Kurvlinære koordinater - Curvilinear coordinates

Fra Wikipedia, den gratis encyklopædi

Kurvlinære (øverste), affine (højre) og kartesiske (venstre) koordinater i to-dimensionelt rum

I geometri er kurvlinære koordinater et koordinatsystem for det euklidiske rum , hvor koordinatlinjerne kan være buede. Disse koordinater kan afledes fra et sæt kartesiske koordinater ved hjælp af en transformation, der er lokalt inverterbar (et en-til-et-kort) på hvert punkt. Dette betyder, at man kan konvertere et punkt, der er givet i et kartesisk koordinatsystem, til dets kurvlinære koordinater og tilbage. Navnet kurvlinære koordinater , opfundet af den franske matematiker Lamé , stammer fra det faktum, at koordinatoverfladerne på de krumlinjære systemer er buede.

Velkendte eksempler på krum koordinatsystemer i tredimensionale euklidisk rum ( R 3 ) er cylindriske og sfæriske koordinater. En kartesisk koordinatoverflade i dette rum er et koordinatplan ; for eksempel definerer z = 0 x - y- planet. I samme rum er koordinatoverfladen r = 1 i sfæriske koordinater overfladen på en enhedsfære , som er buet. Formalismen af ​​krumlinjære koordinater giver en samlet og generel beskrivelse af standardkoordinatsystemerne.

Kurvlinære koordinater bruges ofte til at definere placeringen eller fordelingen af ​​fysiske størrelser, som for eksempel kan være skalarer , vektorer eller tensorer . Matematiske udtryk, der involverer disse størrelser i vektorberegning og tensoranalyse (såsom gradient , divergens , krølle og laplacian ) kan omdannes fra et koordinatsystem til et andet ifølge transformationsregler for skalarer, vektorer og tensorer. Sådanne udtryk bliver derefter gyldige for ethvert krumlinjært koordinatsystem.

Et krumlinjært koordinatsystem kan være enklere at bruge end det kartesiske koordinatsystem til nogle applikationer. Bevægelse af partikler under indflydelse af centrale kræfter er normalt lettere at løse i sfæriske koordinater end i kartesiske koordinater; dette er sandt for mange fysiske problemer med sfærisk symmetri defineret i R 3 . Ligninger med randbetingelser, der følger koordinatoverflader for et bestemt krumlinjært koordinatsystem, kan være lettere at løse i det system. Mens man kan beskrive bevægelsen af ​​en partikel i en rektangulær kasse ved hjælp af kartesiske koordinater, er bevægelsen i en sfære lettere med sfæriske koordinater. Sfæriske koordinater er de mest almindelige kurvlinære koordinatsystemer og bruges inden for jordvidenskab , kartografi , kvantemekanik , relativitet og teknik .

Ortogonale kurvlinære koordinater i 3 dimensioner

Koordinater, basis og vektorer

Fig. 1 - Koordinatoverflader, koordinatlinjer og koordinatakser med generelle kurvlinære koordinater.
Fig. 2 - Koordinatoverflader, koordinatlinjer og koordinatakser af sfæriske koordinater. Overflader: r - kugler, θ - kegler, φ - halvplan; Linjer: r - lige bjælker, θ - lodrette halvcirkler, φ - vandrette cirkler; Akser: r - lige bjælker, θ - tangenter til lodrette halvcirkler, φ - tangenter til vandrette cirkler

Overvej for nu 3D-plads . Et punkt P i 3d-rum (eller dets positionsvektor r ) kan defineres ved hjælp af kartesiske koordinater ( x , y , z ) [ækvivalent skrevet ( x 1 , x 2 , x 3 )], ved , hvor e x , e y , e z er de faste basis vektorer .

Det kan også defineres ved dets krumlinjære koordinater ( q 1 , q 2 , q 3 ), hvis denne triplet af tal definerer et enkelt punkt på en entydig måde. Forholdet mellem koordinaterne gives derefter af de inverterbare transformationsfunktioner:

Overfladerne q 1 = konstant, q 2 = konstant, q 3 = konstant kaldes koordinatoverfladerne ; og rumkurverne dannet af deres skæringspunkt parvis kaldes koordinatkurverne . De koordinatakserne bestemmes af de tangenter til koordinatsystemet kurverne i skæringspunktet mellem tre overflader. De er ikke i generelle faste retninger i rummet, hvilket tilfældigvis er tilfældet med enkle kartesiske koordinater, og der er således generelt ikke noget naturligt globalt grundlag for krøllede koordinater.

I det kartesiske system kan standardbasisvektorerne udledes fra derivatet af placeringen af ​​punkt P med hensyn til den lokale koordinat

Anvendelse af de samme derivater på det krumme linie lokalt ved punkt P definerer de naturlige basisvektorer:

Et sådant grundlag, hvis vektorer ændrer deres retning og / eller størrelse fra punkt til punkt kaldes en lokal basis . Alle baser associeret med krumlinjære koordinater er nødvendigvis lokale. Basisvektorer, der er de samme på alle punkter, er globale baser og kan kun associeres med lineære eller affine koordinatsystemer .

For denne artikel er e reserveret til standardbasis (kartesisk), og h eller b er til krumlinjær basis.

Disse har muligvis ikke enhedslængde og er muligvis ikke retvinklede. I tilfælde af at de er ortogonale på alle punkter, hvor derivaterne er veldefinerede, definerer vi Lamé-koefficienterne (efter Gabriel Lamé ) ved

og de krumlinjære ortonormale basisvektorer af

Disse basisvektorer kan meget vel afhænge af P 's position ; det er derfor nødvendigt, at de ikke antages at være konstante over en region. (De danner teknisk basis for tangentbundtet med at P , og er så lokale for P. )

Generelt tillader kurvlinære koordinater, at de naturlige basisvektorer h i ikke alle er gensidigt vinkelrette på hinanden og ikke kræves at have enhedslængde: de kan være af vilkårlig størrelse og retning. Brugen af ​​en ortogonal basis gør vektormanipulationer enklere end for ikke-ortogonal. Imidlertid kræver nogle områder inden for fysik og teknik , især væskemekanik og kontinuummekanik , ikke-ortogonale baser for at beskrive deformationer og væsketransport for at tage højde for komplicerede retningsafhængigheder af fysiske størrelser. En diskussion af den generelle sag vises senere på denne side.

Vector beregning

Differentielle elementer

I ortogonale krumlinjære koordinater, da den samlede differentielle ændring i r er

så skalafaktorer er

I ikke-ortogonale koordinater er længden af den positive kvadratrod af (med Einstein summationskonvention ). De seks uafhængige skalarprodukter g ij = h i . h j af de naturlige basisvektorer generaliserer de tre skalafaktorer defineret ovenfor for ortogonale koordinater. De ni g ij er komponenterne i den metriske tensor , som kun har tre komponenter, der ikke er nul i ortogonale koordinater: g 11 = h 1 h 1 , g 22 = h 2 h 2 , g 33 = h 3 h 3 .

Kovariant og kontravariant baser

En vektor v ( rød ) repræsenteret af • en vektorbasis ( gul , venstre: e 1 , e 2 , e 3 ), tangentvektorer til at koordinere kurver ( sort ) og • en covector-basis eller cobase ( blå , højre: e 1 , e 2 , e 3 ), normale vektorer til at koordinere overflader ( grå ) i almindelighed (ikke nødvendigvis ortogonale ) krøllede koordinater ( q 1 , q 2 , q 3 ). Grundlaget og cobasis falder ikke sammen, medmindre koordinatsystemet er ortogonalt.

Rumlige gradienter, afstande, tidsderivater og skalafaktorer er indbyrdes forbundne i et koordinatsystem af to grupper af basisvektorer:

  1. basisvektorer, der er lokalt tangent til deres tilknyttede koordinatsti:
    som transformeres som kovariante vektorer (betegnet med sænkede indekser), eller
  2. basisvektorer, der er lokalt normale for isosurface oprettet af de andre koordinater:
    hvilke transformationer som kontravariant vektorer (angivet med hævede indeks), ∇ er den del operatør .

Derfor har et generelt krumlinjært koordinatsystem to sæt basisvektorer for hvert punkt: { b 1 , b 2 , b 3 } er det kovariante basis, og { b 1 , b 2 , b 3 } er kontravariant (aka reciprok) basis. De kovariante og kontravariant basisvektortyper har identisk retning for ortogonale krumlinjære koordinatsystemer, men har som sædvanligvis inverterede enheder i forhold til hinanden.

Bemærk følgende vigtige lighed:

hvor betegner det generaliserede Kronecker-delta .

En vektor v kan specificeres i termer enten af ​​basis, dvs.

Ved hjælp af Einstein-summeringskonventionen relaterer basisvektorerne til komponenterne ved

og

hvor g er den metriske tensor (se nedenfor).

En vektor kan specificeres med covariante koordinater (sænkede indeks, skrevet v k ) eller kontravariant koordinater (hævede indeks, skrevet v k ). Fra de ovennævnte vektorsummer kan det ses, at kontravariantkoordinater er associeret med covariante basisvektorer, og covariantkoordinater er associeret med kontravariant basisvektorer.

Et nøglefunktion ved repræsentationen af ​​vektorer og tensorer med hensyn til indekserede komponenter og basisvektorer er invarians i den forstand, at vektorkomponenter, der transformerer på en covariant måde (eller kontravariant), er parret med basisvektorer, der transformerer kontravariant (eller kovariant måde).

Integration

At konstruere et covariant grundlag i en dimension

Fig. 3 - Transformation af lokal covariant basis i tilfælde af generelle krumlinjære koordinater

Overvej den endimensionelle kurve, der er vist i fig. 3. Ved punkt P , taget som en oprindelse , er x en af ​​de kartesiske koordinater, og q 1 er en af ​​de krumlinjære koordinater. Den lokale (ikke-enhed) basis vektor er b 1 (noteret h 1 ovenfor, med b forbeholdt enhedsvektorer), og det er bygget på q 1 akse, der er en tangent til at koordinere linje ved punktet P . Aksen q 1 , og således vektoren b 1 , danner en vinkel med det kartesiske x -aksen og den kartesiske basisvektor e 1 .

Det kan ses fra trekanten PAB, at

hvor | e 1 |, | b 1 | er størrelsen af ​​de to basisvektorer, dvs. den skalære aflytning PB og PA . PA er også projektionen af b 1 x- aksen.

Denne metode til basisvektortransformationer under anvendelse af retningsbestemte cosinus er imidlertid ikke anvendelig på krumlinjære koordinater af følgende grunde:

  1. Ved at øge afstanden fra P afviger vinklen mellem den buede linje q 1 og den kartesiske akse x i stigende grad fra .
  2. På afstanden PB er den sande vinkel den, som tangenten ved punkt C danner med x- aksen, og sidstnævnte vinkel er klart forskellig fra .

Vinklerne, at q 1 linje, og at aksen formular med x -aksen bliver tættere i værdi de tættere man bevæger sig mod punkt P og bliver nøjagtigt ens ved P .

Lad punkt E være placeret meget tæt på P , så tæt at afstanden PE er uendelig lille. Derefter falder PE målt på q 1- aksen næsten sammen med PE målt på q 1- linjen. Samtidig bliver forholdet PD / PE ( PD er projektionen af PE x- aksen) næsten nøjagtigt lig med .

Lad de uendeligt små aflytter PD og PE mærkes henholdsvis som dx og d q 1 . Derefter

.

Således kan de retningsbestemte cosinus erstattes i transformationer med de mere nøjagtige forhold mellem uendeligt små koordinataflytninger. Det følger heraf, at komponenten (projektion) af b 1 x- aksen er

.

Hvis q i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) og x i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) er glatte (kontinuerligt differentierbare) funktioner, kan transformationsforholdene skrives som og . Det vil sige, disse forhold er delvise afledte af koordinater, der tilhører det ene system i forhold til koordinater, der tilhører det andet system.

Opbygning af et covariant grundlag i tre dimensioner

Ved at gøre det samme for koordinaterne i de andre 2 dimensioner kan b 1 udtrykkes som:

Lignende ligninger holder for b 2 og b 3, så standardbasis { e 1 , e 2 , e 3 } transformeres til en lokal (ordnet og normaliseret ) basis { b 1 , b 2 , b 3 } af følgende system af ligninger:

Ved analog begrundelse kan man opnå den omvendte transformation fra lokal basis til standardbasis:

Jacobianske transformation

Ovennævnte systemer med lineære ligninger kan skrives i matrixform ved anvendelse af Einstein-summeringskonventionen som

.

Denne koefficientmatrix for det lineære system er den Jacobianske matrix (og dens inverse) af transformationen. Dette er ligningerne, der kan bruges til at omdanne en kartesisk basis til en krumlinjær basis og omvendt.

I tre dimensioner er de udvidede former for disse matricer

I den omvendte transformation (andet ligningssystem) er de ukendte krumlinjære basisvektorer. For enhver specifik placering kan der kun eksistere et og kun et sæt basisvektorer (ellers er grundlaget ikke veldefineret på det tidspunkt). Denne betingelse er opfyldt, hvis og kun hvis ligningssystemet har en enkelt løsning. I lineær algebra har et lineært ligningssystem kun en enkelt løsning (ikke-triviel), hvis determinanten for dets systemmatrix er ikke-nul:

som viser begrundelsen bag ovenstående krav vedrørende den omvendte Jacobianske determinant.

Generalisering til n dimensioner

Formalismen strækker sig til enhver begrænset dimension som følger.

Overvej det rigtige euklidiske n- dimensionelle rum, det vil sige R n = R × R × ... × R ( n gange) hvor R er sættet med reelle tal og × betegner det kartesiske produkt , som er et vektorrum .

De koordinater i dette rum kan betegnes ved: x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ). Da dette er en vektor (et element i vektorrummet), kan den skrives som:

hvor e 1 = (1,0,0 ..., 0), e 2 = (0,1,0 ..., 0), e 3 = (0,0,1 ..., 0) ,. .., e n = (0,0,0 ..., 1) er den standard basis sæt af vektorer for rummet R n , og jeg = 1, 2, ... n er et indeks mærkning komponenter. Hver vektor har nøjagtigt en komponent i hver dimension (eller "akse"), og de er indbyrdes ortogonale ( vinkelrette ) og normaliserede (har enhedsstørrelse ).

Mere generelt kan vi definere basisvektorer b jeg så de er afhængige af q = ( q 1 , q 2 , ..., q n ), dvs. de skifter fra punkt til punkt: b i = b i ( q ). I hvilket tilfælde at definere det samme punkt x med hensyn til dette alternative grundlag: koordinaterne i forhold til dette grundlag v i afhænger også nødvendigvis af x også, det vil sige v i = v i ( x ). Derefter kan en vektor v i dette rum, i forhold til disse alternative koordinater og basisvektorer, udvides som en lineær kombination på dette grundlag (hvilket simpelthen betyder at multiplicere hver basisvektor e i med et tal v i - skalær multiplikation ):

Vektorsummen, der beskriver v i det nye grundlag, er sammensat af forskellige vektorer, selvom summen i sig selv forbliver den samme.

Transformation af koordinater

Fra en mere generel og abstrakt perspektiv, en krum koordinatsystem er simpelthen en koordinat plaster differentiable manifold E n (n-dimensionale euklidisk rum ), som er diffeomorf til kartesiske koordinere plaster på manifolden. To diffeomorfe koordinatplaster på en differentieringsmanifold behøver ikke at overlappe forskelligt. Med denne enkle definition af et krumlinjært koordinatsystem er alle nedenstående resultater simpelthen anvendelser af standardteoremer i differentiel topologi .

Transformationsfunktionerne er sådan, at der er en en-til-en-forbindelse mellem punkter i de "gamle" og "nye" koordinater, det vil sige, disse funktioner er sammenhænge og opfylder følgende krav inden for deres domæner :

  1. De er glatte funktioner : q i = q i ( x )
  2. Den omvendte Jacobianske determinant

    er ikke nul; hvilket betyder, at transformation er inverterbar : x i ( q ).

    ifølge invers funktionssætningen . Betingelsen om, at den Jacobianske determinant ikke er nul, afspejler det faktum, at tre overflader fra forskellige familier krydser hinanden i et og kun et punkt og dermed bestemmer placeringen af ​​dette punkt på en unik måde.

Vektor og tensoralgebra i tredimensionelle krumlinjære koordinater

Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.

Elementær vektor og tensoralgebra i krumlinjære koordinater bruges i nogle af den ældre videnskabelige litteratur inden for mekanik og fysik og kan være uundværlig for at forstå arbejde fra begyndelsen og midten af ​​1900-tallet, for eksempel teksten af ​​Green og Zerna. Nogle nyttige relationer i algebra af vektorer og andenordens tensorer i krumlinjede koordinater er angivet i dette afsnit. Notationen og indholdet er primært fra Ogden, Naghdi, Simmonds, Green og Zerna, Basar og Weichert og Ciarlet.

Tensorer i krumme koordinater

En anden ordens tensor kan udtrykkes som

hvor betegner tensorproduktet . Komponenterne S ij kaldes kontravariant komponenter, S i j de blandede højre-covariant komponenter, S i j de blandede venstre- covariant komponenter, og S ij de covariant komponenter af andenordens tensor. Komponenterne i andenordens tensor er relateret til

Den metriske tensor i ortogonale krøllede koordinater

På hvert punkt kan man konstruere et lille linjeelement d x , så kvadratet af længden af ​​linieelementet er det skalære produkt d x • d x og kaldes metricen for rummet givet ved:

.

Den følgende del af ovenstående ligning

er en symmetrisk tensor kaldet den grundlæggende (eller metriske) tensor i det euklidiske rum i kurvlinære koordinater.

Indeks kan hæves og sænkes med metricen:

Forhold til Lamé-koefficienter

Definition af skaleringsfaktorer h i ved

giver et forhold mellem den metriske tensor og Lamé-koefficienterne, og

hvor h ij er Lamé-koefficienterne. For en ortogonal basis har vi også:

Eksempel: Polarkoordinater

Hvis vi betragter polære koordinater for R 2 ,

(r, θ) er de krumlinjære koordinater, og den Jacobianske determinant for transformationen ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) er r .

De ortogonale basisvektorer er b r = (cos θ, sin θ), b θ = (−r sin θ, r cos θ). Skalafaktorerne er h r = 1 og h θ = r . Den grundlæggende tensor er g 11 = 1, g 22 = r 2 , g 12 = g 21 = 0.

Den skiftende tensor

På en ortonormal højrehåndsbasis defineres den tredje ordens alternerende tensor som

Generelt kan den samme tensor udtrykkes som

Det kan også vises

Christoffel symboler

Christoffel symboler af den første slags

hvor kommaet betegner et delvis derivat (se Ricci-beregning ). At udtrykke Γ kij i form af g ij ,

Siden

ved hjælp af disse til at omarrangere ovenstående forhold giver

Christoffel symboler af anden slags

Dette indebærer, at

siden .

Andre relationer, der følger, er

Vector operationer

  1. Prikprodukt :

    Det skalære produkt fra to vektorer i kurvlinære koordinater er

  2. Tværprodukt :

    Den cross produkt af to vektorer er givet ved

    hvor er permutationssymbolet og er en kartesisk basisvektor. I kurvlinære koordinater er det ækvivalente udtryk

    hvor er
    tredje ordens alternerende tensor .

Vektor- og tensorberegning i tredimensionelle krumlinjede koordinater

Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.

Justeringer skal gøres i beregningen af linje , overflade og volumen integraler . For nemheds skyld begrænser det følgende sig til tre dimensioner og ortogonale krumlinjede koordinater. De samme argumenter gælder dog for n -dimensionelle mellemrum. Når koordinatsystemet ikke er ortogonalt, er der nogle yderligere udtryk i udtrykkene.

Simmonds, i sin bog om tensor analyse , citerer Albert Einstein siger

Denne teoris magi vil næppe undlade at påtvinge sig nogen, der virkelig har forstået den; det repræsenterer en ægte triumf for metoden til absolut differensberegning, grundlagt af Gauss, Riemann, Ricci og Levi-Civita.

Vektor- og tensor-beregning i almindelige kurvlinære koordinater anvendes i tensoranalyse på firedimensionelle krumlinjeformede manifolder i generel relativitet , i mekanikken i buede skaller , til at undersøge de uforanderlige egenskaber ved Maxwells ligninger, som har været af interesse i metamaterialer og i mange andre områder .

Nogle nyttige relationer i beregningen af ​​vektorer og andenordens tensorer i krumlinjede koordinater er angivet i dette afsnit. Notationen og indholdet er primært fra Ogden, Simmonds, Green og Zerna, Basar og Weichert og Ciarlet.

Lad φ = φ ( x ) være et veldefineret skalarfelt og v = v ( x ) et veldefineret vektorfelt, og λ 1 , λ 2 ... er parametre for koordinaterne

Geometriske elementer

  1. Tangentvektor : Hvis x ( λ ) parametriserer en kurve C i kartesiske koordinater, så

    er en tangentvektor til C i kurvlinære koordinater (ved hjælp af kædereglen ). Ved hjælp af definitionen af ​​Lamé-koefficienterne, og at for metriske g ij = 0 når i j , er størrelsen:

  2. Tangentplanelement : Hvis x ( λ 1 , λ 2 ) parametriserer en overflade S i kartesiske koordinater, så er det følgende krydsprodukt af tangentvektorer en normal vektor til S med størrelsen af ​​det uendeligt minimale plane element i krumlinjære koordinater. Brug af ovenstående resultat,

    hvor er permutationssymbolet . I determinant form:

Integration

Operatør Scalar felt Vektor felt
Linje integreret
Overflade integreret
Volumen integreret

Differentiering

Udtrykkene for gradient, divergens og laplacian kan udvides direkte til n -dimensioner, men krøllen er kun defineret i 3D.

Vektorfeltet b jeg er tangent til q jeg koordinere kurve og danner en naturlig basis ved hvert punkt på kurven. Dette grundlag, som diskuteret i begyndelsen af ​​denne artikel, kaldes også det covariante krumlinjære grundlag. Vi kan også definere et gensidigt grundlag eller kontravariant krumlinjært grundlag, b i . Alle de algebraiske forhold mellem basisvektorerne, som diskuteret i afsnittet om tensoralgebra, gælder for det naturlige grundlag og dets gensidige på hvert punkt x .

Operatør Scalar felt Vektor felt 2. ordens tensorfelt
Gradient
Divergens Ikke relevant

hvor a er en vilkårlig konstant vektor. I krumme koordinater,

Laplacian
Krølle Ikke relevant Kun for vektorfelter i 3D

hvor er Levi-Civita symbolet .

Se Krølle af et tensorfelt

Fiktive kræfter generelt krøllede koordinater

Per definition, hvis en partikel uden kræfter, der virker på den, har sin position udtrykt i et inerti-koordinatsystem ( x 1 x 2 x 3 t ), så har den ingen acceleration (d 2 x j / d t 2  = 0). I denne sammenhæng kan et koordinatsystem ikke være "inertialt", enten på grund af ikke-lige tidsakse eller ikke-lige rumakser (eller begge dele). Med andre ord kan basisvektorerne for koordinaterne variere i tid ved faste positioner, eller de kan variere med position på faste tidspunkter eller begge dele. Når bevægelsesligninger udtrykkes i form af ethvert ikke-inertielt koordinatsystem (i denne forstand), vises der ekstra udtryk, kaldet Christoffel-symboler. Strengt taget repræsenterer disse udtryk komponenter i den absolutte acceleration (i klassisk mekanik), men vi kan også vælge at fortsætte med at betragte d 2 x j / d t 2 som accelerationen (som om koordinaterne var inertiale) og behandle de ekstra termer som om de var styrker, i hvilket tilfælde de kaldes fiktive kræfter. Komponenten i en hvilken som helst sådan fiktiv kraft, der er normal i forhold til partikelens bane og i kurvens kurveplane kaldes derefter centrifugalkraft .

Denne mere generelle sammenhæng tydeliggør sammenhængen mellem begreberne centrifugalkraft i roterende koordinatsystemer og i stationære krøllede koordinatsystemer. (Begge disse begreber forekommer hyppigt i litteraturen.) For et simpelt eksempel betragtes en partikel med masse m bevæger sig i en cirkel med radius r med vinkelhastighed w i forhold til et system med polære koordinater roterer med vinkelhastighed W . Den radiale bevægelsesligning er mr ”=  F r  +  mr ( w  +  W ) 2 . Således er centrifugalkraften mr gange kvadratet for den absolutte rotationshastighed A  =  w  +  W for partiklen. Hvis vi vælger et koordinatsystem roterer med hastigheden af partiklen, så W  =  A og w  = 0, i hvilket tilfælde centrifugalkraften er MRA 2 , hvorimod hvis vi vælger et stationært koordinatsystem vi har W  = 0, og w  =  A , i hvilket tilfælde centrifugalkraften igen er mrA 2 . Årsagen til denne ligestilling af resultater er, at i begge tilfælde ændres basisvektorerne på partikelens placering nøjagtigt på samme måde. Derfor er disse virkelig kun to forskellige måder at beskrive nøjagtigt den samme ting, hvor den ene beskrivelse er i form af roterende koordinater, og den anden er i form af stationære krumlinjære koordinater, som begge er ikke-inertielle i henhold til den mere abstrakte betydning af dette udtryk. .

Når man beskriver generel bevægelse, henvises de faktiske kræfter, der virker på en partikel, ofte til den øjeblikkelige osculerende cirkel, der tangerer til bevægelsesstien, og denne cirkel er i det generelle tilfælde ikke centreret på et fast sted, og nedbrydningen til centrifugal og Coriolis komponenter ændrer sig konstant. Dette gælder uanset om bevægelsen er beskrevet i form af stationære eller roterende koordinater.

Se også

Referencer

Yderligere læsning

eksterne links