Harmonisk oscillator - Harmonic oscillator

I klassisk mekanik er en harmonisk oscillator et system, der, når det forskydes fra sin ligevægtsposition , oplever en genopretningskraft F, der er proportional med forskydningen x :

hvor k er en positiv konstant .

Hvis F er den eneste kraft, der virker på systemet, kaldes systemet en simpel harmonisk oscillator , og den undergår simpel harmonisk bevægelse : sinusformede svingninger omkring ligevægtspunktet, med en konstant amplitude og en konstant frekvens (som ikke afhænger af amplituden ).

Hvis der også er en friktionskraft ( dæmpning ), der er proportional med hastigheden , beskrives den harmoniske oscillator som en dæmpet oscillator . Afhængigt af friktionskoefficienten kan systemet:

  • Oscillere med en frekvens lavere end i det ikke -dæmpede tilfælde, og en amplitude falder med tiden ( underdæmpet oscillator).
  • Henfald til ligevægtspositionen, uden svingninger ( overdæmpet oscillator).

Grænseopløsningen mellem en dæmpet oscillator og en overdæmpet oscillator forekommer ved en bestemt værdi af friktionskoefficienten og kaldes kritisk dæmpet .

Hvis en ekstern tidsafhængig kraft er til stede, beskrives den harmoniske oscillator som en drevet oscillator .

Mekaniske eksempler omfatter pendler (med små forskydningsvinkler ), masser forbundet med fjedre og akustiske systemer . Andre analoge systemer omfatter elektriske harmoniske oscillatorer, såsom RLC -kredsløb . Den harmoniske oscillatormodel er meget vigtig i fysikken, fordi enhver masse, der udsættes for en kraft i stabil ligevægt, fungerer som en harmonisk oscillator for små vibrationer. Harmoniske oscillatorer forekommer vidt i naturen og udnyttes i mange menneskeskabte enheder, såsom ure og radiokredsløb. De er kilden til stort set alle sinusformede vibrationer og bølger.

Enkel harmonisk oscillator

Massefjeder harmonisk oscillator
Enkel harmonisk bevægelse

En simpel harmonisk oscillator er en oscillator, der hverken drives eller dæmpes . Den består af en masse m , som oplever en enkelt kraft F , som trækker massen i retning af punktet x  = 0 og kun afhænger af massens position x og en konstant k . Kraftbalance ( Newtons anden lov ) for systemet er

Ved at løse denne differentialligning finder vi ud af, at bevægelsen er beskrevet af funktionen

hvor

Bevægelsen er periodisk , gentage sig i en sinusformet måde med konstant amplitude A . Ud over dens amplitude er bevægelsen af ​​en simpel harmonisk oscillator karakteriseret ved dens periode , tiden for en enkelt oscillation eller dens frekvens , antallet af cyklusser pr. Tidsenhed. Positionen på et givet tidspunkt t afhænger også af fasen φ , som bestemmer startpunktet på sinusbølgen. Perioden og frekvensen bestemmes af massens størrelse m og kraftkonstanten k , mens amplituden og fasen bestemmes af startpositionen og hastigheden .

Hastigheden og accelerationen af en simpel harmonisk oscillator svinger med samme frekvens som positionen, men med skiftede faser. Hastigheden er maksimal for nul forskydning, mens accelerationen er i den modsatte retning af forskydningen.

Den potentielle energi lagret i en simpel harmonisk oscillator i position x er

Dæmpet harmonisk oscillator

Systemets adfærd afhænger af værdien af ​​dæmpningsforholdet ζ
Videoklip, der viser en dæmpet harmonisk oscillator bestående af en dynamikvogn mellem to fjedre. Et accelerometer oven på vognen viser accelerationens størrelse og retning.

I rigtige oscillatorer bremser friktion eller dæmpning systemets bevægelse. På grund af friktionskraft falder hastigheden i forhold til den virkende friktionskraft. Mens der i en simpel udrevet harmonisk oscillator den eneste kraft, der virker på massen, er den genoprettende kraft, er der i en dæmpet harmonisk oscillator derudover en friktionskraft, der altid er i en retning, der modsætter sig bevægelsen. I mange vibrationssystemer kan friktionskraften F f modelleres som proportional med objektets hastighed v : F f = - cv , hvor c kaldes viskøs dæmpningskoefficient .

Kraftbalancen ( Newtons anden lov ) for dæmpede harmoniske oscillatorer er derefter

som kan omskrives til formularen

hvor

kaldes " oscillatorens ikke -dæmpede vinkelfrekvens ",
kaldes "dæmpningsforholdet".
Trinrespons af en dæmpet harmonisk oscillator; kurver er afbildet for tre værdier af μ = ω 1 = ω 0 1 -  ζ 2 . Tiden er i enheder af henfaldstiden τ = 1/( ζω 0 ) .

Værdien af ​​dæmpningsforholdet ζ bestemmer kritisk systemets adfærd. En dæmpet harmonisk oscillator kan være:

  • Overdæmpet ( ζ > 1): Systemet vender tilbage ( eksponentielt henfalder ) til stabil tilstand uden at svinge. Større værdier af dæmpningsforholdet ζ vender langsommere tilbage til ligevægt.
  • Kritisk dæmpet ( ζ = 1): Systemet vender tilbage til stabil tilstand så hurtigt som muligt uden at svinge (selvom der kan forekomme overskridelse, hvis initialhastigheden er nul). Dette er ofte ønsket til dæmpning af systemer som døre.
  • Underdæmpet ( ζ <1): Systemet svinger (med en lidt anden frekvens end det ikke -dæmpede tilfælde), hvor amplituden gradvist falder til nul. Den vinkelfrekvensen af underdamped harmoniske oscillator er givet ved den eksponentielt henfald af underdamped harmoniske oscillator er givet ved

Den Q-faktoren af en dæmpet oscillator er defineret som

Q er relateret til dæmpningsforholdet ved ligningen

Drevne harmoniske oscillatorer

Drevne harmoniske oscillatorer er dæmpede oscillatorer yderligere påvirket af en eksternt påført kraft F ( t ).

Newtons anden lov har form

Det bliver normalt omskrevet til formularen

Denne ligning kan løses nøjagtigt for enhver drivkraft ved hjælp af løsningerne z ( t ), der opfylder den uforcerede ligning

og som kan udtrykkes som dæmpede sinusformede svingninger:

i det tilfælde, hvor ζ  ≤ 1. Amplituden A og fasen φ bestemmer den adfærd, der er nødvendig for at matche de indledende betingelser.

Trinindgang

I tilfælde ζ  <1 og et trinindgang med  x (0) = 0:

løsningen er

med fase φ givet af

Den tid, en oscillator har brug for at tilpasse sig ændrede ydre forhold, er af størrelsesordenen τ  = 1/( ζω 0 ). I fysikken kaldes tilpasningen afslapning , og τ kaldes afslapningstiden.

I elektroteknik kaldes et multiplum af τ afregningstiden , dvs. den tid, der er nødvendig for at sikre, at signalet er inden for en fast afvigelse fra slutværdien, typisk inden for 10%. Udtrykket overshoot refererer til det omfang, svarmaksimum overstiger slutværdi, og undershoot henviser til, i hvilket omfang svaret falder under slutværdien for tider efter svarmaksimum.

Sinusformet drivkraft

Steady-state variation af amplitude med relativ frekvens og dæmpning af en drevet enkel harmonisk oscillator . Dette plot kaldes også det harmoniske oscillatorspektrum eller bevægelsesspektrum.

I tilfælde af en sinusformet drivkraft:

hvor er køreamplituden, og er kørefrekvensen for en sinusformet drivmekanisme. Denne type system synes i AC -driven RLC kredsløb ( modstand - inductor - kondensator ) og drevne fjedersystemer med intern mekanisk modstand eller ekstern luftmodstand .

Den generelle løsning er en sum af en forbigående opløsning, der afhænger af begyndelsesbetingelserne, og en stabil tilstand , der er uafhængig af begyndelsesbetingelser og kun afhænger den drivende amplitude , drivfrekvens , udæmpet vinkelfrekvens og dæmpningsforhold .

Steady-state-løsningen er proportional med drivkraften med en induceret faseændring :

hvor

er den absolutte værdi af impedansen eller den lineære responsfunktion , og

er oscillationens fase i forhold til drivkraften. Faseværdien tages normalt til at være mellem -180 ° og 0 (det vil sige, det repræsenterer et faseforsinkelse for både positive og negative værdier af arctan -argumentet).

For en bestemt kørefrekvens kaldet resonans eller resonansfrekvens er amplituden (for en given ) maksimal. Denne resonanseffekt opstår kun, når det vil sige for betydeligt dæmpede systemer. For stærkt dæmpede systemer kan værdien af ​​amplituden blive ganske stor nær resonansfrekvensen.

De forbigående løsninger er de samme som den ikke -tvungne ( ) dæmpede harmoniske oscillator og repræsenterer systemets reaktion på andre hændelser, der fandt sted tidligere. De forbigående løsninger dør typisk hurtigt nok ud, så de kan ignoreres.

Parametriske oscillatorer

En parametrisk oscillator er en drevet harmonisk oscillator, hvor drivenergien tilvejebringes ved at variere parametrene for oscillatoren, såsom dæmpning eller genopretningskraft. Et velkendt eksempel på parametrisk oscillation er "pumpning" på en legeplads gynge . En person på et sving i bevægelse kan øge amplituden af ​​svingets svingninger uden at der påføres ekstern drivkraft (skub) ved at ændre svingningens inertimoment ved at vugge frem og tilbage ("pumpe") eller skiftevis stå og sidde på hug, i rytme med svingets svingninger. Variationen af ​​parametrene driver systemet. Eksempler på parametre, der kan varieres, er dens resonansfrekvens og dæmpning .

Parametriske oscillatorer bruges i mange applikationer. Den klassiske varactor parametriske oscillator svinger, når diodernes kapacitans varieres periodisk. Kredsløbet, der varierer diodenes kapacitans, kaldes "pumpen" eller "driveren". I mikrobølgeelektronik fungerer bølgeleder / YAG -baserede parametriske oscillatorer på samme måde. Designeren varierer periodisk en parameter for at fremkalde svingninger.

Parametriske oscillatorer er blevet udviklet som støjsvage forstærkere, især inden for radio- og mikrobølgefrekvensområdet. Termisk støj er minimal, da en reaktans (ikke en modstand) varieres. En anden almindelig anvendelse er frekvenskonvertering, f.eks. Konvertering fra lyd til radiofrekvenser. For eksempel den optiske parametrisk oscillator konverterer et input laser bølge i to output bølger af lavere frekvens ( ).

Parametrisk resonans forekommer i et mekanisk system, når et system er parametrisk spændt og oscillerer ved en af ​​dets resonansfrekvenser. Parametrisk excitation adskiller sig fra tvang, da handlingen fremstår som en tidsvarierende ændring af en systemparameter. Denne effekt er forskellig fra almindelig resonans, fordi den udviser ustabilitetsfænomenet .

Universal oscillator ligning

Ligningen

er kendt som den universelle oscillatorligning , da alle andenordens lineære oscillatoriske systemer kan reduceres til denne form. Dette gøres gennem nondimensionalisering .

Hvis tvangsfunktionen er f ( t ) = cos ( ωt ) = cos ( ωt c τ ) = cos ( ωτ ), hvor ω  =  ωt c , bliver ligningen

Løsningen på denne differentialligning indeholder to dele: "forbigående" og "steady-state".

Forbigående løsning

Løsningen baseret på løsning af den almindelige differentialligning er for vilkårlige konstanter c 1 og c 2

Den forbigående løsning er uafhængig af forceringsfunktionen.

Steady-state løsning

Anvend metoden " komplekse variabler " ved at løse hjælpeligningen herunder og derefter finde den virkelige del af dens løsning:

Antag at løsningen er af formen

Dens derivater fra nul til anden orden er

At substituere disse størrelser i differentialligningen giver

Deling med det eksponentielle udtryk til venstre resulterer i

At ligestille de virkelige og imaginære dele resulterer i to uafhængige ligninger

Amplitude del

Bode plot af frekvensresponsen af ​​en ideel harmonisk oscillator

At kvadrere begge ligninger og lægge dem sammen giver

Derfor,

Sammenlign dette resultat med teorisektionen om resonans samt "størrelsesdelen" af RLC -kredsløbet . Denne amplitudefunktion er særlig vigtig i analysen og forståelsen af frekvensresponsen af andenordens systemer.

Fasedel

For at løse for φ , del begge ligninger for at få

Denne fasefunktion er særlig vigtig i analysen og forståelsen af frekvensresponsen fra andenordens systemer.

Fuld løsning

Kombination af amplitude- og fasedele resulterer i steady-state-løsningen

Løsningen af ​​den originale universelle oscillatorligning er en superposition (sum) af de forbigående og steady-state løsninger:

For en mere fuldstændig beskrivelse af, hvordan ovenstående ligning løses, se lineære ODE'er med konstante koefficienter .

Ækvivalente systemer

Harmoniske oscillatorer, der forekommer på en række ingeniørområder, er ækvivalente i den forstand, at deres matematiske modeller er identiske (se universel oscillatorligning ovenfor). Nedenfor er en tabel, der viser analoge mængder i fire harmoniske oscillatorsystemer inden for mekanik og elektronik. Hvis analoge parametre på samme linje i tabellen får numerisk lige værdier, er oscillatorernes adfærd - deres outputbølgeform, resonansfrekvens, dæmpningsfaktor osv. Den samme.

Oversættelses mekanisk Rotations mekanisk Serie RLC kredsløb Parallelt RLC -kredsløb
Position Vinkel Oplade Flux -forbindelse
Hastighed Vinkelhastighed Nuværende Spænding
Masse Inertimoment Induktans Kapacitans
Momentum Vinklet momentum Flux -forbindelse Oplade
Forårskonstant Torsion konstant Elastik Magnetisk modvilje
Dæmpning Rotationsfriktion Modstand Konduktans
Drive kraft Drive drejningsmoment Spænding Nuværende
Udæmpet resonansfrekvens :
Dæmpningsforhold :
Differentialligning:

Ansøgning til en konservativ kraft

Problemet med den enkle harmoniske oscillator forekommer ofte i fysikken, fordi en masse ved ligevægt under påvirkning af enhver konservativ kraft i grænsen for små bevægelser opfører sig som en simpel harmonisk oscillator.

En konservativ kraft er en, der er forbundet med en potentiel energi . Potentialenergifunktionen for en harmonisk oscillator er

I betragtning af en vilkårlig potential-energifunktion kan man foretage en Taylor-udvidelse i form af omkring et energiminimum ( ) for at modellere adfærden for små forstyrrelser fra ligevægt.

Fordi det er et minimum, skal det første derivat, der vurderes til , være nul, så det lineære udtryk falder ud:

Det konstante udtryk V ( x 0 ) er vilkårligt og kan derfor droppes, og en koordinat -transformation gør det muligt at hente formen af ​​den enkle harmoniske oscillator:

I betragtning af en vilkårlig potentialenergifunktion med et ikke-forsvindende andet derivat kan man bruge løsningen til den simple harmoniske oscillator til at tilvejebringe en omtrentlig løsning for små forstyrrelser omkring ligevægtspunktet.

Eksempler

Simpelt pendul

Et simpelt pendul udviser omtrent simpel harmonisk bevægelse under betingelser uden dæmpning og lille amplitude.

Forudsat at der ikke er nogen dæmpning, er differentialligningen, der styrer et simpelt pendul af længde , hvor den lokale tyngdekraftacceleration er,

Hvis pendulens maksimale forskydning er lille, kan vi bruge tilnærmelsen og i stedet overveje ligningen

Den generelle løsning på denne differentialligning er

hvor og er konstanter, der afhænger af de indledende forhold. Bruges som indledende betingelser og , er løsningen givet af

hvor er den største vinkel, som pendulet opnår (det vil sige pendulets amplitude). Den periode , den tid til en komplet svingning, er givet ved udtrykket

hvilket er en god tilnærmelse til den faktiske periode, når den er lille. Bemærk, at perioden i denne tilnærmelse er uafhængig af amplituden . I ovenstående ligning repræsenterer vinkelfrekvensen.

Fjeder/massesystem

Fjeder -massesystem i ligevægt (A), komprimeret (B) og strakt (C) tilstand

Når en fjeder strækkes eller komprimeres af en masse, udvikler fjederen en genoprettende kraft. Hookes lov giver forholdet mellem den kraft, fjederen udøver, når fjederen komprimeres eller strækkes en vis længde:

hvor F er kraften, k er fjederkonstanten, og x er massens forskydning i forhold til ligevægtspositionen. Minustegnet i ligningen angiver, at den kraft, fjederen udøver, altid virker i en retning, der er modsat forskydningen (dvs. kraften virker altid mod nulpositionen), og forhindrer således massen i at flyve ud i det uendelige.

Ved at bruge enten kraftbalance eller en energimetode kan det let vises, at bevægelsen af ​​dette system er givet ved følgende differentialligning:

sidstnævnte er Newtons anden bevægelseslov .

Hvis den oprindelige forskydning er A , og der ikke er nogen initialhastighed, er løsningen af ​​denne ligning givet ved

I betragtning af en ideel masseløs fjeder er massen i slutningen af ​​foråret. Hvis fjederen selv har masse, skal dens effektive masse indgå i .

Energivariation i fjederdæmpningssystemet

Med hensyn til energi har alle systemer to energityper: potentiel energi og kinetisk energi . Når en fjeder strækkes eller komprimeres, gemmer den elastisk potentiel energi, som derefter overføres til kinetisk energi. Den potentielle energi i en fjeder bestemmes af ligningen

Når fjederen strækkes eller komprimeres, omdannes massens kinetiske energi til fjederens potentielle energi. Ved bevarelse af energi, forudsat at nulpunktet er defineret ved ligevægtspositionen, når fjederen når sin maksimale potentielle energi, er massens kinetiske energi nul. Når foråret frigives, forsøger den at vende tilbage til ligevægt, og al dens potentielle energi omdannes til massens kinetiske energi.

Definition af udtryk

Symbol Definition Dimensioner SI -enheder
Massacceleration m/s 2
Højeste oscillationsamplitude m
Viskøs dæmpningskoefficient N · s/m
Frekvens Hz
Drivkraft N
Tyngdekraftsacceleration på jordens overflade m/s 2
Imaginær enhed, - -
Forårskonstant N/m
Masse kg
Kvalitetsfaktor - -
Svingningsperiode s
Tid s
Potentiel energi lagret i oscillator J
Masseposition m
Dæmpningsforhold - -
Faseskift - rad
Vinkelfrekvens rad/s
Naturlig resonansvinkelfrekvens rad/s

Se også

Noter

Referencer

eksterne links