Forventet værdi af prøveoplysninger - Expected value of sample information

I beslutningsteori er den forventede værdi af prøveinformation (EVSI) den forventede stigning i nytteværdi, som en beslutningstager kunne opnå ved at få adgang til et stik af yderligere observationer, før der træffes en beslutning. De yderligere oplysninger, der er opnået fra prøven, kan give dem mulighed for at tage en mere informeret og dermed bedre beslutning, hvilket resulterer i en stigning i forventet nytteværdi. EVSI forsøger at estimere, hvad denne forbedring ville være, før man ser faktiske eksempeldata; derfor er EVSI en form for, hvad der er kendt som præosterior analyse .

Formulering

Lade

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} d \ i D & {\ mbox {den beslutning, der træffes, valgt fra mellemrum}} D \\ x \ i X & {\ mbox {en usikker tilstand med ægte værdi i rummet }} X \\ z \ i Z & {\ mbox {en observeret prøve sammensat af}} n {\ mbox {observationer}} \ langle z_ {1}, z_ {2}, .., z_ {n} \ rangle \ \ U (d, x) & {\ mbox {værktøjet til at vælge beslutning}} d {\ mbox {fra}} x \\ p (x) & {\ mbox {den forudgående subjektive sandsynlighedsfordeling (densitetsfunktion) på} } x \\ p (z | x) & {\ mbox {den betingede forudgående sandsynlighed for at observere prøven}} z \ end {array}}}$

Det er almindeligt (men ikke væsentligt) i EVSI-scenarier for , og det vil sige, at hver observation er en objektiv sensorlæsning af den underliggende tilstand , hvor hver sensorlæsning er uafhængig og identisk fordelt. ${\ displaystyle Z_ {i} = X}$${\ displaystyle p (z | x) = \ prod p (z_ {i} | x)}$${\ displaystyle \ int zp (z | x) dz = x}$${\ displaystyle x}$

Nyttigheden fra den optimale beslutning, der kun er baseret på den forudgående, uden at foretage yderligere observationer, gives af

${\ displaystyle E [U] = \ max _ {d \ in D} ~ \ int _ {X} U (d, x) p (x) ~ dx.}$

Hvis beslutningstageren kunne få adgang til en enkelt prøve, ville det optimale posterior værktøj være ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle E [U | z] = \ max _ {d \ in D} ~ \ int _ {X} U (d, x) p (x | z) ~ dx}$

hvor fås fra Bayes regel : ${\ displaystyle p (x | z)}$

${\ displaystyle p (x | z) = {{p (z | x) p (x)} \ over {p (z)}};}$

${\ displaystyle p (z) = \ int p (z | x) p (x) ~ dx.}$

Da de ikke ved, hvilken prøve der rent faktisk ville fås, hvis en blev opnået, skal de gennemsnitligt over alle mulige prøver for at opnå den forventede nytteværdi, der er givet en prøve:

${\ displaystyle E [U | SI] = \ int _ {Z} E [U | z] p (z) dz = \ int _ {Z} \ max _ {d \ in D} ~ \ int _ {X} U (d, x) p (z | x). p (x) ~ dx ~ dz}$

Den forventede værdi af prøveinformation defineres derefter som

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} EVSI & = E [U | SI] -E [U] \\ & = \ venstre (\ int _ {Z} \ max _ {d \ in D} ~ \ int _ {X} U (d, x) p (z | x) p (x) ~ dx ~ dz \ højre) - \ venstre (\ max _ {d \ i D} ~ \ int _ {X} U (d , x) p (x) ~ dx \ højre). \ end {matrix}}}$

beregning

Det er sjældent muligt at gennemføre integrationen i rummet med mulige observationer i E [U | SI] analytisk, så beregningen af ​​EVSI kræver normalt en Monte Carlo-simulering . Metoden involverer tilfældigt at simulere en prøve og derefter bruge den til at beregne den bageste og maksimere værktøjet baseret på . Hele denne proces gentages derefter mange gange for at få en Monte Carlo-prøve, hvis optimale værktøjer. Disse gennemsnit beregnes for at opnå den forventede nytteværdi, der er givet en hypotetisk prøve. ${\ displaystyle z ^ {i} = \ langle z_ {1} ^ {i}, z_ {2} ^ {i}, .., z_ {n} ^ {i} \ rangle}$${\ displaystyle p (x | z ^ {i})}$${\ displaystyle p (x | z ^ {i})}$${\ displaystyle i = 1, .., M}$

Eksempel

Et regulerende agentur skal beslutte, om en ny behandling skal godkendes. Før de træffer den endelige godkendelse / afvisning af beslutning, spørger de, hvad værdien ville være at gennemføre en yderligere forsøgsundersøgelse om emner. Dette spørgsmål besvares af EVSI. ${\ displaystyle n}$

diagram over EVSI-modellen

Diagrammet viser et indflydelsesdiagram til beregning af EVSI i dette eksempel.

Modellen klassificerer resultatet for et givet emne i en af ​​fem kategorier:

${\ displaystyle Z_ {i} =}$ {"Hærdning", "Forbedring", "Ineffektiv", "Mild bivirkning", "Alvorlig bivirkning"}

Og til hvert af disse resultater tildeler du et værktøj, der svarer til en estimeret patientækvivalent monetær værdi af resultatet.

En beslutningstilstand, i dette eksempel, er en vektor med fem numre mellem 0 og 1, der summerer til 1, hvilket giver andelen af ​​fremtidige patienter, der vil opleve hvert af de fem mulige resultater. F.eks. Betegner en tilstand det tilfælde, hvor 5% af patienterne bliver helbredet, 60% forbedres, 20% finder behandlingen ineffektiv, 10% oplever milde bivirkninger og 5% oplever farlige bivirkninger. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = [5 \%, 60 \%, 20 \%, 10 \%, 5 \%]}$

Den forrige er kodet ved hjælp af en Dirichlet-fordeling , der kræver fem tal (der ikke summerer til 1), hvis relative værdier fanger den forventede relative andel af hvert resultat, og hvis sum koder styrken for denne forudgående tro. I diagrammet er parametrene for Dirichlet-fordelingen indeholdt i variablen dirichlet alpha forud , mens den forudgående distribution i sig selv er i chancevariablen Prior . Her er sandsynlighedsgradgrafen over marginerne vist: ${\ displaystyle p (x)}$

I chancen variable forsøgsdata , der er forsøgsdata, simuleres som en Monte Carlo prøve fra en multinomialfordeling . For eksempel, når Trial_size = 100, indeholder hver Monte Carlo-prøve af Trial_data en vektor, der summerer til 100, der viser antallet af emner i den simulerede undersøgelse, der oplevede hvert af de fem mulige resultater. Følgende resultattabel viser de første 8 simulerede forsøgsresultater:

At kombinere disse forsøgsdata med en Dirichlet-forudgående kræver kun at tilføje udfaldsfrekvenserne til Dirichlet-forrige alfa-værdier, hvilket resulterer i en Dirichlet posterior fordeling for hvert simuleret forsøg. For hver af disse træffes beslutningen om at godkende baseret på, om middelværdien er positiv, og ved at bruge et værktøj på nul, når behandlingen ikke er godkendt, opnås den førpositoriske værktøj . Ved gentagelse af beregningen for en række mulige prøvestørrelser opnås en EVSI ved hver mulig kandidatforsøgsstørrelse som afbildet i denne graf:

Historisk baggrund

Bogen fra 1961 Applied Statistical Decision Theory af Schlaifer og Raiffa var blandt de tidligste til at udnytte EVSI i vid udstrækning.

Sammenligning med beslægtede foranstaltninger

Forventet værdi af prøveinformation (EVSI) er en lempelse af den forventede værdi af perfekt information (EVPI) -metrisk, der koder for stigningen i nyttigheden, der ville blive opnået, hvis man skulle lære den rigtige underliggende tilstand . I det væsentlige angiver EVPI værdien af ​​perfekt information, mens EVSI angiver værdien af nogle begrænsede og ufuldstændige oplysninger. ${\ displaystyle x}$

Den forventede værdi af inkludering af usikkerhed (EVIU) sammenligner værdien af ​​modellering af usikker information sammenlignet med modellering af en situation uden at tage hensyn til usikkerhed. Da virkningen af ​​usikkerhed på beregne resultater ofte analyseres ved hjælp af Monte Carlo-metoder , synes EVIU at være meget lig værdien af ​​at udføre en analyse ved hjælp af en Monte Carlo-prøve , der tæt ligner erklæringen om den opfattelse, der blev taget med EVSI. EVSI og EVIU er imidlertid ganske forskellige - en bemærkelsesværdig forskel mellem den måde, hvorpå EVSI bruger Bayesian-opdatering til at inkorporere den simulerede prøve.

Se også

• Forventet værdi af perfekt information (EVPI)
• Forventet værdi af inklusive usikkerhed (EVIU)

Referencer