Kovariant derivat - Covariant derivative

I matematik er kovariansderivatet en måde at specificere et derivat langs tangentvektorer af en manifold . Alternativt er kovariansderivatet en måde at indføre og arbejde med en forbindelse på en manifold ved hjælp af en differentialoperatør , der skal stå i kontrast til den tilgang, der gives af en hovedforbindelse på rammebundlen - se affine forbindelse . I det særlige tilfælde af en manifold isometrisk indlejret i et højere-dimensionelt euklidisk rum , kan det kovariante derivat ses som den ortogonale projektion af det euklidiske retningsderivat på manifoldens tangensrum. I dette tilfælde er det euklidiske derivat opdelt i to dele, den ekstrinsiske normale komponent (afhængig af indlejringen) og den iboende kovariante derivatkomponent.

Navnet er motiveret af vigtigheden af ændringer af koordinater i fysik : kovariansderivatet transformeres kovariant under en generel koordinattransformation, det vil sige lineært via transformationens jakobiske matrix .

Denne artikel præsenterer en introduktion til kovariansderivatet af et vektorfelt med hensyn til et vektorfelt, både i et koordinatfrit sprog og ved hjælp af et lokalt koordinatsystem og den traditionelle indeksnotation. Den kovariante derivat af et tensorfelt præsenteres som en forlængelse af det samme koncept. Det kovariante derivat generaliserer ligefrem til en forestilling om differentiering, der er forbundet med en forbindelse på et vektorbundt , også kendt som en Koszul -forbindelse .

Historie

Historisk set ved begyndelsen af ​​det 20. århundrede blev kovariansderivatet introduceret af Gregorio Ricci-Curbastro og Tullio Levi-Civita i teorien om Riemannian og pseudo-Riemannian geometri . Ricci og Levi-Civita (efter ideer fra Elwin Bruno Christoffel ) observerede, at Christoffelsymbolerne, der blev brugt til at definere krumningen, også kunne give et begreb om differentiering, som generaliserede det klassiske retningsafledte af vektorfelter på en manifold. Dette nye derivat- Levi-Civita-forbindelsen -var kovariant i den forstand, at det opfyldte Riemanns krav om, at objekter i geometri skulle være uafhængige af deres beskrivelse i et bestemt koordinatsystem.

Det blev hurtigt bemærket af andre matematikere, fremtrædende blandt disse var Hermann Weyl , Jan Arnoldus Schouten og Élie Cartan , at et kovariant derivat kunne defineres abstrakt uden tilstedeværelse af en metrik . Det afgørende træk var ikke en særlig afhængighed af metriket, men at Christoffel -symbolerne opfyldte en bestemt præcis andenordens transformationslov. Denne transformationslov kan tjene som udgangspunkt for at definere derivatet på en kovariant måde. Således blev teorien om kovariant differentiering fjernet fra den strengt riemanniske kontekst for at omfatte et bredere spektrum af mulige geometrier.

I 1940'erne begyndte udøvere af differential geometri at indføre andre forestillinger om kovariant differentiering i generelle vektorbundter, der i modsætning til de klassiske bundter af interesse for geometre ikke var en del af tensoranalysen af manifolden. I det store hele skulle disse generaliserede kovariante derivater specificeres ad hoc af en eller anden version af forbindelseskonceptet. I 1950 forenede Jean-Louis Koszul disse nye ideer om kovariant differentiering i et vektorgruppe ved hjælp af det, der i dag er kendt som en Koszul-forbindelse eller en forbindelse på et vektorbundt. Ved hjælp af ideer fra Lie algebra cohomology konverterede Koszul med succes mange af de analytiske træk ved kovariant differentiering til algebraiske. Især eliminerede Koszul-forbindelser behovet for akavede manipulationer af Christoffelsymboler (og andre analoge ikke- tensorale objekter) i differential geometri. Således fortrængte de hurtigt den klassiske opfattelse af kovariant derivat i mange behandlinger efter emnet efter 1950.

Motivering

Det kovariante derivat er en generalisering af det retningsbestemte derivat fra vektorberegning . Som med retningsderivatet er kovariansderivatet en regel, der tager sine input: (1) en vektor, u , defineret ved et punkt P , og (2) et vektorfelt , v , defineret i et område af P . Udgangen er vektoren , også ved punktet P . Den primære forskel fra det sædvanlige retningsderivat er, at det i en bestemt præcis forstand skal være uafhængigt af den måde, det udtrykkes i et koordinatsystem . ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}} (P)}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$

En vektor kan beskrives som en liste over tal i form af et grundlag , men som et geometrisk objekt bevarer en vektor sin egen identitet, uanset hvordan man vælger at beskrive den på et grundlag. Denne identitetens vedholdenhed afspejles i det faktum, at når en vektor skrives på ét grundlag, og derefter ændres grundlaget, transformeres vektorens komponenter i henhold til en ændring af grundformel. En sådan transformationslov er kendt som en kovariant transformation . Kovariansderivatet er påkrævet at transformere under en ændring i koordinater på samme måde som et grundlag gør: covariantderivatet skal ændre sig ved en kovariant transformation (deraf navnet).

I tilfælde af euklidisk rum har man en tendens til at definere derivatet af et vektorfelt med hensyn til forskellen mellem to vektorer på to nærliggende punkter. I et sådant system oversætter man en af ​​vektorerne til den andens oprindelse og holder den parallel. Med et kartesisk (fast orthonormalt ) koordinatsystem betyder "at holde det parallelt" at holde komponenterne konstante. Euklidisk rum giver det enkleste eksempel: et kovariantderivat, som opnås ved at tage det almindelige retningsderivat af komponenterne i forskydningsvektorens retning mellem de to nærliggende punkter.

I det generelle tilfælde skal man dog tage hensyn til ændringen af ​​koordinatsystemet. For eksempel, hvis det samme kovariansderivat er skrevet i polære koordinater i et todimensionalt euklidisk plan, så indeholder det ekstra termer, der beskriver, hvordan selve koordinatgitteret "roterer". I andre tilfælde beskriver de ekstra termer, hvordan koordinatnettet udvides, kontrakterer, vrider sig, fletter osv. I dette tilfælde betyder "at holde det parallelt" ikke at holde komponenter konstant under translation.

Overvej eksemplet om at bevæge sig langs en kurve γ ( t ) i det euklidiske plan. I polære koordinater kan γ skrives i form af dets radiale og kantede koordinater med γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )). En vektor på et bestemt tidspunkt t (f.eks. Kurvens acceleration) udtrykkes i form af , hvor og er enhedstangentvektorer for de polære koordinater, der tjener som grundlag for at nedbryde en vektor i form af radiale og tangentielle komponenter . På et lidt senere tidspunkt ser det nye grundlag i polære koordinater lidt roteret ud i forhold til det første sæt. Det kovariante derivat af basisvektorerne ( Christoffel -symbolerne ) tjener til at udtrykke denne ændring. ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta})}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ theta}}$

I et buet rum, såsom jordens overflade (betragtes som en kugle), er oversættelsen ikke veldefineret, og dens analoge, parallelle transport afhænger af den vej, langs hvilken vektoren oversættes.

En vektor e på en globus på ækvator ved punkt Q er rettet mod nord. Antag, at vi parallelt transporterer vektoren først langs ækvator, indtil den ved punkt P og derefter (holder den parallelt med sig selv) trækker den langs en meridian til polen N og (holder retningen der) efterfølgende transporterer den langs en anden meridian tilbage til Q. Derefter vi bemærker, at den paralleltransporterede vektor langs et lukket kredsløb ikke vender tilbage som den samme vektor; i stedet har den en anden orientering. Dette ville ikke ske i det euklidiske rum og er forårsaget af krumningen af jordens overflade. Den samme effekt kan bemærkes, hvis vi trækker vektoren langs en uendeligt lille lukket overflade efterfølgende langs to retninger og derefter tilbage. Den uendelige lille ændring af vektoren er et mål for krumningen.

Bemærkninger

• Definitionen af ​​det kovariante derivat bruger ikke metriket i rummet. Imidlertid er der for hver metrik et unikt torsionsfrit kovariantderivat kaldet Levi -Civita -forbindelsen, således at kovariansderivatet af metriket er nul.
• Egenskaberne for et derivat indebærer, at der afhænger af værdierne af u på et vilkårligt lille område af et punkt p på samme måde som f.eks. Derivatet af en skalarfunktion f langs en kurve ved et givet punkt p afhænger af værdierne i f i et vilkårligt lille kvarter på s .${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$
• Informationen om nærheden af ​​et punkt p i kovariansderivatet kan bruges til at definere paralleltransport af en vektor. Også krumning , vridning og geodesik kan kun defineres med hensyn til kovariansderivatet eller anden relateret variation på ideen om en lineær forbindelse .

Uformel definition ved hjælp af en indlejring i det euklidiske rum

Antag, at en åben delmængde af en -dimensionel Riemannian manifold er indlejret i euklidisk rum via en to gange kontinuerligt differentierbar (C ² ) kortlægning , så tangensrummet ved spænder over af vektorerne ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^{n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle {\ vec {\ Psi}}: \ mathbb {R} ^{d} \ supset U \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle {\ vec {\ Psi}} (p) \ i M}$

${\ displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{i}}} \ højre | _ {p}: i \ i \ lbrace 1, \ dots, d \ rbrace \ right \ rbrace}$

og skalarproduktet på er kompatibelt med metriket på M : ${\ displaystyle \ left \ langle \ cdot, \ cdot \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle g_ {ij} = \ venstre \ langle {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{i}}}, {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi }}} {\ delvis x^{j}}} \ højre \ rangle.}$

(Da den mangfoldige metrik altid antages at være regelmæssig, indebærer kompatibilitetstilstanden lineær uafhængighed af de partielle afledte tangentvektorer.)

For et tangentvektorfelt , har man ${\ displaystyle {\ vec {V}} = v^{j} {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{j}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel {\ vec {V}}} {\ delvis x^{i}}} = {\ frac {\ delvis} {\ delvis x^{i}}} \ venstre (v^ {j} {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{j}}} \ højre) = {\ frac {\ delvis v^{j}} {\ delvis x^{ i}}} {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{j}}}+v^{j} {\ frac {\ delvis^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{i} \, \ delvis x^{j}}}.}$

Det sidste udtryk er ikke tangential til M , men kan udtrykkes som en lineær kombination af tangentrumsbasisvektorerne ved hjælp af Christoffel -symbolerne som lineære faktorer plus en vektor ortogonal til tangensrummet:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x ^{i} \, \ delvis x ^{j}}} = {\ Gamma ^{k}} _ {ij} {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{k}}}+{\ vec {n}}.}$

I tilfælde af Levi-Civita-forbindelsen defineres kovariansderivatet , også skrevet , som den sædvanlige derivats ortogonale projektion på tangentrum: ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}}$${\ displaystyle \ nabla _ {i} {\ vec {V}}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}: = {\ frac {\ delvis {\ vec {V}}} {\ delvis x^{i}}} -{\ vec {n}} = \ venstre ({\ frac {\ delvis v^{k}} {\ delvis x^{i}}}+v^{j} {\ Gamma^{k}} _ { ij} \ right) {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{k}}}.}$

For at opnå forholdet mellem Christoffel-symboler for Levi-Civita-forbindelsen og metriket, skal vi først bemærke, at da i tidligere ligning er ortogonal til tangensrum: ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partiell^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{i} \, \ delvis x^{j}}}, {\ frac { \ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x ^{l}}} \ højre \ rangle = \ venstre \ langle {\ Gamma ^{k}} _ {ij} {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{k}}}+{\ vec {n}}, {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{l}} } \ højre \ rangle = {\ Gamma ^{k}} _ {ij} \ venstre \ langle {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x ^{k}}}, {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x ^{l}}} \ højre \ rangle = {\ Gamma ^{k}} _ {ij} \, g_ {kl}.}$

For det andet er den partielle derivat af en komponent i metricen:

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis g_ {ab}} {\ delvis x^{c}}} = {\ frac {\ partiel} {\ delvis x^{c}}} \ venstre \ langle {\ frac { \ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{a}}}, {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{b}}} \ højre \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partiell^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{c} \, \ delvis x^{a}}}, {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{b}}} \ højre \ rangle +\ venstre \ langle {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{ a}}}, {\ frac {\ delvis^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{c} \, \ delvis x^{b}}} \ højre \ rangle}$

indebærer for et grundlag , ved hjælp af skalarproduktets symmetri og bytte rækkefølgen af ​​delvise differentieringer: ${\ displaystyle x^{i}, x^{j}, x^{k}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ delvis g_ {jk}} {\ delvis x^{i}}} \\ {\ frac {\ delvis g_ {ki}} {\ delvis x^{j }}} \\ {\ frac {\ delvis g_ {ij}} {\ delvis x^{k}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} \ venstre \ langle {\ frac {\ partiel {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x ^{i}}}, {\ frac {\ delvis ^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{j} \, \ delvis x^{k}}} \ højre \ rangle \\\ venstre \ langle {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}} } {\ delvis x^{j}}}, {\ frac {\ delvis^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{k} \, \ delvis x^{i}}} \ højre \ rangle \\\ venstre \ langle {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x ^{k}}}, {\ frac {\ delvis ^{2} {\ vec { \ Psi}}} {\ delvis x^{i} \, \ delvis x^{j}}} \ højre \ rangle \ end {pmatrix}}}$

tilføjer første række til anden og trækker den tredje fra:

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis g_ {jk}} {\ delvis x^{i}}}+{\ frac {\ delvis g_ {ki}} {\ delvis x^{j}}}-{\ frac {\ delvis g_ {ij}} {\ delvis x^{k}}} = 2 \ venstre \ langle {\ frac {\ delvis {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{k}}}, {\ frac {\ delvis^{2} {\ vec {\ Psi}}} {\ delvis x^{i} \, \ delvis x^{j}}} \ højre \ rangle}$

og giver Christoffel-symbolerne for Levi-Civita-forbindelsen med hensyn til metriket:

${\ displaystyle g_ {kl} {\ Gamma ^{k}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ delvis g_ {jl}} {\ delvis x ^{ i}}}+{\ frac {\ delvis g_ {li}} {\ delvis x^{j}}}-{\ frac {\ delvis g_ {ij}} {\ delvis x^{l}}} \ højre ).}$

For et meget enkelt eksempel, der fanger essensen af ​​beskrivelsen ovenfor, tegner du en cirkel på et fladt ark papir. Kør rundt i cirklen med en konstant hastighed. Derivatet af din hastighed, din accelerationsvektor, peger altid radialt indad. Rul dette ark papir til en cylinder. Nu har det (euklidiske) derivat af din hastighed en komponent, der nogle gange peger indad mod cylinderens akse, afhængigt af om du er i nærheden af ​​en solhverv eller en jævndøgn. (På cirkelpunktet, når du bevæger dig parallelt med aksen, er der ingen indadgående acceleration. Omvendt på et punkt (1/4 af en cirkel senere), hvor hastigheden er langs cylinderens bøjning, er den indadgående acceleration maksimal .) Dette er den (euklidiske) normale komponent. Den kovariante derivatkomponent er komponenten parallelt med cylinderens overflade og er den samme som før du rullede arket til en cylinder.

Formel definition

Et kovariant derivat er en (Koszul) forbindelse på tangentbundtet og andre tensorbundter : det differentierer vektorfelter på en måde analog med den sædvanlige differential på funktioner. Definitionen strækker sig til en differentiering af dualerne i vektorfelter (dvs. covektorfelter ) og til vilkårlige tensorfelter på en unik måde, der sikrer kompatibilitet med tensorproduktet og sporoperationer ( tensorkontraktion ).

Funktioner

I betragtning af et punkt i manifolden , en reel funktion på manifolden og en tangentvektor , er kovariansderivatet af f at p langs v skalaren på p , angivet , der repræsenterer hoveddelen af ændringen i værdien af f, når argumentet for f ændres af den uendelige forskydningsvektor v . (Dette er differencen af f vurderet i forhold til vektoren v .) Formelt er der en differentierbar kurve, således at og , og kovariantderivatet af f at p er defineret af ${\ displaystyle p \ i M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ i T_ {p} M}$${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$${\ displaystyle \ phi: [-1,1] \ til M}$${\ displaystyle \ phi (0) = p}$${\ displaystyle \ phi '(0) = \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} = \ left (f \ circ \ phi \ right) '\ left (0 \ right) = \ lim _ {t \ til 0} {\ frac {f \ venstre [\ phi \ venstre (t \ højre) \ højre] -f \ venstre [p \ højre]} {t}}.}$

Når er et vektorfelt aktiveret , er kovariansderivatet den funktion, der forbinder med hvert punkt p i det fælles domæne f og v skalaren . Dette falder sammen med det sædvanlige Lie -derivat af f langs vektorfeltet v . ${\ displaystyle \ mathbf {v}: M \ rightarrow T_ {p} M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$

Vektorfelter

I betragtning af et punkt på manifolden , et vektorfelt defineret i et område af p og en tangentvektor , er kovariansderivatet af u at p langs v tangentvektoren ved p , angivet , således at følgende egenskaber holder (for enhver tangentvektor v , x og y ved p , vektorfelter u og w defineret i et område af p , skalarværdier g og h ved p , og skalarfunktion f defineret i et område af p ): ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbf {u}: M \ rightarrow T_ {p} M}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ i T_ {p} M}$${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$

1. ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$er lineær i så ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

   ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {g \ mathbf {x} +h \ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {x}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} g+\ left (\ nabla _ {\ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} h}$

2. ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$er additiv i så: ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

   ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ mathbf {u} +\ mathbf {w} \ right] \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}+\ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} \ right) _ {p}}$

3. ${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$adlyder produkt regel ; dvs. hvor er defineret ovenfor, ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f}$

   ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [f \ mathbf {u} \ right] \ right) _ {p} = f (p) \ left (\ nabla _ {\ mathbf { v}} \ mathbf {u}) _ {p}+(\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} \ mathbf {u} _ {p}}$.

Bemærk, at det ikke kun afhænger af værdien af u ved p, men også af værdierne af u i et uendeligt lille kvarter af p på grund af den sidste egenskab, produktreglen. ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$

Hvis u og v begge er vektorfelter defineret over et fælles domæne, betegner det vektorfeltet, hvis værdi ved hvert punkt p i domænet er tangentvektoren . ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$

Covector felter

I betragtning af et felt af kovektorer (eller en-form ) defineret i et område af p , er dets kovariante derivat defineret på en måde til at gøre den resulterende operation kompatibel med tensorkontraktion og produktreglen. Det vil sige, er defineret som den unikke enform ved p, således at følgende identitet opfyldes for alle vektorfelter u i et område af p${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha \ right) _ {p} \ left (\ mathbf {u} _ {p} \ right) = \ nabla _ {\ mathbf {v} } \ venstre [\ alpha \ venstre (\ mathbf {u} \ højre) \ højre] _ {p}-\ alpha _ {p} \ venstre [\ venstre (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p} \ right].}$

Det kovariante derivat af et covektorfelt langs et vektorfelt v er igen et covektorfelt.

Tensor felter

Når kovariansderivatet er defineret for felter af vektorer og kovektorer, kan det defineres for vilkårlige tensorfelter ved at pålægge følgende identiteter for hvert par tensorfelter og i et område ved punktet p : ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left (\ varphi \ otimes \ psi \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi \ right) _ { p} \ otimes \ psi (p)+\ varphi (p) \ otimes \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi \ right) _ {p},}$

og for og af samme valens ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (\ varphi +\ psi) _ {p} = (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi) _ {p} +(\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi) _ {p}.}$

Kovariansderivatet af et tensorfelt langs et vektorfelt v er igen et tensorfelt af samme type.

Lad eksplicit eksplicit T være et tensorfelt af typen ( p , q ) . Betragt T som et differentieret flerlinjet kort over glatte sektioner α ¹ , α ² ,…, α ^q for cotangent -bundtet T ^∗ M og afsnit X ₁ , X ₂ ,…, X _p af tangentbundtet TM , skrevet T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) i R . Det kovariante derivat af T langs Y er givet ved formlen

${\ displaystyle {\ begin {align} (\ nabla _ {Y} T) \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ højre) = & {} Y \ venstre (T \ venstre (\ alfa _ {1}, \ alfa _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ højre) \ højre) \\ & {}-T \ venstre (\ nabla _ {Y} \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ venstre (\ alpha _ {1}, \ nabla _ {Y} \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right)-\ cdots \\ & {}- T \ venstre (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ nabla _ {Y} X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, \ nabla _ {Y} X_ {2}, \ ldots \ right)-\ cdots \ end {align}}}$

Koordinat beskrivelse

Givet koordinatfunktioner

${\ displaystyle x^{i}, \ i = 0,1,2, \ prikker,}$

enhver tangentvektor kan beskrives ved hjælp af dens komponenter i grundlaget

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ partial} {\ delvis x^{i}}}.}$

Det kovariante derivat af en basisvektor langs en basisvektor er igen en vektor og kan således udtrykkes som en lineær kombination . For at angive kovariansderivatet er det nok at angive kovariansderivatet for hvert basisvektorfelt langs . ${\ displaystyle \ Gamma ^{k} \ mathbf {e} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} = {\ Gamma ^{k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k},}$

koefficienterne er forbindelsens komponenter med hensyn til et system med lokale koordinater. I teorien om Riemannian og pseudo-Riemannian manifolds kaldes komponenterne i Levi-Civita-forbindelsen med hensyn til et system af lokale koordinater Christoffelsymboler . ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij}^{k}}$

Ved derefter at bruge reglerne i definitionen finder vi det for generelle vektorfelter, og vi får ${\ displaystyle \ mathbf {v} = v^{j} \ mathbf {e} _ {j}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = u^{i} \ mathbf {e} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} & = \ nabla _ {v^{j} \ mathbf {e} _ {j}} u^{i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v^{j} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u^{i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v^{j} u^{i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i}+v^{j} \ mathbf {e} _ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u^{i} \\ & = v^{j} u^{i} {\ Gamma^{k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ { k}+v^{j} {\ delvis u^{i} \ over \ delvis x^{j}} \ mathbf {e} _ {i} \ end {justeret}}}$

så

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ left (v^{j} u^{i} {\ Gamma^{k}} _ {ij}+v^{j} {\ delvis u^{k} \ over \ delvis x^{j}} \ højre) \ mathbf {e} _ {k}.}$

Det første udtryk i denne formel er ansvarlig for "vridning" af koordinatsystemet med hensyn til kovariansderivatet og det andet for ændringer af komponenter i vektorfeltet u . I særdeleshed

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {j} \ mathbf {u} = \ venstre ({\ frac {\ delvis u^{i}} {\ delvis x^{j}}}+u^{k} {\ Gamma^{i}} _ {kj} \ right) \ mathbf {e} _ {i}}$

Med ord: kovariansderivatet er det sædvanlige derivat langs koordinaterne med korrektionstermer, der fortæller, hvordan koordinaterne ændres.

Til covectors på samme måde har vi

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} {\ mathbf {\ theta}} = \ venstre ({\ frac {\ partiel \ theta _ {i}} {\ delvis x^{j} }}-\ theta _ {k} {\ Gamma ^{k}} _ {ij} \ right) {\ mathbf {e} ^{*}} ^{i}}$

hvor . ${\ displaystyle {\ mathbf {e} ^{*}} ^{i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ delta ^{i}} _ {j}}$

Kovariansderivatet af et type ( r , s ) tensorfelt langs er givet ved udtrykket: ${\ displaystyle e_ {c}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {(\ nabla _ {e_ {c}} T)^{a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} = {} & {\ frac {\ partial} {\ delvis x^{c}}} {T^{a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \ \ &+\, {\ Gamma ^{a_ {1}}} _ {dc} {T ^{da_ {2} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}+ \ cdots +{\ Gamma ^{a_ {r}}} _ {dc} {T ^{a_ {1} \ ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \\ &-\, {\ Gamma ^{d}} _ {b_ {1} c} {T ^{a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} \ ldots b_ {s} }-\ cdots-{\ Gamma ^{d}} _ {b_ {s} c} {T ^{a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1 } d}. \ end {align}}}$

Eller med ord: tag den partielle derivat af tensoren og tilføj: for hvert øvre indeks og for hvert lavere indeks . ${\ displaystyle +{\ Gamma ^{a_ {i}}} _ {dc}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle -{\ Gamma ^{d}} _ {b_ {i} c}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

Hvis man i stedet for en tensor forsøger at differentiere en tensortæthed (med vægt +1), tilføjer man også et udtryk

${\ displaystyle -{\ Gamma ^{d}} _ {dc} {T ^{a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}.}$

Hvis det er en tensor densitet på vægt W , derefter gange dette begreb af W . For eksempel er en skalartæthed (med vægt +1), så vi får: ${\ textstyle {\ sqrt {-g}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {; c} = \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {, c}-{\ sqrt {-g} } \, {\ Gamma ^{d}} _ {dc}}$

hvor semikolon ";" angiver kovariant differentiering og komma "," angiver delvis differentiering. I øvrigt er dette særlige udtryk lig med nul, fordi kovariansderivatet af en funktion udelukkende af metriket altid er nul.

Notation

I lærebøger om fysik er det kovariante derivat undertiden ganske enkelt angivet med hensyn til dets komponenter i denne ligning.

Ofte bruges en notation, hvor det kovariante derivat er givet med et semikolon , mens et normalt parti -derivat er angivet med et komma . I denne notation skriver vi det samme som:

${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v^{s}} _ {; j} \ mathbf {e} _ {s} \; \; \; \; \; \; {v^{i}} _ {; j} = {v^{i}} _ {, j}+v^{k} {\ Gamma ^{i}} _ {kj}}$

I tilfælde af to eller flere indekser efter semikolonet, skal alle dem forstås som kovariante derivater:

${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {k}} \ venstre (\ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ right) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^{s}} _ {; kj} \ mathbf {e} _ {s}}$

I nogle ældre tekster (især Adler, Bazin & Schiffer, Introduction to General Relativity ) betegnes kovariantderivatet med et dobbeltrør og delderivatet med et enkelt rør:

${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v^{i}} _ {|| j} = {v^ {i}} _ {| j}+v ^{k} {\ Gamma ^{i}} _ {kj}}$

Kovariant derivat efter felttype

For et skalarfelt er kovariant differentiering simpelthen delvis differentiering: ${\ displaystyle \ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle \ displaystyle \ phi _ {; a} \ equiv \ delvis _ {a} \ phi}$

For et kontravariant vektorfelt har vi: ${\ displaystyle \ lambda ^{a} \,}$

${\ displaystyle {\ lambda ^{a}} _ {; b} \ equiv \ partial _ {b} \ lambda ^{a}+{\ Gamma ^{a}} _ {bc} \ lambda ^{c}}$

For et kovariant vektorfelt har vi: ${\ displaystyle \ lambda _ {a} \,}$

${\ displaystyle \ lambda _ {a; c} \ equiv \ partial _ {c} \ lambda _ {a}-{\ Gamma ^{b}} _ {ca} \ lambda _ {b}}$

For et type (2,0) tensorfelt har vi: ${\ displaystyle \ tau ^{ab} \,}$

${\ displaystyle {\ tau ^{ab}} _ {; c} \ equiv \ delvis _ {c} \ tau ^{ab}+{\ Gamma ^{a}} _ {cd} \ tau ^{db}+ {\ Gamma ^{b}} _ {cd} \ tau ^{annonce}}$

For et type (0,2) tensorfelt har vi: ${\ displaystyle \ tau _ {ab} \,}$

${\ displaystyle \ tau _ {ab; c} \ equiv \ partial _ {c} \ tau _ {ab}-{\ Gamma ^{d}} _ {ca} \ tau _ {db}-{\ Gamma ^{ d}} _ {cb} \ tau _ {annonce}}$

For et type (1,1) tensorfelt har vi: ${\ displaystyle {\ tau ^{a}} _ {b} \,}$

${\ displaystyle {\ tau ^{a}} _ {b; c} \ equiv \ partial _ {c} {\ tau ^{a}} _ {b}+{\ Gamma ^{a}} _ {cd} {\ tau ^{d}} _ {b}-{\ Gamma ^{d}} _ {cb} {\ tau ^{a}} _ {d}}$

Notationen ovenfor er ment i den forstand

${\ displaystyle {\ tau ^{ab}} _ {; c} \ equiv \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {c}} \ tau \ right) ^{ab}}$

Ejendomme

Generelt pendler kovariante derivater ikke. Eksempelvis de kovariante derivater af vektorfelt . Riemann tensor er defineret således, at: ${\ displaystyle \ lambda _ {a; bc} \ neq \ lambda _ {a; cb} \,}$ ${\ displaystyle {R^{d}} _ {abc} \,}$

${\ displaystyle \ lambda _ {a; bc}-\ lambda _ {a; cb} = {R^{d}} _ {abc} \ lambda _ {d}}$

eller tilsvarende

${\ displaystyle {\ lambda ^{a}} _ {; bc}-{\ lambda ^{a}} _ {; cb} =-{R ^{a}} _ {dbc} \ lambda ^{d}}$

Kovariantderivatet af et (2,1) -tensorfelt opfylder:

${\ displaystyle {\ tau ^{ab}} _ {; cd}-{\ tau ^{ab}} _ {; dc} =-{R ^{a}} _ {ecd} \ tau ^{eb}- {R ^{b}} _ {ecd} \ tau ^{ae}}$

Sidstnævnte kan vises ved at tage (uden tab af generalitet) det . ${\ displaystyle \ tau ^{ab} = \ lambda ^{a} \ mu ^{b} \,}$

Afledt langs en kurve

Da covariant derivat af en tensor felt i et punkt kun afhænger af værdien af vektorfelt ved man kan definere covariant derivat langs en jævn kurve i en manifold: ${\ displaystyle \ nabla _ {X} T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$

${\ displaystyle D_ {t} T = \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} T.}$

Bemærk, at tensorfeltet kun skal defineres på kurven, for at denne definition giver mening. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$

Især er et vektorfelt langs selve kurven . Hvis den forsvinder, kaldes kurven en geodesik for kovariansderivatet. Hvis kovariansderivatet er Levi-Civita-forbindelsen til en positiv-bestemt metrisk, er geodesikken for forbindelsen netop geodesien for metriken, der parametreres af buelængde . ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t)}$

Derivatet langs en kurve bruges også til at definere paralleltransporten langs kurven.

Nogle gange kaldes det kovariante derivat langs en kurve absolut eller iboende derivat .

Forholdet til Lie -derivatet

Et kovariant derivat introducerer en ekstra geometrisk struktur på en manifold, der gør det muligt at sammenligne vektorer i tilstødende tangentrum: der er ingen kanonisk måde at sammenligne vektorer fra forskellige tangentrum, fordi der ikke er noget kanonisk koordinatsystem.

Der er imidlertid en anden generalisering af retningsderivater, som er kanonisk: Lie -derivatet , som evaluerer ændringen af ​​et vektorfelt langs strømmen af ​​et andet vektorfelt. Således skal man kende begge vektorfelter i et åbent kvarter, ikke kun på et enkelt punkt. Kovariansderivatet på den anden side introducerer sin egen ændring for vektorer i en given retning, og det afhænger kun af vektorretningen på et enkelt punkt, snarere end et vektorfelt i et åbent kvarter ved et punkt. Med andre ord er kovariansderivatet lineært (over C ^∞ ( M )) i retningsargumentet, mens Lie -derivatet er lineært i ingen af ​​argumenterne.

Bemærk, at det antisymmetrized covariant derivat ∇ _u v - ∇ _v u , og Lie derivat L _u v adskiller sig ved vridning af forbindelsen , således at hvis en forbindelse er torsion frigøre, så dens antisymmetrization er den Lie derivat.

Se også

Noter

Referencer

• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry , bind. 1 (Ny red.). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.
• I.Kh. Sabitov (2001) [1994], "Covariant differentiering" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Sternberg, Shlomo (1964). Foredrag om differential geometri . Prentice-Hall.
• Spivak, Michael (1999). En omfattende introduktion til differential geometri (bind to) . Udgiv eller Perish, Inc.