Omvendt element -Inverse element

I matematik generaliserer begrebet et omvendt element begreberne modsatte ( − x ) og gensidige ( 1/ x ) af tal.

Givet en operation angivet her ∗ , og et identitetselement betegnet e , hvis x ∗ y = e , siger man, at x er en venstre-invers af y , og at y er en højre-invers af x . (Et identitetselement er et element sådan, at x * e = x og e * y = y for alle x og y , for hvilke de venstre sider er defineret.)

Når operationen ∗ er associativ , hvis et element x har både en venstre-invers og en højre-invers, så er disse to inverse ens og unikke; de kaldes det omvendte element eller blot det omvendte . Ofte tilføjes et adjektiv for at specificere operationen, såsom i additiv invers , multiplikativ invers og funktionel invers . I dette tilfælde (associativ operation) er et inverterbart element et element, der har en invers.

Invers bruges almindeligvis i grupper - hvor hvert element er inverterbart, og ringe - hvor inverterbare elementer også kaldes enheder . De bruges også almindeligvis til operationer, der ikke er defineret for alle mulige operander, såsom inverse matricer og inverse funktioner . Dette er blevet generaliseret til kategoriteori , hvor en isomorfisme per definition er en invertibel morfisme .

Ordet 'omvendt' er afledt af latin : inversus , der betyder 'vendt på hovedet', 'væltet'. Dette kan stamme fra tilfældet med brøker , hvor den (multiplikative) inverse fås ved at udveksle tælleren og nævneren (den inverse af er ). ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$

Definitioner og grundlæggende egenskaber

Begreberne omvendt element og inverterbart element er almindeligvis defineret for binære operationer , der er defineret overalt (det vil sige, at operationen er defineret for alle to elementer i dets domæne ). Disse begreber bruges dog almindeligvis med deloperationer , det vil sige operationer, der ikke er defineret overalt. Almindelige eksempler er matrixmultiplikation , funktionssammensætning og sammensætning af morfismer i en kategori . Det følger heraf, at de fælles definitioner af associativitet og identitetselementer skal udvides til at omfatte deloperationer; dette er formålet med de første underafsnit.

I dette afsnit er X et sæt (evt. en ordentlig klasse ), hvorpå en deloperation (evt. total) er defineret, som er betegnet med${\displaystyle *.}$

Associativitet

En deloperation er associativ hvis

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z}$

for hver x , y , z i X , for hvilken et af medlemmerne af ligestillingen er defineret; ligestillingen betyder, at det andet medlem af ligestillingen også skal defineres.

Eksempler på ikke-totale associative operationer er multiplikation af matricer af vilkårlig størrelse og funktionssammensætning .

Identitetselementer

Lad være en muligvis delvis associativ operation på et sæt X . ${\displaystyle *}$

Et identitetselement , eller blot en identitet er et element e sådan, at

${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*y=y}$

for hver x og y , som venstre side af lighederne er defineret for.

Hvis e og f er to identitetselementer, som er defineret, så (Dette er et resultat umiddelbart efter definitionen ved ) ${\displaystyle e*f}$${\displaystyle e=f.}$${\displaystyle e=e*f=f.}$

Det følger heraf, at en total operation højst har ét identitetselement, og hvis e og f er forskellige identiteter, er den ikke defineret. ${\displaystyle e*f}$

For eksempel, i tilfælde af matrixmultiplikation , er der én n × n identitetsmatrix for hvert positivt heltal n , og to identitetsmatricer af forskellig størrelse kan ikke multipliceres sammen.

Tilsvarende er identitetsfunktioner identitetselementer for funktionssammensætning , og sammensætningen af ​​identitetsfunktionerne for to forskellige sæt er ikke defineret.

Venstre- og højre-invers

Hvis hvor e er et identitetselement, siger man, at x er en venstre-invers af y , og x er en højre-invers af y . ${\displaystyle x*y=e,}$

Venstre- og højre-invers eksisterer ikke altid, selv når operationen er total og associativ. For eksempel er addition en total associativ operation på ikke-negative heltal , som har 0 som additiv identitet , og 0 er det eneste element, der har en additiv invers . Denne mangel på invers er hovedmotivationen for at udvide de naturlige tal til heltal.

Et element kan have flere venstre-inverse og flere højre-inverse, selv når operationen er total og associativ. Overvej f.eks. funktionerne fra heltal til heltal. Fordoblingsfunktionen har uendeligt mange venstre-invers under funktionssammensætning , som er de funktioner, der dividerer med to de lige tal, og giver en hvilken som helst værdi til ulige tal. Tilsvarende er enhver funktion, der afbilder n til enten eller er en højre-invers af funktionen, den etagefunktion, der afbilder n til eller afhængigt af, om n er lige eller ulige. ${\displaystyle x\mapsto 2x}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n+1}$${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$${\textstyle {\frac {n}{2}}}$${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$

Mere generelt har en funktion en venstre-invers for funktionssammensætning, hvis og kun hvis den er injektiv , og den har en højre-invers, hvis og kun hvis den er surjektiv .

I kategoriteori kaldes højre-invers også sektioner , og venstre-inverse kaldes tilbagetrækninger .

Omvendt

Et element er inverterbart under en operation, hvis det har en venstre-invers og en højre-invers.

I det almindelige tilfælde, hvor operationen er associativ, er venstre- og højre-inverse af et element ens og unikke. Faktisk, hvis l og r er henholdsvis en venstre-invers og en højre-invers af x , så

${\displaystyle l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.}$

Det omvendte af et inverterbart element er dets unikke venstre- eller højre-inverse.

Hvis operationen er angivet som en addition, angives den inverse eller additive inverse af et element x . Ellers angives den inverse af x generelt eller, i tilfælde af en kommutativ multiplikation , når der kan være en forveksling mellem flere operationer, symbolet for operationen kan tilføjes før eksponenten, såsom i Notationen er ikke almindeligt brugt til funktionssammensætning , da kan bruges til multiplikativ invers . ${\displaystyle -x.}$${\displaystyle x^{-1},}$${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$${\displaystyle x^{*-1}.}$${\displaystyle f^{\circ -1}}$${\textstyle {\frac {1}{f}}}$

Hvis x og y er inverterbare og er defineret, så er inverterbare, og dens omvendte er${\displaystyle x*y}$${\displaystyle x*y}$${\displaystyle y^{-1}x^{-1}.}$

En invertibel homomorfi kaldes en isomorfisme . I kategoriteorien kaldes en invertibel morfisme også en isomorfisme .

I grupper

En gruppe er et sæt med en associativ operation , der har et identitetselement, og for hvilket hvert element har en invers.

Således er det omvendte en funktion fra gruppen til sig selv, der også kan betragtes som en operation af aritet en. Det er også en involution , da det omvendte af det omvendte af et element er selve elementet.

En gruppe kan fungere på et sæt som transformationer af dette sæt. I dette tilfælde definerer det omvendte af et gruppeelement en transformation, der er det omvendte af transformationen defineret af det vil sige den transformation, der "fortryder" transformationen defineret af${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g,}$${\displaystyle g.}$

For eksempel er gruppen af ​​Rubiks terning dannet af de endelige sekvenser af elementære bevægelser. Det omvendte af en sådan sekvens opnås ved at fortryde denne række af træk, det vil sige ved at vende de elementære træk i omvendt rækkefølge.

I marker

I ringe

Matricer

Funktioner

Omvendt morfisme

Generaliseringer

I en enhedsmagma

Lade være en enhedsmagma , det vil sige et sæt med en binær operation og et identitetselement . Hvis, for , Vi har , Så kaldes en venstre invers af og kaldes en højre invers af . Hvis et element er både en venstre invers og en højre invers af , så kaldes en tosidet invers , eller blot en invers , af . Et element med en tosidet omvendt i kaldes invertibel i . Et element med et omvendt element kun på den ene side er venstre invertibelt eller højre invertibelt . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle a,b\in S}$${\displaystyle a*b=e}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Elementer af en enhedsmagma kan have flere venstre, højre eller to-sidede invers. For eksempel i magmaen givet af Cayley-tabellen ${\displaystyle (S,*)}$

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	1
3	3	1	1

elementerne 2 og 3 har hver to tosidede invers.

En enhedsmagma, hvor alle elementer er inverterbare, behøver ikke at være en løkke . For eksempel i magmaen givet af Cayley-tabellen${\displaystyle (S,*)}$

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	2
3	3	2	1

hvert element har en unik tosidet invers (nemlig sig selv), men er ikke en løkke, fordi Cayley-bordet ikke er en latinsk firkant . ${\displaystyle (S,*)}$

På samme måde behøver en sløjfe ikke have tosidede invers. For eksempel i løkken givet af Cayley-tabellen

*	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	3	1	5	4
3	3	4	5	1	2
4	4	5	2	3	1
5	5	1	4	2	3

det eneste element med en tosidet invers er identitetselementet 1.

Hvis operationen er associativ, så hvis et element har både en venstre invers og en højre invers, er de ens. Med andre ord, i en monoid (en associativ enhedsmagma) har hvert element højst en invers (som defineret i dette afsnit). I en monoid er sættet af inverterbare elementer en gruppe kaldet gruppen af ​​enheder af , og betegnet med eller H ₁ . ${\displaystyle *}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U(S)}$

I en semigruppe

Definitionen i det foregående afsnit generaliserer begrebet omvendt i gruppe i forhold til begrebet identitet. Det er også muligt, omend mindre indlysende, at generalisere begrebet omvendt ved at droppe identitetselementet, men bevare associativiteten; altså i en semigruppe .

I en semigruppe S kaldes et element x (von Neumann) regulært, hvis der findes et element z i S , således at xzx = x ; z kaldes undertiden en pseudoinvers . Et element y kaldes (simpelthen) en invers af x , hvis xyx = x og y = yxy . Hvert regulært element har mindst én invers: hvis x = xzx , så er det let at verificere, at y = zxz er en invers af x som defineret i dette afsnit. En anden kendsgerning, der er let at bevise: hvis y er en invers af x , så er e = xy og f = yx idempotente , dvs. ee = e og ff = f . Hvert par af (indbyrdes) omvendte elementer giver således anledning til to idempotenter, og ex = xf = x , ye = fy = y , og e fungerer som venstre identitet på x , mens f fungerer som højre identitet, og venstre/ rigtige roller er byttet om for y . Denne simple observation kan generaliseres ved hjælp af Greens relationer : enhver idempotent e i en vilkårlig semigruppe er en venstre identitet for R _e og højre identitet for L _e . En intuitiv beskrivelse af dette faktum er, at hvert par af gensidigt omvendte elementer producerer en lokal venstre identitet og henholdsvis en lokal højre identitet.

I en monoid er begrebet invers som defineret i det foregående afsnit strengt snævrere end definitionen givet i dette afsnit. Kun elementer i den grønne klasse H ₁ har en invers fra det enhedsmagma-perspektiv, hvorimod for enhver idempotent e , har elementerne i H _e en invers som defineret i dette afsnit. Under denne mere generelle definition behøver invers ikke at være unikke (eller eksistere) i en vilkårlig semigruppe eller monoid. Hvis alle elementer er regulære, så kaldes semigruppen (eller monoid) regulær, og hvert element har mindst én invers. Hvis hvert element har præcis én invers som defineret i dette afsnit, kaldes semigruppen en invers semigruppe . Endelig er en omvendt halvgruppe med kun én idempotent en gruppe. En omvendt halvgruppe kan have et absorberende element 0, fordi 000 = 0, hvorimod en gruppe måske ikke.

Uden for semigruppeteori kaldes en unik invers som defineret i dette afsnit nogle gange en kvasi-invers . Dette er generelt begrundet, fordi i de fleste applikationer (for eksempel alle eksempler i denne artikel) gælder associativitet, hvilket gør denne forestilling til en generalisering af venstre/højre invers i forhold til en identitet (se Generaliseret invers ).

U -semigrupper

En naturlig generalisering af den inverse halvgruppe er at definere en (vilkårlig) unær operation ° sådan at ( a °)° = a for alle a i S ; dette forlener S med en type ⟨2,1⟩ algebra. En semigruppe udstyret med en sådan operation kaldes en U -semigruppe . Selvom det kan se ud til, at a ° vil være det omvendte af a , er dette ikke nødvendigvis tilfældet. For at opnå interessante begreber skal den unære operation på en eller anden måde interagere med semigruppeoperationen. To klasser af U -semigrupper er blevet undersøgt:

• I -semigrupper , hvor interaktionsaksiomet er aa ° a = a
• *-semigrupper , hvor interaktionsaksiomet er ( ab )° = b ° a °. En sådan operation kaldes en involution og betegnes typisk med en *

Det er klart, at en gruppe både er en I -semigruppe og en *-semigruppe. En klasse af semigrupper, der er vigtige i semigruppeteori, er fuldstændig regulære semigrupper ; disse er I -halvgrupper, hvori man desuden har aa ° = a ° a ; med andre ord har hvert element pendling pseudo-invers en °. Der er dog få konkrete eksempler på sådanne semigrupper; de fleste er helt simple semigrupper . I modsætning hertil giver en underklasse af *-semigrupper, de *-regulære semigrupper (i betydningen Drazin), et af de bedst kendte eksempler på en (unik) pseudoinvers, Moore-Penrose inverse . I dette tilfælde er involutionen a * imidlertid ikke den pseudoinverse. Snarere er pseudoinverse af x det unikke element y , således at xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Da *-regulære semigrupper generaliserer inverse semigrupper, kaldes det unikke element, der er defineret på denne måde i en *-regular semigroup, den generaliserede inverse eller Moore–Penrose inverse .

Semiringe

Eksempler

Alle eksempler i dette afsnit involverer associative operatorer, så vi skal bruge termerne venstre/højre invers for den enhedsmagma-baserede definition og kvasi-invers for dens mere generelle version.

Reelle tal

Hvert reelt tal har en additiv invers (det vil sige en invers med hensyn til addition ) givet af . Hvert reelt tal, der ikke er nul, har en multiplikativ invers (det vil sige en invers med hensyn til multiplikation ) givet ved (eller ). I modsætning hertil har nul ingen multiplikativ invers, men den har en unik kvasi-invers, " " selv. ${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle 0}$

Funktioner og delfunktioner

En funktion er den venstre (hv. højre) inverse af en funktion (for funktionssammensætning ), hvis og kun hvis (hv. ) er identitetsfunktionen på domænet (hv. codomæne ) af . Det omvendte af en funktion skrives ofte , men denne notation er nogle gange tvetydig . Kun bijektioner har tosidede invers, men enhver funktion har en kvasi-invers; det vil sige, at den fulde transformationsmonoid er regelmæssig. Monoiden af ​​partielle funktioner er også regelmæssig, hvorimod monoiden af ​​injektiv partielle transformationer er den prototypiske inverse semigruppe. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

Galois forbindelser

De nedre og øvre adjoints i en (monotone) Galois-forbindelse , L og G er quasi-inverse af hinanden; det vil sige LGL = L og GLG = G og den ene bestemmer den anden entydigt. De er dog ikke venstre eller højre omvendt af hinanden.

Generaliserede invers af matricer

En kvadratisk matrix med indgange i et felt er inverterbar (i mængden af ​​alle kvadratiske matricer af samme størrelse, under matrixmultiplikation ), hvis og kun hvis dens determinant er forskellig fra nul. Hvis determinanten af ​​er nul, er det umuligt for den at have en ensidig invers; derfor indebærer en venstre invers eller højre invers eksistensen af ​​den anden. Se inverterbar matrix for mere. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

Mere generelt er en kvadratisk matrix over en kommutativ ring inverterbar, hvis og kun hvis dens determinant er inverterbar i . ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Ikke-kvadratiske matricer af fuld rang har flere ensidige inverser:

• For vi har efterladt invers; for eksempel,${\displaystyle A:m\times n\mid m>n}$${\displaystyle \underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{venstre}}^{- 1}}A=I_{n}}$
• For vi har rigtige omvendte; for eksempel,${\displaystyle A:m\ gange n\midt m<n}$${\displaystyle A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{- 1}}=I_{m}}$

Den venstre inverse kan bruges til at bestemme den mindste normløsning af , som også er mindste kvadraters formel for regression og er givet ved${\displaystyle Ax=b}$${\displaystyle x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.}$

Ingen rang-deficient matrix har nogen (selv ensidig) invers. Moore-Penrose-inversen eksisterer dog for alle matricer og falder sammen med den venstre eller højre (eller sande) inverse, når den eksisterer.

Overvej som et eksempel på matrixinvers:

${\displaystyle A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}$

Så som m < n , har vi en ret invers, af komponenter er det beregnet som ${\displaystyle A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\ 3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}& ={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix }}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\ start{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{ \begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}}$

Den venstre inverse eksisterer ikke, fordi

${\displaystyle A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix} }={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}$

som er en singular matrix og ikke kan inverteres.

Se også

• Divisionsring
• Latinsk kvadratisk ejendom
• Loop (algebra)
• Enhed (ringteori)

Noter

Referencer

• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , s. 15 (def i unital magma) og s. 33 (def i semigruppe)
• Howie, John M. (1995). Grundlæggende om semigruppeteori . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.indeholder alt halvgruppematerialet heri undtagen *-regulære semigrupper.
• Drazin, MP, Regulære semigrupper med involution , Proc. Symp. om Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29-46
• Miyuki Yamada, P-systemer i regulære semigroups , Semigroup Forum , 24(1), december 1982, s. 173–187
• Nordahl, TE, og HE Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum , 16(1978), 369-377.