Del - Del

Del operatør,
repræsenteret ved
den nabla

Del eller nabla , er en operatør , der anvendes i matematik (især i vektor regning ) som en vektor differensoperatoren , sædvanligvis repræsenteret ved nabla ∇ . Når det påføres et funktion defineret på en endimensional domæne, det betegner standard derivat af funktionen som defineret i calculus . Når den anvendes på et felt (en funktion, der er defineret på et multidimensionelt domæne), kan det betegne en hvilken som helst af tre operatorer afhængigt af den måde, det anvendes: gradienten eller (lokalt) stejleste hældning af et skalarfelt (eller undertiden af et vektorfelt , som i Navier – Stokes ligninger ); den divergens af et vektorfelt; eller krøllen (rotation) af et vektorfelt.

Strengt taget er del ikke en specifik operator, men snarere en bekvem matematisk notation for de tre operatorer, der gør mange ligninger lettere at skrive og huske. Del -symbolet (eller nabla) kan tolkes som en vektor af partielle derivater ; og dens tre mulige betydninger - gradient, divergens og curl - kan formelt betragtes som produktet med henholdsvis en skalar, et prikprodukt og et krydsprodukt af "del operatoren" med feltet. Disse formelle produkter pendler ikke nødvendigvis med andre operatører eller produkter. Disse tre anvendelser, der er beskrevet detaljeret nedenfor, er opsummeret som:

Gradient: ${\ displaystyle \ operatorname {grad} f = \ nabla f}$
Divergens: ${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}$
Krølle: ${\ displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ nabla \ times {\ vec {v}}}$

Definition

I det kartesiske koordinatsystem R ^$n$ med koordinater og standardbasis er del defineret i form af partielle derivatoperatorer som ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {1}, \ prikker, {\ vec {e}} _ {n} \}}$

{\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ vec {e}} _ {i} {\ delvis \ over \ delvis x_ {i}} = \ venstre ({\ delvis \ over \ delvis x_ {1}}, \ ldots, {\ delvis \ over \ delvis x_ {n}} \ højre)}

I det tredimensionale kartesiske koordinatsystem R ³ med koordinater og standardbasis eller enhedsvektorer for akser skrives del som ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {x}, {\ vec {e}} _ {y}, {\ vec {e}} _ {z} \}}$

{\ displaystyle \ nabla = {\ vec {e}} _ {x} {\ delvis \ over \ delvis x}+{\ vec {e}} _ {y} {\ delvis \ over \ delvis y}+{\ vec {e}} _ {z} {\ delvis \ over \ delvis z} = \ venstre ({\ delvis \ over \ delvis x}, {\ delvis \ over \ delvis y}, {\ delvis \ over \ delvis z }\ret)}

Eksempel:

{\ displaystyle f (x, y, z) = x+y+z}

{\ displaystyle \ nabla f = {\ vec {e}} _ {x} {\ delvis f \ over \ delvis x}+{\ vec {e}} _ {y} {\ delvis f \ over \ delvis y} +{\ vec {e}} _ {z} {\ delvis f \ over \ delvis z} = \ venstre (1,1,1 \ højre)}

Del kan også udtrykkes i andre koordinatsystemer, se f.eks. Del i cylindriske og sfæriske koordinater .

Notationelle anvendelser

Del bruges som en stenografisk form til at forenkle mange lange matematiske udtryk. Det bruges mest til at forenkle udtryk for gradient , divergens , krølle , retningsderivat og laplacian .

Gradient

Vektorderivatet af et skalarfelt kaldes gradienten , og det kan repræsenteres som: ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle \ operatorname {grad} f = {\ delvis f \ over \ delvis x} {\ vec {e}} _ {x}+{\ delvis f \ over \ delvis y} {\ vec {e}} _ {y}+{\ delvis f \ over \ delvis z} {\ vec {e}} _ {z} = \ nabla f}

Den peger altid i retning af den største stigning af , og den har en størrelse svarende til den maksimale stigningshastighed på punktet - ligesom et standardderivat. Især hvis en bakke er defineret som en højdefunktion over et plan , vil gradienten på et givet sted være en vektor i xy-planet (visualiserbart som en pil på et kort), der peger langs den stejleste retning. Gradientens størrelse er værdien af denne stejleste skråning. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle h (x, y)}$

Især denne notation er kraftfuld, fordi reglen for gradientprodukt ligner meget den 1d-afledte sag:

{\ displaystyle \ nabla (fg) = f \ nabla g+g \ nabla f}

Reglerne for dot -produkter viser sig imidlertid ikke at være enkle, som illustreret af:

{\ displaystyle \ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) = ({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}+({\ vec { v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {u}}+{\ vec {u}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {u}})}

Divergens

Den divergens af et vektorfelt er en skalar funktion, der kan repræsenteres som: ${\ displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+v_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ v_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

{\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = {\ delvis v_ {x} \ over \ delvis x}+{\ delvis v_ {y} \ over \ delvis y}+{\ delvis v_ {z } \ over \ partial z} = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}

Divergensen er nogenlunde et mål for et vektorfelts stigning i den retning, den peger; men mere præcist er det et mål for dette felts tendens til at konvergere mod eller afvige fra et punkt.

Del notationens magt vises ved følgende produktregel:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ cdot {\ vec {v}}+f (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})}}

Formlen for vektorproduktet er lidt mindre intuitiv, fordi dette produkt ikke er kommutativt:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) = (\ nabla \ times {\ vec {u}}) \ cdot {\ vec {v}}-{ \ vec {u}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}})}

Krølle

Den krølle af en vektor felt er en vektor funktion, der kan repræsenteres som: ${\ displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+v_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ v_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

{\ displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ venstre ({\ delvis v_ {z} \ over \ delvis y}-{\ delvis v_ {y} \ over \ delvis z} \ højre) { \ vec {e}} _ {x}+\ venstre ({\ delvis v_ {x} \ over \ delvis z}-{\ delvis v_ {z} \ over \ delvis x} \ højre) {\ vec {e} } _ {y}+\ venstre ({\ delvis v_ {y} \ over \ delvis x}-{\ delvis v_ {x} \ over \ delvis y} \ højre) {\ vec {e}} _ {z} = \ nabla \ gange {\ vec {v}}}

Krøllen på et punkt er proportional med det på aksen drejningsmoment, som et lille pinwheel ville blive udsat for, hvis det var centreret på det tidspunkt.

Vektorproduktdriften kan visualiseres som en pseudo- determinant :

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {v}} = \ left | {\ begin {matrix} {\ vec {e}} _ {x} & {\ vec {e}} _ {y} & {\ vec {e}} _ {z} \\ [2pt] {\ frac {\ partiel} {\ delvis x}} & {\ frac {\ delvis} {\ delvis y}} & {\ frac {\ delvis} { \ delvis z}} \\ [2pt] v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \ end {matrix}} \ højre |}

Igen vises notationens styrke ved produktreglen:

{\ displaystyle \ nabla \ times (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ times {\ vec {v}}+f (\ nabla \ times {\ vec {v}})}}

Desværre viser reglen for vektorproduktet sig ikke at være enkel:

{\ displaystyle \ nabla \ times ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) = {\ vec {u}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})-{ \ vec {v}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {u}})+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {u}}-({\ vec { u}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {v}}}

Retningsbestemt derivat

Den retningsbestemte derivat af en skalarfelt i retning er defineret som: ${\ displaystyle f (x, y, z)}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} (x, y, z) = a_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+a_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ a_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot \ operatorname {grad} f = a_ {x} {\ delvis f \ over \ delvis x}+a_ {y} {\ delvis f \ over \ delvis y}+a_ {z} {\ delvis f \ over \ delvis z} = {\ vec {a}} \ cdot (\ nabla f)}

Dette giver ændringshastigheden for et felt i retning af , skaleret med størrelsen på . I operatørnotation kan elementet i parentes betragtes som en enkelt sammenhængende enhed; væskedynamik bruger denne konvention i vid udstrækning og kalder den konvektive derivat - væskets "bevægelige" derivat. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

Bemærk, at det er en operator, der tager skalar til en skalar. Den kan udvides til at fungere på en vektor ved at operere separat på hver af dens komponenter. ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot \ nabla)}$

Laplacian

Den Laplace-operatoren er en skalar operatør, der kan anvendes til enten vektor eller skalarfelter; for kartesiske koordinatsystemer defineres det som:

{\ displaystyle \ Delta = {\ delvis ^{2} \ over \ delvis x ^{2}}+{\ delvis ^{2} \ over \ delvis y ^{2}}+{\ delvis ^{2} \ over \ delvis z ^{2}} = \ nabla \ cdot \ nabla = \ nabla ^{2}}

og definitionen for mere generelle koordinatsystemer er givet i vektor Laplacian .

Laplace er allestedsnærværende i hele moderne matematiske fysik , vises for eksempel i Laplace ligning , Poissons ligning , den varme ligning , den bølgeligningen , og Schrödingerligningen .

Hessisk matrix

Selvom det normalt repræsenterer Laplacian , repræsenterer det undertiden også den hessiske matrix . Førstnævnte refererer til det indre produkt af , mens sidstnævnte henviser til det dyadiske produkt af : ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$ ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle \ nabla}$

{\ displaystyle \ nabla ^{2} = \ nabla \ cdot \ nabla ^{T}}

.

Så om det refererer til en lapisk eller en hessisk matrix, afhænger af konteksten. ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$

Tensor -derivat

Del kan også anvendes på et vektorfelt med resultatet som en tensor . Den tensor derivat af et vektorfelt (i tre dimensioner) er en 9-term anden rang tensor - dvs. en 3 x 3 matrix - men kan betegnes blot som , hvor repræsenterer dyadic produkt . Denne mængde svarer til transponering af vektorfeltets jakobiske matrix i forhold til rummet. Divergensen af vektorfeltet kan derefter udtrykkes som spor af denne matrix. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ otimes {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle \ otimes}$

For en lille forskydning er ændringen i vektorfeltet givet ved: ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$

{\ displaystyle \ delta {\ vec {v}} = (\ nabla \ otimes {\ vec {v}})^{T} \ cdot \ delta {\ vec {r}}}

Produktregler

For vektorberegning :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla (fg) & = f \ nabla g+g \ nabla f \\\ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) & = { \ vec {u}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {u}})+({\ vec { u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {u}} \\\ nabla \ cdot (f {\ vec {v} }) & = f (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ cdot (\ nabla f) \\\ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ times { \ vec {v}}) & = {\ vec {v}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {u}})-{\ vec {u}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec { v}}) \\\ nabla \ times (f {\ vec {v}}) & = (\ nabla f) \ times {\ vec {v}}+f (\ nabla \ times {\ vec {v}} ) \\\ nabla \ times ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) & = {\ vec {u}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})- {\ vec {v}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {u}})+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {u}}-({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {v}} \ end {align}}}

For matrixberegning (som der kan skrives til ): ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}^{\ text {T}} {\ vec {v}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (\ mathbf {A} \ nabla \ right) ^{\ text {T}} {\ vec {u}} & = \ nabla ^{\ text {T}} \ venstre (\ mathbf {A} ^{\ tekst {T}} {\ vec {u}} \ højre)-\ venstre (\ nabla ^{\ tekst {T}} \ mathbf {A} ^{\ tekst {T }} \ højre) {\ vec {u}} \ end {justeret}}}

Et andet forhold af interesse (se f.eks. Euler -ligninger ) er følgende, hvor er den ydre produkttensor : ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}}) = (\ nabla \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {v }}+({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \ end {justeret}}}

Andet derivat

DCG -diagram: Et simpelt diagram, der viser alle regler vedrørende anden derivater. D, C, G, L og CC står for henholdsvis divergens, curl, gradient, Laplacian og curl of curl. Pile angiver eksistensen af anden derivater. Blå cirkel i midten repræsenterer curl of curl, hvorimod de to andre røde cirkler (stiplet) betyder, at DD og GG ikke findes.

Når del opererer på en skalar eller vektor, returneres enten en skalar eller vektor. På grund af mangfoldigheden af vektorprodukter (skalar, prik, kryds) giver en anvendelse af del allerede anledning til tre store derivater: gradienten (skalarproduktet), divergensen (prikproduktet) og krøllen (krydsproduktet). Anvendelse af disse tre slags derivater igen til hinanden giver fem mulige anden derivater for et skalarfelt f eller et vektorfelt v ; brugen af skalaren Laplacian og vektor Laplacian giver to mere:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ cdot (\ nabla f) \\\ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ times (\ nabla f) \\\ Delta f & = \ nabla ^{2} f \\\ operatorname {grad} (\ operatorname {div} {\ vec {v}}) & = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \\\ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) \\\ operatorname {curl} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}}) \\\ Delta {\ vec {v} } & = \ nabla ^{2} {\ vec {v}} \ end {justeret}}}

Disse er hovedsageligt af interesse, fordi de ikke altid er unikke eller uafhængige af hinanden. Så længe funktionerne er velopdragen , er to af dem altid nul:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ times (\ nabla f) = 0 \\\ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) = 0 \ end {align}}}

To af dem er altid lige:

{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} f) = \ nabla \ cdot (\ nabla f) = \ nabla ^{2} f = \ Delta f}

De 3 resterende vektorderivater er relateret ved ligningen:

{\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times {\ vec {v}} \ right) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})-\ nabla ^{2} {\ vec {v}}}

Og en af dem kan endda udtrykkes med tensorproduktet, hvis funktionerne er velopdragen:

{\ displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) = \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes \ nabla)}

Forholdsregler

De fleste af de ovennævnte vektoregenskaber (bortset fra dem, der udtrykkeligt er afhængige af del's differentielle egenskaber - f.eks. Produktreglen), afhænger kun af symbolarrangering og skal nødvendigvis holde, hvis del -symbolet erstattes af en anden vektor. Dette er en del af den værdi, der skal opnås ved notationelt at repræsentere denne operator som en vektor.

Selvom man ofte kan erstatte del med en vektor og opnå en vektoridentitet, hvilket gør disse identiteter mnemoniske, er det modsatte ikke nødvendigvis pålideligt, fordi del ikke pendler generelt.

Et modeksempel, der bygger på delens manglende pendling:

{\ displaystyle {\ begin {align} ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) f & \ equiv ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {u}}) f \ \ (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) f & = \ left ({\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis x}}+{\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis y}}+{\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis z}} \ højre) f = {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis x}} f+{\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis y}} f+{\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis z}} f \\ ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f & = \ venstre (v_ {x} {\ frac {\ partial} {\ delvis x}}+v_ {y} {\ frac {\ delvis} {\ delvis y}}+v_ {z} {\ frac {\ delvis} {\ delvis z}} \ højre) f = v_ {x} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis x}}+v_ {y} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}}+v_ {z } {\ frac {\ delvis f} {\ delvis z}} \\\ Højre pil (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) f & \ neq ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f \ \\ end {align}}}

Et modeksempel, der er afhængig af del's differentielle egenskaber:

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ nabla x) \ times (\ nabla y) & = \ left ({\ vec {e}} _ {x} {\ frac {\ partiell x} {\ delvis x} }+{\ vec {e}} _ {y} {\ frac {\ delvis x} {\ delvis y}}+{\ vec {e}} _ {z} {\ frac {\ delvis x} {\ delvis z}} \ højre) \ gange \ venstre ({\ vec {e}} _ {x} {\ frac {\ delvis y} {\ delvis x}}+{\ vec {e}} _ {y} {\ frac {\ delvis y} {\ delvis y}}+{\ vec {e}} _ {z} {\ frac {\ delvis y} {\ delvis z}} \ højre) \\ & = ({\ vec { e}} _ {x} \ cdot 1+{\ vec {e}} _ {y} \ cdot 0+{\ vec {e}} _ {z} \ cdot 0) \ gange ({\ vec {e} } _ {x} \ cdot 0+{\ vec {e}} _ {y} \ cdot 1+{\ vec {e}} _ {z} \ cdot 0) \\ & = {\ vec {e}} _ {x} \ gange {\ vec {e}} _ {y} \\ & = {\ vec {e}} _ {z} \\ ({\ vec {u}} x) \ times ({\ vec {u}} y) & = xy ({\ vec {u}} \ times {\ vec {u}}) \\ & = xy {\ vec {0}} \\ & = {\ vec {0}} \ end {align}}}

Centralt i disse sondringer er det faktum, at del ikke blot er en vektor; det er en vektoroperator . Mens en vektor er et objekt med både en størrelse og retning, har del hverken en størrelse eller en retning, før den fungerer på en funktion.

Af denne grund skal identiteter, der involverer del, udledes med omhu ved hjælp af både vektoridentiteter og differentieringsidentiteter, såsom produktreglen.

Se også

Referencer

Willard Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) Vektoranalyse , Yale University Press , 1960: Dover Publications .
Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl og alt det der: En uformel tekst om vektorberegning . New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
Miller, Jeff. "Tidligste anvendelser af symboler for beregning" .
Arnold Neumaier (26. januar 1998). Cleve Moler (red.). "Nablas historie" . NA Digest, bind 98, udgave 03. netlib.org.

eksterne links

En undersøgelse af forkert brug af ∇ i vektoranalyse (1994) Tai, Chen

Languages

In other projects