Dimensionløs mængde - Dimensionless quantity

I dimensionsanalyse , en dimensionsløs mængde er en mængde , som ikke fysisk dimension er tildelt, også kendt som en nøgen, ren, eller skalarstørrelse eller en mængde dimension en, med en tilsvarende måleenhed i SI af enheden ene ( eller 1 ), som ikke eksplicit vises. Dimensionløse mængder bruges i vid udstrækning på mange områder, såsom matematik , fysik , kemi , teknik og økonomi . Dimensionløse mængder adskiller sig fra størrelser, der har tilhørende dimensioner, f.eks. Tid (målt i sekunder ). Symbolerne rad og sr skrives imidlertid eksplicit, hvor det er hensigtsmæssigt, for at understrege, at for radianer eller steradianer er den mængde, der overvejes, henholdsvis planvinklen eller den faste vinkel. For eksempel er etendue defineret som at have måleenheder gange steradianer.

Historie

Mængder med dimension 1, dimensionsløse størrelser , forekommer regelmæssigt inden for videnskab og behandles formelt inden for dimensionsanalysen . I det nittende århundrede førte den franske matematiker Joseph Fourier og den skotske fysiker James Clerk Maxwell betydelige udviklinger i de moderne begreber om dimension og enhed . Senere arbejde af britiske fysikere Osborne Reynolds og Lord Rayleigh bidrog til forståelsen af ​​dimensionsløse tal i fysik. Med udgangspunkt i Rayleighs metode til dimensionsanalyse beviste Edgar Buckingham π -sætningen (uafhængigt af den franske matematiker Joseph Bertrands tidligere arbejde) for at formalisere arten af ​​disse størrelser.

Talrige dimensionsløse tal, for det meste forhold, blev opfundet i begyndelsen af ​​1900'erne, især inden for områderne væskemekanik og varmeoverførsel . Måling forhold i (afledt) enhed dB ( decibel ) finder udbredt anvendelse i dag.

I begyndelsen af ​​2000'erne diskuterede Den Internationale Komité for Vægte og Foranstaltninger navngivning af enheden 1 som " uno ", men tanken om bare at introducere et nyt SI -navn for 1 blev droppet.

Forhold, proportioner og vinkler

Dimensionløse mængder opnås ofte som forhold mellem størrelser , der ikke er dimensionsløse, men hvis dimensioner udgår i den matematiske operation. Eksempler omfatter beregning af skråninger eller enhedsomregningsfaktorer . Et mere komplekst eksempel på et sådant forhold er teknisk belastning , et mål for fysisk deformation defineret som en ændring i længden divideret med den oprindelige længde. Da begge størrelser har dimensionens længde , er deres forhold dimensionsløst. Et andet sæt eksempler er massefraktioner eller molfraktioner, der ofte skrives ved hjælp af dele pr. Notation som ppm (= 10 ⁻⁶ ), ppb (= 10 ⁻⁹ ) og ppt (= 10 ⁻¹² ), eller måske forvirrende som forhold mellem to identiske enheder ( kg /kg eller mol /mol). For eksempel kan alkohol i volumen , som karakteriserer koncentrationen af ethanol i en alkoholholdig drik , skrives som ml / 100 ml .

Andre almindelige proportioner er procentdele %  (= 0,01),   ‰  (= 0,001) og vinkelenheder såsom radian , grad (° = π/180) og grad (= π/200). I statistikken den variationskoefficienten er forholdet mellem standardafvigelsen for middelværdien og anvendes til at måle dispersionen i data .

Det er blevet argumenteret for, at mængder defineret som forhold Q = A / B med lige store dimensioner i tæller og nævner faktisk kun er enhedsløse størrelser og stadig har en fysisk dimension defineret som dim Q = dim A × dim B ⁻¹ . F.eks. Kan fugtindhold defineres som et forhold mellem mængder (volumetrisk fugtighed, m ³ ⋅m ⁻³ , dimension L ³ ⋅L ⁻³ ) eller som et forhold mellem masser (gravimetrisk fugtighed, enheder kg⋅kg ⁻¹ , dimension M⋅M ⁻¹ ); begge ville være enhedsløse mængder, men af ​​forskellig dimension.

Buckingham π sætning

Buckingham π -sætningen angiver, at gyldigheden af ​​fysikkens love ikke afhænger af et specifikt enhedssystem. En erklæring om denne sætning er, at enhver fysisk lov kan udtrykkes som en identitet, der kun involverer dimensionsløse kombinationer (forhold eller produkter) af de variabler, der er knyttet til loven (f.eks. Tryk og volumen er forbundet med Boyles lov - de er omvendt proportionale). Hvis de dimensionsløse kombinationers værdier ændrede sig med enhedssystemerne, ville ligningen ikke være en identitet, og Buckinghams sætning ville ikke holde.

En anden konsekvens af sætningen er, at den funktionelle afhængighed mellem et bestemt antal (f.eks. N ) variabler kan reduceres med antallet (siger k ) af uafhængige dimensioner, der forekommer i disse variabler for at give et sæt p = n - k uafhængigt , dimensionsløse mængder . Med henblik på eksperimentatoren er forskellige systemer, der deler den samme beskrivelse efter dimensionsløs mængde , ækvivalente.

Eksempel

For at demonstrere anvendelsen af π -sætningen skal du overveje strømforbruget for en omrører med en given form. Effekten, P , i dimensioner [M · L ² /T ³ ], er en funktion af densiteten , ρ [M/L ³ ] og viskositeten af den væske, der skal omrøres, μ [M/(L · T )], såvel som omrøringens størrelse givet ved dens diameter , D [L] og omrørerens vinkelhastighed , n [1/T]. Derfor har vi i alt n = 5 variabler, der repræsenterer vores eksempel. Disse n = 5 variabler er opbygget ud fra k = 3 grundlæggende dimensioner, længden: L ( SI -enheder: m ), tiden: T ( s ) og massen: M ( kg ).

Ifølge den π -theorem, den n = 5 variable kan reduceres med k = 3 dimensioner til udformningen p = n - k = 5 - 3 = 2 uafhængige dimensionsløse tal. Normalt er disse mængder valgt som , almindeligvis navngivet Reynolds tal , som beskriver strømning fluid, og den effekt nummer , som er den dimensionsløse beskrivelse af omrører. ${\ textstyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho nD^{2}} {\ mu}}}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {P} {\ rho n^{3} D^{5}}}}$

Bemærk, at de to dimensionsløse størrelser ikke er unikke og afhænger af hvilken af n = 5 -variablerne, der vælges som k = 3 uafhængige basisvariabler, der vises i begge dimensionsløse størrelser. Reynolds -nummeret og effektnummeret falder fra analysen ovenfor, hvis , n og D vælges som basisvariabler. Hvis man i stedet, , n , og D er valgt, Reynolds-tallet udvundet, mens det andet dimensionsløse mængde bliver . Vi bemærker, at det er produktet af Reynolds -nummeret og strømnummeret. ${\ textstyle \ rho}$${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}} = {\ frac {P} {\ mu D^{3} n^{2}}}}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}}}$

Dimensionløse fysiske konstanter

Visse universaldimensionerede fysiske konstanter, såsom lysets hastighed i et vakuum, den universelle gravitationskonstant , Plancks konstant , Coulombs konstant og Boltzmanns konstant kan normaliseres til 1, hvis passende enheder for tid , længde , masse , ladning og temperatur er valgt. Det resulterende enhedssystem er kendt som de naturlige enheder , specifikt vedrørende disse fem konstanter, Planck -enheder . Imidlertid kan ikke alle fysiske konstanter normaliseres på denne måde. For eksempel er værdierne for følgende konstanter uafhængige af enhedssystemet, kan ikke defineres og kan kun bestemmes eksperimentelt:

• α ≈ 1/137, den fine strukturkonstant , som karakteriserer størrelsen af ​​den elektromagnetiske interaktion mellem elektroner.
• β (eller μ ) ≈ 1836, proton-til-elektronmasseforholdet . Dette forhold er det resten masse af proton divideret med den af elektron . Et analogt forhold kan defineres for enhver elementarpartikel ;
• α _s ≈ 1, en konstant, der karakteriserer den stærke atomkrafts koblingsstyrke;
• Forholdet mellem massen af enhver given elementarpartikel til Planck masse , .${\ displaystyle {\ sqrt {\ hbar c/G}}}$

Andre mængder produceret ved ikke -dimensionalisering

Fysik bruger ofte dimensionsløse mængder til at forenkle karakteriseringen af ​​systemer med flere interagerende fysiske fænomener. Disse kan findes ved at anvende Buckingham π -sætningen eller på anden måde komme ud af at lave partielle differentialligninger enhedsløse ved processen med ikke -dimensionalisering . Engineering, økonomi og andre felter udvider ofte disse ideer i design og analyse af de relevante systemer.

Fysik og teknik

• Fresnel nummer - bølgetal over afstand
• Mach -nummer - forholdet mellem hastigheden af ​​et objekt eller en strøm i forhold til lydens hastighed i væsken.

• Beta (plasmafysik) - forholdet mellem plastryk og magnetisk tryk, der bruges i magnetosfærisk fysik samt fusionsplasmafysik.
• Damköhler -tal (Da) - bruges i kemiteknik til at relatere den kemiske reaktionstidsskala (reaktionshastighed) til den transportfænomenhastighed, der forekommer i et system.
• Thiele modul - beskriver forholdet mellem diffusion og reaktionshastighed i porøse katalysatorpiller uden masseoverførselsbegrænsninger.
• Numerisk blænde - karakteriserer det område af vinkler, som systemet kan acceptere eller udsende lys over.
• Sherwood-nummer- (også kaldet masseoverførsel Nusselt-nummer ) er et dimensionsløst tal, der bruges i masseoverførsel. Det repræsenterer forholdet mellem den konvektive masseoverførsel og hastigheden af ​​diffus massetransport.
• Schmidt -nummer - defineret som forholdet mellem momentdiffusivitet (kinematisk viskositet) og massediffusivitet og bruges til at karakterisere væskestrømme, hvor der er samtidige momentum- og massediffusionskonvektionsprocesser.
• Reynolds nummer bruges almindeligvis i væskemekanik til at karakterisere flow, der inkorporerer både væskens egenskaber og strømmen. Det tolkes som forholdet mellem inertialkræfter og viskøse kræfter og kan angive flowregime samt korrelere med friktionsopvarmning i anvendelse til flow i rør.

Kemi

• Relativ massefylde - densitet i forhold til vand
• Relativ atommasse , Standard atomvægt
• Ligevægtskonstant (som undertiden er dimensionsløs)

Andre felter

• Transportomkostninger er effektiviteten ved at flytte fra et sted til et andet
• Elasticitet er måling af den proportionelle ændring af en økonomisk variabel som reaktion på en ændring i en anden

Se også

• Tilfældig enhed
• Dimensionsanalyse
• Normalisering (statistik) og standardiseret moment , de analoge begreber i statistik
• Størrelsesordrer (tal)
• Similitude (model)
• Liste over dimensionsløse mængder

Referencer

eksterne links

• Medier relateret til dimensionsløse tal på Wikimedia Commons