Sætning om omvendt funktion - Inverse function theorem

I matematik , specifikt differentialregning , giver den inverse funktionssætning en tilstrækkelig betingelse for, at en funktion kan være inverterbar i et område i et punkt i sit domæne : nemlig at dens derivat er kontinuerlig og ikke-nul på punktet . Sætningen giver også en formel for derivatet af den inverse funktion . I multivariabel beregning kan denne sætning generaliseres til enhver kontinuerligt differentierbar , vektor-værdiansat funktion, hvis jakobiske determinant er nul på et punkt i sit domæne, hvilket giver en formel for den inverse jakobiske matrix . Der er også versioner af den inverse funktionsteorem for komplekse holomorfe funktioner , for differentierbare kort mellem manifolder , for differentierbare funktioner mellem Banach -rum og så videre.

Udmelding

For funktioner i en enkelt variabel siger sætningen, at if er en kontinuerligt differentierbar funktion med nul -derivat ved punktet a ; derefter er invertibel i nærheden af a , inversen er kontinuerligt differentierbar, og derivatet af den inverse funktion ved er det gensidige af derivatet af at : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b = f (a)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ bigl (} f^{-1} {\ bigr)} '(b) = {\ frac {1} {f' (a)}} = {\ frac {1} {f '(f ^{-1} (b))}}.}$

En alternativ version, der antager, at den er kontinuert og injicerbar nær a og kan differentieres ved en med et ikke-nul-derivat, vil også resultere i at være inverterbar nær a , med en invers, der er ligeledes kontinuerlig og injektiv, og hvor ovenstående formel ville gælde såvel. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Som en følge heraf ser vi klart, at hvis det er -th differentierbart, med et nul -derivat i punktet a , så er det invertibelt i nabolaget til a , er det inverse også -th differentierbart. Her er et positivt heltal eller . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ infty}$

For funktioner med mere end en variabel siger sætningen, at hvis F er en kontinuerligt differentierbar funktion fra et åbent sæt af til , og det totale derivat er inverterbart ved et punkt p (dvs. den jacobiske determinant af F ved p er ikke-nul ), så er F inverterbar nær p : en omvendt funktion til F er defineret på et eller andet område af . Skrivende betyder dette, at systemet med n ligninger har en unik løsning med hensyn til , forudsat at vi begrænser x og y til små nok kvarterer på henholdsvis p og q . I det uendelige dimensionelle tilfælde kræver sætningen den ekstra hypotese, at Fréchet -derivatet af F at p har en afgrænset invers. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle q = F (p)}$${\ displaystyle F = (F_ {1}, \ ldots, F_ {n})}$${\ displaystyle y_ {i} = F_ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$

Endelig siger sætningen, at den inverse funktion kontinuerligt er differentierbar, og dens jakobiske derivat ved er matrixinversen af jakobianeren af F ved p : ${\ displaystyle F^{-1}}$${\ displaystyle q = F (p)}$

${\ displaystyle J_ {F^{-1}} (q) = [J_ {F} (p)]^{-1}.}$

Den hårde del af sætningen er eksistensen og differentierbarheden af . Hvis vi antager dette, følger den inverse derivatformel af den kæderegel, der anvendes på : ${\ displaystyle F^{-1}}$${\ displaystyle F^{-1} \ circ F = {\ text {id}}}$

${\ displaystyle I = J_ {F^{-1} \ circ F} (p) \ = \ J_ {F^{-1}} (F (p)) \ cdot J_ {F} (p) \ = \ J_ {F^{-1}} (q) \ cdot J_ {F} (p).}$

Eksempel

Overvej den vektorværdierede funktion defineret af: ${\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R} ^{2} \!}$

${\ displaystyle F (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e^{x} \ cos y} \\ {e^{x} \ sin y} \\\ end {bmatrix}}.}$

Den jakobiske matrix er:

${\ displaystyle J_ {F} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e^{x} \ cos y} & {-e^{x} \ sin y} \\ {e^{x} \ sin y} & {e^{x} \ cos y} \\\ ende {bmatrix}}}$

med Jacobian determinant:

${\ displaystyle \ det J_ {F} (x, y) = e^{2x} \ cos^{2} y+e^{2x} \ sin^{2} y = e^{2x}. \, \ !}$

Determinanten er nul overalt. Sætningen garanterer således, at der for hvert punkt p i , eksisterer et kvarter omkring p, over hvilket F er inverterbart. Det betyder ikke, F er invertibel i hele sit domæne: i dette tilfælde F er ikke engang injektiv , da det er periodisk: . ${\ displaystyle e^{2x} \!}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2} \!}$${\ displaystyle F (x, y) = F (x, y+2 \ pi) \!}$

Modeksempel

Funktionen er afgrænset inde i en kvadratisk konvolut nær linjen , så . Ikke desto mindre har det lokale max/min-point, der akkumuleres ved , så det er ikke en-til-en på ethvert omgivende interval.${\ displaystyle f (x) = x+2x^{2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle f '(0) = 1}$${\ displaystyle x = 0}$

Hvis man dropper antagelsen om, at derivatet er kontinuerligt, behøver funktionen ikke længere at være inverterbar. For eksempel og har diskontinuerligt derivat og , som forsvinder vilkårligt tæt på . Disse kritiske punkter er lokale max/min-punkter på , så det er ikke en-til-en (og ikke inverterbart) på ethvert interval, der indeholder . Intuitivt formerer skråningen sig ikke til nærliggende punkter, hvor skråningerne styres af en svag, men hurtig svingning. ${\ displaystyle f (x) = x+2x^{2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ displaystyle f '\! (x) = 1-2 \ cos ({\ tfrac {1} {x}})+4x \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ displaystyle f '\! (0) = 1}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f '\! (0) = 1}$

Bevisningsmetoder

Som et vigtigt resultat har inversfunktionssætningen fået adskillige beviser. Det bevis, der sædvanligvis ses i lærebøger, er baseret på kontraktionskortlægningsprincippet , også kendt som Banach-fastpunktssætningen (som også kan bruges som det centrale trin i eksistensbeviset og entydigheden af løsninger til almindelige differentialligninger ).

Da fastpunktssætningen gælder i uendelige-dimensionelle (Banach-rum) indstillinger, generaliserer dette bevis øjeblikkeligt til den uendelige-dimensionelle version af den inverse funktionsteorem (se generaliseringer nedenfor).

Et alternativt bevis i endelige dimensioner afhænger af ekstremværdisætningen for funktioner på et kompakt sæt .

Endnu et bevis anvender Newtons metode , som har den fordel, at den giver en effektiv version af sætningen: grænser for funktionens derivat indebærer et skøn over størrelsen af ​​det kvarter, som funktionen er inverterbar på.

Et bevis på den inverse funktions sætning

De inverse funktions sætning bestemmer, at hvis er en C ¹ Vektorfunktion på en åben sæt , så hvis og kun hvis der er en C ¹ Vektorfunktion defineret nær med nær og nær . Dette blev først fastslået af Picard og Goursat ved hjælp af en iterativ ordning: den grundlæggende idé er at bevise et fast punkt sætning ved hjælp af sammentrækning kortlægning sætning . Ved at tage derivater følger det . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ det f^{\ prime} (a) \ neq 0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle b = f (a)}$${\ displaystyle g (f (x)) = x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f (g (y)) = y}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle g^{\ prime} (y) = f^{\ prime} (g (y))^{-1}}$

Kædereglen indebærer, at matricerne og hver er inverser. Kontinuitet af og betyder, at det er homeomorfismer , der hver især er inverser lokalt. For at bevise eksistens kan det antages efter en affin transformation at og , så det . ${\ displaystyle f^{\ prime} (a)}$${\ displaystyle g^{\ prime} (b)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ displaystyle f^{\ prime} (0) = I}$${\ displaystyle a = b = 0}$

Ved grundsætning hvis er en C ¹ -funktion, således at . Indstilling , det følger det ${\ displaystyle u}$${\ textstyle u (1) -u (0) = \ int _ {0}^{1} u^{\ prime} (t) \, dt}$${\ textstyle \ | u (1) -u (0) \ | \ leq \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | u^{\ prime} (t) \ |}$${\ displaystyle u (t) = f (x+t (x^{\ prime} -x))-xt (x^{\ prime} -x)}$

${\ displaystyle \ | f (x) -f (x^{\ prime})-x+x^{\ prime} \ | \ leq \ | xx^{\ prime} \ | \, \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | f^{\ prime} (x+t (x^{\ prime} -x))-I \ |.}$

Vælg nu, så for . Antag det og definer induktivt ved og . Forudsætningerne viser, at hvis så ${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ textstyle \ | f '(x) -I \ | <{1 \ over 2}}$${\ displaystyle \ | x \ | <\ delta}$${\ displaystyle \ | y \ | <\ delta /2}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {0} = 0}$${\ displaystyle x_ {n+1} = x_ {n}+yf (x_ {n})}$${\ displaystyle \ | x \ |, \, \, \ | x^{\ prime} \ | <\ delta}$

${\ displaystyle \ | f (x) -f (x^{\ prime})-x+x^{\ prime} \ | \ leq \ | xx^{\ prime} \ |/2}$.

Især indebærer . I den induktive ordning og . Således er en Cauchy -sekvens tilbøjelig til . Ved konstruktion efter behov. ${\ displaystyle f (x) = f (x^{\ prime})}$${\ displaystyle x = x^{\ prime}}$${\ displaystyle \ | x_ {n} \ | <\ delta}$${\ displaystyle \ | x_ {n+1} -x_ {n} \ | <\ delta /2^{n}}$${\ displaystyle (x_ {n})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x) = y}$

For at kontrollere, at det er C ¹ , skal du skrive, så . Ved ulighederne ovenfor, så det . På den anden side hvis , så . Ved hjælp af den geometriske serie til følger det . Men derefter ${\ displaystyle g = f^{-1}}$${\ displaystyle g (y+k) = x+h}$${\ displaystyle f (x+h) = f (x)+k}$${\ displaystyle \ | hk \ | <\ | h \ |/2}$${\ displaystyle \ | h \ |/2 <\ | k \ | <2 \ | h \ |}$${\ displaystyle A = f^{\ prime} (x)}$${\ displaystyle \ | AI \ | <1/2}$${\ displaystyle B = IA}$${\ displaystyle \ | A^{-1} \ | <2}$

${\ displaystyle {\ | g (y+k) -g (y) -f^{\ prime} (g (y))^{-1} k \ | \ over \ | k \ |} = {\ | hf^{\ prime} (x)^{-1} [f (x+h) -f (x)] \ | \ over \ | k \ |} \ leq 4 {\ | f (x+h) -f (x) -f^{\ prime} (x) h \ | \ over \ | h \ |}}$

har tendens til 0 som og har tendens til 0, hvilket viser, at det er C ¹ med . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g^{\ prime} (y) = f^{\ prime} (g (y))^{-1}}$

Beviset ovenfor præsenteres for et endeligt-dimensionelt rum, men gælder lige så godt for Banach-rum . Hvis en invertibel funktion er C ^k med , så er dens invers også det. Dette følger ved induktion ved hjælp af det faktum, at kortet på operatorer er C ^k for enhver (i det endelige dimensionelle tilfælde er dette en elementær kendsgerning, fordi inversen af en matrix er givet som adjugatmatrix divideret med dens determinant ). Bevismetoden her findes i bøgerne til Henri Cartan , Jean Dieudonné , Serge Lang , Roger Godement og Lars Hörmander . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k> 1}$${\ displaystyle F (A) = A^{-1}}$${\ displaystyle k}$

Generaliseringer

Fordelere

Den inverse funktions sætning kan omformuleres i form af differentierbare kort mellem differentierbare manifolder . I denne kontekst siger sætningen, at for et differentierbart kort (af klassen ), hvis differentialet af , ${\ displaystyle F: M \ til N}$${\ displaystyle C^{1}}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ til T_ {F (p)} N}$

er en lineær isomorfisme på et tidspunkt , så findes der et åbent kvarter af sådan ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle F | _ {U}: U \ til F (U)}$

er en diffeomorfisme . Bemærk, at dette indebærer, at de tilsluttede komponenter i M og N, der indeholder p og F ( p ) har den samme dimension, som det allerede er direkte underforstået ud fra antagelsen om, at dF _p er en isomorfisme. Hvis derivatet af F er en isomorfisme på alle punkter p i M, så er kortet F en lokal diffeomorfisme .

Banach mellemrum

Den omvendte funktion sætning kan også generaliseres til differentiable afbildninger mellem Banachrum X og Y . Lad U være en åben kvarter oprindelse i X og en kontinuert differentiable funktion, og antage, at Fréchet derivat af F ved 0 er en afgrænset lineær isomorfi af X på Y . Da findes en åben kvarter V af i Y og et kontinuerligt differentiable kort sådan at for alle y i V . Desuden er den eneste tilstrækkeligt lille løsning x af ligningen . ${\ displaystyle F: U \ til Y \!}$${\ displaystyle dF_ {0}: X \ til Y \!}$${\ displaystyle F (0) \!}$${\ displaystyle G: V \ til X \!}$${\ displaystyle F (G (y)) = y}$${\ displaystyle G (y) \!}$${\ displaystyle F (x) = y \!}$

Banach manifolder

Disse to generaliseringsretninger kan kombineres i den inverse funktions sætning for banachmanifold .

Konstant rang sætning

Den omvendte funktionsteorem (og den implicitte funktionsteorem ) kan ses som et specielt tilfælde af den konstante ranksætning, der siger, at et glat kort med konstant rang nær et punkt kan sættes i en bestemt normal form nær dette punkt. Specifikt, hvis den har konstant rang nær et punkt , så er der åbne kvarterer U af p og V af, og der er diffeomorfismer og sådan, at derivatet er lig med . Det vil sige, at F "ligner" dets derivat nær s . Sættet af punkter, således at rangen er konstant i et nabolag, er en åben tæt delmængde af M ; dette er en konsekvens af rangfunktionens semikontinuitet . Således gælder den konstante rang sætning for et generisk punkt i domænet. ${\ displaystyle F: M \ til N}$${\ displaystyle p \ i M \!}$${\ displaystyle F (p) \!}$${\ displaystyle u: T_ {p} M \ til U \!}$${\ displaystyle v: T_ {F (p)} N \ til V \!}$${\ displaystyle F (U) \ subseteq V \!}$${\ displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ til T_ {F (p)} N \!}$${\ displaystyle v^{-1} \ circ F \ circ u \!}$${\ displaystyle p \ i M}$${\ displaystyle p}$

Når derivatet af F er injektivt (hhv. Surjektiv) på et punkt p , er det også injektivt (hhv. Surjektiv) i et område af p , og derfor er rangen F konstant i dette nabolag, og konstantsætningen gælder .

Holomorfe funktioner

Hvis en holomorf funktion F er defineret fra et åbent sæt U af til , og den jakobiske matrix af komplekse derivater er inverterbar ved et punkt p , så er F en invertibel funktion nær p . Dette følger umiddelbart af den virkelige multivariable version af sætningen. Man kan også vise, at den inverse funktion igen er holomorf. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n} \!}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n} \!}$

Polynomiske funktioner

Hvis det ville være sandt, ville den jakobiske formodning være en variant af den inverse funktionsteorem for polynomer. Det hedder det, at hvis en vektorværdigt polynomfunktion har en jakobsk determinant, der er et inverterbart polynom (det er en nul-konstant), så har den en invers, der også er en polynomfunktion. Det er uvist, om dette er sandt eller forkert, selv i tilfælde af to variabler. Dette er et stort åbent problem i teorien om polynomer.

Udvælgelser

Når med , er tiderne kontinuerligt differentierbare , og jakobianeren på et tidspunkt er af rang , er den omvendte måske ikke unik. Men der findes et lokalt udvalg funktion sådan, at for alle i et kvarter af , , er gange kontinuerligt differentiabel i dette kvarter, og ( er Moore-Penrose pseudoinverse af ). ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle m \ leq n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A = \ nabla f ({\ overline {x}})}$${\ displaystyle {\ overline {x}}}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle f (s (y)) = y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ overline {y}} = f ({\ overline {x}})}$${\ displaystyle s ({\ overline {y}}) = {\ overline {x}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}}) = A^{T} (AA^{T})^{-1}}$${\ displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}})}$${\ displaystyle A}$

Se også

• Banach fastpunktssætning
• Implicit funktionsteorem
• Nash – Moser sætning

Noter

Referencer

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Sætninger om differentierbare funktioner". Beregning af flere variabler og differentierbare manifolds . New York: Macmillan. s. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Baxandall, Peter ; Liebeck, Hans (1986). "The Inverse Function Theorem". Vektorberegning . New York: Oxford University Press. s. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Stærke derivater og omvendte kortlægninger". Amer. Matematik. Månedligt . 81 (9): 969–980. doi : 10.2307/2319298 . HDL : 10338.dmlcz / 102.482 .
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformationer og Jacobians". Mellemregning (anden udgave). New York: Springer. s. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). En introduktion til delvise differentialligninger . Tekster i anvendt matematik 13 (anden udgave). New York: Springer-Verlag. s. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Principper for matematisk analyse . International serie i ren og anvendt matematik (tredje udgave). New York: McGraw-Hill Book. s.  221 –223.