Sekskant - Hexagon
Almindelig sekskant | |
---|---|
Type | Regelmæssig polygon |
Kanter og hjørner | 6 |
Schläfli -symbol | {6}, t {3} |
Coxeter diagram |
|
Symmetri gruppe | Dihedral (D 6 ), bestil 2 × 6 |
Indvendig vinkel ( grader ) | 120 ° |
Dobbelt polygon | Selv |
Ejendomme | Konveks , cyklisk , ligesidet , isogonal , isotoksal |
I geometri er en sekskant (fra græsk ἕξ , hex , der betyder "seks" og γωνία , gonía , der betyder "hjørne, vinkel") en sekssidet polygon eller 6-gon. Totalet af de indre vinkler for enhver enkel (ikke-selvskærende) sekskant er 720 °.
Almindelig sekskant
En almindelig sekskant har Schläfli -symbolet {6} og kan også konstrueres som en afkortet ligesidet trekant , t {3}, som skifter to kanter.
En regulær sekskant er defineret som en sekskant, der er både ligesidet og ensvinklet . Det er bicentrisk , hvilket betyder, at det både er cyklisk (har en afgrænset cirkel) og tangential (har en indskrevet cirkel).
Den fælles længde af siderne er lig med radius af den omskrevne cirkel eller cirkel , der er lig med apothemet (radius af den indskrevne cirkel ). Alle indvendige vinkler er 120 grader . En regulær sekskant har seks rotationssymmetrier ( rotationssymmetri af orden seks ) og seks refleksioner symmetrier ( seks linjer af symmetri ), der udgør den dihedrale gruppe D 6 . De længste diagonaler i en almindelig sekskant, der forbinder diametralt modsatte hjørner, er dobbelt så lange som den ene side. Fra dette kan det ses, at en trekant med et toppunkt i midten af den regulære sekskant og deling af den ene side med sekskanten er ligesidet , og at den regulære sekskant kan opdeles i seks ligesidede trekanter.
Ligesom firkanter og ligesidede trekanter passer regelmæssige sekskanter sammen uden huller for at flise planet (tre sekskanter, der mødes ved hvert toppunkt), og er derfor nyttige til konstruktion af tessellationer . Cellerne i en bikube -bikage er sekskantede af denne grund, og fordi formen udnytter pladsen og byggematerialerne effektivt. Den Voronoï diagram af en regelmæssig trekantet gitter er honeycomb mosaikarbejde af sekskanter. Det betragtes normalt ikke som en triambus , selvom det er ligesidet.
Parametre
Den maksimale diameter (som svarer til den lange diagonal af sekskanten), D , er gange den maksimale radius eller circumradius , R , der er lig med sidelængden, t . Den minimale diameter eller diameteren af den indskrevne cirkel (adskillelse af parallelle sider, flad-til-flad afstand, kort diagonal eller højde, når den hviler på en flad bund), d , er to gange den minimale radius eller inradius , r . Maxima og minima hænger sammen med den samme faktor:
- og på samme måde
Arealet af en almindelig sekskant
For enhver almindelig polygon kan området også udtrykkes i form af apothemen a og omkredsen p . For den almindelige sekskant er disse givet med a = r , og p , så
Den almindelige sekskant fylder brøkdelen af dens omskrevne cirkel .
Hvis en almindelig sekskant har successive hjørner A, B, C, D, E, F, og hvis P er et vilkårligt punkt på omkredsen mellem B og C, så er PE + PF = PA + PB + PC + PD .
Det følger af forholdet mellem omkreds og inradius, at forholdet mellem højde og bredde for en almindelig sekskant er 1: 1.1547005; det vil sige en sekskant med en lang diagonal på 1.0000000 vil have en afstand på 0,8660254 mellem parallelle sider.
Peg i flyet
For et vilkårligt punkt i flyet af en regulær sekskant med circumradius , hvis afstande til det geometriske tyngdepunkt af regulær sekskant og dets seks knudepunkter er og henholdsvis vi har
Hvis er afstanden fra hjørnerne af en almindelig sekskant til et vilkårligt punkt på dens omkreds, så
Symmetri
Eksempel på sekskanter ved symmetri | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Den almindelige sekskant har Dih 6 -symmetri , rækkefølge 12. Der er tre dihedrale undergrupper: Dih 3 , Dih 2 og Dih 1 og fire cykliske undergrupper: Z 6 , Z 3 , Z 2 og Z 1 .
Disse symmetrier udtrykker ni forskellige symmetrier af en almindelig sekskant. John Conway mærker disse med et brev og en gruppebestilling. r12 er fuld symmetri, og a1 er ingen symmetri. p6 kan en isogonal sekskant konstrueret af tre spejle skiftevis lange og korte kanter, og d6 , en isotoksal sekskant konstrueret med lige kantlængder, men hjørner skiftevis to forskellige indre vinkler. Disse to former er dobbelte af hinanden og har halvdelen af symmetriordenen for den almindelige sekskant. De i4 former er regelmæssige sekskanter udfladede eller strakt langs en symmetri retning. Det kan ses som en aflang rhombus , mens d2 og p2 kan ses som vandret og lodret langstrakte drager . g2 sekskanter, med modsatte sider parallelle, kaldes også sekskantede parallelogoner .
Hver undergruppesymmetri tillader en eller flere frihedsgrader for uregelmæssige former. Kun g6 -undergruppen har ingen frihedsgrader, men kan ses som rettede kanter .
Sekskanter af symmetri g2 , i4 og r12 , da parallelogoner kan tessellere det euklidiske plan ved translation. Andre sekskantformer kan flise flyet med forskellige retninger.
p6m (*632) | cmm (2*22) | p2 (2222) | p31m (3*3) | pmg (22*) | pg (× ×) | |
---|---|---|---|---|---|---|
r12 |
i4 |
g2 |
d2 |
d2 |
p2 |
a1 |
Di 6 | Di 2 | Z 2 | Di 1 | Z 1 |
A2 og G2 grupper
A2 gruppens rødder |
G2 -gruppens rødder |
De 6 rødder i den enkle Lie -gruppe A2 , repræsenteret ved et Dynkin -diagram , er i et almindeligt sekskantet mønster. De to enkle rødder har en vinkel på 120 ° mellem sig.
De 12 rødder i gruppen Exceptional Lie G2 , repræsenteret ved et Dynkin -diagram er også i et sekskantet mønster. De to enkle rødder af to længder har en vinkel på 150 ° mellem dem.
Dissektion
6-terning fremspring | 12 rhomb dissektion | |
---|---|---|
Coxeter siger, at hver zonogon (en 2 m -gon, hvis modsatte sider er parallelle og lige lange) kan dissekeres i m ( m -1)/2 parallelogram. Dette gælder især for regelmæssige polygoner med jævnt mange sider, i hvilket tilfælde parallellogrammerne alle er romber. Denne nedbrydning af en almindelig sekskant er baseret på en Petrie -polygonprojektion af en terning med 3 ud af 6 firkantede flader. Andre parallelogoner og projektive retninger af terningen dissekeres inden i rektangulære kuboider .
Dissektion af sekskanter i tre romber og parallelogrammer | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2D | Romber | Parallelogrammer | |||||||||
Almindelig {6} | Sekskantede parallelogoner | ||||||||||
3D | Firkantede ansigter | Rektangulære ansigter | |||||||||
Terning | Rektangulær kuboid |
Relaterede polygoner og fliser
En almindelig sekskant har Schläfli -symbolet {6}. En almindelig sekskant er en del af den almindelige sekskantede fliser , {6,3}, med tre sekskantede flader omkring hvert toppunkt.
En almindelig sekskant kan også oprettes som en afkortet ligesidet trekant med Schläfli -symbolet t {3}. Set med to typer (farver) kanter har denne formular kun D 3 -symmetri.
En afskåret sekskant, t {6}, er en dobbelthus , {12}, der skifter to kanter (farver). En vekslende sekskant, h {6}, er en ligesidet trekant , {3}. En almindelig sekskant kan stjæles med ligesidede trekanter på kanterne, hvilket skaber et hexagram . En almindelig sekskant kan dissekeres i seks ligesidede trekanter ved at tilføje et midtpunkt. Dette mønster gentages inden for den almindelige trekantede fliser .
En almindelig sekskant kan udvides til en almindelig dodecagon ved at tilføje skiftevis firkanter og ligesidede trekanter omkring den. Dette mønster gentager sig inden for den rhombitrihexagonale fliser .
Almindelig {6} |
Afkortet t {3} = {6} |
Hypertruncated trekanter | Stellated Star figure 2 {3} |
Afkortet t {6} = {12} |
Alternativ h {6} = {3} |
---|
Krydsede sekskant |
En konkave sekskant | En selvskærende sekskant ( stjernepolygon ) | Udvidet centralt {6} i {12} |
En skæv sekskant inden for terning | Dissekeret {6} | projektion oktaeder |
Komplet graf |
---|
Selvkrydset sekskanter
Der er seks selvkrydsende sekskanter med toppunktsarrangementet i den almindelige sekskant:
Di 2 | Di 1 | Di 3 | |||
---|---|---|---|---|---|
Figur-otte |
Center-flip |
Unicursal |
Fisk-hale |
Dobbelt hale |
Triple-tail |
Sekskantede strukturer
Fra biernes honningkager til Giant's Causeway er sekskantede mønstre udbredt i naturen på grund af deres effektivitet. I et sekskantet gitter er hver linje så kort, som den muligvis kan være, hvis et stort område skal fyldes med færrest sekskanter. Det betyder, at honningkager kræver mindre voks for at konstruere og får meget styrke under komprimering .
Uregelmæssige sekskanter med parallelle modsatte kanter kaldes parallelogoner og kan også flise flyet ved translation. I tre dimensioner kaldes sekskantede prismer med parallelle modstående flader parallelohedroner, og disse kan tessellere 3-rum ved translation.
Form | Sekskantede fliser | Sekskantet prismatisk honningkage |
---|---|---|
Fast | ||
Parallelogonal |
Tesselationer af sekskanter
Ud over den almindelige sekskant, der bestemmer en unik tessellering af flyet, vil enhver uregelmæssig sekskant, der opfylder Conway -kriteriet , flise planet.
Sekskant indskrevet i en keglesnit
Pascals sætning (også kendt som "Hexagrammum Mysticum Theorem") siger, at hvis en vilkårlig sekskant er indskrevet i et keglesnit , og par modsatte sider forlænges, indtil de mødes, vil de tre skæringspunkter ligge på en lige linje, " Pascal line "i den konfiguration.
Cyklisk sekskant
Den Lemoine sekskant er en cyklisk sekskant (én indskrevet i en cirkel) med knudepunkter givet af de seks skæringspunkterne mellem kanterne af en trekant, og de tre linjer, der er parallelle med kanterne, der passerer gennem dens symmedian punkt .
Hvis de successive sider af en cyklisk sekskant er a , b , c , d , e , f , så skærer de tre hoveddiagonaler i et enkelt punkt, hvis og kun hvis ess = bdf .
Hvis de tilstødende sider på hver side af en cyklisk sekskant forlænges til deres skæringspunkt og danner en trekant udvendigt til den givne side, så er segmenterne, der forbinder omkredsen af modsatte trekanter, samtidige .
Hvis en sekskant har hjørner på omkredsen af en spids trekant på de seks punkter (inklusive tre trekantspidser), hvor trekantens forlængede højder møder omkredsen, så er sekskantens areal dobbelt så stort som trekanten.
Sekskant tangential til en keglesnit
Lad ABCDEF være en sekskant dannet af seks tangentlinjer i et keglesnit. Så siger Brianchons sætning , at de tre hoveddiagonaler AD, BE og CF skærer hinanden på et enkelt punkt.
I en sekskant, der er tangential til en cirkel, og som har på hinanden følgende sider a , b , c , d , e og f ,
Ensidige trekanter på siderne af en vilkårlig sekskant
Hvis en ligesidet trekant er konstrueret eksternt på hver side af en sekskant, danner midtpunkterne i segmenterne, der forbinder centroiderne i modsatte trekanter, en anden ligesidet trekant.
Skæv sekskant
En skæv sekskant er en skæv polygon med seks hjørner og kanter, men ikke eksisterende på samme plan. Det indre af en sådan sekskant er ikke generelt defineret. En skæv zig-zag sekskant har hjørner, der skifter mellem to parallelle planer.
En almindelig skæv sekskant er toppunkt-transitiv med lige kantlængder. I tre dimensioner vil det være en zig-zag-skæv sekskant og kan ses i hjørnerne og sidekanterne på en trekantet antiprisme med samme D 3d , [2 + , 6] symmetri, rækkefølge 12.
Den terning og oktaeder (samme som trekantet Antiprism) har regelmæssige skæve sekskanter som Petrie polygoner.
Terning |
Octahedron |
Petrie polygoner
Den almindelige skæve sekskant er Petrie -polygonen for disse højere dimensionelle regelmæssige , ensartede og dobbelte polyeder og polytoper, vist i disse skæve ortogonale fremskrivninger :
4D | 5D | |
---|---|---|
3-3 duoprisme |
3-3 duopyramid |
5-simplex |
Konveks ligesidet sekskant
En hoveddiagonal af en sekskant er en diagonal, der deler sekskanten i firkanter. I enhver konveks ligesidet sekskant (en med alle sider lige) med fælles side a , findes der en hoveddiagonal d 1 således, at
og en hoveddiagonal d 2 sådan, at
Polyeder med sekskanter
Der er ikke noget platonisk fast stof, der kun består af almindelige sekskanter, fordi sekskanterne tessellaterer , hvilket ikke tillader, at resultatet "foldes op". De arkimediske faste stoffer med nogle sekskantede ansigter er den afkortede tetraeder , afkortet oktaeder , afkortet icosahedron (af fodbold og fulleren berømmelse), afkortet cuboctahedron og den afkortede icosidodecahedron . Disse sekskanter kan betragtes som afkortede trekanter med Coxeter -diagrammer af formen og .
Sekskanter i arkimediske faste stoffer | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetrahedral | Octahedral | Icosahedral | |||||||||
afkortet tetraeder |
afkortet oktaeder |
afkortet cuboctahedron |
afkortet icosahedron |
afkortet icosidodecahedron |
Der er andre symmetri polyeder med strakte eller flade sekskanter, som disse Goldberg polyhedron G (2,0):
Sekskanter i Goldberg polyeder | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetrahedral | Octahedral | Icosahedral | |||||||||
Affaset tetraeder |
Affaset terning |
Affaset dodekaeder |
Der er også 9 Johnson -faste stoffer med regelmæssige sekskanter:
Prismoider med sekskanter | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sekskantet prisme |
Sekskantet antiprisme |
Sekskantet pyramide |
Fliser med almindelige sekskanter | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Fast | 1-uniform | ||||||||||
{6,3} |
r {6,3} |
rr {6,3} |
tr {6,3} |
||||||||
2-ensartede fliser | |||||||||||
Galleri over naturlige og kunstige sekskanter
Den ideelle krystallinske struktur af grafen er et sekskantet gitter.
Samlede E-ELT spejlsegmenter
En bikube honeycomb
Sporene på en skildpaddes skjold
Saturns sekskant , et sekskantet skymønster omkring planetens nordpol
Benzen , den enkleste aromatiske forbindelse med sekskantet form.
Krystalstruktur af en molekylær sekskant sammensat af sekskantede aromatiske ringe.
Naturligt dannede basaltsøjler fra Giant's Causeway i Nordirland ; store masser skal afkøle langsomt for at danne et polygonalt brudmønster
En luftfoto af Fort Jefferson i Dry Tortugas National Park
Den James Webb Space Telescope spejl består af 18 sekskantede segmenter.
Metropolitan France har en vagt sekskantet form. På fransk refererer l'Hexagone til det europæiske fastland i Frankrig.
Sekskantet Hanksite krystal, en af mange sekskantede krystal systemet mineraler
The Hexagon , et sekskantet teater i Reading, Berkshire
Władysław Glińskis sekskantede skak
Pavillon i Taiwans botaniske have
Se også
- 24-celle : en firdimensionel figur, der ligesom sekskanten har ortoplexfacetter , er selv-dobbelt og tessellater det euklidiske rum
- Sekskantet krystal system
- Sekskantet nummer
- Sekskantet fliser : en regelmæssig flisebelægning af sekskanter i et plan
- Hexagram : sekssidet stjerne inden for en almindelig sekskant
- Unicursal hexagram : enkelt sti, sekssidet stjerne, inden for en sekskant
- Honningkage formodning
- Havannah : abstrakt brætspil spillet på et seks-sidet sekskantet gitter
Referencer
eksterne links
- Definition og egenskaber for en sekskant med interaktiv animation og konstruktion med kompas og straightedge .
- En introduktion til sekskantet geometri på Hexnet et websted, der er dedikeret til sekskantmatematik.
- Cassini Images Bizar Hexagon på Saturn
- Saturns mærkelige sekskant
- Et sekskantet træk omkring Saturns nordpol
- "Bizar Hexagon Spotted on Saturn" - fra Space.com (27. marts 2007)