Hamiltonian mekanik - Hamiltonian mechanics

Sir William Rowan Hamilton

Hamiltonian mekanik opstod i 1833 som en omformulering af Lagrangian mekanik . Introduktion af Sir William Rowan Hamilton erstatter hamiltons mekanik (generaliserede) hastigheder, der bruges i Lagrangian mekanik med (generaliseret) momenta . Begge teorier giver fortolkninger af klassisk mekanik og beskriver de samme fysiske fænomener.

Hamiltonian mekanik har et tæt forhold til geometri (især symplektisk geometri og Poisson strukturer ) og fungerer som en forbindelse mellem klassisk og kvantemekanik .

Oversigt

Fasekoordinater (p, q) og Hamiltonian H

Lad være et mekanisk system med konfigurationsrummet og den glatte Lagrangian Vælg et standardkoordinatsystem på Størrelserne kaldes momenta . (Også generaliseret momenta , konjugeret momenta og kanonisk momenta ). For en tid øjeblik den Legendre transformationen er defineret som kortet , som vi vil antage at have en glat invers For et system med frihedsgrader, de Lagrange mekanik definerer energien funktionen

Den omvendte af Legendre -transformen bliver til en funktion kendt som Hamiltonian . Formelt,

hvilket indebærer det

hvor hastighederne findes fra den ( -dimensionale) ligning, der ved antagelse er entydigt opløselig for Det ( -dimensionelle) par kaldes fase rumkoordinater . (Også kanoniske koordinater ).

Terminologi bemærkning. Nogle kilder definerer Legendre-transformation som en tidsafhængig funktion

hvor, som før, funktionen opfylder Under sidstnævnte definition er Hamiltonian den legendariske transformation af Lagrangian

Fra Euler-Lagrange ligning til Hamiltons ligninger

I fase koordinerer den ( -dimensionale) Euler -Lagrange -ligning

bliver Hamiltons ligninger i dimensioner

Fra stationært handlingsprincip til Hamiltons ligninger

Lade være det sæt af glatte veje , for hvilke og Den handling funktionelle er defineret via

hvor og (se ovenfor). En sti er et stationært punkt for (og derfor er en bevægelsesligning), hvis og kun hvis stien i faserumskoordinater adlyder Hamiltons ligninger.

Grundlæggende fysisk fortolkning

En enkel fortolkning af hamiltons mekanik kommer fra dens anvendelse på et endimensionelt system bestående af en partikel med masse m . Værdien af Hamiltonian er systemets samlede energi, dvs. summen af kinetisk og potentiel energi , traditionelt betegnet T og V , henholdsvis. Her er p momentum mv og q er rumkoordinaten. Derefter

T er en funktion af p alene, mens V er en funktion af q alene (dvs. T og V er skleronomiske ).

I dette eksempel er tidsderivatet af momentum p lig med den newtonske kraft , og derfor betyder den første Hamilton -ligning, at kraften er lig med den negative gradient af potentiel energi. Tidsderivatet af q er hastigheden, og derfor betyder den anden Hamilton -ligning, at partikelhastigheden er lig med derivatet af dens kinetiske energi i forhold til dets momentum.

Eksempel

Et sfærisk pendul består af en masse m, der bevæger sig uden friktion på overfladen af ​​en kugle . De eneste kræfter, der virker på massen, er reaktionen fra kuglen og tyngdekraften . Sfæriske koordinater bruges til at beskrive massens position i form af ( r , θ , φ ), hvor r er fast, r = l .

Sfærisk pendul : vinkler og hastigheder.

Lagrangian for dette system er

Således er Hamiltonian

hvor

og

Med hensyn til koordinater og momenta, læser Hamiltonian

Hamiltons ligninger giver tidsudviklingen af ​​koordinater og konjugerede momenta i fire førsteordens differentialligninger,

.

Momentum , som svarer til den lodrette komponent i vinkelmomentet , er en konstant bevægelse. Det er en konsekvens af systemets rotationssymmetri omkring den lodrette akse. Da azimut er fraværende fra Hamilton, er en cyklisk koordinat , hvilket indebærer bevarelse af dens konjugerede momentum.

Afledte Hamiltons ligninger

Hamiltons ligninger kan udledes ved at se på, hvordan den totale differential af Lagrangian afhænger af tid, generaliserede positioner q i og generaliserede hastigheder i :

De generaliserede momenta blev defineret som

Hvis dette er substitueret til den samlede differential på Lagrangian, får man

Dette kan omskrives som

hvilket efter omlægning fører til

Udtrykket på venstre side er derfor bare det Hamiltonian, der blev defineret før

Det er også muligt at beregne den samlede differential af Hamiltonian H med hensyn til tid direkte, svarende til hvad der blev udført med Lagrangian L ovenfor, hvilket gav:

Det følger af de to foregående uafhængige ligninger, at deres højre side er lige med hinanden. Resultatet er

Da denne beregning blev foretaget off-shell (dvs. uden at tage hensyn til bevægelsesligningerne) kan man knytte tilsvarende udtryk fra begge sider af denne ligning til at give:

On-shell indikerer Lagranges ligninger det

En omlægning af dette giver

Således er Hamiltons ligninger

Hamiltons ligninger består af 2 n differentierede ligninger i første orden , mens Lagranges ligninger består af n andenordensligninger. Hamiltons ligninger reducerer normalt ikke vanskeligheden ved at finde eksplicitte løsninger, men de giver stadig nogle fordele: Vigtige teoretiske resultater kan udledes, fordi koordinater og momenta er uafhængige variabler med næsten symmetriske roller.

Hamiltons ligninger har en anden fordel i forhold til Lagranges ligninger: Hvis et system har en symmetri, således at der ikke forekommer en koordinat i Hamiltonian, bevares det tilsvarende momentum, og den koordinat kan ignoreres i de andre ligninger i sættet. Dette reducerer effektivt problemet fra n koordinater til ( n - 1) koordinater. I den lagrangiske ramme følger resultatet med det samme momentum stadig med det samme, men alle de generaliserede hastigheder forekommer stadig i Lagrangian. Et ligningssystem i n koordinater mangler stadig at blive løst. Lagrangiansk og Hamiltoniansk tilgang tilvejebringer grundlaget for dybere resultater i teorien om klassisk mekanik og til formuleringer af kvantemekanik.

Egenskaber for Hamiltonian H

  • Værdien af ​​Hamiltonian er systemets samlede energi, hvis og kun hvis energifunktionen har den samme egenskab. (Se definition af
  • om løsningerne af Hamiltons ligninger.
Faktisk og alt undtagen det sidste udtryk annulleres.
  • ændrer sig ikke under punkttransformationer , dvs. glatte ændringer af rumkoordinater. (Følger fra energifunktionens invariance under punkttransformationer. Invariansen af kan etableres direkte).
  • (Se Afledning af Hamiltons ligninger).
  • (Sammenlign Hamiltons og Euler-Lagrange-ligninger eller se Afledte Hamiltons ligninger).
  • hvis og kun hvis
Koordinaten, for hvilken dette er sandt, kaldes cyklisk (eller uvidende ). Hver cyklisk koordinat reducerer antallet af frihedsgrader ved at den tilsvarende momentum bevares og gør Hamilton's ligninger lettere at løse.

Hamiltonian af en ladet partikel i et elektromagnetisk felt

En tilstrækkelig illustration af Hamiltonian mekanik er givet af Hamiltonian af en ladet partikel i et elektromagnetisk felt . I kartesiske koordinater er Lagrangian for en ikke-relativistisk klassisk partikel i et elektromagnetisk felt (i SI-enheder ):

hvor q er partikelens elektriske ladning , φ er det elektriske skalarpotentiale , og A i er komponenterne i det magnetiske vektorpotentiale, der alle eksplicit kan afhænge af og .

Denne Lagrange, kombineret med Euler-Lagrange-ligning , frembringer Lorentz-kraften lov

og kaldes minimal kobling .

Bemærk, at værdierne for skalarpotentiale og vektorpotentiale ville ændre sig under en målingstransformation , og Lagrangian selv vil også opfange ekstra termer; Men de ekstra termer på Lagrangian udgør et totaltidsderivat af en skalarfunktion og ændrer derfor ikke Euler – Lagrange -ligningen.

De kanoniske moment er givet ved:

Bemærk, at kanoniske momenta ikke er måler invariante og ikke er fysisk målbare. Det kinetiske momentum :

er måler invariant og fysisk målbar.

Hamiltonian, som Legendre -transformation af Lagrangian, er derfor:

Denne ligning bruges ofte i kvantemekanik .

Under gauge transformation :

hvor f ( r , t) er enhver skalarfunktion af rum og tid, transformerer den førnævnte lagrangiske, kanoniske momenta og hamiltonske som:

som stadig producerer den samme Hamiltons ligning:

I kvantemekanik vil bølgefunktionen også undergå en lokal U (1) gruppetransformation under måttetransformationen, hvilket indebærer, at alle fysiske resultater skal være uforanderlige under lokale U (1) transformationer.

Relativistisk ladet partikel i et elektromagnetisk felt

Den relativistiske Lagrangian for en partikel ( hvilemasse og ladning ) er givet ved:

Således er partikelens kanoniske momentum

det vil sige summen af ​​det kinetiske momentum og det potentielle momentum.

Løsningen for hastigheden får vi

Så det er Hamiltonian

Dette resulterer i kraftligningen (svarende til ligningen Euler – Lagrange )

hvorfra man kan udlede

Ovenstående afledning gør brug af vektorberegningsidentiteten :

Et ækvivalent udtryk for Hamiltonian som funktion af det relativistiske (kinetiske) momentum,, er

Dette har den fordel, at kinetisk momentum kan måles eksperimentelt, mens kanonisk momentum ikke kan. Bemærk, at Hamiltonske ( totale energi ) kan ses som summen af den relativistiske energi (kinetisk + hvile) , plus den potentielle energi , .

Fra symplektisk geometri til Hamiltons ligninger

Geometri af hamiltonske systemer

Hamiltonian kan fremkalde en symplektisk struktur på en glat jævn-dimensionel manifold M 2 n på flere forskellige, men ækvivalente, de mest kendte måder:

Som en lukket ikke-genereret symplektisk 2-form ω. Ifølge Darboux -sætningen eksisterer den symplektiske form i et lille kvarter omkring ethvert punkt på M i passende lokale koordinater

De lokale koordinater p , q kaldes derefter kanoniske eller symplektiske .

Formen gør det muligt at konstruere en naturlig isomorfisme af tangensrummet og cotangentrummet Dette gøres ved at kortlægge en vektor til 1-formen, hvor der for en vilkårlig På grund af bilinearitet og ikke-degeneration af og det faktum, at kortlægningen faktisk er en lineær isomorfisme . Denne isomorfisme er naturlig ved, at den ikke ændrer sig ved ændring af koordinaterne ved Gentagelse for hver ender vi med en isomorfisme mellem det uendelige-dimensionelle rum for glatte vektorfelter og det for glatte 1-former. For hver og

(I algebraiske termer vil man sige, at -modulerne og er isomorfe). Hvis så, for hver fast og er kendt som et Hamiltonian vektor felt . Den respektive differentialligning på

kaldes Hamiltons ligning . Her og er (tidsafhængig) værdien af ​​vektorfeltet ved

Et hamiltonsystem kan forstås som et fiberbundt E over tid R , hvor fibrene E t , tR er positionsrummet. Lagrangian er således en funktion på jetbundtet J over E ; ved at tage den fibervise Legendre -transformering af Lagrangian producerer en funktion på det dobbelte bundt over tid, hvis fiber ved t er cotangent -rummet T E t , som er udstyret med en naturlig symplektisk form , og denne sidstnævnte funktion er Hamiltonian. Korrespondancen mellem Lagrangian og Hamiltonian mekanik opnås med den tautologiske enform .

Enhver glat real-værdi funktion H på en symplektisk manifold kan bruges til at definere et Hamiltonian system . Funktionen H er kendt som "the Hamiltonian" eller "the energy function." Den symplektiske manifold kaldes derefter faserummet . Hamiltonian fremkalder et specielt vektorfelt på det symplektiske manifold, kendt som det Hamiltonianske vektorfelt .

Det hamiltonske vektorfelt fremkalder et Hamiltonsk flow på manifolden. Dette er en en-parameter familie af transformationer af manifolden (parameteren for kurverne kaldes almindeligvis "tiden"); med andre ord en isotopi af symplektomorfier , der starter med identiteten. Ved Liouvilles sætning bevarer hver symplektomorfisme volumenformenfaserummet . Samlingen af ​​symplektomorfismer fremkaldt af den Hamiltoniske strøm kaldes almindeligvis "den hamiltonske mekanik" i det hamiltonske system.

Den symplektiske struktur fremkalder en Poisson -beslag . Poisson -beslaget giver funktionsrummet på manifolden strukturen i en Lie -algebra .

Hvis F og G er glatte funktioner på M, er den glatte funktion ω 2 ( IdG , IdF ) korrekt defineret; det kaldes en Poisson -beslag af funktioner F og G og betegnes { F , G }. Poisson -beslaget har følgende egenskaber:

  1. bilinearitet
  2. antisymmetri
  3. ( Leibniz -reglen )
  4. ( Jacobi -identitet )
  5. ikke-degeneration: Hvis punktet xM ikke er kritisk for F, eksisterer der en glat funktion G , således at .

Givet en funktion f

hvis der er en sandsynlighedsfordeling , ρ , så (da fase rumhastigheden har nul divergens og sandsynligheden bevares) kan dens konvektive derivat vise sig at være nul og så

Dette kaldes Liouvilles sætning . Hver glat funktion G over den symplektiske manifold genererer en en-parameter-familie af symplectomorphisms, og hvis { G , H } = 0 , så bevares G, og symplectomorphismen er symmetritransformationer .

En Hamiltonian kan have flere konserverede mængder G i . Hvis symplektisk mangfoldighed har dimensionen 2 n , og der er n funktionelt uafhængige bevarede mængder G i som er i involution (dvs. { G i , G j } = 0 ), så den Hamiltonske er Liouville integrable . Den Liouville-Arnold teorem siger, at lokalt, enhver Liouville integrerbar Hamiltonske kan transformeres via en symplectomorphism til en ny Hamilton med de konserverede mængder G i som koordinater; de nye koordinater kaldes handlingsvinkel koordinater . Den transformerede Hamiltonian afhænger kun af G i , og derfor har bevægelsesligningerne den enkle form

for nogle funktion F . Der er et helt felt med fokus på små afvigelser fra integrerbare systemer styret af KAM -sætningen .

Integriteten af ​​Hamiltoniske vektorfelter er et åbent spørgsmål. Generelt er Hamiltoniske systemer kaotiske ; begreberne mål, fuldstændighed, integritet og stabilitet er dårligt definerede.

Riemanniske manifolds

Et vigtigt specialtilfælde består af de Hamiltonianere, der er kvadratiske former , det vil sige Hamiltonians, der kan skrives som

hvor ⟨,⟩ q er et jævnt varierende indre produktfibrene T
q
Q
, cotangentrummet til punktet q i konfigurationsrummet , undertiden kaldet en kometri. Denne Hamiltonian består udelukkende af det kinetiske udtryk .

Hvis man betragter en Riemannian manifold eller en pseudo-Riemannian manifold , inducerer Riemannian metrik en lineær isomorfisme mellem tangenten og cotangent bundterne. (Se Musikalsk isomorfisme ). Ved hjælp af denne isomorfisme kan man definere en kometri. (I koordinater er matrixen, der definerer det komiske, det inverse af matrixen, der definerer metriket.) Løsningerne til Hamilton – Jacobi -ligningerne for denne Hamiltonian er derefter de samme som geodesikken på manifolden. Især den hamiltonske strøm i dette tilfælde er det samme som den geodesiske strømning . Eksistensen af ​​sådanne løsninger og fuldstændigheden af ​​løsningssættet diskuteres detaljeret i artiklen om geodesik . Se også Geodesics som Hamiltonian -strømninger .

Sub-Riemannian manifolds

Når komikken er degenereret, så er den ikke inverterbar. I dette tilfælde har man ikke en Riemannian manifold, da man ikke har en metric. Hamiltonianeren eksisterer dog stadig. I det tilfælde, hvor cometric er degenereret i hvert punkt q af konfigurationsrummet manifold Q , således at rang af cometric er mindre end dimensionen af manifolden Q , man har en sub-riemannsk manifold .

Hamiltonian i dette tilfælde er kendt som en sub-Riemannian Hamiltonian . Hver sådan Hamiltonian bestemmer entydigt det komiske og omvendt. Dette indebærer, at hver sub-Riemannian manifold er entydigt bestemt af dens sub-Riemannian Hamiltonian, og at det modsatte er sandt: hver sub-Riemannian manifold har en unik sub-Riemannian Hamiltonian. Eksistensen af ​​sub-Riemannian geodesics er givet ved Chow-Rashevskii sætning .

Den kontinuerlige, reelt værdsatte Heisenberg-gruppe giver et enkelt eksempel på en sub-Riemannian manifold. For Heisenberg -gruppen er Hamiltonian givet af

p z er ikke involveret i Hamiltonian.

Poisson -algebraer

Hamiltoniske systemer kan generaliseres på forskellige måder. I stedet for blot at se på algebraen for glatte funktioner over et symplektisk manifold , kan hamiltons mekanik formuleres på generelle kommutative unital virkelige Poisson -algebraer . En tilstand er en kontinuerlig lineær funktion på Poisson -algebraen (udstyret med en passende passende topologi ), således at for ethvert element A i algebraen, A 2 kortlægger til et ikke -negativt reelt tal.

En yderligere generalisering er givet ved Nambu -dynamik .

Generalisering til kvantemekanik gennem Poisson -beslag

Hamiltons ligninger ovenfor fungerer godt for klassisk mekanik , men ikke for kvantemekanik , da de diskuterede differentialligninger antager, at man kan angive den nøjagtige position og momentum for partiklen samtidigt på et hvilket som helst tidspunkt. Imidlertid kan ligningerne generaliseres yderligere for derefter at blive udvidet til at gælde for kvantemekanik såvel som for klassisk mekanik, gennem deformationen af Poisson -algebraen over p og q til algebraen for Moyal -parenteser .

Konkret læser den mere generelle form for Hamilton's ligning

hvor f er en funktion af p og q , og H er Hamiltonian. For at finde ud af reglerne for evaluering af en Poisson -beslag uden at ty til differentialligninger, se Lie algebra ; en Poisson -beslag er navnet på Lie -beslaget i en Poisson -algebra . Disse Poisson-parenteser kan derefter udvides til Moyal-parenteser, der henviser til en uækvivalent Lie-algebra, som bevist af Hilbrand J. Groenewold , og beskriver derved kvantemekanisk diffusion i faserum (Se faserumformuleringen og Wigner-Weyl-transformen ). Denne mere algebraisk tilgang ikke kun tillader i sidste ende udvide sandsynlighedsfordelinger i fase plads til Wigner kvasi-sandsynlighedsfordelinger , men, ved den blotte Poisson beslag klassiske indstilling, også giver mere effekt i at hjælpe analysere de relevante bevarede mængder i et system.

Se også

Referencer

Yderligere læsning

eksterne links