David Hilbert - David Hilbert

David Hilbert
Hilbert.jpg
Hilbert i 1912
Født ( 1862-01-23 )23. januar 1862
Døde 14. februar 1943 (1943-02-14)(81 år)
Nationalitet tysk
Uddannelse University of Königsberg ( ph.d. )
Kendt for Hilberts grundsætning
Hilberts aksiomer
Hilberts problemer
Hilberts program
Einstein – Hilbert handling
Hilbert space
Epsilon calculus
Ægtefælle Käthe Jerosch
Børn Franz (f. 1893)
Priser Lobachevsky -prisen (1903)
Bolyai -prisen (1910)
ForMemRS
Videnskabelig karriere
Felter Matematik , fysik og filosofi
Institutioner University of Königsberg
Göttingen University
Afhandling Om forskellige egenskaber ved specielle binære former, især af sfæriske funktioner  (1885)
Doktorvejleder Ferdinand von Lindemann
Doktorander
Andre bemærkelsesværdige studerende Edward Kasner
John von Neumann
Indflydelse Immanuel Kant

David Hilbert ( / h ɪ l b ər t / ; tysk: [daːvɪt hɪlbɐt] ved 23 januar 1862-1814 februar 1943) var en tysk matematiker og en af de mest indflydelsesrige matematikere af det 19. og tidlige 20. århundrede. Hilbert opdagede og udviklede en bred vifte af grundlæggende ideer på mange områder, herunder invariant teori , beregning af variationer , kommutativ algebra , algebraisk talteori , grundlaget for geometri , spektral teori om operatører og dens anvendelse på integrale ligninger , matematisk fysik og de grundlaget for matematik (især bevis teori ).

Hilbert vedtog og forsvarede Georg Cantors sætteori og transfinite tal . I 1900 præsenterede han en samling af problemer, der satte kursen for meget af det matematiske forskning i det 20. århundrede.

Hilbert og hans elever bidrog betydeligt til at etablere stringens og udviklede vigtige værktøjer, der blev brugt i moderne matematisk fysik. Hilbert er kendt som en af ​​grundlæggerne af bevisteori og matematisk logik .

Liv

Tidligt liv og uddannelse

Hilbert, den første af to børn og eneste søn af Otto og Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, blev født i provinsen Preussen , Preussen , enten i Königsberg (ifølge Hilberts eget udsagn) eller i Wehlau (kendt siden 1946 som Znamensk ) nær Königsberg, hvor hans far arbejdede på tidspunktet for hans fødsel.

I slutningen af ​​1872 kom Hilbert ind på Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , den samme skole, som Immanuel Kant havde gået 140 år før); men efter en ulykkelig periode overførte han til (slutningen af ​​1879) og tog eksamen fra (begyndelsen af ​​1880) det mere videnskabeligt orienterede Wilhelm Gymnasium. Efter eksamen, i efteråret 1880, meldte Hilbert sig ind på universitetet i Königsberg , "Albertina". I begyndelsen af ​​1882 vendte Hermann Minkowski (to år yngre end Hilbert og også indfødt fra Königsberg, men var gået til Berlin i tre semestre) tilbage til Königsberg og kom ind på universitetet. Hilbert udviklede et livslangt venskab med den generte, begavede Minkowski.

Karriere

I 1884 ankom Adolf Hurwitz fra Göttingen som en ekstraordinær (dvs. lektor). En intens og frugtbar videnskabelig udveksling mellem de tre begyndte, og Minkowski og Hilbert ville især udøve en gensidig indflydelse over hinanden på forskellige tidspunkter i deres videnskabelige karriere. Hilbert fik sin doktorgrad i 1885 med en afhandling, skrevet under Ferdinand von Lindemann , med titlen Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Om invariante egenskaber ved særlige binære former , især de sfæriske harmoniske funktioner" ).

Hilbert blev ved universitetet i Königsberg som Privatdozent ( lektor ) fra 1886 til 1895. I 1895 opnåede han som et resultat af intervention på hans vegne af Felix Klein stillingen som professor i matematik ved universitetet i Göttingen . I løbet af Klein- og Hilbert -årene blev Göttingen den fremtrædende institution i den matematiske verden. Han blev der resten af ​​sit liv.

Det matematiske institut i Göttingen. Den nye bygning, bygget med midler fra Rockefeller Foundation , blev åbnet af Hilbert og Courant i 1930.

Göttingen skole

Blandt Hilbert 's studerende var Hermann Weyl , skak mester Emanuel Lasker , Ernst Zermelo , og Carl Gustav Hempel . John von Neumann var hans assistent. På universitetet i Göttingen var Hilbert omgivet af en social kreds af nogle af de vigtigste matematikere i det 20. århundrede, såsom Emmy Noether og Alonzo Church .

Blandt hans 69 ph.d. studerende i Göttingen var mange, der senere blev berømte matematikere, herunder (med afhandlingens dato): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) og Wilhelm Ackermann (1925). Mellem 1902 og 1939 var Hilbert redaktør for Mathematische Annalen , datidens førende matematiske tidsskrift.

Godt, han havde ikke fantasi nok til at blive matematiker.

-  Hilberts svar da han hørte, at en af ​​hans elever var droppet for at studere poesi.

Personlige liv

Käthe Hilbert med Constantin Carathéodory , før 1932

I 1892 giftede Hilbert sig med Käthe Jerosch (1864–1945), der var datter af en købmand fra Königsberg, en frittalende ung dame med en uafhængighed i sindet, der matchede [Hilberts]. "Mens de i Königsberg havde deres et barn, Franz Hilbert ( 1893–1969). Franz led i hele sit liv af en udiagnosticeret psykisk sygdom. Hans ringere intellekt var en frygtelig skuffelse for hans far, og denne ulykke var et problem for matematikerne og eleverne i Göttingen.

Hilbert betragtede matematikeren Hermann Minkowski som sin "bedste og sandeste ven".

Hilbert blev døbt og opvokset en calvinist i den preussiske evangeliske kirke . Han forlod senere Kirken og blev agnostiker . Han argumenterede også for, at matematisk sandhed var uafhængig af Guds eksistens eller andre a priori antagelser. Da Galileo Galilei blev kritiseret for ikke at stå op for sine overbevisninger om den heliocentriske teori , protesterede Hilbert: "Men [Galileo] var ikke en idiot. Kun en idiot kunne tro, at videnskabelig sandhed har brug for martyrium; det kan være nødvendigt inden for religion, men videnskabelige resultater viser sig i rette tid. "

Senere år

Ligesom Albert Einstein havde Hilbert tætteste kontakter med Berlin -gruppen, hvis førende stiftere havde studeret under Hilbert i Göttingen ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach og Walter Dubislav ).

Omkring 1925 udviklede Hilbert perniciøs anæmi , en derefter ubehandlet vitaminmangel, hvis primære symptom er udmattelse; hans assistent Eugene Wigner beskrev ham som udsat for "enorm træthed" og hvordan han "virkede ret gammel", og at han selv efter endt at blive diagnosticeret og behandlet "næppe var en videnskabsmand efter 1925 og bestemt ikke en Hilbert."

Hilbert levede for at se nazisterne rense mange af de fremtrædende fakultetsmedlemmer ved University of Göttingen i 1933. De tvungne ud omfattede Hermann Weyl (som havde taget Hilberts stol, da han trak sig tilbage i 1930), Emmy Noether og Edmund Landau . En, der måtte forlade Tyskland, Paul Bernays , havde samarbejdet med Hilbert i matematisk logik og var medforfatter til ham af den vigtige bog Grundlagen der Mathematik (der til sidst udkom i to bind i 1934 og 1939). Dette var en efterfølger til de Hilbert- Ackermann bog Principles of Mathematical Logic fra 1928. Hermann Weyl efterfølger var Helmut Hasse .

Cirka et år senere deltog Hilbert i en banket og sad ved siden af ​​den nye undervisningsminister, Bernhard Rust . Rust spurgte, om " Matematisk Institut virkelig led så meget på grund af jødernes afgang". Hilbert svarede: "Lider du? Det eksisterer ikke længere, gør det!"

Død

Hilberts grav:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Da Hilbert døde i 1943, havde nazisterne næsten fuldstændig renoveret universitetet, da mange af det tidligere fakultet enten havde været jødiske eller gift med jøder. Hilberts begravelse blev overværet af færre end et dusin mennesker, hvoraf kun to var akademikere, blandt dem Arnold Sommerfeld , en teoretisk fysiker og også indfødt i Königsberg. Nyheder om hans død blev først kendt for den store verden seks måneder efter, at han døde.

Epitafiet på hans gravsten i Göttingen består af de berømte linjer, han talte ved afslutningen af ​​sin pensionisttale til Society of German Scientists and Physicians den 8. september 1930. Ordene blev givet som svar på det latinske maksimum : " Ignoramus et ignorabimus " eller "Vi ved ikke, vi skal ikke vide":

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

Vi må vide det.
Vi ved det.

Dagen før Hilbert udtalte disse sætninger på årsmødet i 1930 i Society of German Scientists and Physicians, meddelte Kurt Gödel - i en rundbordsdiskussion under konferencen om epistemologi, der blev afholdt sammen med Society -møderne - foreløbigt det første udtryk for hans ufuldstændighedssætning . Gödels ufuldstændighedssætninger viser, at selv elementære aksiomatiske systemer som Peano-aritmetik enten er selvmodsigende eller indeholder logiske påstande, der er umulige at bevise eller modbevise.

Bidrag til matematik og fysik

Hilbert løser Jordans problem

Hilberts første arbejde med uforanderlige funktioner førte ham til demonstrationen i 1888 af hans berømte endethedssætning . Tyve år tidligere havde Paul Gordan demonstreret sætningen om endeligheden af ​​generatorer til binære former ved hjælp af en kompleks beregningsmetode. Forsøg på at generalisere hans metode til funktioner med mere end to variabler mislykkedes på grund af den enorme vanskelighed ved de berørte beregninger. For at løse det, der i nogle kredse var blevet kendt som Gordan's Problem , indså Hilbert, at det var nødvendigt at gå en helt anden vej. Som et resultat demonstrerede han Hilberts grundsætning , der viste eksistensen af ​​et begrænset sæt generatorer, for invarianterne af kvantik i et vilkårligt antal variabler, men i en abstrakt form. Det vil sige, at mens det demonstrerede eksistensen af ​​et sådant sæt, var det ikke et konstruktivt bevis - det viste ikke "et objekt" - men snarere et eksistensbevis og stolede på brug af loven om ekskluderet midte i en uendelig forlængelse .

Hilbert sendte sine resultater til Mathematische Annalen . Gordan, husekspert på teorien om invarianter for Mathematische Annalen , kunne ikke sætte pris på den revolutionære karakter af Hilberts sætning og afviste artiklen og kritiserede fremlæggelsen, fordi den var utilstrækkeligt omfattende. Hans kommentar var:

Das ist nicht Mathematik. Det er teologi.

Dette er ikke matematik. Dette er teologi.

Klein på den anden side erkendte værkets betydning og garanterede, at det ville blive offentliggjort uden ændringer. Opmuntret af Klein udvidede Hilbert sin metode i en anden artikel med estimater på den maksimale grad af minimumssættet generatorer, og han sendte den endnu engang til Annalen . Efter at have læst manuskriptet skrev Klein til ham og sagde:

Uden tvivl er dette det vigtigste værk om generel algebra, som Annalen nogensinde har udgivet.

Senere, efter at nytten af ​​Hilberts metode var universelt anerkendt, ville Gordan selv sige:

Jeg har overbevist mig selv om, at selv teologi har sine fordele.

For alle hans succeser skabte bevisets natur mere ballade end Hilbert kunne have forestillet sig. Selvom Kronecker havde indrømmet, ville Hilbert senere svare på andres lignende kritik om, at "mange forskellige konstruktioner er underlagt en grundlæggende idé" - med andre ord (for at citere Reid): "Hilbert havde gennem et eksistensbevis kunnet opnå en konstruktion"; "beviset" (dvs. symbolerne på siden) var "objektet". Ikke alle var overbeviste. Mens Kronecker snart ville dø, ville hans konstruktivistiske filosofi fortsætte med den unge Brouwer og hans udviklende intuitionistiske "skole", meget til Hilberts pine i hans senere år. Faktisk ville Hilbert miste sin "begavede elev" Weyl til intuitionisme - "Hilbert blev forstyrret af sin tidligere elevs fascination af idéerne fra Brouwer, som i Hilbert vækkede Kroneckers minde". Især intuitionisten Brouwer modsatte sig brugen af ​​loven om ekskluderet midte over uendelige sæt (som Hilbert havde brugt den). Hilbert svarede:

At tage princippet om den ekskluderede middel fra matematikeren ... er det samme som ... at forbyde bokseren at bruge sine knytnæver.

Aksiomatisering af geometri

Teksten Grundlagen der Geometrie (tr .: Foundations of Geometry ) udgivet af Hilbert i 1899 foreslår et formelt sæt, kaldet Hilberts aksiomer, der erstatter de traditionelle aksiomer i Euclid . De undgår svagheder identificeret hos Euklides , hvis værker dengang stadig blev brugt lærebogsmode. Det er svært at specificere de aksiomer, som Hilbert brugte, uden at henvise til Grundlagens publikationshistorie, siden Hilbert ændrede og modificerede dem flere gange. Den originale monografi blev hurtigt efterfulgt af en fransk oversættelse, hvor Hilbert tilføjede V.2, fuldstændighedsaksen. En engelsk oversættelse, godkendt af Hilbert, blev foretaget af EJ Townsend og ophavsretligt beskyttet i 1902. Denne oversættelse inkorporerede de ændringer, der blev foretaget i den franske oversættelse, og anses derfor for at være en oversættelse af 2. udgave. Hilbert fortsatte med at foretage ændringer i teksten, og flere udgaver forekom på tysk. Den 7. udgave var den sidste, der dukkede op i Hilberts levetid. Nye udgaver fulgte den 7., men hovedteksten blev i det væsentlige ikke revideret.

Hilberts tilgang signalerede skiftet til den moderne aksiomatiske metode . I dette blev Hilbert forudset af Moritz Paschs arbejde fra 1882. Aksiomer betragtes ikke som selvfølgelige sandheder. Geometri kan behandle ting , som vi har stærke intuitioner om, men det er ikke nødvendigt at tildele de udefinerede begreber nogen eksplicit betydning. Elementerne, såsom punkt , linje , fly og andre, kunne erstattes, som Hilbert efter sigende har sagt til Schoenflies og Kötter ved borde, stole, glas øl og andre sådanne genstande. Det er deres definerede relationer, der diskuteres.

Hilbert opregner først de udefinerede begreber: punkt, linje, plan, liggende på (en relation mellem punkter og linjer, punkter og planer og linjer og planer), mellem hinanden, kongruens af par af punkter ( linjesegmenter ) og kongruens af vinkler . Aksiomerne forener både plangeometrien og solid geometri af Euklid i et enkelt system.

De 23 problemer

Hilbert fremlagde en mest indflydelsesrig liste over 23 uløste problemer på den internationale matematikerkongres i Paris i 1900. Dette regnes generelt som den mest vellykkede og dybt betragtede samling af åbne problemer, der nogensinde er produceret af en individuel matematiker.

Efter at have omarbejdet grundlaget for klassisk geometri kunne Hilbert have ekstrapoleret til resten af ​​matematikken. Hans tilgang adskilte sig imidlertid fra den senere 'grundlægger' Russell - Whitehead eller 'encyklopædi' Nicolas Bourbaki og fra hans samtidige Giuseppe Peano . Det matematiske fællesskab som helhed kunne melde sig til problemer, som han havde identificeret som afgørende aspekter af matematikområderne, som han betragtede som centrale.

Opgavesættet blev lanceret som en tale "Matematikkens problemer" præsenteret i løbet af den anden internationale matematikerkongres i Paris. Indledningen af ​​talen, som Hilbert holdt, sagde:

Hvem blandt os ville ikke være glade for at løfte sløret bag hvilket skjuler fremtiden; at se på den kommende udvikling inden for vores videnskab og på hemmelighederne ved dens udvikling i de kommende århundreder? Hvad vil enderne være mod, som ånden i de kommende generationer af matematikere vil have tendens til? Hvilke metoder, hvilke nye fakta vil det nye århundrede afsløre inden for det store og rige område af matematisk tankegang?

Han præsenterede færre end halvdelen af ​​problemerne på kongressen, som blev offentliggjort i kongressens handlinger. I en efterfølgende publikation udvidede han panoramaet og nåede frem til formuleringen af ​​de nu kanoniske 23 problemer med Hilbert. Se også Hilberts fjerdeogtyve problem . Den fulde tekst er vigtig, da eksegesen af ​​spørgsmålene stadig kan være et spørgsmål om uundgåelig debat, når det bliver spurgt, hvor mange der er løst.

Nogle af disse blev løst inden for kort tid. Andre er blevet diskuteret i løbet af det 20. århundrede, hvor nogle få nu anses for at være uegnede åbne for at lukke. Nogle fortsætter endda den dag i dag med at forblive en udfordring for matematikere.

Formalisme

I en beretning, der var blevet standard i midten af ​​århundredet, var Hilberts problemstilling også en slags manifest, der åbnede vejen for udviklingen af ​​den formalistiske skole, en af ​​tre store matematikskoler i det 20. århundrede. Ifølge formalisten er matematik manipulation af symboler i henhold til aftalte formelle regler. Det er derfor en autonom tankegang. Der er imidlertid plads til at tvivle på, om Hilberts egne synspunkter var forenklet formalistiske i denne forstand.

Hilberts program

I 1920 foreslog Hilbert et forskningsprojekt inden for metamatematik, der blev kendt som Hilberts program. Han ønskede, at matematik skulle formuleres på et solidt og fuldstændigt logisk grundlag. Han mente, at dette principielt kunne gøres ved at vise, at:

  1. al matematik følger af et korrekt valgt endelig system af aksiomer ; og
  2. at et sådant aksiomsystem beviseligt er konsistent på nogle måder, f.eks. epsilon -beregningen .

Han synes at have haft både tekniske og filosofiske grunde til at formulere dette forslag. Det bekræftede hans modvilje mod det, der var blevet kendt som ignorabimus , stadig et aktivt emne i sin tid i tysk tanke, og spores tilbage i denne formulering til Emil du Bois-Reymond .

Dette program er stadig genkendeligt i den mest populære matematikfilosofi , hvor det normalt kaldes formalisme . For eksempel vedtog Bourbaki-gruppen en udvandet og selektiv version af den, som var tilstrækkelig til kravene i deres tvillingeprojekter om (a) at skrive encyklopædiske grundværker og (b) understøtte den aksiomatiske metode som forskningsværktøj. Denne tilgang har været vellykket og indflydelsesrig i forhold til Hilberts arbejde med algebra og funktionel analyse, men har ikke formået at engagere sig på samme måde med sine interesser i fysik og logik.

Hilbert skrev i 1919:

Vi taler ikke her om vilkårlighed på nogen måde. Matematik er ikke som et spil, hvis opgaver bestemmes af vilkårligt fastsatte regler. Det er snarere et konceptuelt system, der besidder intern nødvendighed, som kun kan være det og på ingen måde andet.

Hilbert offentliggjorde sine synspunkter om matematikkens grundlag i 2-binders værket, Grundlagen der Mathematik .

Godels værk

Hilbert og matematikerne, der arbejdede sammen med ham i hans virksomhed, var engagerede i projektet. Hans forsøg på at støtte aksiomatiseret matematik med endelige principper, som kunne forvise teoretiske usikkerheder, endte med fiasko.

Gödel demonstrerede, at ethvert ikke-modstridende formelt system, der var omfattende nok til i det mindste at omfatte regning, ikke kan demonstrere dets fuldstændighed ved hjælp af sine egne aksiomer. I 1931 viste hans ufuldstændighedssætning , at Hilberts store plan var umulig som anført. Det andet punkt kan ikke på nogen rimelig måde kombineres med det første punkt, så længe aksiomsystemet er virkelig finitært .

Ikke desto mindre er de efterfølgende resultater af bevisteorien i det mindste klarlagt konsistens, da det vedrører teorier om central bekymring for matematikere. Hilberts arbejde havde startet logik på dette afklaringsforløb; behovet for at forstå Gödel's arbejde førte derefter til udviklingen af rekursionsteori og derefter matematisk logik som en autonom disciplin i 1930'erne. Grundlaget for senere teoretisk datalogi i Alonzo Church og Alan Turing 's arbejde voksede også direkte ud af denne 'debat'.

Funktionel analyse

Omkring 1909 dedikerede Hilbert sig til studiet af differentielle og integrerede ligninger ; hans arbejde havde direkte konsekvenser for vigtige dele af moderne funktionsanalyse. For at udføre disse undersøgelser introducerede Hilbert konceptet om et uendeligt dimensionelt euklidisk rum , senere kaldet Hilbert -rum . Hans arbejde i denne del af analysen udgjorde grundlaget for vigtige bidrag til matematik i fysik i de næste to årtier, dog fra en uventet retning. Senere forstærkede Stefan Banach konceptet og definerede Banach -mellemrum . Hilbert-rum er en vigtig klasse af objekter inden for funktionel analyse , især af spektralteorien om selvtilstødende lineære operatører, der voksede op omkring det i løbet af det 20. århundrede.

Fysik

Indtil 1912 var Hilbert næsten udelukkende en ren matematiker . Da han planlagde et besøg fra Bonn, hvor han var nedsænket i at studere fysik, spøgte hans matematiker og ven Hermann Minkowski , at han skulle tilbringe 10 dage i karantæne, før han kunne besøge Hilbert. Faktisk virker Minkowski ansvarlig for de fleste af Hilberts fysiske undersøgelser før 1912, herunder deres fælles seminar om emnet i 1905.

I 1912, tre år efter sin vens død, vendte Hilbert næsten udelukkende sit fokus mod emnet. Han arrangerede at have en "fysiklærer" til sig selv. Han begyndte at studere kinetisk gasteori og gik videre til elementær strålingsteori og molekylær teori om stof. Selv efter krigen startede i 1914, fortsatte han seminarer og klasser, hvor Albert Einsteins og andre værker blev fulgt nøje.

I 1907 havde Einstein indrammet det grundlæggende i tyngdekraftsteorien , men kæmpede derefter i næsten 8 år for at sætte teorien i sin endelige form . I forsommeren 1915 havde Hilberts interesse for fysik fokuseret på generel relativitet , og han inviterede Einstein til Göttingen for at holde en uges foredrag om emnet. Einstein modtog en entusiastisk modtagelse i Göttingen. I løbet af sommeren fik Einstein at vide, at Hilbert også arbejdede med feltligningerne og fordoblede sin egen indsats. I løbet af november 1915 udgav Einstein flere artikler, der kulminerede med gravitationens feltligninger (se Einstein feltligninger ). Næsten samtidigt udgav David Hilbert "The Foundations of Physics", en aksiomatisk afledning af feltligningerne (se Einstein - Hilbert -handling ). Hilbert krediterede Einstein fuldt ud som teoriens ophavsmand, og der opstod aldrig nogen offentlig prioritetsstrid om feltligningerne mellem de to mænd i løbet af deres liv. Se mere med prioritet .

Derudover forudså og hjalp Hilberts arbejde adskillige fremskridt inden for den matematiske formulering af kvantemekanik . Hans arbejde var et centralt aspekt af Hermann Weyl og John von Neumann 's arbejde på den matematiske ækvivalens Werner Heisenberg ' s matrix mekanik og Erwin Schrödinger 's bølgeligningen , og hans navnebror Hilbert rum spiller en vigtig rolle i kvanteteorien. I 1926 viste von Neumann, at hvis kvantetilstande blev forstået som vektorer i Hilbert -rummet, ville de svare til både Schrödingers bølgefunktionsteori og Heisenbergs matricer.

Gennem denne fordybelse i fysik arbejdede Hilbert på at lægge stringens i fysikens matematik. Selvom de var meget afhængige af højere matematik, havde fysikerne en tendens til at være "sjuskede" med det. For en ren matematiker som Hilbert var dette både grimt og svært at forstå. Da han begyndte at forstå fysik og hvordan fysikere brugte matematik, udviklede han en sammenhængende matematisk teori for det, han fandt - vigtigst af alt inden for integrerede ligninger . Da hans kollega Richard Courant skrev den nu klassiske Methoden der mathematatischen Physik ( Metoder for matematisk fysik ) inklusive nogle af Hilberts ideer, tilføjede han Hilberts navn som forfatter, selvom Hilbert ikke direkte havde bidraget til skrivningen. Hilbert sagde "Fysik er for hård for fysikere", hvilket indebar, at den nødvendige matematik generelt var uden for dem; Courant-Hilbert-bogen gjorde det lettere for dem.

Talteori

Hilbert forenede området algebraisk talteori med sin afhandling Zahlbericht fra 1897 (bogstaveligt talt "rapport om tal"). Han løste også et betydeligt talteoretisk problem, der blev formuleret af Waring i 1770. Som med endelig teoremet brugte han et eksistensbevis, der viser, at der skal være løsninger på problemet frem for at tilvejebringe en mekanisme til at producere svarene. Han havde derefter lidt mere at udgive om emnet; men fremkomsten af Hilbert -modulformularer i en studerendes afhandling betyder, at hans navn yderligere er knyttet til et større område.

Han lavede en række formodninger om klassefeltteori . Begreberne var meget indflydelsesrige, og hans eget bidrag lever videre i navnene på Hilbert -klassefeltet og Hilbert -symboletlokal klassefeltteori . Resultaterne blev for det meste bevist i 1930 efter arbejde af Teiji Takagi .

Hilbert fungerede ikke i de centrale områder inden for analytisk talteori , men hans navn er blevet kendt for formodningerne Hilbert – Pólya af årsager, der er anekdotiske.

Arbejder

Hans samlede værker ( Gesammelte Abhandlungen ) er udgivet flere gange. De originale versioner af hans papirer indeholdt "mange tekniske fejl i varierende grad"; da samlingen første gang blev offentliggjort, blev fejlene rettet, og det blev fundet, at dette kunne gøres uden større ændringer i sætningernes udsagn, med en undtagelse - et påstået bevis på kontinuumhypotesen . Fejlene var ikke desto mindre så mange og betydningsfulde, at det tog Olga Taussky-Todd tre år at foretage rettelserne.

Se også

Begreber

Fodnoter

Citater

Kilder

Primær litteratur i engelsk oversættelse

  • Ewald, William B., red. (1996). Fra Kant til Hilbert: En kildebog i matematikkens fundament . Oxford, Storbritannien: Oxford University Press.
    • 1918. "Axiomatisk tanke", 1114–1115.
    • 1922. "Matematikkens nye grundlag: Første rapport," 1115–1133.
    • 1923. "Matematikkens logiske grundlag", 1134–1147.
    • 1930. "Logik og viden om naturen", 1157–1165.
    • 1931. "Grundlaget for elementær talteori", 1148–1156.
    • 1904. "Om grundlaget for logik og regning," 129–138.
    • 1925. "På det uendelige", 367–392.
    • 1927. "Matematikkens grundlag" med kommentar af Weyl og Appendix af Bernays , 464–489.
  • van Heijenoort, Jean (1967). Fra Frege til Gödel: En kildebog i matematisk logik, 1879–1931 . Harvard University Press.
  • Hilbert, David (1950) [1902]. Geometriens grundlag [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Oversat af Townsend, EJ (2. udgave). La Salle, IL: Public Court Publishing.
  • Hilbert, David (1990) [1971]. Fundamenter for geometri [Grundlagen der Geometrie] . Oversat af Unger, Leo (2. engelsk red.). La Salle, IL: Public Court Publishing. ISBN 978-0-87548-164-7. oversat fra 10. tyske udgave
  • Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1999). Geometri og fantasi . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1998-2. Et tilgængeligt sæt foredrag oprindeligt for borgerne i Göttingen.
  • Hilbert, David (2004). Hallett, Michael; Majer, Ulrich (red.). David Hilberts foredrag om grundlaget for matematik og fysik, 1891–1933 . Berlin & Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Sekundær litteratur

eksterne links