Grundlæggende lemma (Langlands-programmet) - Fundamental lemma (Langlands program)

I den matematiske teori om automatiske former relaterer det grundlæggende lemma orbitalintegraler på en reduktiv gruppe over et lokalt felt til stabile orbitalintegraler på dets endoskopiske grupper . Det blev formodet af Robert Langlands  ( 1983 ) under udviklingen af Langlands-programmet . Det grundlæggende lemma blev bevist af Gérard Laumon og Ngô Bảo Châu i tilfælde af enhedsgrupper og derefter af Ngô (2010) for generelle reduktive grupper, der bygger på en række vigtige reduktioner foretaget af Jean-Loup Waldspurger til tilfældet med Lie algebras . Time magazine placerede Ngôs bevis på listen over "Top 10 videnskabelige opdagelser i 2009". I 2010 blev Ngô tildelt Fields-medaljen for dette bevis.

Motivation og historie

Langlands skitserede en strategi for at bevise lokale og globale Langlands-formodninger ved hjælp af sporingsformlen Arthur – Selberg , men for at denne tilgang kan fungere, skal de geometriske sider af sporingsformlen for forskellige grupper relateres på en bestemt måde. Dette forhold har form af identiteter mellem orbitalintegraler på reduktive grupper G og H over et ikke-arkimæisk lokalt felt F , hvor gruppen H , kaldet en endoskopisk gruppe af G , er konstrueret ud fra G og nogle yderligere data.

Den første behandlede sag var ( Labesse & Langlands 1979 ). Langlands og Diana Shelstad  ( 1987 ) udviklede derefter den generelle ramme for teorien om endoskopisk overførsel og formulerede specifikke formodninger. I løbet af de næste to årtier blev der imidlertid kun gjort delvise fremskridt mod at bevise det grundlæggende lemma. Harris kaldte det en "flaskehals, der begrænsede fremskridt på en række aritmetiske spørgsmål". Langlands selv skrev om oprindelsen af ​​endoskopi og kommenterede:

... det er ikke det grundlæggende lemma som sådan, der er kritisk for den analytiske teori om automatiske former og for aritmetikken af Shimura-sorter ; det er den stabiliserede (eller stabile) sporformel, reduktionen af ​​selve sporformlen til den stabile sporingsformel for en gruppe og dens endoskopiske grupper og stabiliseringen af Grothendieck – Lefschetz-formlen . Ingen af ​​disse er mulige uden det grundlæggende lemma, og dens fravær gjorde fremskridt næsten umuligt i mere end tyve år.

Udmelding

Det grundlæggende lemma siger, at en orbitalintegral O for en gruppe G er lig med en stabil orbitalintegral SO for en endoskopisk gruppe H , op til en transferfaktor Δ ( Nadler 2012 ):

hvor

  • F er et lokalt felt
  • G er en uramificeret gruppe defineret over F , med andre ord en kvasi-opdelt reduktiv gruppe defineret over F, der deler sig over en ikke-ændret udvidelse af F
  • H er en uramificeret endoskopisk gruppe af G associeret med κ
  • K G og K H er hyperspecial maksimale kompakte undergrupper af G og H , hvilke organer groft at de er undergrupperne af punkter med koefficienter i ringen af hele tal F .
  • 1 K G og 1 K H er de karakteristiske funktioner af K G og K H .
  • Δ (γ H , γ G ) er en overførselsfaktor, et bestemt elementært udtryk afhængig af γ H og γ G
  • γ H og γ G er elementer af G og H repræsenterer stabile conjugacy klasser, således at den stabile conjugacy klasse af G er overførslen af den stabile conjugacy klasse af H .
  • κ er en karakter af gruppen af ​​bøjningsklasser i den stabile bøjningsklasse af γ G
  • SO og O er stabile orbitalintegraler og orbitalintegraler afhængigt af deres parametre.

Tilgange

Shelstad (1982) beviste det grundlæggende lemma for arkimediske felter.

Waldspurger (1991) bekræftede det grundlæggende lemma for generelle lineære grupper.

Kottwitz (1992) og Blasius & Rogawski (1992) bekræftede nogle tilfælde af det grundlæggende lemma for 3-dimensionelle enhedsgrupper.

Hales (1997) og Weissauer (2009) bekræftede det grundlæggende lemma for de symplektiske og generelle symplektiske grupper Sp 4 , GSp 4 .

Et papir fra George Lusztig og David Kazhdan påpegede, at orbitalintegraler kunne fortolkes som at tælle point på visse algebraiske sorter over endelige marker. Desuden kan de pågældende integraler beregnes på en måde, der kun afhænger af restfeltet for F ; og problemet kan reduceres til Lie-algebra-versionen af ​​orbitalintegralerne. Derefter blev problemet gentaget med hensyn til Springer fiber af algebraiske grupper. Idécirklen var forbundet med en ren formodning ; Laumon fremlagde et betinget bevis baseret på en sådan formodning for enhedsgrupper. Laumon og Ngô ( 2008 ) beviste derefter det grundlæggende lemma for enhedsgrupper ved hjælp af Hitchin-fibrering introduceret af Ngô ( 2006 ), som er en abstrakt geometrisk analog af Hitchin-systemet med kompleks algebraisk geometri. Waldspurger (2006) viste for Lie-algebraer, at funktionsfeltet indebærer det grundlæggende lemma over alle lokale felter, og Waldspurger (2008) viste, at det grundlæggende lemma for Lie-algebraer indebærer det grundlæggende lemma for grupper.

Bemærkninger

Referencer

eksterne links