Christoffel symboler - Christoffel symbols

I matematik og fysik er Christoffel -symbolerne en række tal, der beskriver en metrisk forbindelse . Den metriske forbindelse er en specialisering af affineforbindelsen til overflader eller andre manifolder, der er udstyret med en metrisk , hvilket gør det muligt at måle afstande på denne overflade. I differentialgeometri kan en affin forbindelse defineres uden henvisning til en metrik, og mange yderligere begreber følger: paralleltransport , kovariante derivater , geodesik osv. Kræver heller ikke begrebet metric. Når der er en metrisk tilgængelig, kan disse begreber imidlertid knyttes direkte til "manifolden" af selve manifolden; denne form bestemmes af, hvordan tangentrummet er knyttet til cotangentrummet af den metriske tensor . Abstrakt ville man sige, at manifolden har et tilhørende ( orthonormalt ) rammebundt , hvor hver " ramme " er et muligt valg af en koordinatramme . En invariant måling indebærer, at strukturgruppen af rammebundtet er den ortogonale gruppe O ( p , q ) . Som et resultat er en sådan manifold nødvendigvis en ( pseudo- ) Riemannian manifold . Christoffelsymbolerne giver en konkret repræsentation af forbindelsen mellem (pseudo-) Riemannian geometri med hensyn til koordinater på manifolden. Yderligere begreber, såsom paralleltransport, geodesik osv., Kan derefter udtrykkes i form af Christoffelsymboler.

Generelt er der et uendeligt antal metriske forbindelser for en given metrisk tensor ; der er imidlertid en unik forbindelse, der er fri for vridning , Levi-Civita-forbindelsen . Det er almindeligt inden for fysik og generel relativitet at arbejde udelukkende med Levi-Civita-forbindelsen ved at arbejde i koordinatrammer (kaldet holonomiske koordinater ), hvor torsionen forsvinder. For eksempel i euklidiske rum beskriver Christoffel -symbolerne, hvordan de lokale koordinatbaser ændres fra punkt til punkt.

På hvert punkt i den underliggende n -dimensionale manifold, for ethvert lokalt koordinatsystem omkring dette punkt, betegnes Christoffelsymbolerne Γ i jk for i , j , k = 1, 2, ..., n . Hver post i dette n × n × n -array er et reelt tal . Under lineære koordinattransformationer på manifolden transformerer Christoffel -symbolerne sig som komponenterne i en tensor , men under generelle koordinattransformationer ( diffeomorfier ) gør de det ikke. De fleste af de algebraiske egenskaber ved Christoffelsymbolerne følger af deres forhold til den affine forbindelse; kun få følger af, at strukturgruppen er den ortogonale gruppe O ( m , n ) (eller Lorentz -gruppen O (3, 1) for generel relativitet).

Christoffelsymboler bruges til at udføre praktiske beregninger. For eksempel kan Riemann -krumningstensoren udtrykkes helt i form af Christoffelsymbolerne og deres første partielle derivater . I generel relativitet spiller forbindelsen rollen som tyngdekraftfeltet med det tilsvarende tyngdepotentiale den metriske tensor. Når koordinatsystemet og den metriske tensor deler nogle symmetri, mange af de Γ jeg jk er nul .

Christoffelsymbolerne er opkaldt efter Elwin Bruno Christoffel (1829–1900).

Bemærk

Definitionerne nedenfor er gyldige for både Riemannian manifolds og pseudo-Riemannian manifolds , såsom dem for generel relativitet , med omhyggelig sondring mellem øvre og nedre indeks ( kontravariant og co-variant indeks). Formlerne gælder for begge tegnkonventioner , medmindre andet er angivet.

Einstein summationskonvention bruges i denne artikel med vektorer angivet med fed skrift. De forbindelser koefficienter af Levi-Civita forbindelse (eller pseudo-Riemannsk forbindelse) udtrykt i et koordinatsystem basis kaldes Christoffel symboler .

Foreløbige definitioner

Givet et koordinatsystem x jeg for jeg = 1, 2, ..., n på en n -manifold M , de tangentvektorer

definere, hvad der omtales som det lokale grundlag for tangensrummet til M på hvert punkt i dets domæne. Disse kan bruges til at definere den metriske tensor :

og dens omvendte:

som igen kan bruges til at definere det dobbelte grundlag:

Nogle tekster skriver for , så den metriske tensor antager den særligt forførende form . Denne konvention efterlader også brug af symbolet entydigt for vierbein .

Definition i det euklidiske rum

I det euklidiske rum kan den generelle definition nedenfor for Christoffelsymbolerne af den anden slags bevises at svare til:

Christoffelsymboler af den første slags kan derefter findes via indekssænkning :

Omarrangering ser vi, at (forudsat at det partielle derivat tilhører tangensrummet, som ikke kan forekomme på et ikke-euklidisk buet rum):

Med ord sporer de arrays, der er repræsenteret af Christoffelsymbolerne, hvordan grundlaget ændres fra punkt til punkt. Hvis derivatet ikke ligger på tangensrummet, er det rigtige udtryk projekteringen af ​​derivatet over tangentrummet (se kovariantderivat nedenfor). Symboler af den anden slags nedbryder ændringen med hensyn til grundlaget, mens symboler af den første slags nedbryder den med hensyn til det dobbelte grundlag. I denne form er det let at se symmetrien i de nederste eller sidste to indeks:

og ,

fra definitionen af og det faktum, at partielle derivater pendler (så længe manifolden og koordinatsystemet er velopdragen ).

De samme numeriske værdier for Christoffel -symboler af den anden slags vedrører også derivater af det dobbelte grundlag, som det ses i udtrykket:

,

som vi kan omarrangere som:

.

Generel definition

Christoffelsymboler af den første slags

Christoffelsymbolerne af den første slags kan stammer enten fra Christoffelsymbolerne af den anden slags og den metriske,

eller alene fra metricen,

Som en alternativ notation finder man også

Det er værd at bemærke, at [ ab , c ] = [ ba , c ] .

Christoffelsymboler af anden slags (symmetrisk definition)

Christoffel-symbolerne af den anden slags er forbindelseskoefficienterne-i koordinatbasis-af Levi-Civita-forbindelsen . Med andre ord, Christoffels symboler af den anden slags Γ k ij (undertiden Γk
ij
eller {k
ij
}
) er defineret som de unikke koefficienter, således at

,

hvor i er Levi-Civita-forbindelsenM taget i koordinatretningen e i (dvs. i ≡ ∇ e i ) og hvor e i = ∂ i er et lokalt koordinat ( holonomisk ) grundlag . Da denne forbindelse har nul torsion , og holonomiske vektorfelter pendler (dvs. ) har vi

.

Derfor er forbindelseskoefficienterne på dette grundlag symmetriske:

Γ k ij = Γ k ji .

Af denne grund kaldes en torsionsfri forbindelse ofte symmetrisk .

Christoffelsymbolerne kan stamme fra forsvinden af kovariansderivatet af den metriske tensor g ik :

Som en stenografisk betegnelse tabes nabla -symbolet og de partielle afledte symboler ofte, og i stedet bruges et semikolon og et komma til at modregne det indeks, der bruges til derivatet. Således er ovenstående undertiden skrevet som

Når symbolerne er symmetriske i de nederste to indekser, kan man eksplicit løse Christoffel -symbolerne som en funktion af den metriske tensor ved at permutere indekserne og genoptage:

hvor ( g jk ) er inversen af matrixen ( g jk ) , defineret som (ved hjælp af Kronecker -deltaet og Einstein -notation for summering) g ji g ik = δ  j k . Selvom Christoffelsymbolerne er skrevet i samme notation som tensorer med indeksnotation , transformeres de ikke som tensorer under en ændring af koordinater .

Sammentrækning af indekser

Kontrahering af det øvre indeks med et af de nedre indekser (de der er symmetriske) fører til

hvor er determinanten for den metriske tensor. Denne identitet kan bruges til at evaluere divergens af vektorer.

Tilslutningskoefficienter på et nonholonomisk grundlag

Christoffelsymbolerne er mest typisk defineret i et koordinatbasis, hvilket er den konvention, der følges her. Med andre ord er navnet Christoffel -symboler kun forbeholdt koordinatrammer (dvs. holonomiske ) rammer. Tilslutningskoefficienterne kan imidlertid også defineres på et vilkårligt (dvs. ikke -holonomisk) grundlag for tangentvektorer u i ved

Dette er udtrykkeligt udtrykt i den metriske tensor

hvor c klm = g mp c kl p er kommutationskoefficienterne for grundlaget; det er,

hvor u k er basisvektorerne og [,] er Lie -beslaget . Standardenhedsvektorerne i sfæriske og cylindriske koordinater giver et eksempel på et grundlag med ikke-forsvindende kommutationskoefficienter. Forskellen mellem forbindelsen i en sådan ramme og Levi-Civita-forbindelsen er kendt som contorsion tensor .

Ricci rotationskoefficienter (asymmetrisk definition)

Når vi vælger grundlaget X iu i orthonormal: g abr | ab = ⟨ X a , X b derefter g mk, lr | mk, l = 0 . Dette indebærer, at

og forbindelseskoefficienterne bliver antisymmetriske i de to første indekser:

hvor

I dette tilfælde kaldes forbindelseskoefficienterne ω a bc Ricci -rotationskoefficienterne .

Tilsvarende kan man definere Ricci -rotationskoefficienter som følger:

hvor u i er et orthonormalt nonholonomisk grundlag og u k = η kl u l dets medgrundlag .

Transformationslov under ændring af variabel

Under en ændring af variabel fra til , transformeres Christoffel -symboler som

hvor overlinjen betegner Christoffel -symbolerne i koordinatsystemet. Christoffelsymbolet transformeres ikke som en tensor, men derimod som et objekt i jetpakken . Mere præcist kan Christoffel -symbolerne betragtes som funktioner på jetbundtet i rammebundtet M , uafhængigt af ethvert lokalt koordinatsystem. Valg af et lokalt koordinatsystem bestemmer en lokal sektion af dette bundt, som derefter kan bruges til at trække Christoffelsymbolerne tilbage til funktioner på M , selvom disse funktioner selvfølgelig afhænger af valget af lokalt koordinatsystem.

For hvert punkt findes der koordinatsystemer, hvor Christoffelsymbolerne forsvinder ved punktet. Disse kaldes (geodesiske) normale koordinater og bruges ofte i Riemannian geometri .

Der er nogle interessante egenskaber, der kan udledes direkte fra transformationsloven.

  • Ved lineær transformation forsvinder den inhomogene del af transformationen (andet udtryk på højre side) identisk og opfører sig derefter som en tensor.
  • Hvis vi har to forbindelsesfelter, siger og , så er deres forskel en tensor, da de inhomogene udtryk annullerer hinanden. De inhomogene udtryk afhænger kun af, hvordan koordinaterne ændres, men er uafhængige af selve Christoffel -symbolet.
  • Hvis Christoffel -symbolet er usymmetrisk omkring dets lavere indekser i et koordinatsystem, dvs. , så forbliver de usymmetriske under enhver ændring af koordinater. En følge af denne egenskab er, at det er umuligt at finde et koordinatsystem, hvor alle elementer i Christoffel -symbolet er nul på et punkt, medmindre lavere indeks er symmetriske. Denne ejendom blev påpeget af Albert Einstein og Erwin Schrödinger uafhængigt.

Forholdet til paralleltransport og afledning af Christoffelsymboler i det riemanniske rum

Hvis en vektor transporteres parallelt på en kurve, der er parametriseret af en eller anden parameter på et Riemannisk manifold , er ændringshastigheden for komponenterne i vektoren givet ved

Nu er det bare ved at bruge den betingelse, at skalarproduktet dannet af to vilkårlige vektorer og er uændret, er nok til at udlede Christoffel -symbolerne. Betingelsen er

som efter produktregel udvides til

Ved anvendelse af paralleltransportreglen for de to vilkårlige vektorer og ommærkning af dummy -indekser og indsamling af (vilkårlig) koefficienter opnår vi

Dette er det samme som ligningen opnået ved at kræve, at kovariansderivatet af den metriske tensor forsvinder i afsnittet Generel definition. Afledningen herfra er enkel. Ved cyklisk at permutere indekserne i ovenstående ligning kan vi opnå yderligere to ligninger og derefter lineært kombinere disse tre ligninger, vi kan udtrykke i form af metrisk tensor.

Forholdet til indeksfri notation

Lad X og Y være vektorfelter med komponenter X i og Y k . Derefter er k -komponenten af ​​kovariansderivatet af Y med hensyn til X givet ved

Her bruges Einstein -notationen , så gentagne indeks angiver summering over indekser og kontraktion med den metriske tensor tjener til at hæve og sænke indekser:

Husk, at g ikg ik og at g i k = δ  i k , Kronecker deltaet . Konventionen er, at den metriske tensor er den med de lavere indeks; den korrekte måde at opnå g ik fra g ik er at løse de lineære ligninger g ij g jk = δ  i k .

Erklæringen om, at forbindelsen er torsionsfri , nemlig det

svarer til udsagnet om, at Christoffel -symbolet - på et koordinatbasis - er symmetrisk i de to nederste indeks:

De indeksfrie transformationsegenskaber for en tensor er givet ved tilbagetrækninger for kovariante indekser og fremad for kontravariantindeks . Artiklen om kovariante derivater giver yderligere diskussion af korrespondancen mellem indeksfri notation og indekseret notation.

Kovariante derivater af tensorer

Den covariant derivat af en kontravariant vektorfelt V m er

Som følge heraf kan divergens af en vektor opnås som

Den covariant derivat af et covector felt ω m er

Symmetrien af ​​Christoffel -symbolet indebærer nu

for ethvert skalarfelt, men generelt pendler de kovariante derivater af tensorfelter af højere orden ikke (se krumningstensor ).

Den covariant derivat af en type (2, 0) tensor felt A ik er

det er,

Hvis tensorfeltet er blandet, er dets kovariante derivat

og hvis tensorfeltet er af typen (0, 2), så er dets kovariante derivat

Modstridende derivater af tensorer

For at finde kontravariantderivatet af et vektorfelt, skal vi først transformere det til et kovariantderivat ved hjælp af den metriske tensor

Ansøgninger

I almindelighed relativitet

Christoffelsymbolerne finder hyppig anvendelse i Einsteins teori om generel relativitetsteori , hvor rumtiden er repræsenteret af et buet 4-dimensionelt Lorentz-manifold med en Levi-Civita-forbindelse . De Einstein feltligninger -som bestemmer rumtidens geometri i nærvær af stof-indeholde Ricci tensor , og så beregne Christoffel symboler er afgørende. Når først geometrien er bestemt, beregnes partiklernes og lysstrålernes veje ved at løse de geodesiske ligninger , hvor Christoffelsymbolerne eksplicit vises.

I klassisk (ikke-relativistisk) mekanik

Lad være de generaliserede koordinater og være de generaliserede hastigheder, så er kinetisk energi for en enhedsmasse givet ved , hvor er den metriske tensor . Hvis den potentielle funktion eksisterer, så er de kontravariante komponenter i den generaliserede kraft pr. Masseenhed . Metriken (her i et rent rumligt domæne) kan hentes fra linjeelementet . Ved at erstatte Lagrangian i Euler-Lagrange-ligningen får vi

Nu multiplicerer vi med , vi får

Når kartesiske koordinater kan vedtages (som i inertielle referencerammer), har vi en euklidisk metrik, Christoffelsymbolet forsvinder, og ligningen reduceres til Newtons anden bevægelseslov . I krumme lineære koordinater (tvangsmæssigt i ikke-inertielle rammer, hvor metrikerne er ikke-euklidiske og ikke flade), stammer fiktive kræfter som centrifugalkraften og Coriolis-kraften fra Christoffelsymbolerne, så fra de rent rumlige krøllede koordinater.

I jordoverfladekoordinater

Givet et sfærisk koordinatsystem , som beskriver punkter på jordoverfladen (tilnærmet som en ideel sfære).

For et punkt x er R afstanden til jordkernen (normalt omtrent jordradius ). θ og φ er breddegrad og længdegrad . Positiv θ er den nordlige halvkugle. For at forenkle derivaterne angives vinklerne i radianer (hvor d sin (x) / dx = cos (x) indfører gradværdierne en yderligere faktor på 360 /2 pi).

På ethvert sted er tangentretningerne (op), (nord) og (øst) - du kan også bruge indeks 1,2,3.

Den relaterede metriske tensor har kun diagonale elementer (de kvadrerede vektorgængder). Dette er en fordel ved koordinatsystemet og generelt ikke sandt.

Nu kan de nødvendige mængder beregnes. Eksempler:

De resulterende Christoffel -symboler af den anden slags er derefter (organiseret af "derivat" -indekset i i en matrix):

Disse værdier viser, hvordan tangenten retninger (kolonne: , , ) ændring, set set udefra (fx fra rummet), men i betragtning i tangenten retninger af den faktiske placering (rækker: R , θ , φ ).

Tag som et eksempel nul -derivaterne ved θ in , hvilket svarer til en bevægelse mod nord (positiv dθ):

  • Den nye nordretning ændres med -R dθ i opad (R) retning. Så nordretningen vil rotere nedad mod midten af ​​jorden.
  • Tilsvarende vil opretningen blive justeret mod nord. De forskellige længder og fører til en faktor 1/R.
  • Når den bevæger sig mod nord, ændrer den østlige tangensvektor sin længde (-tan (θ) på diagonalen), den krymper (-tan (θ) dθ <0) på den nordlige halvkugle og øger (-tan (θ) dθ> 0 ) på den sydlige halvkugle.

Disse effekter er måske ikke synlige under bevægelsen, fordi de er de justeringer, der holder målingerne i koordinaterne R , θ , φ . Ikke desto mindre kan det påvirke afstande, fysikligninger osv. Så hvis du f.eks. Har brug for den nøjagtige ændring af et magnetfelt, der peger cirka "syd", kan det være nødvendigt også at korrigere din måling ved ændring af nordretningen ved hjælp af Christoffel -symbolerne for at få den "sande" ( tensor ) værdi.

Christoffel-symbolerne af den første slags viser den samme ændring ved hjælp af metriskorrigerede koordinater, f.eks. For derivater med φ :

Se også

Noter

Referencer