Afstand - Distance

Distance er en numerisk måling af, hvor langt fra hinanden objekter eller punkter er. I fysik eller daglig brug kan afstand referere til en fysisk længde eller et estimat baseret på andre kriterier (f.eks. "To amter over"). Afstanden fra et punkt A til et punkt B er undertiden betegnet som . I de fleste tilfælde kan "afstand fra A til B" udskiftes med "afstand fra B til A". I matematik er en afstandsfunktion eller metrisk en generalisering af begrebet fysisk afstand; det er en måde at beskrive, hvad det betyder for elementer i noget rum at være "tæt på" eller "langt væk fra" hinanden. Inden for psykologi og samfundsvidenskab er afstand en ikke-numerisk måling; Psykologisk afstand defineres som "de forskellige måder, hvorpå et objekt kan fjernes fra" selvet langs dimensioner som "tid, rum, social afstand og hypotetik. ${\ displaystyle | AB |}$

Oversigt og definitioner

Fysiske afstande

Flyruter mellem Los Angeles og Tokyo følger cirka en direkte storcirkelrute (øverst), men brug jetstrømmen (nederst), når du kører mod øst. Bemærk, at den korteste rute fremstår som en kurve frem for en lige linje, fordi dette kort er en Mercator -projektion , som ikke skalerer alle afstande lige meget i forhold til Jordens reelle sfæriske overflade.

" Manhattan -afstand " på et gitter

En fysisk afstand kan betyde flere forskellige ting:

Afstilt afstand: Længden af en bestemt sti, der er tilbagelagt mellem to punkter, f.eks. Afstanden, man gik, mens man navigerede i en labyrint
Lige (euklidisk) afstand: Længden af den kortest mulige vej gennem rummet mellem to punkter, der kunne tages, hvis der ikke var nogen forhindringer (normalt formaliseret som euklidisk afstand )
Geodesisk afstand: Længden af den korteste vej mellem to punkter, mens den forbliver på en eller anden overflade, såsom storcirkelafstanden langs jordens kurve
Længden af en bestemt sti, der vender tilbage til startpunktet, f.eks. En bold kastet lige op, eller Jorden, når den fuldender en bane .

Et bræt, der viser afstande nær Visakhapatnam

"Cirkulær afstand" er den afstand, som et hjul har tilbagelagt, hvilket kan være nyttigt ved design af køretøjer eller mekaniske gear. Hjulets omkreds er 2 π × radius, og forudsat at radius er 1, svarer hver omdrejning af hjulet til afstanden 2 π radianer. I teknik bruges ω = 2 πƒ ofte, hvor ƒ er frekvensen .

Usædvanlige definitioner af afstand kan være nyttige til at modellere visse fysiske situationer, men bruges også i teoretisk matematik:

" Manhattan -afstand " er en retlinet afstand, opkaldt efter antallet af blokke (i nord-, syd-, øst- eller vestretningen) en taxa skal køre videre for at nå sin destination på gitteret i dele af New York City .
"Skakbrætafstand", formaliseret som Chebyshev -afstand , er det mindste antal træk, en konge skal foretage på et skakbræt , for at kunne rejse mellem to firkanter.

Afstandsmål i kosmologi kompliceres af universets ekspansion og af effekter beskrevet af relativitetsteorien (såsom længdesammentrækning af bevægelige objekter).

Teoretiske afstande

Udtrykket "afstand" bruges også analogt til at måle ikke-fysiske enheder på bestemte måder.

Inden for datalogi er der forestillingen om " redigeringsafstanden " mellem to strenge. For eksempel er ordene "hund" og "prik", der kun varierer med et bogstav, tættere på "hund" og "kat", der adskiller sig med tre bogstaver. Denne idé bruges i stavekontrol og i kodningsteori og er matematisk formaliseret på flere forskellige måder, såsom:

I matematik er et metrisk rum et sæt, for hvilket afstande mellem alle medlemmer af sættet er defineret. På denne måde kan der beregnes mange forskellige typer af "afstande", f.eks. For gennemgang af grafer , sammenligning af fordelinger og kurver og brug af usædvanlige definitioner af "rum" (f.eks. Ved hjælp af en manifold eller refleksioner ). Begrebet afstand i grafteori er blevet brugt til at beskrive sociale netværk , for eksempel med Erds tal eller Bacon -nummer - antallet af samarbejdsrelationer væk en person er fra henholdsvis den produktive matematiker Paul Erdős og skuespilleren Kevin Bacon .

I psykologi, menneskelig geografi og samfundsvidenskab teoretiseres afstand ofte ikke som en objektiv metrisk, men som en subjektiv oplevelse.

Afstand kontra rettet afstand og forskydning

Afstand langs en sti sammenlignet med forskydning

Både afstand og forskydning måler bevægelsen af et objekt. Afstand kan ikke være negativ og falder aldrig. Afstand er en skalær mængde eller en størrelse , mens forskydning er en vektormængde med både størrelse og retning . Det kan være negativt, nul eller positivt. Retningsafstand måler ikke bevægelse; den måler adskillelsen af to punkter og kan være en positiv, nul eller negativ vektor.

Den afstand, et køretøj (for eksempel som registreres af en kilometertæller ), personer, dyr eller genstand langs en krum bane fra et punkt A til et punkt B bør skelnes mellem den lineære afstand fra A til B . For eksempel uanset den tilbagelagte afstand under en rundtur fra A til B og tilbage til A , er forskydningen nul, da start- og slutpunkter falder sammen. Generelt er linjeafstanden ikke lig med tilbagelagt afstand bortset fra rejser i en lige linje.

Rettet afstand

Direkte afstande kan bestemmes langs lige linjer og langs buede linjer.

Rettede afstande langs lige linjer er vektorer, der angiver afstanden og retningen mellem et startpunkt og et slutpunkt. En rettet afstand af et punkt C fra punkt A i retning B på en linje AB i et euklidisk vektorrum er afstanden fra A til C, hvis C falder på strålen AB , men er negativet for denne afstand, hvis C falder på strålen BA (dvs. hvis C ikke er på samme side af A som B er). For eksempel har den målrettede afstand fra flagstangen New York Citys hovedbibliotek til flagstangen Frihedsgudinden:

Et udgangspunkt: bibliotekets flagstang
Et slutpunkt: statue flagstang
Retning: -38 °
En afstand: 8,72 km

En anden form for rettet afstand er den mellem to forskellige partikler eller punktmasser på et givet tidspunkt. For eksempel falder afstanden fra tyngdepunktet på jorden A og tyngdepunktet til månen B (som ikke strengt indebærer bevægelse fra A til B ) i denne kategori.

En rettet afstand langs en buet linje er ikke en vektor og repræsenteres af et segment af den buede linje defineret af endepunkterne A og B , med nogle specifikke oplysninger, der angiver følelsen (eller retningen) af en ideel eller reel bevægelse fra et endepunkt i segment til det andet (se figur). For eksempel kan bare mærkning af de to slutpunkter som A og B angive sansningen, hvis den ordnede sekvens ( A , B ) antages, hvilket indebærer, at A er udgangspunktet.

Forskydning

En forskydning (se ovenfor) er en særlig form for rettet afstand defineret i mekanik . En rettet afstand kaldes forskydning, når det er afstanden langs en lige linje (minimumsafstand) fra A og B , og når A og B er positioner optaget af den samme partikel på to forskellige tidspunkter . Dette indebærer bevægelse af partiklen. Afstanden tilbagelagt af en partikel skal altid være større end eller lig med dens forskydning, idet lighed kun forekommer, når partiklen bevæger sig langs en lige sti.

Matematik

Geometri

I analytisk geometri kan den euklidiske afstand mellem to punkter i xy-planet findes ved hjælp af afstandsformlen. Afstanden mellem ( x ₁ , y ₁ ) og ( x ₂ , y ₂ ) er givet ved:

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x)^{2}+(\ Delta y)^{2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1})^{2} +(y_ {2} -y_ {1})^{2}}}.}

På samme måde, givet punkter ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) og ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) i tre-mellemrum , er afstanden mellem dem:

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x)^{2}+(\ Delta y)^{2}+(\ Delta z)^{2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1})^{2}+(y_ {2} -y_ {1})^{2}+(z_ {2} -z_ {1})^{2}}}.}

Disse formler er let afledt ved at konstruere en højre trekant med et ben på hypotenusen af et andet (med det andet ben vinkelret på det plan, der indeholder den første trekant) og anvende Pythagoras sætning . Denne afstand formel kan også udvides ind i bue-længde formel . Andre afstande med andre formler bruges i ikke-euklidisk geometri .

Afstand i det euklidiske rum

I det euklidiske rum R ⁿ er afstanden mellem to punkter normalt givet af den euklidiske afstand (2-norm afstand). Andre afstande, der er baseret på andre normer , bruges undertiden i stedet.

For et punkt ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) og et punkt ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) er Minkowski -afstanden i rækkefølge p ( p -norm afstand ) defineret som :

1-norm afstand	${\ displaystyle = \ sum _ {i = 1}^{n} \ venstre \| x_ {i} -y_ {i} \ højre \|}$
2-norm afstand	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \ left \| x_ {i} -y_ {i} \ right \|^{2} \ right)^{1/2}}$
p -norm afstand	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \ left \| x_ {i} -y_ {i} \ right \|^{p} \ right)^{1/p}}$
uendelig normafstand	${\ displaystyle = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \ left \| x_ {i} -y_ {i} \ right \|^{p} \ right )^{1/s}}$
	${\ displaystyle = \ max \ left (\| x_ {1} -y_ {1} \|, \| x_ {2} -y_ {2} \|, \ ldots, \| x_ {n} -y_ {n} \| \ right) .}$

p behøver ikke at være et helt tal, men det kan ikke være mindre end 1, for ellers holder trekantens ulighed ikke.

2-norm-afstanden er den euklidiske afstand , en generalisering af Pythagoras sætning til mere end to koordinater . Det er det, der ville opnås, hvis afstanden mellem to punkter blev målt med en lineal : den "intuitive" idé om afstand.

1-norm-afstanden kaldes mere farverigt taxicab-normen eller Manhattan-afstanden , fordi det er den afstand, en bil ville køre i en by anlagt i firkantede blokke (hvis der ikke er envejsgader).

Den uendelige normafstand kaldes også Chebyshev -afstand . I 2D er det det mindste antal træk konger kræver for at rejse mellem to firkanter på et skakbræt .

Den p -normen er sjældent brugt for værdier af p andet end 1, 2, og uendelighed, men se super ellipse .

I det fysiske rum er den euklidiske afstand på en måde den mest naturlige, for i dette tilfælde ændres længden af et stift legeme ikke med rotation .

Variationsformulering af afstand

Den euklidiske afstand mellem to punkter i rummet ( og ) kan skrives i en variansform , hvor afstanden er minimumsværdien af et integral: ${\ displaystyle A = {\ vec {r}} (0)}$ ${\ displaystyle B = {\ vec {r}} (T)}$

{\ displaystyle D = \ int _ {0}^{T} {\ sqrt {\ venstre ({\ delvis {\ vec {r}} (t) \ over \ delvis t} \ højre)^{2}}} \, dt}

Her er banen (stien) mellem de to punkter. Værdien af integralet (D) repræsenterer længden af denne bane. Afstanden er denne integrals minimale værdi og opnås, når hvor er den optimale bane. I det velkendte euklidiske tilfælde (ovenstående integral) er denne optimale bane simpelthen en lige linje. Det er velkendt, at den korteste vej mellem to punkter er en lige linje. Lige linjer kan formelt opnås ved at løse Euler -Lagrange -ligningerne for ovenstående funktion . I ikke-euklidiske manifolder (buede rum), hvor rummets beskaffenhed er repræsenteret af en metrisk tensor, skal integranden modificeres til , hvor Einstein-summationskonvention er blevet brugt. ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$ ${\ displaystyle r = r^{*}}$ ${\ displaystyle r^{*}}$ ${\ displaystyle g_ {ab}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {g^{ac} {\ dot {r}} _ {c} g_ {ab} {\ dot {r}}^{b}}}}$

Generalisering til objekter i højere dimension

Den euklidiske afstand mellem to objekter kan også generaliseres til det tilfælde, hvor objekterne ikke længere er punkter, men er højere dimensionelle manifolder , såsom rumkurver, så udover at tale om afstand mellem to punkter kan man diskutere begreber om afstand mellem to strenge. Da de nye objekter, der behandles, er udvidede objekter (ikke punkter længere), bliver yderligere begreber som ikke-udvidelig, krumningsbegrænsninger og ikke-lokale interaktioner, der håndhæver ikke-krydsning, centrale for begrebet afstand. Afstanden mellem de to manifolder er den skalære mængde, der skyldes minimering af den generaliserede afstandsfunktion, hvilket repræsenterer en transformation mellem de to manifolder:

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ int _ {0}^{L} \ int _ {0}^{T} \ venstre \ {{\ sqrt {\ venstre ({\ delvis {\ vec {r }} (s, t) \ over \ delvis t} \ højre)^{2}}}+\ lambda \ venstre [{\ sqrt {\ venstre ({\ delvis {\ vec {r}} (s, t) \ over \ delvis s} \ højre)^{2}}}-1 \ højre] \ højre \} \, ds \, dt}

Ovenstående dobbeltintegral er den generaliserede afstand, der er funktionel mellem to polymerkonformationer. er en rumlig parameter og er pseudotid. Dette betyder, at det er polymer/strengkonformationen på et tidspunkt og parametreres langs strenglængden med . Tilsvarende er banen for et uendeligt segment af strengen under transformation af hele strengen fra konformation til konformation . Udtrykket med kofaktor er en Lagrange -multiplikator, og dens rolle er at sikre, at polymerens længde forbliver den samme under transformationen. Hvis to adskilte polymerer er uløselige, indebærer minimal-afstandstransformationen mellem dem ikke længere rent lineær bevægelse, selv på en euklidisk metrik. Der er en potentiel anvendelse af en sådan generaliseret afstand til problemet med proteinfoldning . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s, t = t_ {i})}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s = S, t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} (r, 0)}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} (r, T)}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Denne generaliserede afstand er analog med Nambu-Goto-handlingen i strengteori , men der er ingen nøjagtig korrespondance, fordi den euklidiske afstand i 3-rum er ækvivalent med den rumtid, der er minimeret for den klassiske relativistiske streng.

Algebraisk afstand

Dette er en metrik, der ofte bruges i edb -vision, der kan minimeres ved mindst kvadratestimering . [1] [2] For kurver eller overflader givet ved ligningen (f.eks. En kegle i homogene koordinater ) er den algebraiske afstand fra punktet til kurven simpelthen . Det kan tjene som et "indledende gæt" for geometrisk afstand til at forfine estimater af kurven ved mere præcise metoder, såsom ikke-lineære mindste kvadrater . ${\ displaystyle x^{\ text {T}} Cx = 0}$ ${\ displaystyle x '}$ ${\ displaystyle x '^{\ text {T}} Cx'}$

Generel metrik

I matematik , især geometri , er en afstandsfunktion på et givet sæt M en funktion d : M × M → R , hvor R betegner mængden af reelle tal , der opfylder følgende betingelser:

d ( x , y ) ≥ 0 og d ( x , y ) = 0 hvis og kun hvis x = y . (Afstanden er positiv mellem to forskellige punkter og er nul præcist fra et punkt til sig selv.)
Det er symmetrisk : d ( x , y ) = d ( y , x ) . (Afstanden mellem x og y er den samme i begge retninger.)
Det tilfredsstiller trekantens ulighed : d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) . (Afstanden mellem to punkter er den korteste afstand langs enhver sti). En sådan afstandsfunktion er kendt som en metrisk . Sammen med sættet udgør det et metrisk rum .

For eksempel er den sædvanlige definition af afstand mellem to reelle tal x og y : d ( x , y ) = | x - y | . Denne definition opfylder de tre ovenfor, og svarer til den standard topologi af den reelle akse . Men afstand på et givet sæt er et definitionsvalg. Et andet muligt valg er at definere: d ( x , y ) = 0 hvis x = y og 1 ellers. Dette definerer også en metrik, men giver en helt anden topologi, den " diskrete topologi "; med denne definition kan tal ikke vilkårligt lukke.

Afstande mellem sæt og mellem et punkt og et sæt

d ( A , B )> d ( A , C ) + d ( C , B )

Forskellige afstandsdefinitioner er mulige mellem objekter. For eksempel mellem himmellegemer bør man ikke forveksle afstanden mellem overflade og overflade og afstanden mellem centrum. Hvis førstnævnte er meget mindre end sidstnævnte, som for en lav jordbane , har den første tendens til at blive citeret (højde), ellers f.eks. For afstanden mellem jorden og månen, sidstnævnte.

Der er to fælles definitioner for afstanden mellem to ikke-tomme undersæt i et givet metrisk rum :

En version af afstanden mellem to ikke-tomme sæt er infimum af afstandene mellem to af deres respektive punkter, hvilket er den daglige betydning af ordet, dvs.

{\ displaystyle d (A, B) = \ inf _ {x \ i A, y \ i B} d (x, y).}

Dette er en symmetrisk præmetrisk . På en samling af sæt, hvoraf nogle berører eller overlapper hinanden, er det ikke "adskilt", fordi afstanden mellem to forskellige, men rørende eller overlappende sæt er nul. Det er heller ikke hæmimetrisk , dvs. at trekanten ulighed ikke holder, undtagen i særlige tilfælde. Derfor gør denne afstand kun i særlige tilfælde en samling sæt til et metrisk rum .

Den Hausdorff afstand er den største af to værdier, det ene er den supremum , for et punkt i området over en sæt, af infimum, for et andet punkt i området over den anden sæt, af afstanden mellem punkterne, og den anden værdi er ligeledes defineret, men med rollerne for de to sæt byttet. Denne afstand gør sættet af ikke-tomme kompakte undersæt af et metrisk rum selv til et metrisk rum .

Den afstand mellem et punkt og et sæt er infimum af afstandene mellem punktet og dem i sættet. Dette svarer til afstanden ifølge den førstnævnte definition ovenfor af afstanden mellem sæt, fra sættet, der kun indeholder dette punkt, til det andet sæt.

Med hensyn til dette kan definitionen af Hausdorff -afstanden forenkles: det er den største af to værdier, den ene er overordnet, for et punkt, der spænder over et sæt, af afstanden mellem punktet og sættet og den anden værdi er ligeledes defineret, men med rollerne for de to sæt byttet.

Grafteori

I grafteorien er afstanden mellem to hjørner længden af den korteste vej mellem disse hjørner.

Statistiske afstande

I statistik og informationsgeometri er der mange slags statistiske afstande , især forskelle , især Bregman -forskelle og f -forskelle . Disse inkluderer og generaliserer mange af forestillinger om "forskel mellem to sandsynlighedsfordelinger ", og giver dem mulighed for at blive undersøgt geometrisk som statistiske mangfoldigheder . Den mest elementære er den kvadratiske euklidiske afstand , som danner grundlaget for de mindste kvadrater ; dette er den mest grundlæggende Bregman -divergens. Det vigtigste inden for informationsteori er den relative entropi ( Kullback – Leibler divergens ), som gør det muligt analogt at studere maksimal sandsynlighedsestimering geometrisk; dette er den mest grundlæggende f -divergens, og er også en Bregman -divergens (og er den eneste divergens, der er begge dele). Statistiske manifolds, der svarer til Bregman -divergenser, er flade manifolds i den tilsvarende geometri, så en analog af Pythagoras sætning (som traditionelt er sandt for kvadratisk euklidisk afstand) kan bruges til lineære inverse problemer ved slutning ved optimeringsteori .

Andre vigtige statistiske afstande omfatter Mahalanobis -afstanden , energidistancen og mange andre.

Andre matematiske "afstande"

Canberra distance - en vægtet version af Manhattan distance, der bruges inden for datalogi

I psykologi

Psykologisk afstand er defineret som "de forskellige måder, hvorpå et objekt kan fjernes fra" selvet langs dimensioner som "tid, rum, social afstand og hypotetik". Forholdet mellem psykologisk afstand og i hvilken udstrækning tænkning er abstrakt eller konkret er beskrevet i konstruktiv niveau-teori , en ramme for beslutningstagning .

Se også

Biblioteksunderstøttelse

Python (programmeringssprog)
- Interspace -En pakke til at finde afstanden mellem to vektorer, tal, strenge osv.
- SciPy -Distance -beregninger ( scipy.spatial.distance)
Julia (programmeringssprog)
- Julia Statistics Distance -En Julia -pakke til evaluering af afstande (metrics) mellem vektorer.

Referencer

Bibliografi

Deza E, Deza M (2006). Ordbog over afstande . Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.

1-norm afstand	${\ displaystyle = \ sum _ {i = 1}^{n} \ venstre \| x_ {i} -y_ {i} \ højre \|}$
2-norm afstand	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \ left \| x_ {i} -y_ {i} \ right \|^{2} \ right)^{1/2}}$
p -norm afstand	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \ left \| x_ {i} -y_ {i} \ right \|^{p} \ right)^{1/p}}$
uendelig normafstand	${\ displaystyle = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \ left \| x_ {i} -y_ {i} \ right \|^{p} \ right )^{1/s}}$
	${\ displaystyle = \ max \ left (\| x_ {1} -y_ {1} \|, \| x_ {2} -y_ {2} \|, \ ldots, \| x_ {n} -y_ {n} \| \ right) .}$

Languages

In other projects