Årsagsfilter - Causal filter

Ved signalbehandling er et kausalfilter et lineært og tidsinvariant årsagssystem . Ordet kausal angiver, at filteroutput kun afhænger af tidligere og nuværende input. Et filter, hvis output også afhænger af fremtidige input, er ikke-kausal , mens et filter, hvis output kun afhænger af fremtidige input, er anti-kausalt . Systemer (inklusive filtre), der kan realiseres (dvs. som fungerer i realtid ) skal være årsagssammenhæng, fordi sådanne systemer ikke kan fungere på et fremtidig input. I praksis betyder det, at den outputprøve, der bedst repræsenterer input på tidspunktet, kommer lidt senere. En almindelig designpraksis for digitale filtre er at skabe et genkendeligt filter ved at forkorte og / eller tidsskifte en ikke-årsaglig impulsrespons. Hvis forkortelse er nødvendig, opnås det ofte som produktet af impulsresponset med en vinduesfunktion . ${\ displaystyle t,}$

Et eksempel på et anti-kausalt filter er et maksimalt fasefilter , der kan defineres som et stabilt , anti-kausalt filter, hvis inverse også er stabilt og anti-kausal.

Hver komponent i kausalfilteroutputet begynder, når dens stimulus begynder. Udgangene fra det ikke-kausale filter begynder inden stimuleringen begynder.

Eksempel

Følgende definition er et bevægende (eller "glidende") gennemsnit af inputdata . En konstant faktor på 1/2 udelades for enkelhed: ${\ displaystyle s (x) \,}$

${\ displaystyle f (x) = \ int _ {x-1} ^ {x + 1} s (\ tau) \, d \ tau \ = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} s (x + \ tau) \, d \ tau \,}$

hvor x kunne repræsentere en rumlig koordinat, som ved billedbehandling. Men hvis repræsenterer tid , er et bevægende gennemsnit, der defineres på den måde, ikke-kausal (også kaldet ikke-realiserbar ), fordi det afhænger af fremtidige input, som f.eks . En realiserbar output er ${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle (t) \,}$${\ displaystyle f (t) \,}$${\ displaystyle s (t + 1) \,}$

${\ displaystyle f (t-1) = \ int _ {- 2} ^ {0} s (t + \ tau) \, d \ tau = \ int _ {0} ^ {+ 2} s (t- \ tau ) \, d \ tau \,}$

som er en forsinket version af det ikke-realiserbare output.

Ethvert lineært filter (såsom et bevægende gennemsnit) kan karakteriseres ved en funktion h ( t ) kaldet dens impulsrespons . Dens output er sammenfaldet

${\ displaystyle f (t) = (h * s) (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) s (t- \ tau) \, d \ tau. \, }$

I disse termer kræver kausalitet

${\ displaystyle f (t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (\ tau) s (t- \ tau) \, d \ tau}$

og generel lighed mellem disse to udtryk kræver h ( t ) = 0 for alle t  <0.

Karakterisering af årsagsfiltre i frekvensområdet

Lad h ( t ) være et årsagsfilter med tilsvarende Fourier-transform H (ω). Definer funktionen

${\ displaystyle g (t) = {h (t) + h ^ {*} (- t) \ over 2}}$

hvilket er ikke-årsagssammenhæng. På den anden side er g ( t ) hermitisk, og følgelig er dens Fourier-transformation G (ω) reelt værdsat. Vi har nu følgende forhold

${\ displaystyle h (t) = 2 \, \ Theta (t) \ cdot g (t) \,}$

hvor Θ ( t ) er Heaviside-enhedens trinfunktion .

Dette betyder, at Fourier-transformationerne af h ( t ) og g ( t ) er relateret som følger

${\ displaystyle H (\ omega) = \ venstre (\ delta (\ omega) - {i \ over \ pi \ omega} \ højre) * G (\ omega) = G (\ omega) -i \ cdot {\ widehat {G}} (\ omega) \,}$

hvor er en Hilbert-transformation udført i frekvensdomænet (snarere end tidsdomænet). Tegnet på afhænger muligvis af definitionen af ​​Fourier Transform. ${\ displaystyle {\ widehat {G}} (\ omega) \,}$${\ displaystyle {\ widehat {G}} (\ omega) \,}$

Ved at tage Hilbert-transformation af ovennævnte ligning giver denne forbindelse mellem "H" og dens Hilbert-transformation:

${\ displaystyle {\ widehat {H}} (\ omega) = iH (\ omega)}$

Referencer

• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Vetterling, William T .; Flannery, Brian P. (september 2007), Numerical Recipes (3. udg.), Cambridge University Press, s. 767, ISBN  9780521880688
• Rowell (januar 2009), Bestemmelse af et systems årsag ud fra dets frekvensrespons (PDF) , MIT OpenCourseWare