Prikprodukt - Dot product

I matematik er prikproduktet eller skalarproduktet en algebraisk operation, der tager to lige lange længder af tal (normalt koordinatvektorer ) og returnerer et enkelt tal. I euklidisk geometri er prikproduktet fra de kartesiske koordinater for to vektorer meget udbredt. Det kaldes ofte "det" indre produkt (eller sjældent projektionsprodukt ) af det euklidiske rum, selvom det ikke er det eneste indre produkt, der kan defineres på det euklidiske rum (se Indre produktrum for mere).

Algebraisk er prikproduktet summen af produkterne fra de tilsvarende indtastninger af de to talrekke. Geometrisk er det produktet af de euklidiske størrelser af de to vektorer og cosinus af vinklen mellem dem. Disse definitioner er ækvivalente ved brug af kartesiske koordinater. I moderne geometri , euklidisk rum er ofte defineret ved hjælp vektorrum . I dette tilfælde bruges prikproduktet til at definere længder (længden af ​​en vektor er kvadratroden af vektorens prikprodukt i sig selv) og vinkler (cosinus for vinklen på to vektorer er kvotienten for deres prikprodukt efter produktet af deres længder).

Navnet "prikprodukt" stammer fra den centrerede prik·  ", der ofte bruges til at betegne denne operation; det alternative navn "skalærprodukt" understreger, at resultatet er en skalar snarere end en vektor , som det er tilfældet for vektorproduktet i tredimensionelt rum.

Definition

Prikproduktet kan defineres algebraisk eller geometrisk. Den geometriske definition er baseret på forestillinger om vinkel og afstand (størrelsen af ​​vektorer). Ækvivalensen mellem disse to definitioner afhænger af at have et kartesisk koordinatsystem for euklidisk rum.

I moderne præsentationer af den euklidiske geometri er rumpunkterne defineret ud fra deres kartesiske koordinater , og selve det euklidiske rum er almindeligt identificeret med det virkelige koordinatrum R n . I en sådan præsentation defineres begreberne længde og vinkler ved hjælp af prikproduktet. Længden af ​​en vektor er defineret som kvadratroden af vektorens prikprodukt i sig selv, og cosinus for den (ikke orienterede) vinkel på to vektorer med længde 1 er defineret som deres prikprodukt. Så ækvivalensen af ​​de to definitioner af prikproduktet er en del af ækvivalensen af ​​de klassiske og de moderne formuleringer af euklidisk geometri.

Algebraisk definition

Punktproduktet af to vektorer a = [ a 1 , a 2 ,…, a n ] og b = [ b 1 , b 2 ,…, b n ] er defineret som:

hvor Σ betegner summation og n er dimensionen af vektorrummet . For eksempel i et tredimensionelt rum er prikproduktet af vektorer [1, 3, −5] og [4, −2, −1] :

Hvis vektorer identificeres med rækken matricer , kan prikproduktet også skrives som et matrixprodukt

hvor betegner transponering af .

Ved at udtrykke ovenstående eksempel på denne måde multipliceres en 1 × 3 matrix ( rækkevektor ) med en 3 × 1 matrix ( kolonnevektor ) for at få en 1 × 1 matrix, der er identificeret med dens unikke post:

.

Geometrisk definition

Illustration, der viser, hvordan man finder vinklen mellem vektorer ved hjælp af prikproduktet
Beregning af bindingsvinkler for en symmetrisk tetraedral molekylær geometri ved hjælp af et prikprodukt

I det euklidiske rum er en euklidisk vektor et geometrisk objekt, der besidder både en størrelse og en retning. En vektor kan ses som en pil. Dens størrelse er dens længde, og dens retning er den retning, som pilen peger på. Størrelsen af ​​en vektor a er angivet med . Punktproduktet af to euklidiske vektorer a og b er defineret af

hvor θ er vinklen mellem a og b .

Især hvis vektorerne a og b er ortogonale (dvs. deres vinkel er π / 2 eller 90 °) , hvilket betyder, at

I den anden ekstreme, hvis de er kodende, er vinklen mellem dem nul med og

Dette indebærer, at prikproduktet af en vektor a med sig selv er

som giver

formlen for vektorens euklidiske længde .

Skalær projektion og første egenskaber

Skalær projektion

Den skalar fremspring (eller skalarkomposant) af et euklidisk vektor en i retning af en euklidisk vektor b er givet ved

hvor θ er vinklen mellem a og b .

Med hensyn til den geometriske definition af prikproduktet kan dette omskrives

hvor er enhedsvektoren i retning af b .

Distributionslovgivning for punktproduktet

Prikproduktet er således geometrisk karakteriseret ved

Prikproduktet, defineret på denne måde, er homogent under skalering i hver variabel, hvilket betyder, at for enhver skalar α ,

Det opfylder også en distributiv lov , hvilket betyder, at

Disse egenskaber kan opsummeres ved at sige, at prikproduktet er en bilinear form . Desuden er denne to -lineære form positiv bestemt , hvilket betyder, at den aldrig er negativ og er nul, hvis og kun hvis - nulvektoren.

Prikproduktet svarer således til at gange normen (længden) af b med normen for fremskrivningen af a over b .

Definitionernes ækvivalens

Hvis e 1 , ..., e n er standardbasisvektorerne i R n , kan vi skrive

Vektorerne e i er et orthonormalt grundlag , hvilket betyder, at de har enhedslængde og er vinkelret på hinanden. Derfor, da disse vektorer har enhedslængde

og eftersom de danner rette vinkler med hinanden, hvis jegj ,

Så generelt kan vi sige, at:

Hvor δ ij er Kronecker -deltaet .

Vektorkomponenter orthonormalt

Også ved den geometriske definition bemærker vi for enhver vektor e i og en vektor a

hvor a i er komponenten af ​​vektor a i retning af e i . Det sidste trin i ligestillingen kan ses på figuren.

Nu anvender fordelingen af ​​den geometriske version af prikproduktet

som netop er den algebraiske definition af prikproduktet. Så det geometriske prikprodukt er lig med det algebraiske prikprodukt.

Ejendomme

Prikproduktet opfylder følgende egenskaber, hvis a , b og c er reelle vektorer og r er en skalar .

  1. Kommutativ :
    som følger af definitionen ( θ er vinklen mellem a og b ):
  2. Distributiv over vektortilsætning:
  3. Bilinær :
  4. Skalær multiplikation :
  5. Ikke associativ, fordi prikproduktet mellem en skalar ( a ⋅ b ) og en vektor ( c ) ikke er defineret, hvilket betyder, at de udtryk, der er involveret i den associative ejendom, ( a ⋅ b ) ⋅ c eller a ⋅ ( b ⋅ c ) er begge dårligt definerede. Bemærk dog, at den tidligere nævnte skalar -multiplikationsegenskab undertiden kaldes "associativ lov for skalar- og prikprodukt", eller man kan sige, at "prikproduktet er associativt med hensyn til skalarmultiplikation", fordi c ( ab ) = ( c a ) ⋅ b = a ⋅ ( c b ).
  6. Ortogonal :
    To ikke-nul-vektorer a og b er ortogonale, hvis og kun hvis ab = 0 .
  7. Ingen aflysning :
    I modsætning til multiplikation af almindelige tal, hvor hvis ab = ac , så er b altid lig med c, medmindre a er nul, overholder punktproduktet ikke annulleringsloven :
    Hvis ab = ac og a0 , så kan vi skrive: a ⋅ ( b - c ) = 0 ved fordelingsloven ; resultatet ovenfor siger, at dette bare betyder, at a er vinkelret på ( b - c ) , som stadig tillader ( b - c ) ≠ 0 , og derfor tillader bc .
  8. Produktregel :
    Hvis a og b er (vektorværdier) differentierbare funktioner , er derivatet ( betegnet med et præmi ′) af ab givet ved reglen ( ab ) ′ = a ′ ⋅ b + ab .

Anvendelse til cosinusloven

Trekant med vektorkanter a og b , adskilt af vinkel θ .

Givet to vektorer a og b adskilt af vinkel θ (se billedet til højre), danner de en trekant med en tredje side c = a - b . Prikproduktet af dette med sig selv er:

som er kosinusloven .

Tredobbelt produkt

Der er to ternære operationer, der involverer punktprodukt og krydsprodukt .

Det skalære tredobbelte produkt af tre vektorer er defineret som

Dens værdi er determinanten for matrixen, hvis søjler er de kartesiske koordinater for de tre vektorer. Det er det signerede volumen af Parallelepiped defineret af de tre vektorer.

Den vektor tredobbelte produkt er defineret ved

Denne identitet, også kendt som Lagranges formel , kan huskes som "BAC minus CAB", idet man husker på, hvilke vektorer der er stiplede sammen. Denne formel har anvendelser til at forenkle vektorberegninger i fysik .

Fysik

I fysik er vektorstørrelse en skalar i fysisk forstand (dvs. en fysisk mængde uafhængig af koordinatsystemet), udtrykt som produktet af en numerisk værdi og en fysisk enhed , ikke kun et tal. Punktproduktet er også en skalar i denne forstand givet ved formlen uafhængigt af koordinatsystemet. For eksempel:

Generaliseringer

Komplekse vektorer

For vektorer med komplekse poster ville brugen af ​​den givne definition af punktproduktet føre til ganske forskellige egenskaber. For eksempel ville prikproduktet af en vektor med sig selv være et vilkårligt komplekst tal og kunne være nul uden at vektoren var nulvektoren (sådanne vektorer kaldes isotrop ); dette ville igen have konsekvenser for forestillinger som længde og vinkel. Egenskaber som den positiv-bestemte norm kan reddes på bekostning af at opgive de symmetriske og bilinære egenskaber ved skalarproduktet gennem den alternative definition

hvor er det komplekse konjugat af . Når vektorer er repræsenteret med rækkevektorer , kan prikproduktet udtrykkes som et matrixprodukt, der involverer en konjugeret transponering , betegnet med overskriften H:

For vektorer med reelle komponenter er denne definition den samme som i det virkelige tilfælde. Skalarproduktet af enhver vektor med sig selv er et ikke-negativt reelt tal, og det er ikke-nul bortset fra nulvektoren. Det komplekse skalarprodukt er imidlertid sesquilinear frem for bilinear, da det er konjugeret lineært og ikke lineært i a . Skalarproduktet er ikke symmetrisk siden

Vinklen mellem to komplekse vektorer er derefter givet ved

Det komplekse skalarprodukt fører til forestillinger om hermitiske former og generelle indre produktrum , som er meget udbredt i matematik og fysik .

Selvpunktproduktet af en kompleks vektor er en generalisering af den absolutte firkant af et komplekst tal.

Indre produkt

Det indre produkt generaliserer prikproduktet til abstrakte vektorrum over et felt af skalarer , idet det enten er feltet med reelle tal eller feltet med komplekse tal . Det betegnes normalt ved hjælp af vinkelbeslag ved .

Det indre produkt af to vektorer i feltet med komplekse tal er generelt et komplekst tal og er sesquilinear i stedet for bilinear. Et indre produktrum er et normeret vektorrum , og det indre produkt af en vektor med sig selv er reelt og positivt-bestemt.

Funktioner

Punktproduktet er defineret for vektorer, der har et begrænset antal poster . Disse vektorer kan således betragtes som diskrete funktioner : en længde- n vektor u er derefter en funktion med domæne { k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ kn } , og u i er en notation for billedet af i ved funktionen /vektor u .

Denne forestilling kan generaliseres til kontinuerlige funktioner : ligesom det indre produkt på vektorer bruger en sum over tilsvarende komponenter, defineres det indre produkt på funktioner som en integral over et interval axb (også betegnet [ a , b ] ) :

Generaliseret yderligere til komplekse funktioner ψ ( x ) og χ ( x ) , analogt med det komplekse indre produkt ovenfor, giver

Vægtfunktion

Indre produkter kan have en vægtfunktion (dvs. en funktion, der vægter hvert udtryk i det indre produkt med en værdi). Udtrykkeligt det indre produkt af funktioner og i forhold til vægten funktion er

Dyadik og matricer

Matricer har Frobenius indre produkt , som er analogt med vektorens indre produkt. Det defineres som summen af ​​produkterne fra de tilsvarende komponenter i to matricer A og B med samme størrelse:

(Til ægte matricer)

Dyadics har et prikprodukt og et "dobbelt" prikprodukt defineret på dem, se Dyadics § Produkt af dyadisk og dyadisk for deres definitioner.

Tensorer

Det indre produkt mellem en tensor af orden n og en tensor af ordre m er en tensor af ordre n + m - 2 , se Tensor -kontraktion for detaljer.

Beregning

Algoritmer

Den enkle algoritme til beregning af et flydende punktprodukt af vektorer kan lide under katastrofal annullering . For at undgå dette bruges tilgange som Kahan -summationsalgoritmen .

Biblioteker

En prikproduktfunktion er inkluderet i:

  • BLAS niveau 1 ægte SDOT, DDOT; kompleks CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC ZDOTC = X^H * Y
  • Matlab som A ' * B eller conj (transponere (A)) * B eller sum (conj (A). * B)
  • GNU Octave som sum (konj (X).* Y, dim)
  • Intel® oneAPI Math Kernel Library real p? Dot dot = sub (x) '*sub (y); kompleks p? dotc dotc = conjg (sub (x) ')*sub (y)

Se også

Noter

Referencer

eksterne links