Koordinat vektor - Coordinate vector

I lineær algebra er en koordinatvektor en repræsentation af en vektor som en ordnet liste over tal, der beskriver vektoren i form af et bestemt ordnet grundlag . Koordinater er altid specificeret i forhold til et bestilt grundlag. Baser og deres tilhørende koordinatrepræsentationer lader en realisere vektorrum og lineære transformationer konkret som søjlevektorer , rækkevektorer og matricer ; derfor er de nyttige i beregninger.

Ideen om en koordinatvektor kan også bruges til uendelig-dimensionelle vektorrum, som beskrevet nedenfor.

Definition

Lad V være et vektorrum af dimension n over et felt F og lad

være en ordnet grundlag for V . Så er der for hver en unik lineær kombination af basisvektorerne, der er lig v :

Den koordinat vektor af v i forhold til B er sekvensen af koordinater

Dette kaldes også repræsentation af v med hensyn til B eller B -repræsentation af v . Α-s kaldes koordinaterne for v . Rækkefølgen af ​​grundlaget bliver vigtig her, da den bestemmer den rækkefølge, som koefficienterne er angivet i koordinatvektoren.

Koordinatvektorer i endelige-dimensionelle vektorrum kan repræsenteres ved matricer som søjle- eller rækkevektorer . I ovenstående notation kan man skrive

og

hvor er gennemførelsen af matricen .

Standardrepræsentationen

Vi kan mekanisere ovennævnte transformation ved at definere en funktion , kaldet standard repræsentation af V med hensyn til B , som tager hver vektor til sin koordinere repræsentation: . Så er en lineær transformation fra V til F n . Faktisk er det en isomorfisme , og dens omvendte er ganske enkelt

Alternativt kunne vi have defineret at være ovenstående funktion fra begyndelsen, indset, at det er en isomorfisme og defineret til at være dens inverse.

Eksempler

Eksempel 1

Lad P3 være rummet for alle de algebraiske polynomer med en grad på højst 3 (dvs. den højeste eksponent for x kan være 3). Dette rum er lineært og spænder over følgende polynomier:

matchende

derefter den koordinatvektor, der svarer til polynomet

er

Ifølge denne repræsentation vil differentieringsoperatoren d / dx, som vi skal markere D , blive repræsenteret ved følgende matrix :

Ved hjælp af denne metode er det let at udforske operatørens egenskaber, såsom: inverterbarhed , hermitisk eller anti-hermitisk eller ingen af ​​dem , spektrum og egenværdier og mere.

Eksempel 2

De Pauli matricer , som repræsenterer spin- operatøren, når omdanne spin egentilstande i vektor koordinater.

Basis transformationsmatrix

Lad B og C være to forskellige baser af et vektorrum V , og lad os markerer med den matrix, der har søjler bestående af C repræsentation af basisvektorer b 1 , b 2 , ..., b n :

Denne matrix er benævnt basis transformationsmatrix fra B til C . Det kan betragtes som en automorfisme over . Enhver vektor v repræsenteret i B kan transformeres til en repræsentation i C som følger:

Under omdannelsen af ​​grundlaget skal du bemærke, at overskriften på transformationsmatricen, M og abonnementet på koordinatvektoren, v , er den samme og tilsyneladende annullerer og efterlader det resterende abonnement. Selvom dette kan tjene som hukommelseshjælp, er det vigtigt at bemærke, at ingen sådan annullering eller lignende matematisk operation finder sted.

Følgelig

Matrixen M er en invertibel matrix og M -1 er grundlaget transformationsmatrix fra C til B . Med andre ord,

Uendelige-dimensionelle vektorrum

Antag V er et uendeligt-dimensionalt vektorrum over et felt F . Hvis dimension er κ , så er der vist grundlag af K- elementer til V . Efter at en ordre er valgt, kan grundlaget betragtes som et bestilt grundlag. Elementerne i V er begrænsede lineære kombinationer af elementer i grundlaget, som giver anledning til unikke koordinatrepræsentationer nøjagtigt som beskrevet før. Den eneste ændring er, at indekseringssættet for koordinaterne ikke er begrænset. Da en given vektor v er en begrænset lineær kombination af basiselementer, vil koordinatvektorens eneste non -nul -poster være v nulkoefficienterne for den lineære kombination, der repræsenterer v . Således er koordinatvektoren for v nul undtagen i uendeligt mange poster.

De lineære transformationer mellem (muligvis) uendeligt-dimensionelle vektorrum kan modelleres analogt med det endelige-dimensionelle tilfælde med uendelige matricer . Specialtilfældet for transformationerne fra V til V er beskrevet i den fulde lineære ringartikel .

Se også

Referencer