Koefficientmatrix - Coefficient matrix

I lineær algebra er en koefficientmatrix en matrix, der består af koefficienterne for variablerne i et sæt lineære ligninger . Matrixen bruges til at løse systemer til lineære ligninger .

Koefficientmatrix

Generelt kan et system med m lineære ligninger og n ukendte skrives som

${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} & = b_ {1} \\ a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ {n} & = b_ {2} \\ & \; \; \ vdots \\ a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2} + \ cdots + a_ {mn} x_ {n} & = b_ {m} \ end {aligned}}}$

hvor er de ukendte, og tallene er systemets koefficienter. Koefficientmatrixen er m  ×  n- matrixen med koefficienten som ( i , j ) th-indgang: ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle a_ {11}, a_ {12}, \ ldots, a_ {mn}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$ 

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ prikker & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \ end {bmatrix}}}$

Derefter kan ovenstående sæt ligninger udtrykkes kortfattet som

${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$

hvor A er koefficientmatrixen og b er søjlevektoren med konstante termer.

Forholdet mellem dets egenskaber og egenskaberne ved ligningssystemet

Ved Rouché – Capelli-sætningen er ligningssystemet inkonsekvent , hvilket betyder, at det ikke har nogen løsninger, hvis rangen for den forstørrede matrix (koefficientmatrixen forstærket med en yderligere søjle bestående af vektoren b ) er større end rangen for koefficienten matrix. Hvis rækkefølgen af ​​disse to matricer på den anden side er ens, skal systemet have mindst en løsning. Løsningen er unik, hvis og kun hvis rang r lig med antallet n af variabler. Ellers har den generelle løsning n  -  r frie parametre; derfor er der i et sådant tilfælde en uendelig række løsninger, som kan findes ved at pålægge n  -  r af variablerne vilkårlige værdier og løse det resulterende system for dets unikke løsning; forskellige valg af hvilke variabler, der skal rettes, og forskellige faste værdier af dem, giver forskellige systemløsninger.

Dynamiske ligninger

En første ordens matrixforskelligning med konstant sigt kan skrives som

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {t + 1} = A \ mathbf {y} _ {t} + \ mathbf {c},}$

hvor A er n  ×  n og y og c er n × 1. Dette system konvergerer til dets steady-state niveau af y, hvis og kun hvis de absolutte værdier for alle n egenværdier af A er mindre end 1.

En første ordens matrixdifferentialligning med konstant sigt kan skrives som

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {y}} {dt}} = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {c}.}$

Dette system er stabilt, hvis og kun hvis alle n egenværdier af A har negative reelle dele .

Referencer