}$

Andre former

Forkortet form

Hvis flere sæt multipliceres sammen (f.eks. X ₁ , X ₂ , X ₃ , ...), så vælger nogle forfattere at forkorte det kartesiske produkt som ganske enkelt × X _i .

Kartesisk produkt af funktioner

Hvis f er en funktion fra A til B og g er en funktion fra X til Y , så er deres kartesiske produkt f × g en funktion fra A × X til B × Y med

${\ displaystyle (f \ gange g) (a, x) = (f (a), g (x)).}$

Dette kan udvides til tuples og uendelige samlinger af funktioner. Dette adskiller sig fra det standard kartesiske produkt af funktioner, der betragtes som sæt.

Cylinder

Lad være et sæt og . Så er cylinderen af med hensyn til det kartesiske produkt af og . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B \ subseteq A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B \ gange A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

Normalt betragtes det som kontekstens univers og bliver efterladt. For eksempel, hvis en delmængde af de naturlige tal , så cylinderen i er . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B \ times \ mathbb {N}}$

Definitioner uden for sætteori

Kategoriteori

Selvom det kartesiske produkt traditionelt anvendes på sæt, giver kategoriteori en mere generel fortolkning af produktet af matematiske strukturer. Dette adskiller sig fra, selv om det er relateret til, forestillingen om en kartesiansk firkant i kategoriteori, som er en generalisering af fiberproduktet .

Eksponentiering er den korrekte tilslutning til det kartesiske produkt; således er enhver kategori med et kartesisk produkt (og et sidste objekt ) en kartesisk lukket kategori .

Grafteori

I grafteorien er det kartesiske produkt af to grafer G og H grafen betegnet med G × H , hvis toppunktssæt er det (almindelige) kartesiske produkt V ( G ) × V ( H ) og sådan, at to hjørner ( u , v ) og ( u ', v ') støder i G × H , hvis og kun hvis u = u ' og v er tilstødende med v ' i H , eller v = v ' og u er tilstødende med u «i G . Det kartesiske produkt af grafer er ikke et produkt i kategorityoriens forstand. I stedet er det kategoriske produkt kendt som tensorproduktet af grafer .

Se også

• Binær relation
• Sammenkædning af sæt strenge
• Coproduct
• Kryds produkt
• Direkte produkt af grupper
• Tomt produkt
• Euklidisk rum
• Eksponentielt objekt
• Endeligt forhold
• Deltag i (SQL) § Krydsforbindelse
• Ordrer på det kartesiske produkt af totalt bestilte sæt
• Aksiom for magt sat (for at bevise eksistensen af ​​det kartesiske produkt)
• Produkt (kategoriteori)
• Produkttopologi
• Produkttype
• Ultraprodukt

Referencer

eksterne links

• Kartesisk produkt hos ProvenMath
• "Direkte produkt" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Sådan finder du det kartesiske produkt, Education Portal Academy