Koordinatsystem - Coordinate system

Det sfæriske koordinatsystem bruges almindeligvis i fysik . Det tildeler tre tal (kendt som koordinater) til hvert punkt i det euklidiske rum: radial afstand r , polar vinkel θ ( theta ) og azimutal vinkel φ ( phi ). Symbolet ρ ( rho ) bruges ofte i stedet for r .

I geometri er et koordinatsystem et system, der bruger et eller flere tal eller koordinater til entydigt at bestemme placeringen af punkterne eller andre geometriske elementer på en manifold, såsom euklidisk rum . Koordinaternes rækkefølge er signifikant, og de identificeres undertiden ved deres position i en ordnet tupel og nogle gange ved et bogstav, som i " x -koordinaten". Koordinaterne anses for at være reelle tal i elementær matematik , men kan være komplekse tal eller elementer i et mere abstrakt system, såsom en kommutativ ring . Anvendelsen af ​​et koordinatsystem gør det muligt at oversætte problemer i geometri til problemer med tal og omvendt ; dette er grundlaget for analytisk geometri .

Fælles koordinatsystemer

Talelinje

Det enkleste eksempel på et koordinatsystem er identifikation af punkter på en linje med reelle tal ved hjælp af talelinjen . I dette system vælges et vilkårligt punkt O ( oprindelsen ) på en given linje. Koordinaten for et punkt P defineres som den underskrevne afstand fra O til P , hvor den underskrevne afstand er afstanden taget som positiv eller negativ afhængig af hvilken side af linjen P ligger. Hvert punkt får en unik koordinat, og hvert reelt tal er koordinaten for et unikt punkt.

Talelinjen

Kartesisk koordinatsystem

Det prototypiske eksempel på et koordinatsystem er det kartesiske koordinatsystem . I flyet vælges to vinkelrette linjer, og koordinaterne for et punkt betragtes som de underskrevne afstande til linjerne.

Rektangulære koordinater.svg

I tre dimensioner vælges tre indbyrdes ortogonale planer, og de tre koordinater for et punkt er de underskrevne afstande til hvert af flyene. Dette kan generaliseres for at skabe n koordinater for ethvert punkt i n -dimensionalt euklidisk rum.

Afhængigt af koordinataksenes retning og rækkefølge kan det tredimensionelle system være et højrehåndet eller et venstrehåndet system. Dette er et af mange koordinatsystemer.

Polar koordinatsystem

Et andet fælles koordinatsystem for flyet er det polære koordinatsystem . Et punkt vælges som polen, og en stråle fra dette punkt tages som polaraksen . For en given vinkel θ er der en enkelt linje gennem polen, hvis vinkel med polaraksen er θ (målt mod uret fra aksen til linjen). Så er der et unikt punkt på denne linje, hvis signerede afstand fra oprindelsen er r for givet tal r . For et givet par koordinater ( r , θ) er der et enkelt punkt, men ethvert punkt repræsenteres af mange par koordinater. For eksempel er ( r , θ), ( r , θ+2π) og ( - r , θ+π) alle polære koordinater for det samme punkt. Stangen repræsenteres af (0, θ) for enhver værdi på θ.

Cylindriske og sfæriske koordinatsystemer

Cylindrisk koordinatsystem

Der er to almindelige metoder til at udvide det polære koordinatsystem til tre dimensioner. I det cylindriske koordinatsystem tilføjes et z -koordinat med samme betydning som i kartesiske koordinater til r- og θ polære koordinater, hvilket giver en triple ( rθz ). Sfæriske koordinater tager dette et skridt videre ved at konvertere paret cylindriske koordinater ( rz ) til polære koordinater ( ρφ ), hvilket giver en tredobbelt ( ρθφ ).

Homogent koordinatsystem

Et punkt i flyet kan repræsenteres i homogene koordinater ved en triple ( xyz ), hvor x / z og y / z er punktets kartesiske koordinater. Dette introducerer en "ekstra" koordinat, da kun to er nødvendige for at angive et punkt på flyet, men dette system er nyttigt, idet det repræsenterer ethvert punkt på det projektive plan uden brug af uendelighed . Generelt er et homogent koordinatsystem et, hvor kun forholdet mellem koordinaterne er signifikante og ikke de faktiske værdier.

Andre almindeligt anvendte systemer

Nogle andre almindelige koordinatsystemer er følgende:

Der er måder at beskrive kurver uden koordinater ved hjælp af iboende ligninger, der bruger invariante størrelser som krumning og buelængde . Disse omfatter:

Koordinater for geometriske objekter

Koordinatsystemer bruges ofte til at angive positionen af ​​et punkt, men de kan også bruges til at angive positionen for mere komplekse figurer, såsom linjer, fly, cirkler eller sfærer . For eksempel bruges Plücker -koordinater til at bestemme placeringen af ​​en linje i rummet. Når der er et behov, bruges typen af ​​figur, der beskrives, til at skelne typen af ​​koordinatsystem, f.eks. Bruges udtrykket linjekoordinater til ethvert koordinatsystem, der angiver positionen for en linje.

Det kan forekomme, at koordinatsystemer for to forskellige sæt geometriske figurer er ækvivalente med hensyn til deres analyse. Et eksempel på dette er systemerne med homogene koordinater for punkter og linjer i det projektive plan. De to systemer i en sag som denne siges at være dualistiske . Dualistiske systemer har den egenskab, at resultater fra det ene system kan overføres til det andet, da disse resultater kun er forskellige fortolkninger af det samme analytiske resultat; dette er kendt som princippet om dobbelthed .

Transformationer

Fordi der ofte er mange forskellige mulige koordinatsystemer til beskrivelse af geometriske figurer, er det vigtigt at forstå, hvordan de hænger sammen. Sådanne relationer beskrives ved koordinattransformationer, der giver formler for koordinaterne i et system med hensyn til koordinaterne i et andet system. For eksempel i planet, hvis kartesiske koordinater ( xy ) og polære koordinater ( rθ ) har samme oprindelse, og polaraksen er den positive x -akse, er koordinatomdannelsen fra polære til kartesiske koordinater givet ved x  =  r  cos θ og y  =  r  sin θ .

Med hver bijection fra rummet til sig selv kan to koordinattransformationer forbindes:

  • sådan at de nye koordinater for billedet af hvert punkt er de samme som de gamle koordinater for det originale punkt (formlerne for kortlægningen er de inverse af dem for koordinattransformationen)
  • sådan at de gamle koordinater for billedet af hvert punkt er de samme som de nye koordinater for det originale punkt (formlerne for kortlægningen er de samme som for koordinatomdannelsen)

For eksempel i 1D , hvis kortlægningen er en translation af 3 til højre, flytter den første oprindelsen fra 0 til 3, så koordinaten for hvert punkt bliver 3 mindre, mens den anden flytter oprindelsen fra 0 til -3 , så koordinaten for hvert punkt bliver 3 mere.

Koordinere linjer/kurver og fly/overflader

I to dimensioner, hvis den ene af koordinaterne i et punktkoordinatsystem holdes konstant, og den anden koordinat får lov at variere, kaldes den resulterende kurve en koordinatkurve . I det kartesiske koordinatsystem er koordinatkurverne faktisk lige linjer , og dermed koordinatlinjer . Specifikt er de linjerne parallelle med en af ​​koordinataksen. For andre koordinatsystemer kan koordinatkurverne være generelle kurver. For eksempel er koordinatkurverne i polære koordinater opnået ved at holde r konstant de cirkler med centrum ved oprindelsen. Et koordinatsystem, for hvilket nogle koordinatkurver ikke er linjer, kaldes et krumlinjet koordinatsystem . Denne procedure giver ikke altid mening, for eksempel er der ingen koordinatkurver i et homogent koordinatsystem .

Koordinere overflader af de tredimensionelle paraboloidale koordinater.

I et tredimensionelt rum, hvis den ene koordinat holdes konstant, og de to andre får lov at variere, kaldes den resulterende overflade en koordinatoverflade . For eksempel er de koordinatoverflader, der opnås ved at holde ρ konstant i det sfæriske koordinatsystem, kuglerne med centrum ved oprindelsen. I det tredimensionelle rum er skæringspunktet mellem to koordinatoverflader en koordinatkurve. I det kartesiske koordinatsystem kan vi tale om koordinatplaner .

Tilsvarende er koordinatoverflader de ( n -1) -dimensionale mellemrum, der skyldes fastgørelse af en enkelt koordinat af et n -dimensionalt koordinatsystem.

Koordinere kort

Konceptet med et koordinatkort eller koordinatdiagram er centralt for teorien om mangfoldigheder. Et koordinatkort er i det væsentlige et koordinatsystem for en delmængde af et givet rum med den egenskab, at hvert punkt har nøjagtigt et sæt koordinater. Mere præcist er et koordinatkort en homeomorfisme fra et åbent delmængde af et mellemrum X til et åbent delmængde af R n . Det er ofte ikke muligt at levere et ensartet koordinatsystem for et helt rum. I dette tilfælde sammensættes en samling koordinatkort for at danne et atlas, der dækker rummet. Et rum udstyret med et sådant atlas kaldes en manifold, og yderligere struktur kan defineres på en manifold, hvis strukturen er konsistent, hvor koordinatkortene overlapper hinanden. For eksempel er en differentierbar manifold en manifold, hvor ændringen af ​​koordinater fra et koordinatkort til et andet altid er en differentierbar funktion.

Orienteringsbaserede koordinater

I geometri og kinematik bruges koordinatsystemer til at beskrive punkternes (lineære) position og vinkelpositionen for akser, fly og stive legemer . I sidstnævnte tilfælde er orienteringen af ​​et andet (typisk omtalt som "lokalt") koordinatsystem, fastgjort til noden, defineret ud fra det første (typisk omtalt som "globalt" eller "verden" -koordinatsystem). For eksempel, kan orienteringen af et stift legeme være repræsenteret ved en orientering matrix , som omfatter i sine tre kolonner, de retvinklede koordinater på tre punkter. Disse punkter bruges til at definere orienteringen af ​​akserne i det lokale system; de er spidserne på tre enhedsvektorer på linje med disse akser.

Se også

Relativistiske koordinatsystemer

Referencer

Citater

Kilder

eksterne links