En omformulering af Newtons bevægelseslove ved hjælp af beregningen af variationer
I fysikken er Hamilton - Jacobi -ligningen , opkaldt efter William Rowan Hamilton og Carl Gustav Jacob Jacobi , en alternativ formulering af klassisk mekanik , svarende til andre formuleringer såsom Newtons bevægelseslove , Lagrangian mekanik og Hamiltonian mekanik . Hamilton – Jacobi -ligningen er særligt nyttig til at identificere bevarede mængder for mekaniske systemer, hvilket kan være muligt, selv når selve det mekaniske problem ikke kan løses fuldstændigt.
Hamilton -Jacobi -ligningen er også den eneste mekaniske formulering, hvor bevægelse af en partikel kan repræsenteres som en bølge. I denne forstand opfyldte den et længe bevaret mål med teoretisk fysik (i det mindste dateret til Johann Bernoulli i det attende århundrede) om at finde en analogi mellem lysets formering og bevægelsen af en partikel. Bølgelegningen efterfulgt af mekaniske systemer ligner, men ikke identisk med, Schrödingers ligning , som beskrevet nedenfor; af denne grund betragtes Hamilton - Jacobi -ligningen som den "nærmeste tilgang" mellem klassisk mekanik og kvantemekanik .
I matematik er Hamilton -Jacobi -ligningen en nødvendig betingelse, der beskriver ekstrem geometri i generaliseringer af problemer fra beregningen af variationer . Det kan forstås som et specielt tilfælde af Hamilton – Jacobi – Bellman -ligningen fra dynamisk programmering .
Notation
Fed skrift -variabler som f.eks. Repræsenterer en liste over generaliserede koordinater ,
En prik over en variabel eller liste angiver tidsderivatet (se Newtons notation ). For eksempel,
Den prikproduktet notation mellem to lister med det samme antal koordinater er en forkortelse for summen af produkterne af tilsvarende komponenter, såsom
Hamiltons hovedfunktion
Definition
Lad den hessiske matrix være inverterbar. Forholdet
viser, at Euler – Lagrange-ligningerne danner et system med andenordens almindelige differentialligninger. Ved at vende matrixen omdanner dette system til
Lad et tidspunkt øjeblikkeligt og et punkt i konfigurationsrummet blive rettet. De eksistens og entydighed teoremer garanterer, at for hver den oprindelige værdi problemet med de betingelser og har en lokalt unik løsning Derudover lad der være en tilstrækkelig lille tidsinterval sådan at extremals med forskellige indledende hastigheder ville ikke skærer i Sidstnævnte betyder, at for enhver og enhver kan der højst være en ekstrem, for hvilken og substitution i handlingen funktionel resulterer i Hamiltons hovedfunktion
Formel for momenta: p i ( q , t ) = ∂S / ∂q i
De momenter er defineret som de mængder Dette afsnit viser, at afhængigheden af på forsvinder, når HPF er kendt.
Lad faktisk et tidspunkt øjeblikkeligt og et punkt i konfigurationsrummet rettes. For hver gang øjeblik og et punkt Lade være det (unikke) extremal fra definitionen af Hamiltons hovedfunktion Ring hastigheden på . Derefter
Bevis -
Selvom nedenstående bevis antager, at konfigurationsrummet til at være et åbent delmængde af den underliggende teknik, gælder lige så godt for vilkårlige rum . I forbindelse med dette bevis betegner det kalligrafiske brev handlingen funktionel og kursiv Hamilton's hovedfunktion.
Trin 1. Lad være en sti i konfigurationsrummet og et vektorfelt langs . (For hver kaldes vektoren forstyrrelse , uendelig variation eller virtuel forskydning af det mekaniske system på punktet ). Husk, at variationen af handlingen på punktet i retningen er givet ved formlen
hvor man skal erstatte og efter beregning af delderivaterne i højre side. (Denne formel følger af definitionen af Gateaux -derivat via integration af dele).
Antag at det er en ekstrem. Da nu tilfredsstiller Euler -Lagrange -ligningerne, forsvinder det integrerede udtryk. Hvis udgangspunktet er fast, så med den samme logik, der blev brugt til at udlede Euler -Lagrange -ligningerne, Således,
Trin 2. Lad være den (unikke) ekstreme fra definitionen af HPF, et vektorfelt langs og en variation af "kompatibel" med Præcis udtryk,
Per definition af HPF og Gateaux -derivat,
Her tog vi hensyn til det og droppede for kompakthed.
Trin 3. Vi erstatter nu og ind i udtrykket for fra trin 1 og sammenligner resultatet med formlen afledt i trin 2. Det faktum, at for vektorfeltet blev valgt vilkårligt, fuldender beviset.
Matematisk formulering
I betragtning af Hamiltonian af et mekanisk system, er Hamilton-Jacobi-ligningen en førsteordens, ikke-lineær partiel differentialligning for Hamiltons hovedfunktion ,
Afledning.
|
For en ekstrem, hvor er initialhastigheden (se diskussion forud for definitionen af HPF),
Fra formlen for og den koordinatbaserede definition af Hamiltonian
med at tilfredsstille (unikt opløselig til ligning opnå
hvor og
|
Alternativt kan Hamilton -Jacobi -ligningen, som beskrevet nedenfor, udledes af hamiltonske mekanik ved at behandle den som genererende funktion for en kanonisk transformation af den klassiske Hamiltonian
Det konjugerede momenta svarer til de første derivater af med hensyn til de generaliserede koordinater
Som en løsning på Hamilton -Jacobi -ligningen indeholder hovedfunktionen ubestemte konstanter, den første af dem betegnet som , og den sidste kommer fra integrationen af .
Forholdet mellem og derefter beskriver kredsløbet i fase rummet med hensyn til disse bevægelseskonstanter . Endvidere mængderne
er også bevægelseskonstanter, og disse ligninger kan vendes for at finde som en funktion af alle og og konstanter og tid.
Sammenligning med andre mekaniske formuleringer
Hamilton-Jacobi-ligningen er en enkelt , førsteordens, differentialligning for funktionen af de generaliserede koordinater og tiden . De generaliserede momenta vises ikke, undtagen som derivater af . Bemærkelsesværdigt er funktionen lig med den klassiske handling .
Til sammenligning vises de konjugerede momenta heller ikke i de ækvivalente Euler – Lagrange bevægelsesligninger for lagrangiske mekanik ; disse ligninger er imidlertid et system med generelt andenordensligninger for tidsudviklingen af de generaliserede koordinater. På samme måde er Hamiltons bevægelsesligninger et andet system med 2 N førsteordensligninger for tidsudviklingen af de generaliserede koordinater og deres konjugerede momenta .
Da HJE er et ækvivalent udtryk for et integreret minimeringsproblem som Hamiltons princip , kan HJE være nyttig i andre problemer med beregningen af variationer og mere generelt i andre grene af matematik og fysik , såsom dynamiske systemer , symplektisk geometri og kvantekaos . F.eks. Kan Hamilton – Jacobi -ligningerne bruges til at bestemme geodesikken på en Riemannian manifold , et vigtigt variationsproblem i Riemannian geometri .
Afledning ved hjælp af en kanonisk transformation
Enhver kanonisk transformation, der involverer en type-2- genererende funktion, fører til relationerne
og Hamiltons ligninger med hensyn til de nye variabler og nye Hamiltonian har samme form:
For at udlede HJE vælges en genererende funktion på en sådan måde, at den vil gøre den nye Hamiltonian . Derfor er alle dets derivater også nul, og den transformerede Hamiltons ligninger bliver trivielle
så de nye generaliserede koordinater og bevægelsesmængde er konstanter i bevægelse . Da de er konstanter, betegnes de nye generaliserede momenta normalt i denne sammenhæng , dvs. og de nye generaliserede koordinater betegnes typisk som , så .
Indstilling af genereringsfunktionen lig med Hamiltons hovedfunktion plus en vilkårlig konstant :
HJE opstår automatisk
Når de løses for , giver disse os også de nyttige ligninger
eller skrevet i komponenter for overskuelighed
Ideelt set kan disse N -ligninger vendes for at finde de originale generaliserede koordinater som en funktion af konstanterne og dermed løse det oprindelige problem.
Action og Hamiltons funktioner
Hamiltons hovedfunktion S og klassiske funktion H er begge tæt forbundet med handling . Den samlede forskel på er:
så tidsderivatet af S er
Derfor,
så S er faktisk den klassiske handling plus en ubestemt konstant.
Når H ikke eksplicit afhænger af tid,
i dette tilfælde er W det samme som forkortet handling .
Adskillelse af variabler
HJE er mest nyttig, når den kan løses via additiv adskillelse af variabler , som direkte identificerer bevægelseskonstanter . For eksempel kan tiden t adskilles, hvis hamiltoneren ikke eksplicit afhænger af tid. I så fald skal tidsderivatet i HJE være en konstant, normalt betegnet ( ), hvilket giver den adskilte løsning
hvor den tidsuafhængige funktion undertiden kaldes Hamiltons karakteristiske funktion . Den reducerede Hamilton – Jacobi -ligning kan derefter skrives
For at illustrere adskillelighed for andre variabler antages en bestemt generaliseret koordinat og dens derivat at optræde sammen som en enkelt funktion
i Hamilton
I så fald kan funktionen S opdeles i to funktioner, en der kun afhænger af q k og en anden, der kun afhænger af de resterende generaliserede koordinater
Substitution af disse formler til Hamilton – Jacobi-ligningen viser, at funktionen ψ skal være en konstant (betegnet her som ), hvilket giver en førsteordens almindelig differentialligning for
I heldige tilfælde kan funktionen adskilles fuldstændigt i funktioner
I et sådant tilfælde overgår problemet til almindelige differentialligninger .
Adskillelsen af S afhænger både af Hamilton og valget af generaliserede koordinater . For ortogonale koordinater og Hamiltonianere, der ikke har nogen tidsafhængighed og er kvadratiske i det generaliserede momenta, vil være fuldstændigt adskillelige, hvis den potentielle energi kan adskilles yderligere i hvert koordinat, hvor den potentielle energiterm for hvert koordinat multipliceres med den koordinatafhængige faktor i den tilsvarende momentumterm for Hamiltonian ( Staeckel -betingelserne ). Til illustration arbejdes flere eksempler i ortogonale koordinater i de næste afsnit.
Eksempler i forskellige koordinatsystemer
Sfæriske koordinater
I sfæriske koordinater kan Hamiltonian af en fri partikel, der bevæger sig i et konservativt potentiale U, skrives
Hamilton -Jacobi -ligningen er fuldstændig adskillelig i disse koordinater, forudsat at der findes funktioner: sådanne, der kan skrives i analog form
Udskiftning af den fuldstændigt adskilte opløsning
ind i HJE -udbyttet
Denne ligning kan løses ved successive integrationer af almindelige differentialligninger , der begynder med ligningen for
hvor er en konstant af bevægelsen, der eliminerer afhængigheden fra Hamilton -Jacobi -ligningen
Den næste almindelige differentialligning involverer den generaliserede koordinat
hvor er igen en konstant af bevægelsen, der eliminerer afhængigheden og reducerer HJE til den endelige almindelige differentialligning
hvis integration fuldender løsningen for .
Elliptiske cylindriske koordinater
Hamiltonian i elliptiske cylindriske koordinater kan skrives
hvor foci af ellipser er placeret på på aksen. Hamilton -Jacobi -ligningen er fuldstændig adskillelig i disse koordinater, forudsat at den har en analog form
hvor: , og er vilkårlige funktioner. Udskiftning af den fuldstændigt adskilte opløsning
-
ind i HJE -udbyttet
Adskillelse af den første almindelige differentialligning
giver den reducerede Hamilton – Jacobi-ligning (efter omarrangement og multiplikation af begge sider med nævneren)
som selv kan adskilles i to uafhængige almindelige differentialligninger
der, når det er løst, giver en komplet løsning til .
Parabolske cylindriske koordinater
Hamiltonian i parabolske cylindriske koordinater kan skrives
Hamilton -Jacobi -ligningen er fuldstændig adskillelig i disse koordinater, forudsat at den har en analog form
hvor , og er vilkårlige funktioner. Udskiftning af den fuldstændigt adskilte opløsning
ind i HJE -udbyttet
Adskillelse af den første almindelige differentialligning
giver den reducerede Hamilton – Jacobi-ligning (efter omarrangement og multiplikation af begge sider med nævneren)
som selv kan adskilles i to uafhængige almindelige differentialligninger
der, når det er løst, giver en komplet løsning til .
Bølger og partikler
Optiske bølgefronter og -baner
HJE etablerer en dualitet mellem baner og bølgefronter. I geometrisk optik kan lys for eksempel betragtes enten som "stråler" eller bølger. Bølgefronten kan defineres som den overflade, som det lys, der udsendes til tiden, har nået til tiden . Lysstråler og bølgefronter er dobbelte: hvis den ene er kendt, kan den anden udledes.
Mere præcist er geometrisk optik et variationsproblem, hvor "handlingen" er rejsetiden langs en sti,
hvor er mediets
brydningsindeks og er en uendelig bue længde. Fra ovenstående formulering kan man beregne strålevejene ved hjælp af Euler – Lagrange -formuleringen; alternativt kan man beregne bølgefronterne ved at løse Hamilton – Jacobi -ligningen. At kende det ene fører til at kende det andet.
Ovenstående dualitet er meget generel og gælder for alle systemer, der stammer fra et variationsprincip: enten beregne banerne ved hjælp af Euler – Lagrange -ligninger eller bølgefronterne ved hjælp af Hamilton – Jacobi -ligning.
Bølgefronten på et tidspunkt , for et system i første omgang til tiden , er defineret som en samling af punkter, således at . Hvis det er kendt, udledes momentumet øjeblikkeligt.
Når det er kendt, beregnes tangenter til banerne ved at løse ligningen
for , hvor er Lagrangian. Banerne genvindes derefter fra kendskabet til .
Forholdet til Schrödinger -ligningen
De isosurfaces af funktionen kan bestemmes til enhver tid
t . Bevægelsen af en -isosurface som funktion af tid er defineret af partiklernes bevægelser, der begynder på punkterne på isosurface. Bevægelsen af en sådan isosurface kan opfattes som en bølge bevæger sig gennem -space, selv om det ikke adlyder bølgeligningen nøjagtigt. For at vise dette, lad S repræsentere fasen af en bølge
hvor introduceres en konstant (
Plancks konstant ) for at gøre det eksponentielle argument dimensionsløst; ændringer i amplituden af bølgen kan repræsenteres ved at have et komplekst tal . Hamilton -Jacobi -ligningen omskrives derefter som
som er Schrödinger -ligningen .
Omvendt kan det udledes
fra og med Schrödinger -ligningen og vores ansatz for
Den klassiske grænse ( ) for Schrödinger -ligningen ovenfor bliver identisk med følgende variant af Hamilton – Jacobi -ligningen,
Ansøgninger
HJE i et tyngdefelt
Brug af energimomentforholdet i formen
for en partikel af hvilemasse, der bevæger sig i det buede rum, hvor er de
kontravariante koordinater for den metriske tensor (dvs. den inverse metriske ) løst fra Einstein -feltligningerne og er lysets hastighed . Indstilling af fire-momentum lig med fire-gradient af handlingen ,
giver Hamilton – Jacobi -ligningen i geometrien bestemt af metriket :
med andre ord i et tyngdefelt .
HJE i elektromagnetiske felter
For en partikel af hvilemasse og elektrisk ladning, der bevæger sig i elektromagnetisk felt med
fire potentialer i vakuum, har Hamilton-Jacobi-ligningen i geometri bestemt af den metriske tensor en form
og kan løses for Hamilton's primære handlingsfunktion for at opnå yderligere løsning for partikelbanen og momentum:
-
,
hvor og med cyklusgennemsnittet af vektorpotentialet.
En cirkulært polariseret bølge
I tilfælde af cirkulær polarisering ,
-
,
-
,
Derfor
hvor , hvilket indebærer, at partiklen bevæger sig langs en cirkulær bane med en permanent radius og en uforanderlig momentumværdi rettet langs en magnetfeltvektor.
En monokromatisk lineært polariseret planbølge
For den flade, monokratiske, lineært polariserede bølge med et felt rettet langs aksen
derfor
-
,
-
,
hvilket indebærer partikelfigur-8-banen med en lang akse orienteret langs den elektriske feltvektor.
En elektromagnetisk bølge med et magnetisk magnetfelt
For den elektromagnetiske bølge med aksialt (magnetisk) magnetfelt:
derfor
hvor er magnetfeltstørrelsen i en solenoid med den effektive radius , induktivitet , antal viklinger og en elektrisk strømstørrelse gennem magnetventilerne. Partikelbevægelsen sker langs figur-8-banen i plan, der er vinkelret på magnetventilen med vilkårlig azimutvinkel på grund af aksial symmetri af det magnetiske magnetfelt.
Se også
Referencer
Yderligere læsning
-
Hamilton, W. (1833). "Om en generel metode til at udtrykke lysets og planternes veje ved hjælp af koefficienterne for en karakteristisk funktion" (PDF) . Dublin University Review : 795–826.
-
Hamilton, W. (1834). "På applikationen til dynamik af en generel matematisk metode, der tidligere er anvendt på optik" (PDF) . British Association Report : 513–518.
-
Fetter, A. & Walecka, J. (2003). Teoretisk mekanik for partikler og fortsat . Dover bøger. ISBN 978-0-486-43261-8.
-
Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Mekanik . Amsterdam: Elsevier.
-
Sakurai, JJ (1985). Moderne kvantemekanik . Benjamin/Cummings Publishing. ISBN 978-0-8053-7501-5.
-
Jacobi, CGJ (1884), Vorlesungen über Dynamik , CGJ Jacobi's Gesammelte Werke (på tysk), Berlin: G. Reimer, OL 14009561M
-
Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). "Den tidlige historie om Hamilton-Jacobi Dynamics". Centaurus . 44 (3–4): 161–227. doi : 10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x . PMID 17357243 .