En funktions domæne - Domain of a function

En funktion

f

fra

X

til

Y

. Den røde ovale

X

er domænet for

f

.

Graf over den reelt værdsatte kvadratrods funktion, f ( x ) = √ x , hvis domæne består af alle ikke-negative reelle tal

I matematik er domænet eller afgangssættet for en funktion det sæt, som alle input fra funktionen er begrænset til at falde i. Det er sættet $X$ i notationen $f : X \to Y$ , og er alternativt betegnet som . Da en (total) funktion er defineret på hele sit domæne, falder dets domæne sammen med dets definitionsdomæne . Denne tilfældighed er imidlertid ikke længere sand for en delvis funktion , da definitionen af en delvis funktion kan være en korrekt delmængde af domænet. ${\ displaystyle \ operatorname {dom} (f)}$

Et domæne er en del af en funktion $f,$ hvis $f$ er defineret som en tredobbelt $(X, Y, G)$ , hvor $X$ kaldes domænet for $f$ , $Y$ dets kodomæne og $G$ dets graf .

Et domæne er ikke en del af en funktion $f,$ hvis $f$ er defineret som en graf. For eksempel er det nogle gange praktisk i sætteori at tillade domænet for en funktion at være en ordentlig klasse $X$ , i hvilket tilfælde der formelt ikke er noget, der hedder en tredobbelt $(X, Y, G)$ . Med en sådan definition, behøver funktioner, der ikke har et domæne, selv om nogle forfattere stadig bruge det uformelt efter at indføre en funktion i form $f : X \to Y$ .

For eksempel er cosinus domæne mængden af alle reelle tal , mens kvadratrodens domæne kun består af tal større end eller lig med 0 (ignorerer komplekse tal i begge tilfælde).

Hvis domænet for en funktion er en delmængde af de reelle tal, og funktionen er repræsenteret i et kartesisk koordinatsystem , så er domænet repræsenteret på x -aksen.

Eksempler

En veldefineret funktion skal kortlægge hvert element i sit domæne til et element i dets kodomæne. For eksempel funktionen defineret af ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}

har ingen værdi for . Således mængden af alle reelle tal , ikke kan være sit domæne. I tilfælde som dette er funktionen enten defineret til , eller "hullet er tilsluttet" ved at definere eksplicit. For eksempel. hvis man udvider definitionen af til stykkevis funktion ${\ displaystyle f (0)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle f (0)}$ ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1/x & x \ not = 0 \\ 0 & x = 0 \ end {cases}}}

derefter er defineret for alle reelle tal, og dets domæne er . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Enhver funktion kan begrænses til en delmængde af sit domæne. Den begrænsning af til , hvor , er skrevet som . ${\ displaystyle g \ kolon A \ til B}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S \ subseteq A}$ ${\ displaystyle \ left.g \ right | _ {S} \ kolon S \ til B}$

Naturligt domæne

Det naturlige domæne for en funktion (undertiden forkortet som domæne) er det maksimale sæt værdier, som funktionen er defineret for, typisk inden for realerne, men nogle gange også blandt heltal eller komplekse tal. For eksempel er kvadratrodens naturlige domæne de ikke-negative realer, når de betragtes som en reel talfunktion. Når man overvejer et naturligt domæne, kaldes funktionens sæt mulige værdier typisk dets område . Også i kompleks analyse især flere komplekse variabler , når en funktion f er holomorf på domænet og ikke direkte kan oprette forbindelse til domænet uden for D , herunder punktet for domænegrænsen , med andre ord er et sådant domæne D et naturligt domæne i følelsen af analytisk fortsættelse , domænet D kaldes domænet for holomorfi for f, og grænsen kaldes den naturlige grænse for f . ${\ displaystyle D \ delsæt \ mathbb {C} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ delvis D}$

Kategoriteori

Kategoriteori omhandler morfisme i stedet for funktioner. Morfisme er pile fra et objekt til et andet. Enhver morfismes domæne er det objekt, hvorfra en pil starter. I denne sammenhæng skal mange sæt teoretiske ideer om domæner opgives - eller i det mindste formuleres mere abstrakt. For eksempel skal forestillingen om at begrænse en morfisme til en delmængde af dens domæne ændres. For mere, se underobjekt .

Andre anvendelser

Ordet "domæne" bruges med andre relaterede betydninger inden for nogle områder af matematik. I topologi er et domæne et forbundet åbent sæt . I reel og kompleks analyse er et domæne en åben forbundet delmængde af et reelt eller komplekst vektorrum. I studiet af partielle differentialligninger er et domæne den åbne, forbundne delmængde af det euklidiske rum, hvor der er et problem (dvs. hvor den eller de ukendte funktioner er defineret). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Mere almindelige eksempler

Som en delvis funktion fra de reelle tal til de reelle tal har funktionen domæne . Men hvis man definerer kvadratroden af et negativt tal x som det komplekse tal z med positiv imaginær del således, at z ² = x , så har funktionen hele den reelle linje som sit domæne (men nu med et større kodomæne). Domænet for den trigonometriske funktion er sættet af alle (reelle eller komplekse) tal, der ikke er af formen . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle \ tan x = {\ tfrac {\ sin x} {\ cos x}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}+k \ pi, k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots}$