Clairauts sætning (tyngdekraft) - Clairaut's theorem (gravity)

For andre anvendelser, se Clairauts formel (disambiguation) .
Figur 1: En ellipsoid
Figur 2: Wireframe -gengivelse af en ellipsoid (oblat kugleformet)

Clairauts sætning karakteriserer overfladegravitationen på et viskøst roterende ellipsoid i hydrostatisk ligevægt under virkningen af ​​dets tyngdefelt og centrifugalkraft. Det blev udgivet i 1743 af Alexis Claude Clairaut i en afhandling, der syntetiserede fysiske og geodetiske beviser for, at Jorden er en oblat roterende ellipsoid . Det blev oprindeligt brugt til at relatere tyngdekraften på et hvilket som helst tidspunkt på Jordens overflade til positionen af ​​dette punkt, så jordens ellipticitet kunne beregnes ud fra målinger af tyngdekraften på forskellige breddegrader. I dag er det stort set blevet fortrængt af Somigliana -ligningen .

Historie

Selvom det havde været kendt siden antikken, at Jorden var kugleformet, akkumulerede beviser på, at det ikke var en perfekt sfære ved 1600 -tallet. I 1672 fandt Jean Richer det første bevis på, at tyngdekraften ikke var konstant over Jorden (som det ville være, hvis Jorden var en kugle); han tog et pendulur til Cayenne , Fransk Guyana og fandt ud af, at det mistede 2+1 / 2 minutter om dagen i forhold til dens hastighed, Paris. Dette indikerede, at tyngdekraftens acceleration var mindre på Cayenne end i Paris. Pendulgravimetre begyndte at blive taget på rejser til fjerntliggende dele af verden, og det blev langsomt opdaget, at tyngdekraften stiger jævnt med stigende breddegrad, gravitationsacceleration er omkring 0,5% større ved polerne end ved ækvator.

Den britiske fysiker Isaac Newton forklarede dette i sin Principia Mathematica (1687), hvor han skitserede sin teori og beregninger om Jordens form. Newton teoretiserede korrekt, at Jorden ikke netop var en kugle, men havde en oblat ellipsoid form, let fladtrykt ved polerne på grund af centrifugalkraften i dens rotation. Da Jordens overflade er tættere på centrum ved polerne end ved ækvator, er tyngdekraften stærkere der. Ved hjælp af geometriske beregninger gav han et konkret argument om Jordens hypotetiske ellipsoide form.

Målet med Principia var ikke at give et præcist svar på naturfænomener, men at teoretisere potentielle løsninger på disse uløste faktorer i videnskaben. Newton pressede på for forskere at se nærmere på de uforklarlige variabler. To fremtrædende forskere, som han inspirerede, var Alexis Clairaut og Pierre Louis Maupertuis . De søgte begge at bevise gyldigheden af ​​Newtons teori om Jordens form. For at gøre dette tog de på en ekspedition til Lapland i et forsøg på nøjagtigt at måle meridianbuen . Ud fra sådanne målinger kunne de beregne jordens excentricitet , dens afgangsgrad fra en perfekt sfære. Clairaut bekræftede, at Newtons teori om, at Jorden var ellipsoidal, var korrekt, men hans beregninger var en fejl, og skrev et brev til Royal Society of London med sine fund. Samfundet offentliggjorde en artikel i Philosophical Transactions året efter i 1737, der afslørede hans opdagelse. Clairaut viste, hvordan Newtons ligninger var forkerte og beviste ikke en ellipsoid form for Jorden. Imidlertid rettede han problemer med teorien, der faktisk ville vise Newtons teori korrekt. Clairaut mente, at Newton havde grunde til at vælge den form, han gjorde, men han understøttede det ikke i Principia . Clairauts artikel gav heller ikke en gyldig ligning til at bakke op om hans argument. Dette skabte meget kontrovers i det videnskabelige samfund.

Det var først, da Clairaut skrev Théorie de la figure de la terre i 1743, at der blev givet et ordentligt svar. Heri bekendtgjorde han det, der i dag mere formelt er kendt som Clairauts sætning.

Formel

Clairauts formel for accelerationen på grund af tyngdekraften g på overfladen af ​​en kugleformet bredde φ var:

hvor er værdien af tyngdeaccelerationen ved ækvator, m forholdet mellem centrifugalkraften tyngdekraften ved ækvator, og f den udfladning af en meridian sektion af jorden, defineret som:

(hvor a = halvstor akse, b = halvminderakse).

Clairaut udledte formlen under den antagelse, at kroppen var sammensat af koncentriske koaksiale sfæriske lag med konstant densitet. Dette arbejde blev efterfølgende forfulgt af Laplace , som lempede den oprindelige antagelse om, at overflader med lige massefylde var sfæroider. Stokes viste i 1849, at sætningen gjaldt for enhver tæthedslov, så længe den ydre overflade er en sfære af ligevægt. En historie om emnet og mere detaljerede ligninger for g findes i Khan.

Ovenstående udtryk for g er fortrængt af Somigliana -ligningen (efter Carlo Somigliana ).

Geodesi

Se også: Teoretisk tyngdekraft

Jordens sfæriske form er resultatet af samspillet mellem tyngdekraft og centrifugalkraft forårsaget af Jordens rotation om dens akse. I hans Principia , Newton foreslog ligevægt form af en homogen roterende Jord var en roterende ellipsoide med en affladning f givet ved 1/230. Som et resultat stiger tyngdekraften fra ækvator til polerne. Ved at anvende Clairauts sætning fandt Laplace ud af 15 tyngdekraftværdier, at f = 1/330. Et moderne skøn er 1/298,25642. Se figur af jorden for flere detaljer.

For en detaljeret redegørelse for konstruktionen af referencejordsmodellen for geodesi, se Chatfield.

Referencer

  1. ^ Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l'hydrostatique ( Teori om jordens form, hentet fra hydrostatikens principper ) Fra kataloget over de videnskabelige bøger på Royal Society's bibliotek.
  2. ^ Wolfgang Torge (2001). Geodesi: En introduktion (3. udgave). Walter de Gruyter . s. 10. ISBN 3-11-017072-8.
  3. ^ Edward John Routh (2001). En afhandling om analytisk statistik med mange eksempler . Vol. 2. Adamant Media Corporation. s. 154. ISBN 1-4021-7320-2. |volume=har ekstra tekst ( hjælp ) En genoptryk af det originale værk udgivet i 1908 af Cambridge University Press.
  4. ^ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). En lærebog i fysik, 4. udg . London: Charles Griffin & Co. s. 20 .
  5. ^ Victor F., Lenzen; Robert P. Multauf (1964). "Papir 44: Udvikling af tyngdekraftpenduler i 1800 -tallet" . United States National Museum Bulletin 240: Bidrag fra Museum of History and Technology genoptrykt i Bulletin fra Smithsonian Institution . Washington: Smithsonian Institution Press . s. 307 . Hentet 2009-01-28 .
  6. ^ Newton, Isaac. Principia, Bog III, Proposition XIX, Opgave III .
  7. ^ Greenburg, John (1995). Problemet med jordens form fra Newton til Clairaut . New York: Cambridge University Press . s.  132 . ISBN 0-521-38541-5.
  8. ^ Clairaut, Alexis; Colson, John (1737). "En forespørgsel vedrørende figuren af ​​sådanne planeter, som drejer sig om en akse, der konstant antager densiteten til at variere fra midten mod overfladen". Filosofiske transaktioner . JSTOR  103921 .
  9. ^ WW Rouse Ball En kort redegørelse for matematikkens historie (4. udgave, 1908)
  10. ^ Walter William Rouse Ball (1901). En kort redegørelse for matematikkens historie (3. udgave). Macmillan. s. 384 . A Short Account of the History of Mathematics '(4. udgave, 1908) af WW Rouse Ball.
  11. ^ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). En lærebog i fysik, 4. udg . London: Charles Griffin & Co. pp.  22 -23.
  12. ^ Isaac Todhunter. En historie om de matematiske teorier om tiltrækning og jordens figur fra Newtons tid til Laplace . Vol. 2. Elibron Classics. ISBN 1-4021-1717-5. |volume=har ekstra tekst ( hjælp ) Genoptryk af den originale udgave af 1873 udgivet af Macmillan og Co.
  13. ^ Stokes, GG (1849). "Om attraktioner og på Clairauts sætning" . Cambridge og Dublin Mathematical Journal . 4 : 194–219.
  14. ^ Osmond Fisher (1889). Fysik i jordskorpen . Macmillan og Co. s. 27.
  15. ^ John Henry Poynting; Joseph John Thomson (1907). En lærebog i fysik . C. Griffin. s. 22 . Clairauts sætning.
  16. ^ NASA -sag om jordens ligevægtsfigur af Mohammad A. Khan (1968)
  17. ^ John P. Vinti; Gim J. Der; Nino L. Bonavito (1998). Orbital og himmelsk mekanik . Fremskridt inden for astronautik og luftfart, v. 177. American Institute of Aeronautics and Astronautics . s. 171. ISBN 1-56347-256-2.
  18. ^ Arthur Gordon Webster (1904). Dynamics of Particles and of Stive, Elastic and Fluid Bodies: foredrag om matematisk fysik . BG Teubner . s. 468 .
  19. ^ Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Opgave III, s. 407 i Andrew Motte -oversættelse.
  20. ^ Se Principia online på Andrew Motte Translation
  21. ^ Tabel 1.1 IERS numeriske standarder (2003) )
  22. ^ Averil B. Chatfield (1997). Grundlaget for inertial navigation med høj nøjagtighed . Bind 174 i fremgang inden for astronautik og luftfart . American Institute of Aeronautics and Astronautics. Kapitel 1, del VIII s. 7. ISBN 1-56347-243-0.