Eulers ligninger (stiv kropsdynamik) - Euler's equations (rigid body dynamics)

I klassisk mekanik er Eulers rotationsligninger en vektor-quasilinear første ordens almindelige differentialligning, der beskriver rotation af et stift legeme ved hjælp af en roterende referenceramme med akserne fastgjort til kroppen og parallelt med kroppens vigtigste inertiakser . Deres generelle form er:

hvor M er de anvendte drejningsmomenter , jeg er inerti matrix , og ω er den vinkelhastighed om hovedakserne.

I tredimensionelle retvinklede ortogonale koordinater bliver de:

hvor M k er komponenterne i de anvendte drejningsmomenter, jeg k er de vigtigste inertimomenter og ω k er komponenterne af vinkelhastigheden om hovedakserne.

Motivation og afledning

Med udgangspunkt i Newtons anden lov i en inertial referenceramme (tegnet "in") svarer tidsafledningen af vinkelmomentet L til det anvendte drejningsmoment

hvor jeg i er inertimomentet tensor beregnet i inerti-rammen. Selvom denne lov er universelt sand, er den ikke altid nyttig til at løse bevægelsen fra et generelt roterende stift legeme, da både I i og ω kan ændre sig under bevægelsen.

Derfor skifter vi til en koordinatramme, der er fastgjort i det roterende legeme, og vælges således, at dens akser er justeret med hovedakserne i inertimomentet . I denne ramme er i det mindste inerti-momentet konstant (og diagonalt), hvilket forenkler beregningerne. Som beskrevet i inertimomentet kan vinkelmomentet L skrives

hvor M k , I k og ω k er som ovenfor.

I en roterende referenceramme skal tidsderivatet erstattes med (se tidsafledt i roterende referenceramme )

hvor tegnet "rådne" angiver, at det tages i den roterende referenceramme. Udtrykkene for drejningsmoment i de roterende og inertiale rammer er relateret til

hvor Q er rotationstensoren (ikke rotationsmatrix ), en ortogonal tensor relateret til vinkelhastighedsvektoren ved

for enhver vektor v .

Generelt er L = substitueret, og tidsderivaterne tages for at indse, at inertietensoren og således også de vigtigste øjeblikke ikke afhænger af tiden. Dette fører til den generelle vektorform af Eulers ligninger

Hvis hovedakse drejer

erstattes, og derefter tager krydsproduktet og bruger det faktum, at de vigtigste øjeblikke ikke ændrer sig med tiden, når vi frem til Euler-ligningerne i komponenter i begyndelsen af ​​artiklen.

Momentfrie løsninger

For RHSs lig med nul er der ikke-trivielle løsninger: moment-fri præcession . Bemærk, at da jeg er konstant (fordi inertitensoren er en 3 × 3 diagonal matrix (se forrige afsnit), fordi vi arbejder i den indre ramme, eller fordi drejningsmomentet kører rotationen omkring den samme akse, så jeg ikke er ændre) så skriver vi muligvis

hvor

α kaldes vinkelacceleration (eller rotationsacceleration ) omkring rotationsaksen .

Men hvis jeg ikke er konstant i den eksterne referenceramme (dvs. kroppen bevæger sig, og dens inerti tensor ikke er konstant diagonal), kan vi ikke tage I uden for det afledte . I dette tilfælde vil vi have et momentfrit presession på en sådan måde, at I ( t ) og ω ( t ) ændres sammen, så deres afledte er nul. Denne bevægelse kan visualiseres ved Poinsots konstruktion .

Generaliseringer

Det er også muligt at bruge disse ligninger, hvis de akser, hvori

er beskrevet er ikke forbundet med kroppen. Derefter skal ω udskiftes med aksenes rotation i stedet for kroppens rotation. Det kræves imidlertid stadig, at de valgte akser stadig er hovedinertiakser. Denne form for Euler-ligningerne er nyttig til rotationssymmetriske objekter, der tillader, at nogle af de vigtigste rotationsakser vælges frit.

Se også

Referencer

  • CA Truesdell, III (1991) Et første kursus i rationel kontinuummekanik. Vol. 1: General Concepts , 2. udgave, Academic Press. ISBN  0-12-701300-8 . Sekter. I.8-10.
  • CA Truesdell, III og RA Toupin (1960) The Classical Field Theories , i S. Flügge (red.) Encyclopedia of Physics. Vol. III / 1: Principper for klassisk mekanik og feltteori , Springer-Verlag. Sekter. 166–168, 196–197 og 294.
  • Landau LD og Lifshitz EM (1976) Mekanik , 3. red., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (indbundet) og ISBN  0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics , 2. udgave, Addison-Wesley. ISBN  0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mekanik , 3.. red., Addison-Wesley. ISBN  0-201-07392-7