Sammenhængende dualitet - Coherent duality

I matematik er sammenhængende dualitet en række generaliseringer af Serre-dualitet , der gælder for sammenhængende skiver i algebraisk geometri og kompleks mangfoldig teori såvel som nogle aspekter af kommutativ algebra, der er en del af den 'lokale' teori.

Teoriens historiske rødder ligger i ideen om det tilstødende lineære system for et lineært system af skillevægge i klassisk algebraisk geometri. Dette blev genudtrykt med fremkomsten af skiveteori på en måde, der gjorde en analogi med Poincaré-dualiteten mere tydelig. Så ifølge et generelt princip, Grothendiecks relative synspunkt , blev teorien om Jean-Pierre Serre udvidet til en ordentlig morfisme ; Serre-dualitet blev genvundet som tilfældet med morfismen for en ikke-ental projektiv sort (eller komplet sort ) til et punkt. Den resulterende teori kaldes nu undertiden Serre – Grothendieck – Verdier dualitet og er et grundlæggende redskab i algebraisk geometri. En behandling af denne teori, Residues and Duality (1966) af Robin Hartshorne , blev en reference. En konkret spin-off var Grothendieck-resten .

For at gå ud over ordentlige morfismer, som for versioner af Poincaré-dualitet, der ikke er til lukkede manifolder , kræver en version af det kompakte supportkoncept . Dette blev behandlet i SGA2 med hensyn til lokal kohomologi og Grothendieck lokal dualitet ; og efterfølgende. Den dobbelthed Greenlees-maj , først formuleret i 1976 af Ralf Strebel og i 1978 af Eben Matlis , er en del af den fortsatte behandling af dette område.

Tilstødende funktors synspunkt

Billedfunktioner til skiver
direkte billede f ∗
omvendt billede f ∗
direkte billede med kompakt støtte f !
ekstraordinært omvendt billede Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Basisændringssætninger
v t e

Mens Serre-dualitet bruger et linjebund eller en inverterbar skive som en dualiserende skive , kan den generelle teori (det viser sig) ikke være ret så enkel. (Mere præcist kan det, men på bekostning af at pålægge Gorenstein ring tilstand.) I en karakteristisk gengæld Grothendieck omformuleret generel sammenhængende dualitet som eksistensen af en ret adjungerede functor , kaldet snoet eller exceptionel omvendte billede functor , til en højere direkte billede med kompakt støtte functor . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Rf_ {!}}$

Højere lede billeder er en sheafified form for neg cohomologi i dette tilfælde med rette (kompakt) bærer; de er samlet i en enkelt funktion ved hjælp af den afledte kategoriformulering af homologisk algebra (indført med dette tilfælde i tankerne). Hvis er korrekt, så er en ret adjungeret til den omvendte billede functor . Den eksistens sætning til den snoede omvendte billede er navnet givet til bevis for eksistensen af, hvad der ville være den counit for comonad af den søgte adjunction, nemlig en naturlig transformation${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Rf _ {!} = Rf _ {\ ast}}$${\ displaystyle f ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle Rf _ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}$,

som er betegnet med (Hartshorne) eller (Verdier). Det er det aspekt af teorien, der er tættest på den klassiske betydning, som betegnelsen antyder, at dualitet defineres ved integration. ${\ displaystyle Tr_ {f}}$${\ displaystyle \ int _ {f}}$

For at være mere præcis eksisterer den som en nøjagtig funktor fra en afledt kategori af kvasikoherente skiver på , til den analoge kategori , når som helst ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

er en ordentlig eller kvasi-projektiv morfisme af noetherian-ordninger, med en endelig Krull-dimension . Herfra kan resten af ​​teorien udledes: dualiseringskomplekser trækker sig tilbage via , Grothendieck- restsymbolet, dualiseringsskoven i Cohen – Macaulay- sagen. ${\ displaystyle f ^ {!}}$

For at få en erklæring på et mere klassisk sprog, men stadig bredere end Serre-dualitet, bruger Hartshorne ( algebraisk geometri ) skudens ekst-funktion ; dette er en slags springbræt til den afledte kategori.

Den klassiske erklæring om Grothendieck-dualitet for en projektiv eller korrekt morfisme af noetheriske ordninger med en begrænset dimension, der findes i Hartshorne ( rester og dualitet ) er følgende kvasi-isomorfisme ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

${\ displaystyle Rf _ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ bullet}, f ^ {!} G ^ {\ bullet}) \ to RHom_ {Y} (Rf _ {\ ast} F ^ {\ bullet} , G ^ {\ bullet})}$

for et afgrænset ovenfor kompleks af -moduler med kvasi-kohærent kohomologi og et afgrænset nedenunder kompleks af -moduler med kohærent kohomologi. Her er skiver af homomorfier. ${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {X}}$${\ displaystyle G ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {Y}}$${\ displaystyle Hom}$

Konstruktion af pseudofunctoren ved hjælp af stive dualiserende komplekser${\ displaystyle f ^ {!}}$

I årenes løb opstod der flere tilgange til konstruktion af pseudofunktionen. En ganske nylig vellykket tilgang er baseret på forestillingen om et stift dualiserende kompleks. Denne opfattelse blev først defineret af Van den Bergh i en ikke-kommutativ sammenhæng. Konstruktionen er baseret på en variant af afledt Hochschild-kohomologi (Shukla cohomology): Lad være en kommutativ ring og lad være en kommutativ algebra. Der er en funktor, der tager et cochain-kompleks til et objekt i den afledte kategori over . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k-}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle A}$

Asumming er ikke etherisk, et stift dualiserende kompleks over i forhold til er pr. Definition et par, hvor der er et dualiseringskompleks, som har en endelig flad dimension over , og hvor er en isomorfisme i den afledte kategori . Hvis der findes et sådant stift dualiserende kompleks, er det unikt i stærk forstand. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (R, \ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho: R \ til RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$${\ displaystyle D (A)}$

Antages det at være en lokalisering af en begrænset type- algebra, eksistensen af ​​et stift dualiserende kompleks over i forhold til blev først bevist af Yekutieli og Zhang forudsat at det er en regelmæssig noetherian ring af endelig Krull dimension, og af Avramov , Iyengar og Lipman antager at er en Gorenstein ring af endelig Krull-dimension og er af endelig flad dimension over . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Hvis der er en ordning af endelig type over , kan man klæbe de stive dualiserende komplekser, som dets affine stykker har, og opnå et stift dualiserende kompleks . Når man først har etableret en global eksistens af et stift dualiserende kompleks, givet et kort over skemaer , kan man definere , hvor vi sætter et skema . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {X}}$${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ circ Lf ^ {*} \ circ D_ {Y}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Dualisering af komplekse eksempler

Dualiseringskompleks til en projektiv variation

Dualiseringskomplekset for en projektiv variation er givet af komplekset ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}$

Plan, der skærer en linje

Overvej den projicerende variation

${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} \ right) = { \ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} \ right)}$

Vi kan beregne ved hjælp af en opløsning ved hjælp af lokale skiver. Dette er givet af komplekset ${\ displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ til {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle 0 \ til {\ mathcal {O}} (- 3) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​\\ - y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy & xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} \ til {\ mathcal {O}} _ {X} \ til 0}$

Da vi har det ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (- 4)}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet}, {\ mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ otimes {\ mathcal {O }} (4) [- 3], {\ mathcal {O}})}$

Dette er komplekset

${\ displaystyle [{\ mathcal {O}} (- 4) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy \\ xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​& -y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}$

Se også

• Verdier dualitet

Bemærkninger

Referencer

• Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Derived functors of I -adic complete and local homology", Journal of Algebra , 149 (2): 438-453, doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN  0021-8693 , MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality , Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 20–48
• Neeman, Amnon (1996), "Grothendieck-dualitetssætningen via Bousfields teknikker og Brown-repræsentabilitet", Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205-236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347 , MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Basisændring for snoet omvendt billede af sammenhængende skiver", Algebraisk geometri (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , s. 393– 408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, en algebraisk tilgang til Grothendiecks restsymbol (PDF)