Økonomisk ordremængde - Economic order quantity

Økonomisk ordremængde (EOQ), også kendt som økonomisk indkøbsmængde (EPQ), er ordremængden, der minimerer de samlede beholdningsomkostninger og bestillingsomkostninger i lagerstyring . Det er en af de ældste klassiske produktionsplanlægningsmodeller . Modellen blev udviklet af Ford W. Harris i 1913, men RH Wilson, en konsulent, der anvendte den i vid udstrækning, og K. Andler får æren for deres grundige analyse.

Oversigt

EOQ gælder kun, når efterspørgslen efter et produkt er konstant over året, og hver ny ordre leveres fuldt ud, når lagerbeholdningen når nul. Der er en fast pris for hver ordre, uanset antallet af bestilte enheder; en ordre antages kun at indeholde 1 enhed. Der er også en omkostning for hver enhed, der opbevares, almindeligvis kendt som beholdningsomkostninger , undertiden udtrykt som en procentdel af varens købsomkostninger. Selvom EOQ -formuleringen er ligetil, er der faktorer som transportpriser og mængderabatter, der skal overvejes i den faktiske anvendelse.

Vi ønsker at bestemme det optimale antal enheder at bestille, så vi minimerer de samlede omkostninger forbundet med køb, levering og opbevaring af produktet.

De nødvendige parametre til løsningen er den samlede efterspørgsel for året, indkøbsomkostningerne for hver vare, de faste omkostninger ved bestilling af en enkelt vare og opbevaringsomkostningerne for hver vare om året. Bemærk, at antallet af gange en ordre afgives også vil påvirke de samlede omkostninger, selvom dette antal kan bestemmes ud fra de andre parametre.

Variabler

${\ displaystyle T}$ = samlede årlige lageromkostninger
${\ displaystyle P}$ = køb enhedspris, enheds produktionsomkostninger
${\ displaystyle Q}$ = ordremængde
${\ displaystyle Q^{*}}$ = optimal ordremængde
${\ displaystyle D}$ = årlig efterspørgselsmængde
${\ displaystyle K}$ = fast pris pr. ordre, installationsomkostninger ( ikke pr. enhed, typisk omkostninger ved bestilling og forsendelse og håndtering. Dette er ikke vareprisen)
${\ displaystyle h}$ = årlige beholdningsomkostninger pr. enhed, også kendt som omkostninger til omkostninger eller opbevaring (kapitalomkostninger, lagerplads, køling, forsikring, salgsomkostninger (pris x interes) osv. normalt ikke relateret til enhedsproduktionsomkostninger)

Den samlede omkostningsfunktion og afledning af EOQ -formel

Den enkeltstående EOQ-formel finder minimumspunktet for følgende omkostningsfunktion:

Samlede omkostninger = indkøbsomkostninger eller produktionsomkostninger + bestillingsomkostninger + besiddelsesomkostninger

Hvor:

Indkøbsomkostninger: Dette er den variable varepris: indkøbspris × årlig efterspørgselsmængde. Dette er P × D
Bestillingsomkostninger: Dette er omkostningerne ved at placere ordrer: hver ordre har en fast pris K, og vi skal bestille D/Q gange om året. Dette er K × D/Q
Beholdningsomkostninger: den gennemsnitlige mængde på lager (mellem fuldt genopfyldt og tom) er Q/2, så denne pris er h × Q/2

${\ displaystyle T = PD+K {\ frac {D} {Q}}+h {\ frac {Q} {2}}}$ .

For at bestemme minimumspunktet for den samlede omkostningskurve skal du beregne derivatet af de samlede omkostninger i forhold til Q (antag at alle andre variabler er konstante) og sæt den til 0:

${\ displaystyle {0} =-{\ frac {DK} {Q^{2}}}+{\ frac {h} {2}}}$

Løsning for Q giver Q* (den optimale ordremængde):

${\ displaystyle Q^{*2} = {\ frac {2DK} {h}}}$

Derfor:

Økonomisk ordremængde

${\ displaystyle Q^{*} = {\ sqrt {\ frac {2DK} {h}}}}$

Q* er uafhængig af P; det er en funktion af kun K, D, h.

Den optimale værdi Q* kan også findes ved at genkende det

${\ displaystyle T = {\ frac {DK} {Q}}+{\ frac {hQ} {2}}+PD = {\ frac {h} {2Q}} (Q-{\ sqrt {2DK/h} })^{2}+{\ sqrt {2hDK}}+PD,}$ hvor det ikke-negative kvadratiske udtryk forsvinder, hvilket giver omkostningsminimum ${\ textstyle Q = {\ sqrt {2DK/h}},}$ ${\ displaystyle T_ {min} = {\ sqrt {2hDK}}+PD.}$

Eksempel

årlig kravmængde (D) = 10000 enheder
Pris pr. Ordre (K) = 40
Omkostninger pr. Enhed (P) = 50
Årlige omkostninger pr. Enhed = 4
Markedsinteresse = 2%

Økonomisk ordremængde = = 400 enheder ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2D \ cdot K} {h}}}}$ ${\ displaystyle = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot 10000 \ cdot 40} {4+50 \ cdot 2 \%}}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot 10000 \ cdot 40} {5} }}}$

Antal ordrer om året (baseret på EOQ) ${\ displaystyle = {\ frac {10000} {400}} = 25}$

Udgifter i alt ${\ displaystyle = P \ cdot D+K (D/EOQ)+h (EOQ/2)}$

Udgifter i alt ${\ displaystyle = 50 \ cdot 10000+40 \ cdot (10000/400) +5 \ cdot (400/2) = 502000}$

Hvis vi kontrollerer de samlede omkostninger for enhver anden ordremængde end 400 (= EOQ), vil vi se, at omkostningerne er højere. Hvis vi f.eks. Antager 500 enheder pr. Ordre

Udgifter i alt ${\ displaystyle = 50 \ cdot 10000+40 \ cdot (10000/500) +5 \ cdot (500/2) = 502050}$

På samme måde, hvis vi vælger 300 for ordren mængden derefter

Udgifter i alt ${\ displaystyle = 50 \ cdot 10000+40 \ cdot (10000/300) +5 \ cdot (300/2) = 502083.33}$

Dette illustrerer, at den økonomiske ordremængde altid er i virksomhedens bedste interesse.

Udvidelser af EOQ -modellen

Mængderabatter

En vigtig udvidelse til EOQ -modellen er at imødekomme mængderabatter. Der er to hovedtyper af mængderabatter: (1) alle-enheder og (2) inkrementelle. Her er et numerisk eksempel:

Inkrementel enhedsrabat: Enheder 1–100 koster $ 30 hver; Enheder 101–199 koster $ 28 hver; Enheder 200 og derover koster $ 26 hver. Så når 150 enheder bestilles, er den samlede pris $ 30*100 + $ 28*50.
Alle enheder rabat: en ordre på 1–1000 enheder koster $ 50 hver; en ordre på 1001–5000 enheder koster $ 45 hver; en ordre på mere end 5000 enheder koster $ 40 hver. Så når der bestilles 1500 enheder, er den samlede pris $ 45*1500.

For at finde den optimale ordremængde under forskellige mængderabatordninger, bør man bruge algoritmer; disse algoritmer er udviklet under den antagelse, at EOQ -politikken stadig er optimal med mængderabatter. Perera et al. (2017) fastslå denne optimalitet og fuldstændig karakterisere (erne, S) optimalt inden for EOQ -indstillingen under generelle omkostningsstrukturer.

Design af optimale mængderabatplaner

I nærvær af en strategisk kunde, der reagerer optimalt på rabatplaner, er udformningen af en optimal mængderabatordning fra leverandøren kompleks og skal gøres omhyggeligt. Dette er især tilfældet, når efterspørgslen hos kunden i sig selv er usikker. En interessant effekt kaldet "omvendt bullwhip" finder sted, hvor en stigning i forbrugernes efterspørgselsusikkerhed faktisk reducerer usikkerhed i ordremængde hos leverandøren.

Ombestillingsomkostninger og flere varer

Flere udvidelser kan foretages til EOQ -modellen, herunder omkostninger til efterbestilling og flere varer. Hvis restordrer er tilladt, er lageromkostningerne pr. Cyklus:

${\ displaystyle IC \ int \ limit _ {0}^{T_ {1}} (Qs- \ lambda t) \, dt = {\ frac {IC} {2 \ lambda}} (Qs)^{2}}$

Hvor s er antallet af restordrer, når ordremængden Q leveres og er efterspørgslen. Restordreomkostningerne pr. Cyklus er: ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ pi s+{\ hat {\ pi}} \ int \ limit _ {0}^{T_ {2}} \ lambda tdt = \ pi s+{\ frac {1} {2}} {\ hat { \ pi}} \ lambda T_ {2}^{2} = \ pi s+{\ frac {{\ hat {\ pi}} s^{2}} {2 \ lambda}}}$

Hvor og er restordreomkostninger , T er cykluslængden og . Den gennemsnitlige årlige variable omkostning er summen af ordreomkostninger, beholdningsomkostninger og restordreomkostninger: ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}}}$ ${\ displaystyle T_ {2} = T-T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {1} = (Qs)/\ lambda}$

${\ displaystyle {\ mathcal {K}} = {\ frac {\ lambda} {Q}} A+{\ frac {1} {2Q}} IC (Qs)^{2}+{\ frac {1} {Q }} [\ pi \ lambda s+{\ frac {1} {2}} {\ hat {\ pi}} s^{2}]}$

For at minimere pålægge partielle derivater svarende til nul: ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel {\ mathcal {K}}} {\ delvis Q}} =-{\ frac {1} {Q^{2}}} \ venstre [{\ lambda} A+{\ frac {1} {2}} IC (Qs)^{2}+\ pi \ lambda s+{\ frac {1} {2}} {\ hat {\ pi}} s^{2} \ right]+{\ frac {IC} {Q}} (Qs) = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {K}}} {\ partial s}} =-{\ frac {IC} {Q}} (Qs)+{\ frac {1} {Q}} \ pi \ lambda +{\ frac {1} {Q}} {\ hat {\ pi}} s = 0}$

Ved at erstatte den anden ligning med den første giver følgende kvadratiske ligning :

${\ displaystyle [{\ hat {\ pi}}^{2}+{\ hat {\ pi}} IC] s^{2} +2 \ pi {\ hat {\ pi}} \ lambda s+(\ pi \ lambda)^{2} -2 \ lambda AIC = 0}$

Hvis etiher s = 0 eller er optimal. I det første tilfælde er det optimale parti givet ved den klassiske EOQ -formel, i det andet tilfælde placeres en ordre aldrig, og minimumsårlige omkostninger angives af . Hvis eller er optimal, hvis så burde der ikke være noget lagersystem. Hvis løsningen af den foregående kvadratiske ligning giver: ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} = 0}$ ${\ displaystyle s = \ infty}$ ${\ displaystyle \ pi \ lambda}$ ${\ displaystyle \ pi> {\ sqrt {\ frac {2AIC} {\ lambda}}} = \ delta}$ ${\ displaystyle \ pi \ lambda> K_ {w}}$ ${\ displaystyle s^{*} = 0}$ ${\ displaystyle \ pi <\ delta}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} \ neq 0}$

${\ displaystyle s^{*} = [{\ hat {\ pi}}+IC]^{-1} \ venstre (-\ pi \ lambda+\ venstre [(2 \ lambda AIC) \ venstre (1+ { \ frac {IC} {\ hat {\ pi}}} \ right)-{\ frac {IC} {\ hat {\ pi}}} (\ pi \ lambda)^{2} \ right]^{1/ 2} \ højre)}$

${\ displaystyle Q^{*} = \ venstre [{\ frac {{\ hat {\ pi}}+IC} {\ hat {\ pi}}} \ højre]^{1/2} \ venstre [{\ frac {2 \ lambda A} {IC}}-{\ frac {(\ pi \ lambda)^{2}} {IC ({\ hat {\ pi}}+IC)}} \ højre]^{1/ 2}}$

Hvis der er restordrer genbestillingsnummeret punkt er: ; med m som det største heltal og μ efterspørgslen efter leveringstid. ${\ displaystyle r_ {h}^{*} = \ mu -mQ^{*} -s^{*}}$ ${\ displaystyle m \ leq {\ frac {\ tau} {T}}}$

Derudover kan det økonomiske ordreinterval bestemmes ud fra EOQ, og den økonomiske produktionsmængdemodel (som bestemmer den optimale produktionsmængde) kan bestemmes på lignende måde.

En version af modellen, Baumol-Tobin- modellen, er også blevet brugt til at bestemme pengebehovsfunktionen , hvor en persons beholdning af pengesaldo kan ses parallelt med en virksomheds beholdning af beholdninger.

Malakooti (2013) har introduceret EOQ -modellerne med flere kriterier, hvor kriterierne kan være at minimere de samlede omkostninger, ordremængde (lager) og mangel.

En version, der tog hensyn til tidsværdien af penge, blev udviklet af Trippi og Lewin.

Ufuldkommen kvalitet

En anden vigtig forlængelse af EOQ -modellen er at overveje emner med ufuldkommen kvalitet. Salameh og Jaber (2000) er de første til at studere de ufuldkomne genstande i en EOQ -model meget grundigt. De betragter et lagerproblem, hvor efterspørgslen er deterministisk, og der er en brøkdel af ufuldkomne varer i partiet og screenes af køberen og sælges af dem i slutningen af cirklen til rabatpris.

Til forbedring af brændstoføkonomien i forbrændingsmotorer

I 2016 er der blevet foreslået en interessant lighed mellem EOQ for melonplukning og brændstofindsprøjtning i benzin direkte indsprøjtning.

Se også

Omorganiser punkt
Sikkerhedsbeholdning
Konstant påfyldningshastighed for den del, der produceres: Økonomisk produktionsmængde
Ordrer afgivet med jævne mellemrum: Fast tidsperiode model
Efterspørgslen er tilfældig: klassisk Newsvendor -model
Efterspørgslen varierer over tid: Dynamisk lotstørrelsesmodel
Flere produkter produceret på den samme maskine: Økonomisk lotplanlægningsproblem
Renewal Demand og (s, S) Optimality af Perera, Janakiraman og Niu [1]

Referencer

Yderligere læsning

Harris, Ford W. Operations Cost (Factory Management Series), Chicago: Shaw (1915)
Harris, Ford W. (1913). "Hvor mange dele skal laves på én gang". Factory, Magazine of Management . 10 : 135–136, 152.
Camp, WE "Bestemmelse af produktionsordremængde", Management Engineering, 1922
Wilson, RH (1934). "En videnskabelig rutine for lagerstyring". Harvard Business Review . 13 : 116–28.
Plossel, George. Orlickys planlægning af materialekrav. Anden version. McGraw Hill. 1984. (første udgave 1975)
Andriolo, Alessandro; Battini, Daria; Grubbström, Robert W .; Persona, Alessandro; Sgarbossa, Fabio (2014). "Et århundredes evolution fra Harris 'grundlæggende lotstørrelsesmodel: Undersøgelses- og forskningsagenda" . International Journal of Production Economics . 155 : 16–38. doi : 10.1016/j.ijpe.2014.01.013 .
Erlenkotter, Donald (2014). "Ford Whitman Harris's model med økonomisk størrelse" . International Journal of Production Economics . 155 : 12–15. doi : 10.1016/j.ijpe.2013.12.008 .
Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). "Optimalitet af (s, S) politikker i EOQ -modeller med generelle omkostningsstrukturer". International Journal of Production Economics . 187 : 216–228. doi : 10.1016/j.ijpe.2016.09.017 .
Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2018). "Optimalitet af (s, S) beholdningspolitikker under fornyelsesbehov og generelle omkostningsstrukturer". Produktions- og driftsledelse . 27 (2): 368–383. doi : 10.1111/poms.12795 . HDL : 2027,42 / 142.450 .
Tsan-Ming Choi (red.) Handbook of EOQ Inventory Problems: Stochastic and Deterministic Models and Applications, Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2014. doi : 10.1007/978-1-4614-7639-9 .
Ventura, Robert; Samuel, Stephen (2016). "Optimering af brændstofindsprøjtning i GDI -motor ved hjælp af økonomisk ordremængde og Lambert W -funktion" . Anvendt termisk teknik . 101 : 112–20. doi : 10.1016/j.applthermaleng.2016.02.024 .

Languages

In other projects