Frenet – Serret formler - Frenet–Serret formulas

En rumkurve; vektorerne T , N og B ; og det osculerende plan spænder over T og N

I differential geometri , de Frenet-Serret formler beskriver de kinematiske egenskaber af en partikel, der bevæger sig langs en kontinuerlig, differentiabel kurve i tredimensionale euklidisk rum R ³ , eller de geometriske egenskaber af kurven selv uanset enhver bevægelse. Mere specifikt beskriver formlerne derivaterne af de såkaldte tangent-, normale og binormale enhedsvektorer med hensyn til hinanden. Formlerne er opkaldt efter de to franske matematikere, der uafhængigt opdagede dem: Jean Frédéric Frenet i sin afhandling fra 1847 og Joseph Alfred Serret i 1851. Vektornotation og lineær algebra, der i øjeblikket bruges til at skrive disse formler, var endnu ikke i brug på det tidspunkt af deres opdagelse.

De tangente, normale og binormale enhedsvektorer, der ofte kaldes T , N og B , eller samlet Frenet -Serret -rammen eller TNB -rammen , danner tilsammen et orthonormalt grundlag, der spænder over R ³ og er defineret som følger:

• T er enhedsvektoren, der tangerer kurven, og peger i bevægelsesretningen.
• N er den normale enhedsvektor, derivatet af T med hensyn til kurvens arclength -parameter , divideret med dets længde.
• B er den binormal enhedsvektor, den cross produkt af T og N .

Frenet – Serret -formlerne er:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} & = \ kappa \ mathbf {N}, \\ {\ frac {d \ mathbf {N}} {ds} } & =-\ kappa \ mathbf {T} +\ tau \ mathbf {B}, \\ {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} & =-\ tau \ mathbf {N}, \ end {align}}}$

hvor d / ds er derivatet med hensyn til arlængde, κ er krumningen , og τ er kurvens torsion . De to skalarer κ og τ definerer effektivt krumning og vridning af en rumkurve. Den tilhørende samling, T , N , B , κ og τ , kaldes Frenet -Serret -apparatet . Intuitivt måler krumning svigt af en kurve til at være en lige linje, mens torsion måler svigt af en kurve til at være plan.

Definitioner

De T og N -vektorer ved to punkter på en plan kurve, en oversat udgave af den anden ramme (stiplet), og ændringen i T : δ T' . δs er afstanden mellem punkterne. I grænsen vil være i retning N, og krumningen beskriver rammens rotationshastighed.${\ displaystyle {\ tfrac {d \ mathbf {T}} {ds}}}$

Lad r ( t ) være en kurve i det euklidiske rum , der repræsenterer partiklens positionsvektor som funktion af tiden. Frenet – Serret-formlerne gælder for kurver, der er ikke-degenererede , hvilket groft sagt betyder, at de har en nul- krumning . Mere formelt, i denne situation hastighed vektor r '( t ) og acceleration vektor r ' '( t ) er påkrævet ikke at være proportional.

Lad s ( t ) repræsentere den buelængde, som partiklen har bevæget sig langs kurven i tiden t . Mængden s bruges til at give kurven spores af den bane af partiklen en naturlig parametrisering af buelængde (dvs. buelængde parametrisering ), eftersom mange forskellige partikelstørrelser stier kan spore den samme geometriske kurve ved kørsel det med forskellige hastigheder. I detaljer s er givet ved

${\ displaystyle s (t) = \ int _ {0}^{t} \ left \ | \ mathbf {r} '(\ sigma) \ right \ | d \ sigma.}$

Da vi desuden har antaget, at r ′ ≠ 0, følger det, at s ( t ) er en strengt monotonisk stigende funktion. Derfor er det muligt at løse for t som funktion af s , og dermed skrive r ( s ) = r ( t ( s )). Kurven parametriseres således på en foretrukken måde ved sin buelængde.

Med en ikke-degenereret kurve r ( r ), parameteriseret efter dens buelængde, er det nu muligt at definere Frenet – Serret-rammen (eller TNB-rammen ):

• Tangentenhedsvektoren T er defineret som

  ${\ displaystyle \ mathbf {T} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}}}$

  ( 1 )

• Den normale enhedsvektor N er defineret som

  ${\ displaystyle \ mathbf {N} = {{\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ over \ left \ | {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ right \ | }.}$

  ( 2 )

Bemærk, at ved at kalde krumning får vi automatisk den første relation. ${\ displaystyle \ kappa = \ left \ | {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ right \ |}$

• Den binormal enhedsvektor B er defineret som indlægget produkt af T og N :

  ${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N}.}$

  ( 3 )

Frenet-Serret-rammen bevæger sig langs en spiral . The T er repræsenteret ved den blå pil, N er repræsenteret ved den røde pil, mens B er repræsenteret ved den sorte pil.

Af ligning ( 2 ) følger det, da T altid har enhed størrelsesorden , at N (ændringen i T ) altid vinkelret på T , eftersom der ikke er nogen ændring i længden af T . Fra ligning ( 3 ) følger det, at B er altid vinkelret på både T og N . Således er de tre enhedsvektorer T , N og B alle vinkelret på hinanden.

De Frenet-Serret formler er:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} & = && \ kappa \ mathbf {N} & \\ &&&& \\ {\ frac {d \ mathbf {N} } {ds}} & = &-\ kappa \ mathbf {T} &&+\, \ tau \ mathbf {B} \\ &&&& \\ {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} & = && -\ tau \ mathbf {N} & \ end {matrix}}}$

hvor er krumningen og er torsionen . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ tau}$

Frenet -Serret -formlerne er også kendt som Frenet -Serret -sætning og kan angives mere præcist ved hjælp af matrixnotation :

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T '} \\\ mathbf {N'} \\\ mathbf {B '} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ -\ kappa & 0 & \ tau \\ 0 &-\ tau & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {bmatrix}} .}$

Denne matrix er skæv-symmetrisk .

Formler i n dimensioner

Frenet-Serret-formlerne blev generaliseret til højere dimensionelle euklidiske rum af Camille Jordan i 1874.

Antag, at r ( s ) er en glat kurve i R ⁿ , og at de første n -derivater af r er lineært uafhængige. Vektorerne i Frenet – Serret-rammen er et orthonormalt grundlag konstrueret ved at anvende Gram-Schmidt-processen på vektorerne ( r ′ ( s ), r ′ ′ ( s ), ..., r ^{( n )} ( s )).

I detaljer er enhedens tangensvektor den første Frenet -vektor e ₁ ( er ) og defineres som

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (s) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {1}}} (s)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {1}}} (r) \ |}}}$

hvor

${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {1}}} (s) = \ mathbf {r} '(s)}$

Den normale vektor , undertiden kaldet krumningsvektoren , angiver kurvens afvigelse fra at være en lige linje. Det er defineret som

${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (s) = \ mathbf {r} '' (s)-\ langle \ mathbf {r} '' (s), \ mathbf {e } _ {1} (r) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {1} (r)}$

Dens normaliserede form, enhedens normale vektor , er den anden Frenet -vektor e ₂ ( er ) og defineret som

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (s) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (r)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {2}}} (r) \ |}}}$

Tangenten og den normale vektor ved punkt s definerer det osculerende plan ved punkt r ( s ).

De resterende vektorer i rammen (det binormale, trinormale osv.) Er defineret på samme måde som

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {e} _ {j} (s) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (s)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (r) \ |}} {\ mbox {,}} \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (s) = \ mathbf {r} ^{(j)} (s)-\ sum _ {i = 1 } ^{j-1} \ langle \ mathbf {r} ^{(j)} (s), \ mathbf {e} _ {i} (s) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {i} ( s). \ end {align}}}$

Den sidste vektor i rammen er defineret af krydsproduktet fra de første n-1 vektorer:

${\ displaystyle {\ mathbf {e} _ {n}} (s) = {\ mathbf {e} _ {1}} (s) \ times {\ mathbf {e} _ {2}} (s) \ times \ prikker \ gange {\ mathbf {e} _ {n-2}} (r) \ gange {\ mathbf {e} _ {n-1}} (r)}$

De reelt værdsatte funktioner, der bruges nedenfor χ _i ( s ) kaldes generaliseret krumning og defineres som

${\ displaystyle \ chi _ {i} (s) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(s), \ mathbf {e} _ {i+1} (r) \ rangle} {\ | \ mathbf {r} '(r) \ |}}}$

De Frenet-Serret formler , der er anført i matrix sprog, er

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(s) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ {n}' (s) \\\ ende {bmatrix}} = \\\ ende {tilpasset}} \ | \ mathbf {r} '(r) \ | \ cdot {\ begin {justeret} {\ begynne {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (r ) && 0 \\-\ chi _ {1} (s) & \ ddots & \ ddots & \\ & \ ddots & 0 & \ chi _ {n-1} (s) \\ 0 &&-\ chi _ {n-1} (r) og 0 \\\ slut {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (s) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ {n} (s) \\ \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

Bemærk, at som defineret her, kan de generaliserede krumninger og rammen afvige lidt fra konventionen, der findes i andre kilder. Den øverste krumning (også kaldet torsion i denne sammenhæng) og den sidste vektor i rammen adskiller sig med et tegn ${\ displaystyle \ chi _ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {eller} \ venstre (\ mathbf {r} ^{(1)}, \ dots, \ mathbf {r} ^{(n)} \ right)}$

(orienteringen af ​​grundlaget) fra den sædvanlige torsion. Frenet – Serret -formlerne er uforanderlige under at vende tegnet på begge og , og denne ændring af tegnet gør rammen positivt orienteret. Som defineret ovenfor arver rammen sin orientering fra jetstrålen . ${\ displaystyle \ chi _ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

Bevis

Overvej 3 til 3 matrixen

${\ displaystyle Q = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {bmatrix}}}$

Rækkerne i denne matrix er indbyrdes vinkelrette enhedsvektorer: et orthonormalt grundlag for . Som følge heraf er transponeringen af Q lig med den inverse af Q : Q er en ortogonal matrix . Det er tilstrækkeligt at vise det ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) Q^{\ top} = {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\-\ kappa & 0 & \ tau \\ 0 &-\ tau & 0 \ end {bmatrix}}}$

Bemærk, at den første række i denne ligning allerede indeholder, ved definition af det normale N og krumning κ , samt den sidste række ved definitionen af ​​torsion. Så det er tilstrækkeligt at vise detdQ/dsQ ^T er en skæv-symmetrisk matrix . Da I = QQ ^T , giver et derivat og anvender produktreglen

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 = {\ frac {dI} {ds}} = \ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) Q^{\ top}+Q \ left ({ \ frac {dQ} {ds}} \ højre)^{\ top} \\\ indebærer \ venstre ({\ frac {dQ} {ds}} \ højre) Q^{\ top} =-\ venstre (\ venstre ({\ frac {dQ} {ds}} \ højre) Q^{\ top} \ højre)^{\ top} \\\ ende {justeret}}}$

som fastslår den nødvendige skæv-symmetri.

Ansøgninger og fortolkning

Kinematik af rammen

Frenet-Serret-rammen bevæger sig langs en spiral i rummet

Frenet – Serret-rammen bestående af tangenten T , normal N og binormal B danner tilsammen et orthonormalt grundlag for 3-rum. På hvert punkt i kurven vedhæfter dette en referenceramme eller et retlinet koordinatsystem (se billede).

Frenet – Serret -formlerne indrømmer en kinematisk fortolkning. Forestil dig, at en observatør bevæger sig langs kurven i tid og bruger den vedhæftede ramme på hvert punkt som deres koordinatsystem. Frenet -Serret -formlerne betyder, at dette koordinatsystem konstant roterer, når en observatør bevæger sig langs kurven. Derfor er dette koordinatsystem altid ikke-inertielt . Den impulsmoment af observatørens koordinatsystem er proportional med Darboux vektor af rammen.

En top, hvis akse er placeret langs det binormale, observeres at rotere med vinkelhastighed κ. Hvis aksen er langs tangenten, observeres den at rotere med vinkelhastighed τ.

Antag konkret, at observatøren bærer en (inertial) top (eller gyroskop ) med sig langs kurven. Hvis topens akse peger langs tangenten til kurven, vil den blive observeret at rotere om sin akse med vinkelhastighed -τ i forhold til observatørens ikke -inertielle koordinatsystem. Hvis derimod aksen på toppen peger i den binormale retning, så observeres den at rotere med vinkelhastighed -κ. Dette kan let visualiseres i tilfælde, hvor krumningen er en positiv konstant, og torsionen forsvinder. Iagttageren er derefter i ensartet cirkulær bevægelse . Hvis toppen peger i retning af det binormale, skal den ved bevarelse af vinkelmomentet rotere i den modsatte retning af cirkelbevægelsen. I det begrænsende tilfælde, når krumningen forsvinder, vil observatørens normale forløb omkring tangensvektoren , og på samme måde vil toppen rotere i den modsatte retning af denne præcession.

Den generelle sag er illustreret nedenfor . Der er yderligere illustrationer på Wikimedia.

Ansøgninger. Rammens kinematik har mange anvendelser inden for videnskaberne.

• Inden for biovidenskaben , især i modeller af mikrobiel bevægelse, er betragtninger af Frenet-Serret-rammen blevet brugt til at forklare den mekanisme, hvormed en bevægelig organisme i et viskøst medium ændrer sin retning.
• I fysikken er Frenet-Serret-rammen nyttig, når det er umuligt eller ubelejligt at tildele et naturligt koordinatsystem til en bane. Sådan er det f.eks. Ofte i relativitetsteorien . Inden for denne indstilling er Frenet-Serret-rammer blevet brugt til at modellere precessionen af ​​et gyroskop i en gravitationsbrønd.

Grafiske illustrationer

1. Eksempel på en bevægelig Frenet -basis ( T i blå, N i grøn, B i lilla) langs Vivianis kurve .

2. På eksemplet med en torus knude , tangenten vektor T , normalvektoren N , og binormal vektor B er, sammen med krumningen κ (s), og torsion τ (s), der vises.
   På toppen af ​​torsionsfunktionen er rotationen af ​​Frenet-Serret-rammen ( T , N , B ) omkring tangentvektoren tydeligt synlig.

3. Kurvaturens kinematiske betydning illustreres bedst med plane kurver (med konstant torsion lig nul). Se siden om krumning af plane kurver .

Frenet – Serret -formler i beregning

Frenet – Serret -formlerne introduceres ofte i kurser om multivariabel beregning som en ledsager til studiet af rumkurver såsom spiralen . En spiral kan karakteriseres ved højden 2π h og radius r for et enkelt sving. Krumning og vridning af en helix (med konstant radius) er givet ved formlerne

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {r} {r^{2}+h^{2}}}}$

${\ displaystyle \ tau = \ pm {\ frac {h} {r^{2}+h^{2}}}.}$

To spiraler (slinkies) i rummet. (a) En mere kompakt helix med højere krumning og lavere torsion. (b) En udstrakt helix med lidt højere torsion men lavere krumning.

Torsionens tegn bestemmes af den højrehåndede eller venstrehåndede forstand , hvor spiralen snor sig om sin midterakse. Udtrykkeligt den parametrisering af en enkelt vinding af en højrehåndet spiral med højde 2π h og radius r er

x = r cos t

y = r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

og, for en venstrehåndet helix,

x = r cos t

y = - r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π).

Bemærk, at disse ikke er lysbue -længdeparametrieringerne (i så tilfælde skal hver af x , y og z divideres med .) ${\ displaystyle {\ sqrt {h^{2}+r^{2}}}}$

I sine ekspository skrifter om kurvernes geometri anvender Rudy Rucker modellen af ​​en slanky til at forklare betydningen af ​​torsion og krumning. Det slanke, siger han, er kendetegnet ved den egenskab, at mængden

${\ displaystyle A^{2} = h^{2}+r^{2}}$

forbliver konstant, hvis slinky er lodret strakt ud langs sin midterakse. (Her er 2π h højden af ​​et enkelt twist af slinky, og r radius.) Især krumning og torsion er komplementære i den forstand, at torsionen kan øges på bekostning af krumning ved at strække det slanke ud.

Taylor ekspansion

Gentagne gange at differentiere kurven og anvende Frenet -Serret -formlerne giver følgende Taylor -tilnærmelse til kurven nær s  = 0:

${\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = \ mathbf {r} (0)+\ venstre (s-{\ frac {s ^{3} \ kappa ^{2} (0)} {6}} \ højre) \ mathbf {T} (0)+\ venstre ({\ frac {s^{2} \ kappa (0)} {2}}+{\ frac {s^{3} \ kappa '(0)} {6}} \ højre) \ mathbf {N} (0)+\ venstre ({\ frac {s^{3} \ kappa (0) \ tau (0)} {6}} \ højre) \ mathbf {B } (0)+o (s^{4}).}$

For en generisk kurve med nonvanishing torsion har kurvens projektion på forskellige koordinatplaner i T , N , B koordinatsystemet ved s = 0 følgende fortolkninger:

• Den Osculerende plan er planet indeholdende T og N . Kurvens fremspring på dette plan har formen:
  $${\ displaystyle \ mathbf {r} (0)+s \ mathbf {T} (0)+{\ frac {s^{2} \ kappa (0)} {2}} \ mathbf {N} (0)+ o (s^{2}).}$$

  
  Dette er en parabel op til rækkefølge o ( s ² ), hvis krumning ved 0 er lig med κ (0).
• Den normale plan er planet indeholdende N og B . Kurvens fremspring på dette plan har formen:
  $${\ displaystyle \ mathbf {r} (0)+\ venstre ({\ frac {s^{2} \ kappa (0)} {2}}+{\ frac {s^{3} \ kappa '(0) } {6}} \ højre) \ mathbf {N} (0)+\ venstre ({\ frac {s^{3} \ kappa (0) \ tau (0)} {6}} \ højre) \ mathbf { B} (0)+o (s^{3})}$$

  
  som er en kuspidal kubik for at bestille o ( s ³ ).
• Den rektifikation plan er planet indeholdende T og B . Kurvens fremspring på dette plan er:
  $${\ displaystyle \ mathbf {r} (0)+\ left (s-{\ frac {s ^{3} \ kappa ^{2} (0)} {6}} \ right) \ mathbf {T} (0 )+\ venstre ({\ frac {s^{3} \ kappa (0) \ tau (0)} {6}} \ højre) \ mathbf {B} (0)+o (s^{3})}$$

  
  som sporer grafen for et kubisk polynom til rækkefølge o ( s ³ ).

Bånd og rør

Et bånd defineret af en kurve med konstant torsion og en meget svingende krumning. Buelængdeparameteriseringen af ​​kurven blev defineret via integration af Frenet-Serret-ligningerne.

Frenet -Serret -apparatet gør det muligt at definere visse optimale bånd og rør centreret omkring en kurve. Disse har forskellige anvendelser inden for materialevidenskab og elasticitetsteori samt computergrafik .

Den Frenet bånd langs en kurve C er overfladen spores ud ved at feje linjesegmentet [- N , N ] genereret af enheden normale langs kurven. Denne overflade er undertiden forveksles med tangent fremkaldes , hvilket er den kappe E af Osculerende fly af C . Dette er måske fordi både Frenet bånd og E udviser lignende egenskaber langs C . Nemlig, tangentplanerne på begge ark af E , nær det entydige locus C, hvor disse ark krydser, nærmer sig de osculerende planer af C ; tangentplanerne på Frenet -båndet langs C er lig med disse osculerende planer. Frenet -båndet kan generelt ikke udvikles.

Kongruens af kurver

I klassisk euklidisk geometri er man interesseret i at studere egenskaberne af figurer i planet, som er invariante under kongruens, så hvis to figurer er kongruente, skal de have de samme egenskaber. Frenet-Serret-apparatet præsenterer krumningen og torsionen som numeriske invarianter af en rumkurve.

Groft sagt er to kurver C og C ′ i rummet kongruente, hvis den ene kan flyttes stift til den anden. En stiv bevægelse består af en kombination af en translation og en rotation. En oversættelse flytter et punkt C til et punkt C ′. Rotationen justerer derefter orienteringen af ​​kurven C, så den flugter med C ′. En sådan kombination af translation og rotation kaldes en euklidisk bevægelse . Med hensyn til parametrering r ( t ), der definerer den første kurve C , er en generel euklidisk bevægelse af C en sammensat af følgende operationer:

• ( Translation ) r ( t ) → r ( t ) + v , hvor v er en konstant vektor.
• ( Rotation ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), hvor M er matrixen for en rotation.

Frenet-Serret-rammen er særligt velopdragen med hensyn til euklidiske bevægelser. For det første, da T , N og B alle kan gives som successive derivater af parametriseringen af ​​kurven, er hver af dem ufølsomme over for tilføjelsen af ​​en konstant vektor til r ( t ). Intuitivt er TNB -rammen fastgjort til r ( t ) den samme som TNB -rammen fastgjort til den nye kurve r ( t ) + v .

Dette efterlader kun rotationer at overveje. Intuitivt, hvis vi anvender en rotation M på kurven, roterer TNB -rammen også. Mere præcist ændres matrixen Q, hvis rækker er TNB- vektorer i Frenet-Serret-rammen ved hjælp af en rotationsmatrix

${\ displaystyle Q \ højrepil QM.}$

A fortiori , matrixendQ/dsQ ^T påvirkes ikke af en rotation:

${\ displaystyle {\ frac {d (QM)} {ds}} (QM)^{\ top} = {\ frac {dQ} {ds}} MM^{\ top} Q^{\ top} = {\ frac {dQ} {ds}} Q^{\ top}}$

da MM ^T = I for en rotations matrix.

Derfor er posterne κ og τ afdQ/dsQ ^T er invarianter af kurven under euklidiske bevægelser: hvis en euklidisk bevægelse påføres en kurve, har den resulterende kurve samme krumning og torsion.

Desuden kan man ved hjælp af Frenet – Serret -rammen også bevise det modsatte: to kurver med samme krumnings- og torsionsfunktioner skal være kongruente ved en euklidisk bevægelse. Groft sagt udtrykker Frenet – Serret -formlerne Darboux -derivatet af TNB -rammen. Hvis Darboux -derivaterne af to rammer er ens, hævder en version af den grundlæggende sætning i calculus , at kurverne er kongruente. Især krumningen og torsionen er et komplet sæt invarianter for en kurve i tre dimensioner.

Andre udtryk for rammen

Formlerne ovenfor for T , N og B afhænger af, at kurven er angivet med hensyn til arclength -parameteren. Dette er en naturlig antagelse i euklidisk geometri, fordi arklængden er en euklidisk invariant af kurven. I fysikens terminologi er parametrering af arlængde et naturligt valg af måler . Det kan dog være akavet at arbejde med i praksis. En række andre tilsvarende udtryk er tilgængelige.

Antag, at kurven er givet ved r ( t ), hvor parameteren t ikke længere behøver at være arlængde. Derefter kan enhedens tangensvektor T skrives som

${\ displaystyle \ mathbf {T} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} '(t)} {\ | \ mathbf {r}' (t) \ |}}.}$

Den normale vektor N har formen

${\ displaystyle \ mathbf {N} (t) = {\ frac {\ mathbf {T} '(t)} {\ | \ mathbf {T}' (t) \ |}} = {\ frac {\ mathbf { r} '(t) \ times \ left (\ mathbf {r}' '(t) \ times \ mathbf {r}' (t) \ right)} {\ left \ | \ mathbf {r} '(t) \ højre \ | \, \ venstre \ | \ mathbf {r} '' (t) \ gange \ mathbf {r} '(t) \ højre \ |}}.}$

Den binormale B er derefter

${\ displaystyle \ mathbf {B} (t) = \ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {N} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r } '' (t)} {\ | \ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r}' '(t) \ |}}.}$

En alternativ måde at nå frem til de samme udtryk på er at tage de tre første derivater af kurven r ′ ( t ), r ′ ′ ( t ), r ′ ′ ′ ( t ) og anvende Gram-Schmidt-processen . Det resulterende ordnede orthonormale grundlag er netop TNB -rammen. Denne procedure generaliserer også for at producere Frenet -rammer i højere dimensioner.

Med hensyn til parameteren t , henter Frenet – Serret -formlerne en yderligere faktor på || r ′ ( t ) || på grund af kædereglen :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {bmatrix}} = \ | \ mathbf { r} '(t) \ | {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\-\ kappa & 0 & \ tau \\ 0 &-\ tau & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {bmatrix}}.}$

Eksplicitte udtryk for krumning og vridning kan beregnes. For eksempel,

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ | \ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r}' '(t) \ |} {\ | \ mathbf {r}' (t) \ | ^{3}}}.}$

Torsionen kan udtrykkes ved hjælp af et skalært tredobbelt produkt som følger,

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {[\ mathbf {r} '(t), \ mathbf {r}' '(t), \ mathbf {r}' '' (t)]} {\ | \ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r}' '(t) \ |^{2}}}.}$

Særlige tilfælde

Hvis krumningen altid er nul, vil kurven være en lige linje. Her er vektorerne N , B og torsionen ikke veldefinerede.

Hvis torsionen altid er nul, ligger kurven i et plan.

En kurve kan have nul -krumning og nul torsion. For eksempel cirkel med radius R givet ved r ( t ) = ( R cos t , R sin t , 0) i z = 0 plan har nul vridning og krumning lig med 1 / R . Det omvendte er imidlertid falsk. Det vil sige, at en regelmæssig kurve med nul -torsion skal have en nul -krumning. (Dette er kun kontrapositiv for, at nul -krumning indebærer nul vridning.)

En spiral har konstant krumning og konstant vridning.

Flykurver

I betragtning af en kurve på x - y -planet er dens tangensvektor T også indeholdt på dette plan. Dets binormale vektor B kan naturligt postuleres til at falde sammen med det normale til planet (langs z -aksen). Endelig kan kurven normal findes færdiggøre højrehåndet system N = B × T . Denne form er veldefineret, selv når krumningen er nul; for eksempel vil den normale til en lige linje i et plan være vinkelret på tangenten, alle co-plane.

Se også

• Affinér kurvernes geometri
• Differentialgeometri af kurver
• Darboux stel
• Kinematik
• Bevægelig ramme

Noter

Referencer

• Crenshaw, HC; Edelstein-Keshet, L. (1993), "Orientation by Helical Motion II. Ændring af retning af bevægelsesaksen", Bulletin of Mathematical Biology , 55 (1): 213–230, doi : 10.1016/s0092-8240 (05 ) 80070-9
• Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino (1995), Salas og Hille's Calculus - En og flere variabler (7. udgave), John Wiley & Sons, s. 896
• Frenet, F. (1847), Sur les courbes à double courbure (PDF) , Thèse, Toulouse. Abstract i Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852.
• Goriely, A .; Robertson-Tessi, M .; Tabor, M .; Vandiver, R. (2006), "Elastic growth models", BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, arkiveret fra originalen (PDF) den 2006-12-29.
• Griffiths, Phillip (1974), "Om Cartans metode til løgn-grupper og bevægelige rammer som anvendt til unikke og eksistensspørgsmål i differential geometri", Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi : 10.1215/S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID  12966544.
• Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry , Dover, ISBN 0-486-63433-7
• Hanson, AJ (2007), "Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves" (PDF) , Indiana University Technical Report
• Iyer, BR; Vishveshwara, CV (1993), "Frenet-Serret description of gyroscopic precession", Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc/9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I , doi : 10.1103/physrevd.48.5706 , PMID  10016237
• Jordan, Camille (1874), "Sur la théorie des courbes dans l'espace à n dimensions", CR Acad. Sci. Paris , 79 : 795–797
• Kühnel, Wolfgang (2002), Differentialgeometri , Matematisk studenterbibliotek, 16 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2656-0, MR  1882174
• Serret, JA (1851), "Sur quelques formules slægtninge à la théorie des courbes à double courbure" (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 16.
• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two) , Publish or Perish, Inc..
• Sternberg, Shlomo (1964), Forelæsninger om differential geometri , Prentice-Hall
• Struik, Dirk J. (1961), Forelæsninger om klassisk differentialgeometri , læsning, messe: Addison-Wesley.

eksterne links

• Opret dine egne animerede illustrationer af bevægelige Frenet -Serret -rammer, krumning og torsionsfunktioner ( Maple -Worksheet)
• Rudy Rucker's KappaTau Paper .
• Meget flot visuel repræsentation for trihedronen