Uendelig - Infinitesimal

I matematik er et uendeligt eller uendeligt tal en mængde, der er tættere på nul end noget almindeligt reelt tal , men det er ikke nul. Ordet uendelig lille kommer fra en 17. århundrede Moderne latinsk møntsystem infinitesimus , som oprindeligt henvist til " uendelig - th " element i en sekvens .

Infinitesimals findes ikke i det normale reelle tal system, men de findes i andre nummersystemer , såsom det surrealistiske talssystem og det hyperreale talsystem , som kan opfattes som de reelle tal, der er forstærket med både uendelige og uendelige størrelser; forstørrelserne er hinandens gensidige .

Infinitesimale tal blev introduceret i udviklingen af ​​beregning , hvor derivatet først blev opfattet som et forhold på to uendelige størrelser. Denne definition blev ikke stramt formaliseret . Efterhånden som beregningen udviklede sig yderligere, blev uendelige tal erstattet af grænser , som kan beregnes ved hjælp af de normale reelle tal.

Infinitesimals genvandt popularitet i det 20. århundrede med Abraham Robinsons udvikling af ikke -standardiseret analyse og de hyperreale tal , som efter århundreders kontroverser viste, at en formel behandling af infinitesimal regning var mulig. Efter dette udviklede matematikere surrealistiske tal, en relateret formalisering af uendelige og uendelige tal, der omfatter både hyperreale tal og ordinale tal , som er det største ordnede felt .

Indsigten ved at udnytte uendelige dimensioner var, at enheder stadig kunne beholde bestemte specifikke egenskaber, såsom vinkel eller hældning , selvom disse enheder var uendeligt små.

Infinitesimals er en grundlæggende ingrediens i calculus som udviklet af Leibniz , herunder loven om kontinuitet og den transcendentale homogenitetslov . I almindelig tale er et uendeligt lille objekt et objekt, der er mindre end enhver mulig måling, men ikke nul i størrelse - eller så lille, at det ikke kan skelnes fra nul på alle tilgængelige midler. Derfor, når anvendt som et adjektiv i matematik, uendelig små midler uendeligt små, mindre end nogen standard reelt tal. Infinitesimals sammenlignes ofte med andre infinitesimals af lignende størrelse, som ved undersøgelse af en derivats af en funktion. Et uendeligt antal uendelige tal summeres for at beregne et integral .

Begrebet infinitesimals blev oprindeligt introduceret omkring 1670 af enten Nicolaus Mercator eller Gottfried Wilhelm Leibniz . Archimedes brugte det, der til sidst blev kendt som metoden for udelelige i sit arbejde The Method of Mechanical Theorems til at finde områder med regioner og mængder af faste stoffer. I sine formelle offentliggjorte afhandlinger løste Archimedes det samme problem ved hjælp af udmattelsesmetoden . Det 15. århundrede oplevede Nicholas af Cusas arbejde , videreudviklet i det 17. århundrede af Johannes Kepler , især beregning af en cirkels areal ved at repræsentere sidstnævnte som en uendelig polygon. Simon Stevins arbejde med decimalrepræsentation af alle tal i 1500 -tallet forberedte grunden til det virkelige kontinuum. Bonaventura Cavalieris metode til udelelige førte til en forlængelse af resultaterne fra de klassiske forfattere. Metoden for udelelige ting relateret til geometriske figurer som værende sammensat af kodimensionsenheder 1. John Wallis 'uendelige dimensioner adskilte sig fra udelelige ved, at han ville nedbryde geometriske figurer til uendeligt tynde byggesten af ​​samme dimension som figuren og forberede jorden til generelle metoder til integralregning. Han udnyttede en uendelig lille betegnet 1/∞ i arealberegninger.

Leibniz 'brug af uendelige dimensioner baserede sig på heuristiske principper, såsom kontinuitetsloven: hvad der lykkes for de endelige tal, lykkes også for de uendelige tal og omvendt; og den transcendentale homogenitetslov, der specificerer procedurer for udskiftning af udtryk, der involverer ikke -overførbare mængder, med udtryk, der kun involverer tildelbare. Det 18. århundrede oplevede rutinemæssig brug af uendelige dimensioner af matematikere som Leonhard Euler og Joseph-Louis Lagrange . Augustin-Louis Cauchy udnyttede uendelige dimensioner både til at definere kontinuitet i hans Cours d'Analyse og til at definere en tidlig form for en Dirac delta-funktion . Da Cantor og Dedekind udviklede mere abstrakte versioner af Stevins kontinuum, skrev Paul du Bois-Reymond en række papirer om uendeligt berigede kontinuier baseret på vækstrater i funktioner. Du Bois-Reymonds arbejde inspirerede både Émile Borel og Thoralf Skolem . Borel linkede eksplicit du Bois-Reymonds arbejde til Cauchys arbejde med væksthastigheder hos uendelige dyr. Skolem udviklede de første ikke-standardiserede regnemodeller i 1934. En matematisk implementering af både loven om kontinuitet og uendelige dimensioner blev opnået af Abraham Robinson i 1961, der udviklede ikke-standardiseret analyse baseret på tidligere arbejde af Edwin Hewitt i 1948 og Jerzy Łoś i 1955 . de hyperreals implementere et uendeligt lille-beriget kontinuum og transfer princippet redskaber Leibniz 'lov kontinuitet. Den standard del funktionen implementerer Fermats adequality .

Vladimir Arnold skrev i 1990:

I dag, når man underviser i analyse, er det ikke særlig populært at tale om uendelige mængder. Derfor er nutidens studerende ikke fuldt ud i besiddelse af dette sprog. Ikke desto mindre er det stadig nødvendigt at have kommando over det.

Historien om det uendelige

Forestillingen om uendeligt små mængder blev diskuteret af Eleatic School . Den græske matematiker Archimedes (ca. 287 f.Kr. - ca. 212 f.Kr.), i metoden med mekaniske sætninger , var den første til at foreslå en logisk streng definition af uendelige tal. Hans arkimediske ejendom definerer et tal x som uendeligt, hvis det opfylder betingelserne | x |> 1, | x |> 1+1, | x |> 1+1+1, ... og infinitesimalt, hvis x ≠ 0 og et lignende sæt betingelser gælder for x og reciprokken for de positive heltal. Et talesystem siges at være arkimedisk, hvis det ikke indeholder uendelige eller uendelige medlemmer.

Den engelske matematiker John Wallis introducerede udtrykket 1/∞ i sin bog fra 1655 Treatise on the Conic Sections . Symbolet, der betegner det gensidige eller omvendte af  ∞ , er den symbolske repræsentation af det matematiske begreb om en uendelig lille. I sin traktat om de keglesnit diskuterer Wallis også begrebet et forhold mellem den symbolske repræsentation af uendelig 1/∞, som han introducerede, og begrebet uendelighed, som han introducerede symbolet ∞. Konceptet foreslår et tankeeksperiment med at tilføje et uendeligt antal parallelogrammer med uendelig bredde for at danne et begrænset område. Dette koncept var forgængeren til den moderne integrationsmetode, der blev brugt i integralregning . Den konceptuelle oprindelse af begrebet det uendelige 1/∞ kan spores så langt tilbage som den græske filosof Zeno fra Elea , hvis Zenos dikotomiparadoks var det første matematiske begreb, der overvejede forholdet mellem et begrænset interval og et interval, der nærmer sig et uendeligt lille størrelse.

Infinitesimals var genstand for politiske og religiøse kontroverser i 1600 -tallets Europa, herunder et forbud mod infinitesimals udstedt af gejstlige i Rom i 1632.

Før opfindelsen af ​​calculus kunne matematikere beregne tangentlinjer ved hjælp af Pierre de Fermats metode til tilstrækkelighed og René Descartes ' normals metode . Der er debat blandt forskere om, hvorvidt metoden var uendelig eller algebraisk. Da Newton og Leibniz opfandt regningen , brugte de uendelige tal , Newtons fluxioner og Leibniz ' differential . Brugen af ​​uendelige tal blev angrebet som forkert af biskop Berkeley i hans arbejde The Analyst . Matematikere, forskere og ingeniører fortsatte med at bruge uendelige tal til at producere korrekte resultater. I anden halvdel af det nittende århundrede blev regningen omformuleret af Augustin-Louis Cauchy , Bernard Bolzano , Karl Weierstrass , Cantor , Dedekind og andre ved hjælp af (ε, δ) -definitionen af ​​grænse- og sætteori . Mens tilhængerne af Cantor, Dedekind og Weierstrass forsøgte at fjerne analyser af uendelige dyr, og deres filosofiske allierede som Bertrand Russell og Rudolf Carnap erklærede, at uendelige er pseudokoncepter , søgte Hermann Cohen og hans Marburg-skole i neo-kantianisme at udvikle en arbejdslogik uendelige dyr. Den matematiske undersøgelse af systemer, der indeholder uendelige tal, fortsatte gennem Levi-Civita , Giuseppe Veronese , Paul du Bois-Reymond og andre, gennem slutningen af ​​det nittende og det tyvende århundrede, som dokumenteret af Philip Ehrlich (2006). I det 20. århundrede blev det fundet, at uendelige tal kunne tjene som grundlag for beregning og analyse (se hyperreale tal ).

Første ordens ejendomme

Ved at udvide de reelle tal til at omfatte uendelige og uendelige størrelser ønsker man typisk at være så konservativ som muligt ved ikke at ændre nogen af ​​deres elementære egenskaber. Dette garanterer, at så mange velkendte resultater som muligt stadig er tilgængelige. Typisk betyder elementær , at der ikke er nogen kvantificering over sæt , men kun over elementer. Denne begrænsning tillader udsagn i formen "for et hvilket som helst tal x ..." For eksempel vil det aksiom, der angiver "for ethvert tal  x , x  + 0 =  x " stadig gælde. Det samme gælder for kvantificering over flere tal, f.eks. "For alle tal  x og y , xy  =  yx ." Udtalelser af formularen "for ethvert sæt  S  af tal ..." må dog ikke overføres. Logik med denne begrænsning af kvantificering kaldes første ordens logik .

Det resulterende udvidede nummersystem kan ikke stemme overens med realerne om alle egenskaber, der kan udtrykkes ved kvantificering over sæt, fordi målet er at konstruere et ikke-arkimedisk system, og det arkimediske princip kan udtrykkes ved kvantificering over sæt. Man kan konservativt udvide enhver teori inklusive reals, inklusive sætteori, til at omfatte uendelige tal, blot ved at tilføje en utallig uendelig liste over aksiomer, der hævder, at et tal er mindre end 1/2, 1/3, 1/4 og så videre. Tilsvarende kan fuldstændighedsejendommen ikke forventes at overføre, fordi realerne er det unikke komplette bestilte felt op til isomorfisme.

Vi kan skelne mellem tre niveauer, hvor et ikke-arkimedisk talesystem kan have førsteordens egenskaber kompatible med realernes egenskaber:

1. Et ordnet felt adlyder alle de sædvanlige aksiomer i det reelle tal system, der kan angives i første ordens logik. For eksempel kommutivitet aksiom x  +  y  =  y  +  x besidder.
2. Et reelt lukket felt har alle de første ordens egenskaber i det reelle tal system, uanset om de normalt tages som aksiomatiske, for udsagn, der involverer de grundlæggende ordnede feltrelationer +, × og ≤. Dette er en stærkere tilstand end at adlyde de ordnede feltaksiomer. Mere specifikt inkluderer en yderligere førsteordens egenskaber, såsom eksistensen af ​​en rod for hvert ulige graders polynom. For eksempel skal hvert tal have en terningrod .
3. Systemet kunne have alle de første ordens egenskaberne for den reelle talsystem for udsagn, der involverer alle relationer (uanset om disse forbindelser kan udtrykkes ved hjælp af +, ×, og ≤). For eksempel skulle der være en sinusfunktion , der er veldefineret for uendelige input; det samme gælder for hver reel funktion.

Systemer i kategori 1, i den svage ende af spektret, er relativt lette at konstruere, men tillader ikke en fuldstændig behandling af klassisk analyse ved hjælp af infinitesimals i Newtons og Leibniz 'ånd. For eksempel er de transcendentale funktioner defineret i form af uendelige begrænsende processer, og derfor er der typisk ingen måde at definere dem i første ordens logik. Ved at øge systemets analytiske styrke ved at gå over til kategori 2 og 3 finder vi ud af, at smagen af ​​behandlingen har en tendens til at blive mindre konstruktiv, og det bliver sværere at sige noget konkret om den hierarkiske struktur af uendelighed og uendeligt antal.

Talsystemer, der inkluderer uendelige tal

Formel serie

Laurent serien

Et eksempel fra kategori 1 ovenfor er Laurent-seriens område med et begrænset antal negative magttermer. For eksempel identificeres Laurent -serien, der kun består af det konstante udtryk 1, med det reelle tal 1, og serien med kun det lineære udtryk x betragtes som den enkleste uendelige, hvorfra de andre uendelige tal  er konstrueret. Ordbogsordre bruges, hvilket svarer til at betragte højere power på  x som ubetydelig i forhold til lavere power. David O. Tall omtaler dette system som super-realerne, for ikke at forveksle med Dales og Woodins superreale talsystem. Da en Taylor -serie evalueret med en Laurent -serie, da dens argument stadig er en Laurent -serie, kan systemet bruges til at foretage beregning af transcendentale funktioner, hvis de er analytiske. Disse uendelige dimensioner har andre førsteordens egenskaber end realerne, fordi for eksempel det grundlæggende uendelige  x ikke har en kvadratrod.

Levi-Civita feltet

Den Levi-Civita felt svarer til Laurent-serien, men er algebraisk lukket. For eksempel har det grundlæggende uendelige x en kvadratrod. Dette felt er rig nok til at muliggøre en betydelig mængde analyse, men dets elementer kan stadig repræsenteres på en computer i samme forstand, at reelle tal kan repræsenteres i flydende punkt.

Transserier

Feltet af transseries er større end Levi-Civita felt. Et eksempel på en transserie er:

${\ displaystyle e^{\ sqrt {\ ln \ ln x}}+\ ln \ ln x+\ sum _ {j = 0}^{\ infty} e^{x} x^{-j},}$

hvor man med henblik på bestilling af x betragtes som uendelig.

Surrealistiske tal

Conways surrealistiske tal falder ind i kategori 2. De er et system designet til at være så rig som muligt i forskellige talstørrelser, men ikke nødvendigvis for nemheds skyld i analysen. Visse transcendentale funktioner kan overføres til surrealerne, herunder logaritmer og eksponentialer, men de fleste, f.eks. Sinusfunktionen, kan ikke. Eksistensen af ​​et bestemt surrealistisk tal, selv et, der har en direkte modpart i realen, kendes ikke på forhånd og skal bevises.

Hyperreals

Den mest udbredte teknik til håndtering af uendelige dyr er hyperrealerne, udviklet af Abraham Robinson i 1960'erne. De falder ind i kategori 3 ovenfor, efter at være blevet designet på den måde, så al klassisk analyse kan overføres fra realen. Denne egenskab ved at være i stand til at overføre alle relationer på en naturlig måde er kendt som overførselsprincippet , der blev bevist af Jerzy Łoś i 1955. For eksempel har den transcendentale funktion synd en naturlig modstykke *synd, der tager et hyperrealistisk input og giver en hyperrealistisk output, og på samme måde har sættet med naturlige tal et naturligt modstykke , som indeholder både endelige og uendelige heltal. Et forslag som f.eks. Overfører til hyperrealerne som . ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle ^{*} \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ sin n \ pi = 0}$${\ displaystyle \ forall n \ in {}^{*} \ mathbb {N}, {}^{*} \! \! \ sin n \ pi = 0}$

Superreals

Det superrealistiske talesystem for Dales og Woodin er en generalisering af hyperrealerne. Det adskiller sig fra det super-reelle system, der er defineret af David Tall .

Dobbelt tal

I lineær algebra , de dobbelte numre udvide reals ved tilstødende en uendelig lille, det nye element ε med egenskaben Ea ² = 0 (dvs. ε er nilpotente ). Hvert dobbelt tal har formen z = a + b ε med a og b er entydigt bestemte reelle tal.

En anvendelse af dobbelt tal er automatisk differentiering . Denne applikation kan generaliseres til polynomer i n variabler ved hjælp af den udvendige algebra i et n-dimensionelt vektorrum.

Glat uendelig analyse

Syntetisk differential geometri eller jævn uendelig analyse har rødder i kategoriteori . Denne fremgangsmåde afviger fra den klassiske logik, der bruges i konventionel matematik, ved at benægte loven om udelukket midters generelle anvendelse - dvs. ikke ( a ≠ b ) behøver ikke at betyde a = b . En nilsquare eller nilpotent infinitesimal kan derefter defineres. Dette er et tal x hvor x ² = 0 er sandt, men x = 0 behøver ikke at være sandt på samme tid. Da baggrundslogikken er intuitionistisk logik , er det ikke umiddelbart klart, hvordan dette system skal klassificeres med hensyn til klasse 1, 2 og 3. Intuitionistiske analoger af disse klasser skulle først udvikles.

Infinitesimale delta -funktioner

Cauchy brugte en uendelig lille til at nedskrive en enhedsimpuls, uendelig høj og smal Dirac-type delta-funktion, der opfylder i en række artikler i 1827, se Laugwitz (1989). Cauchy definerede en uendelig lille i 1821 (Cours d'Analyse) i form af en sekvens, der havde en tendens til nul. En sådan nul -sekvens bliver nemlig en uendelig lille i Cauchys og Lazare Carnots terminologi. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ delta _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ int F (x) \ delta _ {\ alpha} (x) = F (0)}$

Moderne sætteoretiske tilgange gør det muligt at definere uendelige dimensioner via ultrapowerkonstruktionen , hvor en nul-sekvens bliver en infinitesimal i betydningen en ækvivalensklasse modulo et forhold defineret i form af et egnet ultrafilter . Artiklen af ​​Yamashita (2007) indeholder en bibliografi om moderne Dirac-delta-funktioner i forbindelse med et uendeligt lille beriget kontinuum leveret af hyperrealerne .

Logiske egenskaber

Metoden til at konstruere uendelige dimensioner af den slags, der anvendes i ikke -standardiseret analyse, afhænger af modellen, og hvilken samling af aksiomer der bruges. Vi betragter her systemer, hvor der kan påvises, at uendeligt mange findes.

I 1936 beviste Maltsev kompakthedssætningen . Denne sætning er grundlæggende for eksistensen af ​​uendelige tal, da den beviser, at det er muligt at formalisere dem. En konsekvens af denne sætning er, at hvis der er et talsystem, hvor det er rigtigt, at der for et positivt heltal n er et positivt tal x, således at 0 <  x  <1/ n , så eksisterer der en forlængelse af dette talsystem i hvilket er rigtigt, at der eksisterer et positivt tal x, således at vi for ethvert positivt heltal n har 0 <  x  <1/ n . Muligheden for at skifte "for enhver" og "der findes" er afgørende. Det første udsagn er sandt i de reelle tal som givet i ZFC mængdelære  : for ethvert positivt heltal n det er muligt at finde et reelt tal mellem 1 / n og nul, men dette reelt tal afhænger af n . Her vælger man først n , derefter finder man det tilsvarende x . I det andet udtryk siger udsagnet, at der er et x (mindst et), valgt først, hvilket er mellem 0 og 1/ n for et hvilket som helst n . I dette tilfælde er x uendelig. Dette er ikke sandt i de reelle tal ( R ) givet af ZFC. Ikke desto mindre beviser sætningen, at der er en model (et talsystem), hvor dette er sandt. Spørgsmålet er: hvad er denne model? Hvad er dens egenskaber? Er der kun en sådan model?

Der er faktisk mange måder at konstruere et sådant en -dimensionelt lineært ordnet antal tal på, men grundlæggende er der to forskellige tilgange:

1) Udvid nummersystemet, så det indeholder flere tal end de reelle tal.

2) Forlæng aksiomerne (eller udvid sproget), så skelnen mellem de uendelige og ikke-uendelige kan foretages i selve de reelle tal.

I 1960 gav Abraham Robinson et svar efter den første tilgang. Det udvidede sæt kaldes hyperreals og indeholder tal mindre i absolut værdi end noget positivt reelt tal. Metoden kan betragtes som relativt kompleks, men den beviser, at der findes uendelige tal i ZFC -sætsteoriens univers. De reelle tal kaldes standardnumre, og de nye ikke-reelle hyperrealer kaldes ikke-standard .

I 1977 gav Edward Nelson et svar efter den anden tilgang. De udvidede aksiomer er IST, som enten står for Intern sætteori eller initialerne for de tre ekstra aksiomer: Idealisering, Standardisering, Overførsel. I dette system mener vi, at sproget er udvidet på en sådan måde, at vi kan udtrykke fakta om uendelige tal. De reelle tal er enten standard eller ikke -standard. En uendelig lille er et ikke -standard reelt tal, der er mindre i absolut værdi end noget positivt standard reelt tal.

I 2006 udviklede Karel Hrbacek en forlængelse af Nelsons tilgang, hvor de reelle tal er lagdelt på (uendeligt) mange niveauer; dvs. på det groveste niveau er der ingen uendelige tal eller ubegrænsede tal. Infinitesimals er på et finere niveau, og der er også infinitesimals med hensyn til dette nye niveau og så videre.

Uendeligt mange i undervisningen

Calculus -lærebøger baseret på uendelige dimensioner omfatter den klassiske Calculus Made Easy af Silvanus P. Thompson (med mottoet "What one fool can do another can") og den tyske tekst Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie af R. Neuendorff. Banebrydende værker baseret på Abraham Robinsons uendelige dimensioner omfatter tekster af Stroyan (fra 1972) og Howard Jerome Keisler ( Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach ). Eleverne forholder sig let til den intuitive forestilling om en uendelig forskel 1- " 0.999 ... ", hvor "0.999 ..." adskiller sig fra dens standardbetydning som det reelle tal 1 og genfortolkes som en uendelig afsluttende udvidet decimal, der er strengt mindre end 1.

En anden elementær beregningstekst, der anvender teorien om uendelige tal som udviklet af Robinson, er Infinitesimal Calculus af Henle og Kleinberg, der oprindeligt blev offentliggjort i 1979. Forfatterne introducerer sproget i første ordens logik og demonstrerer konstruktionen af ​​en første ordens model af de hyperreale tal . Teksten giver en introduktion til det grundlæggende inden for integral og differentialregning i en dimension, herunder sekvenser og funktioner. I et tillæg behandler de også udvidelsen af ​​deres model til hyperhyper reals og demonstrerer nogle applikationer til den udvidede model.

Funktioner med tendens til nul

I en beslægtet, men noget anderledes forstand, som udviklede sig fra den oprindelige definition af "uendelig" som en uendelig lille mængde, er udtrykket også blevet brugt til at henvise til en funktion, der har en tendens til nul. Mere præcist definerer Loomis og Sternbergs Advanced Calculus funktionsklassen for uendelige tal , som en delmængde af funktioner mellem normerede vektorrum ved${\ displaystyle {\ mathfrak {I}}}$${\ displaystyle f: V \ til W}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {I}} (V, W) = \ {f: V \ til W \ | \ f (0) = 0, (\ forall \ epsilon> 0) (\ eksisterer \ delta> 0) \ \ backepsilon \ || \ xi || <\ delta \ indebærer || f (\ xi) || <\ epsilon \}}$,

samt to beslægtede klasser (se Big-O notation ) af${\ displaystyle {\ mathfrak {O}}, {\ mathfrak {o}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {O}} (V, W) = \ {f: V \ til W \ | \ f (0) = 0, \ (\ eksisterer r> 0, c> 0) \ \ backepsilon \ || \ xi || <r \ indebærer || f (\ xi) || \ leq c || \ xi || \}}$, og

${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (V, W) = \ {f: V \ til W \ | \ f (0) = 0, \ \ lim _ {|| \ xi || \ til 0} | | f (\ xi) ||/|| \ xi || = 0 \}}$.

De indstillede inklusioner holder generelt. At indeslutninger ordentlig er demonstreres af de reelle funktioner af en reel variabel , og : ${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (V, W) \ subsetneq {\ mathfrak {O}} (V, W) \ subsetneq {\ mathfrak {I}} (V, W)}$${\ displaystyle f: x \ mapsto | x |^{1/2}}$${\ displaystyle g: x \ mapsto x}$${\ displaystyle h: x \ mapsto x^{2}}$

${\ displaystyle f, g, h \ in {\ mathfrak {I}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R}), \ g, h \ in {\ mathfrak {O}} (\ mathbb {R} , \ mathbb {R}), \ h \ in {\ mathfrak {o}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$men og .${\ displaystyle f, g \ notin {\ mathfrak {o}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle f \ notin {\ mathfrak {O}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$

Som en anvendelse af disse definitioner defineres en kortlægning mellem normerede vektorrum til at kunne differentieres, hvis der er et [dvs. et afgrænset lineært kort ], således at${\ displaystyle F: V \ til W}$${\ displaystyle \ alpha \ i V}$${\ displaystyle T \ in \ mathrm {Hom} (V, W)}$${\ displaystyle V \ til W}$

${\ displaystyle [F (\ alpha +\ xi) -F (\ alpha)]-T (\ xi) \ in {\ mathfrak {o}} (V, W)}$

i et kvarter af . Hvis der findes et sådant kort, er det unikt; dette kort kaldes forskellen og er betegnet med , hvilket faldt sammen med den traditionelle notation for den klassiske (selvom logisk fejlbehæftet) forestillingen om en differentieret som en uendelig lille "stykke" af F . Denne definition repræsenterer en generalisering af den sædvanlige definition af differentierbarhed for vektorværdierede funktioner i (åbne undergrupper af) euklidiske rum. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle dF _ {\ alpha}}$

Array af tilfældige variabler

Lad være et sandsynlighedsrum og lad . En vifte af stokastiske variable kaldes uendelig lille, hvis for hver , vi har: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ {X_ {n, k}: \ Omega \ to \ mathbb {R} \ mid 1 \ leq k \ leq k_ {n} \}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$

${\ displaystyle \ max _ {1 \ leq k \ leq k_ {n}} \ mathbb {P} \ {\ omega \ in \ Omega \ mid \ vert X_ {n, k} (\ omega) \ vert \ geq \ epsilon \} \ til 0 {\ text {as}} n \ til \ infty}$

Begrebet infinitesimal array er afgørende i nogle centrale grænsesætninger, og det ses let af monotonien i forventningsoperatøren, at enhver array, der tilfredsstiller Lindebergs tilstand, er uendelig, og spiller derfor en vigtig rolle i Lindebergs Central Limit Theorem (en generalisering af den centrale grænsesætning ).

Se også

Noter

Referencer