Differentialgeometri - Differential geometry

En trekant nedsænket i et sadelformet plan (et hyperbolsk paraboloid ), samt to divergerende ultraparallelle linjer .

Differentialgeometri er en matematisk disciplin, der studerer geometrien i glatte former og glatte rum, ellers kendt som glatte manifolder , ved hjælp af teknikkerne differentialregning , integralregning , lineær algebra og multilinjær algebra . Feltet har sin oprindelse i studiet af sfærisk geometri så langt tilbage som oldtiden , som den vedrører astronomi og geodæsi af Jorden , og senere i studiet af hyperbolsk geometri af Lobachevsky . De enkleste eksempler på glatte rum er plan- og rumkurver og overflader i det tredimensionelle euklidiske rum , og studiet af disse former dannede grundlaget for udviklingen af ​​moderne differentialgeometri i løbet af 1700-tallet og 1800-tallet.

Siden slutningen af ​​1800 -tallet er differentialgeometri vokset til et felt, der mere generelt vedrører geometriske strukturer på differentierbare manifolder . En geometrisk struktur er en, der definerer en forestilling om størrelse, afstand, form, volumen eller anden stivelsesstruktur. For eksempel er der i Riemannian geometri angivet afstande og vinkler, i symplektisk geometri kan volumener beregnes, i konform geometri er der kun angivet vinkler, og i målingsteori er der givet bestemte felter over rummet. Differentialgeometri er nært beslægtet med og indgår undertiden som differentialtopologi , der vedrører egenskaber ved differentierbare manifolder, der ikke er afhængige af nogen yderligere geometrisk struktur (se denne artikel for mere diskussion om sondringen mellem de to emner). Differentialgeometri er også relateret til de geometriske aspekter af teorien om differentialligninger , ellers kendt som geometrisk analyse .

Differentialgeometri finder anvendelser i hele matematik og naturvidenskab . Mest fremtrædende blev sproget i differential geometri brugt af Albert Einstein i hans teori om generel relativitetsteori og efterfølgende af fysikere i udviklingen af kvantefeltteori og standardmodellen for partikelfysik . Uden for fysikken finder differentialgeometri applikationer inden for kemi , økonomi , teknik , kontrolteori , computergrafik og computersyn og for nylig inden for maskinlæring .

Historie og udvikling

Historien og udviklingen af ​​differential geometri som emne begynder mindst lige så langt tilbage som den klassiske antik og er tæt forbundet med udviklingen af ​​geometri mere generelt, begrebet rum og form og topologi . For flere detaljer om historien om begrebet en manifold se den artikel og historien om manifolds og sorter . I dette afsnit fokuserer vi primært på historien om anvendelsen af uendelige metoder til geometri og senere til ideerne om tangentrum og til sidst udviklingen af ​​emnets moderne formalisme med hensyn til tensorer og tensorfelter .

Klassisk antik indtil renæssancen (300 f.Kr. - 1600 e.Kr.)

Studiet af differential geometri, eller i det mindste studiet af geometrien af ​​glatte former, kan i det mindste spores tilbage til klassisk antik . Især var meget kendt om Jordens geometri , en sfærisk geometri , i de gamle græske matematikeres tid. Berømt beregnede Eratosthenes Jordens omkreds omkring 200 f.Kr., og omkring 150 e.Kr. introducerede Ptolemaios i sin geografi den stereografiske projektion med henblik på at kortlægge Jordens form. Implicit gennem hele denne tid blev principper, der danner grundlaget for differential geometri og beregning, brugt i geodesi , selv om de var i en meget forenklet form. Nemlig, så langt tilbage som Euclid 's Elements det var underforstået, at en lige linje kan defineres ved sin egenskab af at give den korteste afstand mellem to punkter, og anvende det samme princip til overfladen af Jordens fører til den konklusion, at store cirkler , som kun lokalt ligner lige linjer i et fladt plan, giver den korteste vej mellem to punkter på jordens overflade. Målingerne af afstand langs sådanne geodesiske stier af Eratosthenes og andre kan betragtes som et rudimentært mål for kurvens arklængde , et begreb, der først så 1600 -tallet en streng definition med hensyn til beregning.

Omkring dette tidspunkt var der kun minimale åbenlyse anvendelser af teorien om uendelige tal til studiet af geometri, en forløber for den moderne beregning-baserede undersøgelse af emnet. I Euclid 's Elements begrebet tangentpunktet for en linje til en cirkel diskuteres, og Archimedes anvendte metode til udmattelse at beregne områder af glatte former såsom den cirkel , og i produktionen af glatte tre-dimensionelle faststoffer såsom kuglen , kegler og cylindre.

Der var lidt udvikling i teorien om differential geometri mellem antikken og begyndelsen af renæssancen . Før udviklingen af ​​calculus af Newton og Leibniz kom den mest betydningsfulde udvikling i forståelsen af ​​differentialgeometri fra Gerardus Mercators udvikling af Mercator -projektionen som en måde at kortlægge Jorden på. Mercator havde forståelse for fordele og faldgruber ved sit kortdesign og var især opmærksom på projektionens konforme karakter samt forskellen mellem praga , linjerne med den korteste afstand på jorden og directio , den lige stier på hans kort. Mercator bemærkede, at pragaen var skrå krumning i dette projektion. Denne kendsgerning afspejler manglen på et metrisk bevarende kort over Jordens overflade på et fladt plan, en konsekvens af den senere Theorema Egregium fra Gauss .

Efter beregning (1600 - 1800)

En osculerende cirkel

Den første systematiske eller stringente behandling af geometri ved hjælp af teorien om uendelige tal og forestillinger fra beregning begyndte omkring 1600'erne, da beregning først blev udviklet af Gottfried Leibniz og Isaac Newton . På dette tidspunkt tillod det nylige arbejde af René Descartes, der introducerede analytiske koordinater til geometri, geometriske former med stigende kompleksitet at blive beskrevet grundigt. Især omkring dette tidspunkt begyndte Pierre de Fermat , Newton og Leibniz at studere plankurver og undersøge begreber som bøjningspunkter og osculationscirkler , som hjælper med måling af krumning . Leibniz bemærker faktisk allerede i sit første papir om beregningens grundlag, at den uendelige tilstand angiver eksistensen af ​​et bøjningspunkt. Kort efter denne tid leverede brødrene Bernoulli , Jacob og Johann vigtige tidlige bidrag til brugen af ​​uendelige tal til at studere geometri. I forelæsninger af Johann Bernoulli på det tidspunkt, senere samlet af L'Hopital i den første lærebog om differentialregning , beregnes tangenterne til plane kurver af forskellige typer ved hjælp af betingelsen , og på samme måde beregnes bøjningspunkter. På samme tid realiseres ortogonaliteten mellem en plan kurvs osculerende cirkler og tangentretningerne, og den første analytiske formel for radius af en osculerende cirkel, i det væsentlige den første analytiske formel for begrebet krumning , nedskrives.

I kølvandet på udviklingen af ​​analytisk geometri og plankurver begyndte Alexis Clairaut studiet af rumkurver i en alder af 16. I sin bog introducerede Clairaut forestillingen om tangente og subtangente retninger til rumkurver i forhold til de retninger, der ligger langs en overflade, som rumkurven ligger på. Demonstrerede således Clairauts en implicit forståelse af tangenten plads af en overflade og studerede denne idé ved hjælp calculus for første gang. Det er vigtigt, at Clairaut introducerede terminologi for krumning og dobbelt krumning , hovedsageligt forestillingen om hovedkurvaturer, der senere blev undersøgt af Gauss og andre.

Omtrent på samme tid leverede Leonhard Euler , oprindeligt en elev af Johann Bernoulli, mange betydelige bidrag, ikke bare til udviklingen af ​​geometri, men til matematik mere bredt. Med hensyn til differential geometri studerede Euler forestillingen om en geodesik på en overflade, der stammer fra den første analytiske geodesiske ligning , og introducerede senere det første sæt af iboende koordinatsystemer på en overflade og begyndte teorien om iboende geometri , som moderne geometriske ideer er baseret på. . Omkring dette tidspunkt førte Eulers undersøgelse af mekanik i Mechanica til erkendelsen af, at en masse, der bevæger sig langs en overflade, der ikke var påvirket af nogen kraft, ville krydse en geodesisk vej, en tidlig forløber for de vigtige grundlæggende ideer om Einsteins generelle relativitet , og også til de Euler-Lagrange ligninger og den første teori om calculus varianter , som understøtter i moderne differential geometri mange teknikker i symplektisk geometri og geometrisk analyse . Denne teori blev brugt af Lagrange , en medudvikler af beregningen af ​​variationer, til at udlede den første differentialligning, der beskriver en minimal overflade med hensyn til Euler-Lagrange-ligningen. I 1760 beviste Euler en sætning, der udtrykker krumningen af ​​en rumkurve på en overflade i form af de vigtigste krumninger, kendt som Eulers sætning .

Senere på 1700 -tallet begyndte den nye franske skole ledet af Gaspard Monge at yde bidrag til differential geometri. Monge leverede vigtige bidrag til teorien om plane kurver, overflader og studerede overflader af revolution og konvolutter af plane kurver og rumkurver. Flere studerende i Monge bidrog til den samme teori, og for eksempel Charles Dupin leverede en ny fortolkning af Eulers sætning med hensyn til princippens krumninger, som er ligningens moderne form.

Egenskabelig geometri og ikke -euklidisk geometri (1800 - 1900)

Differentialgeometri blev et studieområde, der blev betragtet i sig selv, adskilt fra den mere brede idé om analytisk geometri i 1800 -tallet, primært gennem Carl Friedrich Gauss og Bernhard Riemanns grundlæggende arbejde , og også i de vigtige bidrag fra Nikolai Lobachevsky om hyperbolsk geometri og ikke-euklidisk geometri og i hele samme periode udviklingen af projektiv geometri .

I 1827 producerede Gauss Disquisitiones generales circa superficies curvas med detaljer om den generelle teori om buede overflader. I dette arbejde og sine efterfølgende artikler og upublicerede notater om teorien om overflader er Gauss blevet døbt opfinderen af ​​ikke-euklidisk geometri og opfinderen af ​​iboende differentialgeometri. I sit grundlæggende papir introducerede Gauss Gauss-kortet , gaussisk krumning , første og anden grundlæggende former , beviste Theorema Egregium, der viser den gaussiske krumningens iboende natur, og studerede geodesik, beregner arealet af en geodesisk trekant i forskellige ikke-euklidiske geometrier på overflader.

På dette tidspunkt var Gauss allerede af den opfattelse, at standardparadigmet for euklidisk geometri skulle kasseres og var i besiddelse af private manuskripter om ikke-euklidisk geometri, som informerede hans undersøgelse af geodesiske trekanter. Omkring samme tid opdagede János Bolyai og Lobachevsky uafhængigt hyperbolsk geometri og demonstrerede således eksistensen af ​​konsistente geometrier uden for Euklides paradigme. Konkrete modeller af hyperbolsk geometri blev produceret af Eugenio Beltrami senere i 1860'erne, og Felix Klein opfandt udtrykket ikke-euklidisk geometri i 1871 og satte via Erlangen-programmet euklidiske og ikke-euklidiske geometrier på samme fod. Implicit var Jordens sfæriske geometri, der var blevet undersøgt siden antikken, en ikke-euklidisk geometri, en elliptisk geometri .

Udviklingen af ​​iboende differentialgeometri i Gauss sprog blev ansporet af hans elev, Bernhard Riemann i hans Habilitationsschrift , Om de hypoteser, der ligger til grund for geometri . I dette arbejde introducerede Riemann for første gang forestillingen om en Riemannian -metrik og Riemannian -krumningstensoren og begyndte den systematiske undersøgelse af differentialgeometri i højere dimensioner. Dette iboende synspunkt med hensyn til den Riemanniske metrik, betegnet med Riemann, var udviklingen af ​​en idé om Gauss om det lineære element på en overflade. På dette tidspunkt begyndte Riemann at indføre den systematiske brug af lineær algebra og multilinjær algebra i emnet og udnyttede i høj grad teorien om kvadratiske former i sin undersøgelse af metrik og krumning. På dette tidspunkt udviklede Riemann endnu ikke den moderne forestilling om en mangfoldighed, da selv ikke tanken om et topologisk rum ikke var stødt på, men han foreslog, at det måske var muligt at undersøge eller måle egenskaberne ved metricen om rumtid gennem analyse af masser inden for rumtiden, der kæder sammen med den tidligere observation af Euler om, at masser under virkning af ingen kræfter ville bevæge sig langs geodesik på overflader, og forudsige Einsteins grundlæggende observation af ækvivalensprincippet hele 60 år før det dukkede op i den videnskabelige litteratur.

I kølvandet på Riemanns nye beskrivelse skiftede fokus for teknikker, der blev brugt til at studere differential geometri fra ad hoc og ekstrinsiske metoder til undersøgelse af kurver og overflader til en mere systematisk tilgang med hensyn til tensorberegning og Kleins Erlangen -program, og fremskridt steg i marken. Begrebet grupper af transformationer blev udviklet af Sophus Lie og Jean Gaston Darboux , hvilket førte til vigtige resultater i teorien om Lie -grupper og symplektisk geometri . Begrebet differentialregning på buede rum blev undersøgt af Elwin Christoffel , der introducerede Christoffelsymbolerne, der beskriver det kovariante derivat i 1868, og af andre, herunder Eugenio Beltrami, der studerede mange analytiske spørgsmål om manifolder. I 1899 producerede Luigi Bianchi sine forelæsninger om differential geometri, der studerede differential geometri fra Riemanns perspektiv, og et år senere producerede Tullio Levi-Civita og Gregorio Ricci-Curbastro deres lærebog systematisk at udvikle teorien om absolut differentialregning og tensorberegning . Det var på dette sprog, at differentialgeometri blev brugt af Einstein i udviklingen af ​​generel relativitet og pseudo-Riemannian geometri .

Moderne differentialgeometri (1900 - 2000)

Emnet for moderne differentialgeometri opstået ud af begyndelsen af 1900'erne som reaktion på de fundamentale bidrag fra mange matematikere, herunder vigtigst arbejdet af Henri Poincaré på fundamenterne af topologi . I begyndelsen af ​​1900'erne var der en stor bevægelse inden for matematik for at formalisere de grundlæggende aspekter af emnet for at undgå kriser af stringens og nøjagtighed, kendt som Hilberts program . Som en del af denne bredere bevægelse blev forestillingen om et topologisk rum destilleret ind af Felix Hausdorff i 1914, og i 1942 var der mange forskellige forestillinger om mangfoldighed af en kombinatorisk og differentialgeometrisk karakter.

Interessen for emnet blev også fokuseret på fremkomsten af ​​Einsteins teori om generel relativitet og betydningen af ​​Einstein Field -ligningerne. Einsteins teori populariserede tensorberegningen for Ricci og Levi-Civita og introducerede notationen for en Riemannian-metrik og for Christoffelsymbolerne, der begge kom fra G i Gravitation . Élie Cartan hjalp med at omformulere grundlaget for differentialgeometrien for glatte manifolder med hensyn til udvendig beregning og teorien om bevægelige rammer , hvilket førte i fysikens verden til Einstein -Cartan -teorien .

Efter denne tidlige udvikling bidrog mange matematikere til udviklingen af ​​den moderne teori, herunder Jean-Louis Koszul, der introducerede forbindelser på vektorbundter , Shiing-Shen Chern, der introducerede karakteristiske klasser til emnet og begyndte at studere komplekse manifolder , William Hodge og Georges de Rham, der udvidede forståelsen af differentierede former , Charles Ehresmann, der introducerede teorifibre og Ehresmann -forbindelser og andre. Særligt vigtigt var Hermann Weyl, der leverede vigtige bidrag til grundlaget for generel relativitet, introducerede Weyl -tensoren, der gav indsigt i konform geometri og først definerede forestillingen om en måler, der førte til udviklingen af målingsteori inden for fysik og matematik .

I midten og slutningen af ​​det 20. århundrede udvides differentialgeometri som emne i omfang og udviklede links til andre områder inden for matematik og fysik. Udviklingen af gauge -teorien og Yang -Mills -teorien i fysik bragte bundter og forbindelser i fokus, hvilket førte til udvikling inden for gauge -teori . Mange analytiske resultater blev undersøgt, herunder beviset for sætningen Atiyah -Singer indeks . Udviklingen af kompleks geometri blev ansporet af parallelle resultater i algebraisk geometri , og resultaterne i geometrien og global analyse af komplekse manifolder blev bevist af Shing-Tung Yau og andre. I sidste halvdel af det 20. århundrede blev der udviklet nye analytiske teknikker med hensyn til krumningsstrømme som f.eks. Ricci -strømmen , der kulminerede i Grigori Perelmans bevis på Poincaré -formodningen . I samme periode primært på grund af Michael Atiyahs indflydelse blev der dannet nye forbindelser mellem teoretisk fysik og differentialgeometri. Teknikker fra undersøgelsen af Yang -Mills -ligningerne og målingsteorien blev brugt af matematikere til at udvikle nye invarianter af glatte manifolder. Fysikere som Edward Witten , den eneste fysiker, der blev tildelt en Fields -medalje , fik nye effekter i matematik ved at bruge topologisk kvantefeltteori og strengteori til at lave forudsigelser og tilvejebringe rammer for ny streng matematik, hvilket for eksempel har resulteret i det formodede spejl symmetri og Seiberg – Witten invarianter .

Grene

Riemannisk geometri

Riemannian geometri studerer Riemannian manifolds , glatte manifolds med en Riemannian metric . Dette er et afstandsbegreb udtrykt ved hjælp af en glat positiv bestemt symmetrisk bilinear form defineret på tangensrummet på hvert punkt. Riemannisk geometri generaliserer euklidisk geometri til rum, der ikke nødvendigvis er flade, selvom de stadig ligner euklidisk rum på hvert punkt uendeligt, dvs. i den første tilnærmelsesorden . Forskellige begreber baseret på længde, såsom kurvens bue længde , areal af plane områder og volumen af faste stoffer besidder alle naturlige analoger i Riemannian geometri. Forestillingen om et retningsderivat af en funktion fra multivariabel beregning udvides til begrebet et kovariant derivat af en tensor . Mange begreber om analyse og differentialligninger er blevet generaliseret til indstilling af Riemanniske manifolder.

En afstandsbevarende diffeomorfisme mellem Riemanniske manifolder kaldes en isometri . Denne forestilling kan også defineres lokalt , dvs. for små kvarterer med punkter. Eventuelle to regelmæssige kurver er lokalt isometriske. Imidlertid viste Theorema Egregium fra Carl Friedrich Gauss, at eksistensen af ​​en lokal isometri for overflader medfører, at de gaussiske krumninger på de tilsvarende punkter skal være de samme. I højere dimensioner er Riemann -krumningstensoren en vigtig punktvis invariant forbundet med et Riemann -manifold, der måler, hvor tæt det er at være flad. En vigtig klasse af Riemanniske manifolder er de Riemanniske symmetriske rum , hvis krumning ikke nødvendigvis er konstant. Disse er de nærmeste analoger til det "almindelige" plan og rum, der betragtes i euklidisk og ikke-euklidisk geometri .

Pseudo-Riemannian geometri

Pseudo-Riemannian geometri generaliserer Riemannian geometri til det tilfælde, hvor den metriske tensor ikke behøver at være positiv-bestemt . Et specielt tilfælde af dette er en Lorentzian manifold , som er det matematiske grundlag for Einsteins generelle relativitetsteori om tyngdekraften .

Finsler geometri

Finsler -geometri har Finsler -manifolder som hovedobjektet for undersøgelsen. Dette er en differentialmanifold med en Finsler -metrik , det vil sige en Banach -norm defineret på hvert tangentrum. Riemanniske manifolds er særlige tilfælde af de mere generelle Finsler manifolds. En Finsler -struktur på en manifold M er en funktion F  : T M → [0, ∞) sådan, at:

  1. F ( x , my ) = m F ( x , y ) for alle ( x , y ) i T M og alle m ≥0 ,
  2. F er uendeligt differentierbar i T M ∖ {0} ,
  3. Den lodrette hessian for F 2 er positiv bestemt.

Symbolsk geometri

Symplektisk geometri er studiet af symplektiske manifolder . En næsten symplektisk manifold er en differentierbar manifold udstyret med en jævnt varierende ikke-degenereret skæv-symmetrisk bilinear form på hvert tangentrum, dvs. en ikke-degenereret 2- form ω , kaldet den symplektiske form . En symplektisk manifold er en næsten symplectic manifold, for hvilken den symplektiske form ω er lukket: d ω = 0 .

En diffeomorfisme mellem to symplektiske manifolder, som bevarer den symplektiske form, kaldes en symplectomorphism . Ikke-degenererede skæv-symmetriske bilineariske former kan kun eksistere på lige-dimensionelle vektorrum, så symplektiske manifolder nødvendigvis har en ensartet dimension. I dimension 2 er en symplektisk manifold bare en overflade udstyret med en arealform, og en symplectomorphism er en områdebevarende diffeomorfisme. Den fase plads af et mekanisk system er en symplektisk mangfoldighed og de gjorde en implicit udseende allerede i arbejdet i Joseph Louis Lagrange om analytisk mekanik og senere i Carl Gustav Jacobi 's og William Rowan Hamilton ' s formuleringer af klassisk mekanik .

I modsætning til Riemannian geometri, hvor krumningen giver en lokal invariant af Riemannian manifolds, siger Darboux's sætning , at alle symplektiske manifolder er lokalt isomorfe. De eneste invarianter af en symplektisk mangfoldighed er af global karakter, og topologiske aspekter spiller en fremtrædende rolle i symplektisk geometri. Det første resultat i symplektisk topologi er sandsynligvis Poincaré – Birkhoff -sætningen , formodet af Henri Poincaré og derefter bevist af GD Birkhoff i 1912. Det hævder, at hvis et område, der bevarer kort over en annulus, vrider hver grænsekomponent i modsatte retninger, så har kortet mindst to faste punkter.

Kontaktgeometri

Kontaktgeometri omhandler visse manifolder af ulige dimensioner. Det er tæt på symplektisk geometri, og ligesom sidstnævnte stammer det fra spørgsmål om klassisk mekanik. En kontaktstruktur på en (2 n + 1) -dimensionel manifold M er givet af et glat hyperplanfelt H i tangentbundtet , der så langt som muligt er forbundet med niveausættene for en differentierbar funktion på M (det tekniske udtryk er "fuldstændig ikke -integrerbar tangent -hyperplanfordeling"). Nær hvert punkt p bestemmes en hyperplanfordeling af en ingensteds forsvindende 1-form , der er unik op til multiplikation med en ingensteds forsvindende funktion:

En lokal 1-form på M er en kontakt formular hvis begrænsning af dens ydre derivat til H er en ikke-degenereret to-formen og således inducerer en symplektisk struktur på H p i hvert punkt. Hvis fordelingen H kan defineres af en global enformular, er denne formular kontakt, hvis og kun hvis den topdimensionelle form

er en volumenformM , dvs. forsvinder ikke nogen steder. En kontaktanalog af Darboux-sætningen gælder: alle kontaktstrukturer på en ulige dimensionel manifold er lokalt isomorfe og kan bringes til en bestemt lokal normal form ved et passende valg af koordinatsystemet.

Kompleks og Kähler geometri

Kompleks differentialgeometri er studiet af komplekse manifolder . En næsten kompleks manifold er en reel manifold , udstyret med en tensor af typen (1, 1), dvs. en vektorbundt endomorfisme (kaldet en næsten kompleks struktur )

, sådan

Det følger af denne definition, at et næsten komplekst manifold er lige-dimensionelt.

En næsten kompleks manifold kaldes kompleks, hvis , hvor er en tensor af type (2, 1) relateret til , kaldet Nijenhuis tensor (eller undertiden torsion ). En næsten kompleks mangfoldighed er kompleks, hvis og kun hvis den indrømmer et holomorft koordinatatlas . En næsten hermitisk struktur er givet af en næsten kompleks struktur J sammen med en Riemannisk metrisk g , der opfylder kompatibilitetstilstanden

.

En næsten hermitisk struktur definerer naturligt en differential to-form

.

Følgende to betingelser er ækvivalente:

hvor er Levi-Civita-forbindelsen til . I dette tilfælde kaldes det en Kähler -struktur , og en Kähler -manifold er en manifold udstyret med en Kähler -struktur. Især et Kähler -manifold er både et komplekst og et symplektisk manifold . En stor klasse af Kähler -manifolder (klassen af Hodge -manifolder ) er givet af alle de glatte komplekse projektive sorter .

CR geometri

CR geometri er studiet af den iboende geometri af grænser for domæner i komplekse manifolder .

Konform geometri

Konform geometri er undersøgelsen af ​​sættet med vinkelbevarende (konforme) transformationer på et rum.

Differentialtopologi

Differentialtopologi er studiet af globale geometriske invarianter uden en metrisk eller symplektisk form.

Differentialtopologi starter fra de naturlige operationer, såsom Lie -derivat af naturlige vektorgrupper og de Rham -differentialer af former . Ved siden af Lie algebroids , også Courant algebroids begynde at spille en større rolle.

Lie grupper

En Lie -gruppe er en gruppe i kategorien glatte manifolder. Udover de algebraiske egenskaber nyder dette også differentielle geometriske egenskaber. Den mest oplagte konstruktion er konstruktionen af ​​en Lie-algebra, som er tangensrummet ved enheden udstyret med Lie-beslaget mellem venstre-invariante vektorfelter . Ved siden af ​​strukturteorien er der også det brede område af repræsentationsteori .

Geometrisk analyse

Geometrisk analyse er en matematisk disciplin, hvor værktøjer fra differentialligninger, især elliptiske partielle differentialligninger, bruges til at etablere nye resultater inden for differential geometri og differential topologi.

Målerteori

Gauge -teori er studiet af forbindelser på vektorbundter og hovedbundter og opstår på grund af problemer i matematisk fysik og fysiske teorier, der ligger til grund for standardmodellen for partikelfysik . Gauge -teori vedrører undersøgelsen af ​​differentialligninger for forbindelser på bundter og de resulterende geometriske modulrum af løsninger til disse ligninger samt de invarianter, der kan stammer fra dem. Disse ligninger opstår ofte som Euler -Lagrange -ligningerne, der beskriver bevægelsesligninger for visse fysiske systemer inden for kvantefeltteori , og derfor er deres undersøgelse af stor interesse for fysik.

Bundler og forbindelser

Apparatet til vektorbundter , hovedbundter og forbindelser på bundter spiller en ekstraordinært vigtig rolle i moderne differentialgeometri. En glat manifold bærer altid et naturligt vektorbundt, tangentbundtet . Løst sagt er denne struktur i sig selv kun tilstrækkelig til at udvikle analyse på manifolden, mens geometri derudover kræver en eller anden måde at relatere tangentrummene på forskellige punkter, det vil sige en forestilling om paralleltransport . Et vigtigt eksempel er affine forbindelser . For en overflade i R 3 kan tangentplaner på forskellige punkter identificeres ved hjælp af en naturlig sti-vis parallelisme induceret af det omgivende euklidiske rum, som har en velkendt standarddefinition af metrisk og parallelisme. I riemannsk geometri , den Levi-Civita forbindelse tjener et lignende formål. Mere generelt betragter differentialgeometre rum med et vektorbundt og en vilkårlig affineforbindelse, som ikke er defineret i form af en metrik. I fysikken kan manifolden være i rumtiden, og bundterne og forbindelserne er relateret til forskellige fysiske felter.

Iboende kontra ekstrinsisk

Fra begyndelsen og gennem midten af ​​1800 -tallet blev differentialgeometri undersøgt ud fra det ekstrinsiske synspunkt: kurver og overflader blev betragtet som at ligge i et euklidisk rum med en større dimension (f.eks. En overflade i et rum med tre dimensioner) . De enkleste resultater er dem i kurvens differentialgeometri og overfladens differentialgeometri. Fra og med Riemanns arbejde blev det iboende synspunkt udviklet, hvor man ikke kan tale om at bevæge sig "uden for" det geometriske objekt, fordi det anses for at være givet på en fritstående måde. Det grundlæggende resultat her er Gauss ' theorema egregium , således at gaussisk krumning er en iboende invariant.

Det iboende synspunkt er mere fleksibelt. For eksempel er det nyttigt i relativitet, hvor rumtid ikke naturligt kan tages som ekstrinsisk. Der er imidlertid en pris at betale i teknisk kompleksitet: de iboende definitioner af krumning og forbindelser bliver meget mindre visuelt intuitive.

Disse to synspunkter kan forenes, dvs. den ekstrinsiske geometri kan betragtes som en struktur ud over den iboende. (Se Nash indlejring teorem .) I formalisme geometriske calculus både ydre og indre geometri af en manifold kan karakteriseres ved en enkelt bivector værdsat en form kaldet den form operatør .

Ansøgninger

Nedenfor er nogle eksempler på, hvordan differential geometri anvendes på andre videnskabelige og matematiske områder.

Se også

Referencer

Yderligere læsning

eksterne links