Jacobiansk matrix og determinant - Jacobian matrix and determinant

I vektor regning , den Jacobian matrix ( / dʒ ə k oʊ b jeg ə n / , / dʒ ɪ -, j ɪ - / ) af en Vektorfunktion af flere variable er matrix af alle dens første ordens partielle afledede . Når denne matrix er firkantet , det vil sige, når funktionen tager det samme antal variabler som input som antallet af vektorkomponenter i dens output, omtales dens determinant som den jakobiske determinant . Både matrixen og (hvis relevant) determinanten omtales ofte simpelthen som jakobianeren i litteraturen.

Antag, at f  : R ⁿ → R ^m er en funktion, så hver af dens første ordens partielle derivater findes på R ⁿ . Denne funktion tager et punkt x ∈ R ⁿ som input og producerer vektoren f ( x ) ∈ R ^m som output. Derefter er den jacobiske matrix af f defineret til at være en m × n matrix, betegnet med J , hvis ( i , j ) th post er , eller eksplicit ${\ textstyle \ mathbf {J} _ {ij} = {\ frac {\ delvis f_ {i}} {\ delvis x_ {j}}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ delvis \ mathbf {f}} {\ delvis x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ delvis \ mathbf {f }} {\ delvis x_ {n}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ nabla ^{\ mathrm {T}} f_ {1} \\\ vdots \\\ nabla ^{\ mathrm {T}} f_ {m} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ delvis f_ {1}} {\ delvis x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ delvis f_ {1}} {\ delvis x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ delvis f_ {m}} {\ delvis x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ delvis f_ {m}} {\ delvis x_ {n}}} \ slut {bmatrix}}}$

hvor er transponeringen (række vektor) af gradienten af komponenten. ${\ displaystyle \ nabla ^{\ mathrm {T}} f_ {i}}$${\ displaystyle i}$

Den jakobiske matrix, hvis poster er funktioner til x , betegnes på forskellige måder; fælles notationer omfatter D f , J _f , og . Nogle forfattere definerer jakobiansk som transponering af ovenstående form. ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partiel (f_ {1}, .., f_ {m})} {\ delvis (x_ {1}, .., x_ {n})}}}}}$

Jacobi matrix repræsenterer den forskellen på f på hvert punkt, hvor f er differentiabel. I detaljer, hvis h er en forskydningsvektor repræsenteret af en kolonnematrix , er matrixproduktet J ( x ) ⋅ h en anden forskydningsvektor, det er den bedste lineære tilnærmelse til ændringen af f i et område af x , hvis f ( x ) er differentierbar ved x . Det betyder, at den funktion, der kortlægger y til f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y - x ) er den bedste lineære tilnærmelse af f ( y ) for alle punkter y tæt på x . Denne lineære funktion er kendt som derivatet eller differencen af f ved x .

Når m = n , er den jakobiske matrix firkantet, så dens determinant er en veldefineret funktion af x , kendt som den jakobiske determinant for f . Den indeholder vigtige oplysninger om f . Især har funktionen f lokalt i nærheden af ​​et punkt x en omvendt funktion, der er differentierbar, hvis og kun hvis den jacobiske determinant er nul på x (se Jacobian formodning ). Den jakobiske determinant vises også, når variablerne ændres i flere integraler (se substitutionsregel for flere variabler ).

Når m = 1 , det vil sige når f  : R ⁿ → R er en skalærværdieret funktion , reduceres den jacobiske matrix til rækkevektoren ; denne række vektor af alle førsteordens partielle afledede af f er transponeringen af gradienten af f , dvs. . Specialiseret sig yderligere, når m = n = 1 , det vil sige når f  : R → R er en skalærværdi-funktion af en enkelt variabel, har den jacobiske matrix en enkelt post; denne post er afledt af funktionen f . ${\ displaystyle \ nabla ^{\ mathrm {T}} f}$${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = \ nabla ^{T} f}$

Disse begreber er opkaldt efter matematikeren Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

Jacobian matrix

Jacobi af en Vektorfunktion i flere variable generaliserer den gradient af en skalar -valued funktion af flere variable, som igen generaliserer den afledte af en skalar-værdsat funktion af en enkelt variabel. Med andre ord er den jakobiske matrix af en skalærværdieret funktion i flere variabler (transponeringen af) dens gradient, og gradienten af ​​en skalærværdieret funktion af en enkelt variabel er dens derivat.

På hvert punkt, hvor en funktion er differentierbar, kan dens jakobiske matrix også tænkes at beskrive mængden af ​​"strækning", "rotering" eller "transformering", som funktionen pålægger lokalt nær dette punkt. For eksempel, hvis ( x ′, y ′) = f ( x , y ) bruges til problemfrit at transformere et billede, beskriver den jacobiske matrix J _f ( x , y ) , hvordan billedet i nærheden af ( x , y ) er transformeret.

Hvis en funktion er differentierbar på et punkt, er dens differential givet i koordinater af den jakobiske matrix. En funktion behøver imidlertid ikke at være differentierbar for at dens Jacobianske matrix kan defineres, da det kun er nødvendigt med dens første-ordens partielle derivater .

Hvis f er differentierbar ved et punkt p i R ⁿ , repræsenteres dens differential med J _f ( p ) . I dette tilfælde er den lineære transformation repræsenteret af J _f ( p ) den bedste lineære tilnærmelse af f nær punktet p , i den forstand

${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x})-\ mathbf {f} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p}) ( \ mathbf {x} -\ mathbf {p})+o (\ | \ mathbf {x} -\ mathbf {p} \ |) \ quad ({\ text {as}} \ mathbf {x} \ to \ mathbf {p}),}$

hvor o (‖ x - p ‖) er en mængde, der nærmer sig nul meget hurtigere end afstanden mellem x og p gør, når x nærmer sig p . Denne tilnærmelse er specialiseret til tilnærmelse af en skalarfunktion af en enkelt variabel ved dets Taylor -polynom af grad 1, nemlig

${\ displaystyle f (x) -f (p) = f '(p) (xp)+o (xp) \ quad ({\ text {as}} x \ til p)}$.

I denne forstand kan jacobianeren betragtes som en slags " førsteordensderivat " af en vektorværdieret funktion af flere variabler. Dette betyder især, at gradienten af en skalærværdieret funktion af flere variabler også kan betragtes som dets "første-ordens derivat".

Kombinerbare differentiable funktioner f  : R ⁿ → R ^m og g  : R ^m → R ^k opfylde kæden regel , nemlig for x i R ⁿ . ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g} \ circ \ mathbf {f}} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g}} (\ mathbf {f} (\ mathbf {x})) \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {x})}$

Jacobian af gradienten af ​​en skalarfunktion med flere variabler har et særligt navn: den hessiske matrix , som på en måde er " anden derivat " af den pågældende funktion.

Jacobiansk determinant

Et ikke -lineært kort sender en lille firkant (til venstre, i rødt) til et forvrænget parallelogram (til højre, i rødt). Jacobianen på et punkt giver den bedste lineære tilnærmelse af det forvrængede parallelogram nær dette punkt (til højre, i gennemskinnelig hvid), og den Jacobianske determinant angiver forholdet mellem arealet af det tilnærmede parallelogram til det på den oprindelige firkant.${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R} ^{2}}$

Hvis m = n , så er f en funktion fra R ⁿ til sig selv, og den Jacobianske matrix er en firkantet matrix . Vi kan derefter danne dens determinant , kendt som den Jacobianske determinant . Den jakobiske determinant kaldes undertiden ganske enkelt som "jakobianeren".

Den jakobiske determinant på et givent tidspunkt giver vigtige oplysninger om f 's adfærd nær dette punkt. For eksempel den kontinuerligt differentiable funktion f er invertibel tæt på et punkt p ∈ R ⁿ hvis Jacobi determinant ved p er forskellig fra nul. Dette er den inverse funktions sætning . Hvis den jakobiske determinant ved p er positiv , bevarer f desuden orientering nær p ; hvis det er negativt , v vender orienteringen. Den absolutte værdi af den jakobiske determinant ved p giver os den faktor, hvormed funktionen f udvider eller formindsker volumen nær p ; det er derfor, det forekommer i den generelle substitutionsregel .

Den jakobiske determinant bruges, når der foretages en ændring af variabler, når man evaluerer en multipel integral af en funktion over en region inden for dens domæne. For at imødekomme ændringen af ​​koordinater opstår størrelsen af ​​den jakobiske determinant som en multiplikativ faktor inden for integralet. Dette skyldes, at det n -dimensionelle dV -element generelt er et parallelepiped i det nye koordinatsystem, og n -volumenet for et parallelepiped er determinanten for dets kantvektorer.

Jacobian kan også bruges til at bestemme stabiliteten af ligevægte for systemer med differentialligninger ved at tilnærme adfærd nær et ligevægtspunkt. Dens anvendelser omfatter bestemmelse af stabiliteten af ​​den sygdomsfrie ligevægt ved sygdomsmodellering.

Omvendt

Ifølge den inverse funktionsteorem er matrixinversen af den Jacobianske matrix for en inversibel funktion den jacobiske matrix for den inverse funktion. Det vil sige, at hvis jakobiansk for funktionen f  : R ⁿ → R ⁿ er kontinuerlig og ikke -singular i punktet p i R ⁿ , så er f inverterbar, når den er begrænset til et eller andet område af p og

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f} ^{-1}} = {\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}} ^{-1}.}$

Omvendt, hvis den jakobiske determinant ikke er nul på et punkt, så er funktionen lokalt inverterbar nær dette punkt, det vil sige, at der er et kvarter ved dette punkt, hvor funktionen er inverterbar.

Den (ubeviste) jakobiske formodning er relateret til global invertibilitet i tilfælde af en polynomfunktion, det er en funktion defineret af n polynomer i n variabler. Det hævder, at hvis den jakobiske determinant er en ikke-nul-konstant (eller ækvivalent, at den ikke har noget komplekst nul), så er funktionen inverterbar, og dens inverse er en polynomisk funktion.

Kritiske punkter

Hvis f  : R ⁿ → R ^m er en differentierbar funktion , er et kritisk punkt på f et punkt, hvor rangen af den jacobiske matrix ikke er maksimal. Det betyder, at rangen på det kritiske punkt er lavere end rangen på et nabopunkt. Med andre ord, lad k være den maksimale dimension af de åbne bolde indeholdt i billedet af f ; så er et punkt kritisk, hvis alle mindreårige af rang k af f er nul.

I det tilfælde, hvor m = n = k , er et punkt kritisk, hvis den jakobiske determinant er nul.

Eksempler

Eksempel 1

Overvej funktionen f  : R ² → R ² , med ( x , y ) ↦ ( f ₁ ( x , y ), f ₂ ( x , y )), givet af

${\ displaystyle \ mathbf {f} \ left ({\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ right) = {\ begin {bmatrix} f_ {1} (x, y) \\ f_ { 2} (x, y) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x^{2} y \\ 5x+\ sin y \ end {bmatrix}}.}$

Så har vi

${\ displaystyle f_ {1} (x, y) = x^{2} y}$

og

${\ displaystyle f_ {2} (x, y) = 5x+\ sin y}$

og den Jacobianske matrix af f er

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ delvis f_ {1}} {\ delvis x}} og {\ dfrac { \ delvis f_ {1}} {\ delvis y}} \\ [1em] {\ dfrac {\ delvis f_ {2}} {\ delvis x}} og {\ dfrac {\ delvis f_ {2}} {\ delvis y}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2xy & x^{2} \\ 5 & \ cos y \ end {bmatrix}}}$

og den jakobiske determinant er

${\ displaystyle \ det (\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y)) = 2xy \ cos y-5x^{2}.}$

Eksempel 2: polar-kartesisk transformation

Transformationen fra polære koordinater ( r , φ ) til kartesiske koordinater ( x , y ), er givet ved funktionen F : R ⁺ × [0, 2 π ) → R ² med komponenter:

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = r \ cos \ varphi; \\ y & = r \ sin \ varphi. \ end {align}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (r, \ varphi) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ delvis x} {\ delvis r}} og {\ dfrac {\ delvis x} {\ delvis \ varphi}} \\ [1em] {\ dfrac {\ delvis y} {\ delvis r}} & {\ dfrac {\ delvis y} {\ delvis \ varphi}} \ slut {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ varphi & -r \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & r \ cos \ varphi \ end {bmatrix}}}$

Den jakobiske determinant er lig med r . Dette kan bruges til at transformere integraler mellem de to koordinatsystemer:

${\ displaystyle \ iint _ {\ mathbf {F} (A)} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {A} f (r \ cos \ varphi, r \ sin \ varphi) \ , r \, dr \, d \ varphi.}$

Eksempel 3: sfærisk-kartesisk transformation

Transformationen fra sfæriske koordinater ( ρ , φ , θ ) til kartesiske koordinater ( x , y , z ) er givet ved funktionen F : R ⁺ × [0, π ) × [0, 2 π ) → R ³ med komponenter :

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta; \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta; \\ z & = \ rho \ cos \ varphi. \ end {align}}}$

Den jakobiske matrix for denne koordinatændring er

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (\ rho, \ varphi, \ theta) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ delvis x} {\ partiel \ rho}} & & \ dfrac {\ delvis x} {\ delvis \ varphi}} og {\ dfrac {\ delvis x} {\ delvis \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ delvis y} {\ delvis \ rho}} & {\ dfrac {\ delvis y} {\ delvis \ varphi}} & {\ dfrac {\ delvis y} {\ delvis \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ delvis z} {\ delvis \ rho }} & {\ dfrac {\ delvis z} {\ delvis \ varphi}} & {\ dfrac {\ delvis z} {\ delvis \ theta}} \ ende {bmatrix}} = {\ begynde {bmatrix} \ sin \ varphi \ cos \ theta & \ rho \ cos \ varphi \ cos \ theta &-\ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta \\\ sin \ varphi \ sin \ theta & \ rho \ cos \ varphi \ sin \ theta & \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta \\\ cos \ varphi &-\ rho \ sin \ varphi & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Det afgørende er ρ ² synd φ . Da dV = dx dy dz er volumenet for et rektangulært differentialvolumenelement (fordi volumenet af et rektangulært prisme er produktet af dets sider), kan vi tolke dV = ρ ² sin φ dρ dφ dθ som volumenet af den sfæriske differential volumenelement . I modsætning til rektangulært differentialvolumenelement volumen er dette differentialvolumenelement volumen ikke en konstant og varierer med koordinater ( ρ og φ ). Det kan bruges til at transformere integraler mellem de to koordinatsystemer:

${\ displaystyle \ iiint _ {\ mathbf {F} (U)} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {U} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \, \ rho ^{2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi \, d \ theta.}$

Eksempel 4

Den jakobiske matrix for funktionen F  : R ³ → R ⁴ med komponenter

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} & = x_ {1} \\ y_ {2} & = 5x_ {3} \\ y_ {3} & = 4x_ {2}^{2} -2x_ { 3} \\ y_ {4} & = x_ {3} \ sin x_ {1} \ end {align}}}$

er

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ delvis y_ {1}} {\ delvis x_ {1}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {1}} {\ delvis x_ {2}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {1}} {\ delvis x_ {3}} } \\ [1em] {\ dfrac {\ delvis y_ {2}} {\ delvis x_ {1}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {2}} {\ delvis x_ {2}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {2}} {\ delvis x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ delvis y_ {3}} {\ delvis x_ {1}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {3}} {\ delvis x_ {2}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {3}} {\ delvis x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ delvis y_ {4} } {\ delvis x_ {1}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {4}} {\ delvis x_ {2}}} og {\ dfrac {\ delvis y_ {4}} {\ delvis x_ {3} }} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} &-2 \\ x_ {3} \ cos x_ {1} & 0 & \ sin x_ {1} \ end { bmatrix}}.}$

Dette eksempel viser, at den jacobiske matrix ikke behøver at være en firkantet matrix.

Eksempel 5

Den jakobiske determinant for funktionen F  : R ³ → R ³ med komponenter

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} & = 5x_ {2} \\ y_ {2} & = 4x_ {1}^{2} -2 \ sin (x_ {2} x_ {3}) \ \ y_ {3} & = x_ {2} x_ {3} \ end {align}}}$

er

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_ {1} &-2x_ {3} \ cos (x_ {2} x_ {3}) &-2x_ {2} \ cos (x_ {2} x_ {3 }) \\ 0 & x_ {3} & x_ {2} \ end {vmatrix}} =-8x_ {1} {\ begin {vmatrix} 5 & 0 \\ x_ {3} & x_ {2} \ end {vmatrix}} =-40x_ {1} x_ {2}.}$

Af dette ser vi, at F vender orientering nær de punkter, hvor x ₁ og x ₂ har det samme tegn; funktionen er lokalt inverterbar overalt undtagen nær punkter, hvor x ₁ = 0 eller x ₂ = 0 . Intuitivt, hvis man starter med et lille objekt omkring punktet (1, 2, 3) og anvender F på det objekt, får man et resulterende objekt med cirka 40 × 1 × 2 = 80 gange volumenet af det originale, med orientering omvendt.

Andre anvendelser

Regression og mindst firkanter passende

Jacobianeren fungerer som en lineariseret designmatrix i statistisk regression og kurvetilpasning ; se ikke-lineære mindste firkanter .

Dynamiske systemer

Overvej et dynamisk system af formen , hvor er (komponentmæssigt) afledt af med hensyn til udviklingsparameteren (tid), og er differentierbar. Hvis , så er et stationært punkt (også kaldet en steady state ). Ved Hartman – Grobman -sætningen er systemets adfærd nær et stationært punkt relateret til egenværdierne for , jakobianeren på det stationære punkt. Specifikt, hvis egenværdierne alle har reelle dele, der er negative, så er systemet stabilt nær det stationære punkt, hvis en egenværdi har en reel del, der er positiv, så er punktet ustabilt. Hvis den største reelle del af egenværdierne er nul, tillader den jacobiske matrix ikke en vurdering af stabiliteten. ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = F (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle F \ colon \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle F (\ mathbf {x} _ {0}) = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {F} \ venstre (\ mathbf {x} _ {0} \ højre)}$${\ displaystyle F}$

Newtons metode

Et firkantet system af koblede ikke -lineære ligninger kan løses iterativt ved hjælp af Newtons metode . Denne metode bruger den jakobiske matrix af ligningssystemet.

Se også

• Centermanifold
• Hessisk matrix
• Pushforward (differential)

Noter

Referencer

Yderligere læsning

• Gandolfo, Giancarlo (1996). "Sammenlignende statistik og korrespondanceprincippet" . Economic Dynamics (tredje udgave). Berlin: Springer. s. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformationer og Jacobians". Mellemregning (anden udgave). New York: Springer. s. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

eksterne links

• "Jacobian" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld En mere teknisk forklaring på Jacobians