Joseph -Louis Lagrange - Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange
Лагранж.jpg
Joseph-Louis (Giuseppe Luigi),
comte de Lagrange
Født
Giuseppe Lodovico Lagrangia

( 1736-01-25 )25. januar 1736
Døde 10. april 1813 (1813-04-10)(77 år)
Borgerskab Sardinien
franske imperium
Alma Mater Universitetet i Torino
Kendt for (se listen)
Analytiske mekanik
variationsregning
Celestial mekanik
Matematisk analyse
Antal teori
Teori af ligninger
Videnskabelig karriere
Felter Matematik
Astronomi
Mekanik
Institutioner École Normale
École Polytechnique
Akademiske rådgivere Leonhard Euler (epistolær korrespondent)
Giovanni Battista Beccaria
Bemærkelsesværdige elever Joseph Fourier
Giovanni Plana
Siméon Poisson
Påvirket Évariste Galois

Joseph-Louis Lagrange (født Giuseppe Luigi Lagrangia eller Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier ; 25. januar 1736-10. april 1813), også rapporteret som Giuseppe Luigi Lagrange eller Lagrangia , var en italiensk matematiker og astronom , senere naturaliseret fransk. Han leverede betydelige bidrag til analyseområder , talteori og både klassisk og himmelsk mekanik .

I 1766 efter anbefaling af schweiziske Leonhard Euler og French d'Alembert efterfulgte Lagrange Euler som direktør for matematik ved det preussiske videnskabsakademi i Berlin, Preussen , hvor han opholdt sig i over tyve år, producerede mængder arbejde og vandt flere præmier fra det franske videnskabsakademi . Lagranges afhandling om analytisk mekanik ( Mécanique analytique , 4. red., 2 bind. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), skrevet i Berlin og første gang udgivet i 1788, tilbød den mest omfattende behandling af klassisk mekanik siden Newton og dannede et grundlag for udviklingen af ​​matematisk fysik i det nittende århundrede.

I 1787, 51 år gammel, flyttede han fra Berlin til Paris og blev medlem af det franske videnskabsakademi. Han blev i Frankrig til slutningen af ​​sit liv. Han var medvirkende til decimaliseringen i det revolutionære Frankrig , blev den første professor i analyse ved École Polytechnique ved åbningen i 1794, var et stiftende medlem af Bureau des Longitudes og blev senator i 1799.

Videnskabeligt bidrag

Lagrange var en af ​​skaberne af beregningen af ​​variationer og udledte Euler -Lagrange -ligningerne for ekstrema af funktionaler . Han udvidede metoden til at omfatte mulige begrænsninger og nåede frem til metoden for Lagrange -multiplikatorer . Lagrange opfandt metode til at løse differentialligninger kendt som variation af parametre , anvendt differentialregning til teorien om sandsynligheder og arbejdede på løsninger for algebraiske ligninger . Han beviste, at hvert naturligt tal er en sum på fire firkanter . Hans afhandling Theorie des fonctions analytiques lagde nogle af grundlaget for gruppeteori og foregreb Galois . I beregning udviklede Lagrange en ny tilgang til interpolation og Taylor -serier . Han studerede tre-kropsproblemet for Jorden, Solen og Månen (1764) og bevægelsen af ​​Jupiters satellitter (1766), og i 1772 fandt han specielle løsninger på dette problem, der giver det, der nu er kendt som Lagrangian-punkter . Lagrange er bedst kendt for at omdanne Newtonsk mekanik til en gren af ​​analyser, Lagrangian mekanik , og præsenterede de mekaniske "principper" som enkle resultater af variationskalkylen.

Biografi

I udseende var han af mellemhøjde og let formet, med lyseblå øjne og en farveløs hud. I karakter var han nervøs og frygtsom, afskyede han kontroverser, og for at undgå det gav villige andre lov til at tage æren for det, han selv havde gjort.

Han tænkte altid over emnet i sine papirer, før han begyndte at komponere dem, og skrev dem normalt lige uden en eneste sletning eller korrektion.

WW Rouse Ball

Portræt af Joseph-Louis Lagrange (1700-tallet)

Tidlige år

Førstefødt af elleve børn som Giuseppe Lodovico Lagrangia , Lagrange var af italiensk og fransk afstamning. Hans fader oldefar var en fransk kaptajn for kavaleri, hvis familie stammer fra den franske region Tours . Efter at have tjent under Ludvig XIV var han gået i tjeneste for Charles Emmanuel II , hertug af Savoyen , og giftede sig med en Conti fra den ædle romerske familie. Lagranges far, Giuseppe Francesco Lodovico, var læge i jura ved universitetet i Torino , mens hans mor var det eneste barn af en rig læge i Cambiano , på landet i Turin . Han blev opvokset som romersk katolik (men blev senere agnostiker ).

Hans far, der havde ansvaret for kongens militærkiste og var kasserer for kontoret for offentlige arbejder og befæstninger i Torino, burde have bevaret en god social position og rigdom, men inden hans søn voksede op, havde han mistet det meste af sin ejendom i spekulationer . En karriere som advokat var planlagt til Lagrange af hans far, og bestemt synes Lagrange villigt at have accepteret dette. Han studerede på universitetet i Torino, og hans yndlingsfag var klassisk latin. Først havde han ingen stor entusiasme for matematik, idet han fandt græsk geometri ret kedelig.

Det var først da han var sytten, at han viste nogen smag for matematik - hans interesse for emnet blev først begejstret af et papir af Edmond Halley fra 1693, som han stødte på ved et uheld. Alene og uden hjælp kastede han sig ud i matematiske studier; i slutningen af ​​et års uophørlige slid var han allerede en dygtig matematiker. Charles Emmanuel III udnævnte Lagrange til at tjene som "Sostituto del Maestro di Matematica" (matematikassistent) ved Royal Military Academy of Theory and Practice of Artillery i 1755, hvor han underviste i kurser i regning og mekanik til støtte for den piemontesiske hærs tidlige vedtagelse af de ballistiske teorier om Benjamin Robins og Leonhard Euler . I den egenskab var Lagrange den første til at undervise i beregning på en ingeniørskole. Ifølge Alessandro Papacino D'Antoni , akademiets militærkommandant og berømte artilleristoretiker, viste Lagrange sig desværre som en problematisk professor med sin uvidende undervisningsstil, abstrakte ræsonnement og utålmodighed med artilleri og befæstningstekniske applikationer. I dette akademi var en af ​​hans studerende François Daviet .

Variationsberegning

Lagrange er en af ​​grundlæggerne af beregningen af ​​variationer . Fra 1754 arbejdede han på problemet med tautochronen og opdagede en metode til at maksimere og minimere funktionaliteter på en måde, der ligner at finde ekstrema af funktioner. Lagrange skrev flere breve til Leonhard Euler mellem 1754 og 1756 og beskrev hans resultater. Han skitserede sin "δ-algoritme", hvilket førte til Euler-Lagrange-ligningerne for variansberegning og forenklede Eulers tidligere analyse betydeligt. Lagrange anvendte også sine ideer på problemer med klassisk mekanik og generaliserede resultaterne af Euler og Maupertuis .

Euler var meget imponeret over Lagranges resultater. Det er blevet udtalt, at "med karakteristisk høflighed tilbageholdt han et papir, han tidligere havde skrevet, som dækkede nogle af de samme grunde, for at den unge italiener kunne få tid til at fuldføre sit arbejde og kræve den ubestridte opfindelse af den nye beregning" ; denne ridderlige opfattelse er imidlertid blevet bestridt. Lagrange offentliggjorde sin metode i to erindringer fra Turinsamfundet i 1762 og 1773.

Miscellanea Taurinensia

I 1758, ved hjælp af sine elever (hovedsagelig med Daviet), oprettede Lagrange et samfund, som efterfølgende blev indarbejdet som Torino Academy of Sciences , og de fleste af hans tidlige skrifter findes i de fem bind af dets transaktioner, normalt kendt som Miscellanea Taurinensia . Mange af disse er udførlige papirer. Det første bind indeholder et papir om teorien om lydens udbredelse; i dette angiver han en fejl begået af Newton , opnår den almindelige differentialligning for bevægelsen og integrerer den for bevægelse i en lige linje. Dette bind indeholder også den komplette løsning på problemet med en streng, der vibrerer på tværs ; i dette papir påpeger han en mangel på generalitet i de løsninger, der tidligere blev givet af Brook Taylor , D'Alembert og Euler, og når frem til, at kurvens form til enhver tid t er givet ved ligningen . Artiklen afsluttes med en mesterlig diskussion af ekkoer , beats og sammensatte lyde. Andre artikler i dette bind handler om tilbagevendende serier , sandsynligheder og beregning af variationer .

Det andet bind indeholder et langt papir, der indeholder resultaterne af flere artikler i det første bind om teorien og notationen af ​​beregningen af ​​variationer; og han illustrerer dens anvendelse ved at udlede princippet om mindste handling og ved løsninger på forskellige problemer i dynamikken .

Det tredje bind omfatter løsningen af ​​flere dynamiske problemer ved hjælp af beregningen af ​​variationer; nogle papirer om integralregningen ; en løsning på Fermats problem nævnt ovenfor: givet et helt tal n, der ikke er en perfekt firkant , for at finde et tal x,x 2 n  + 1 er en perfekt firkant; og de generelle bevægelsesligninger for tre legemer, der bevæger sig under deres gensidige attraktioner.

Det næste værk, han producerede, var i 1764 om månens librering og en forklaring på, hvorfor det samme ansigt altid blev vendt mod jorden, et problem, som han behandlede ved hjælp af virtuelt arbejde . Hans løsning er især interessant, da den indeholder kimen til ideen om generaliserede bevægelsesligninger, ligninger, som han først formelt beviste i 1780.

Berlin

Allerede i 1756 forsøgte Euler og Maupertuis , da de så Lagranges matematiske talent, at overtale Lagrange til at komme til Berlin, men han afviste genert tilbuddet. I 1765 gik d'Alembert i forbøn på Lagranges vegne med Frederik af Preussen og bad ham ved brev forlade Turin for en betydeligt mere prestigefyldt stilling i Berlin. Han afslog igen tilbuddet og svarede det

Det forekommer mig, at Berlin slet ikke ville være egnet til mig, mens M.Euler er der .

I 1766, efter at Euler forlod Berlin til Sankt Petersborg , skrev Frederick selv til Lagrange og udtrykte ønsket om "den største konge i Europa" om at have "den største matematiker i Europa" bosat ved sit hof. Lagrange blev endelig overtalt. Han tilbragte de næste tyve år i Preussen , hvor han producerede en lang række papirer, der blev offentliggjort i Berlin- og Turin -transaktionerne, og komponerede sit monumentale værk, Mécanique analytique . I 1767 giftede han sig med sin fætter Vittoria Conti.

Lagrange var en yndet af kongen, som ofte foredrog ham om fordelene ved perfekt livsstil. Lektionen blev accepteret, og Lagrange studerede hans sind og krop som om de var maskiner og eksperimenterede for at finde den nøjagtige mængde arbejde, han kunne udføre før udmattelse. Hver nat satte han sig en bestemt opgave for den næste dag, og efter at have afsluttet en gren af ​​et emne skrev han en kort analyse for at se, hvilke punkter i demonstrationerne eller emnet der kunne forbedres. Han planlagde omhyggeligt sine papirer, før han skrev dem, normalt uden en eneste sletning eller korrektion.

Ikke desto mindre var Lagranges helbred i løbet af hans år i Berlin temmelig dårligt, og hans kone Vittorias tilstand var endnu værre. Hun døde i 1783 efter mange års sygdom, og Lagrange var meget deprimeret. I 1786 døde Frederik II, og klimaet i Berlin blev svært for Lagrange.

Paris

I 1786, efter Fredericks død, modtog Lagrange lignende invitationer fra stater, herunder Spanien og Napoli , og han accepterede Louis XVIs tilbud om at flytte til Paris. I Frankrig blev han modtaget med alle særpræg og særlige lejligheder i Louvre blev forberedt til hans modtagelse, og han blev medlem af det franske videnskabsakademi , som senere blev en del af Institut de France (1795). I begyndelsen af ​​sin bopæl i Paris blev han grebet af et angreb af vemod, og selv den trykte kopi af hans Mécanique, som han havde arbejdet på i et kvart århundrede, lå i mere end to år uåbnet på sit skrivebord. Nysgerrighed om resultaterne af den franske revolution rørte ham først ud af hans sløvhed, en nysgerrighed, der hurtigt blev til alarm, da revolutionen udviklede sig.

Det var omtrent på samme tid, 1792, at hans livs uforklarlige sorg og frygtsomhed bevægede medfølelsen hos den 24-årige Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, datter af hans ven, astronomen Pierre Charles Le Monnier . Hun insisterede på at gifte sig med ham og beviste en hengiven kone, som han blev varmt knyttet til.

I september 1793 begyndte terrorens regeringstid . Under indblanding af Antoine Lavoisier , som selv på det tidspunkt allerede var smidt ud af akademiet sammen med mange andre lærde, blev Lagrange specifikt undtaget ved navn i dekretet fra oktober 1793, der beordrede alle udlændinge til at forlade Frankrig. Den 4. maj 1794 blev Lavoisier og 27 andre skattebrugere anholdt og dømt til døden og guillotineret om eftermiddagen efter retssagen. Lagrange sagde om Lavoisiers død:

Det tog kun et øjeblik at få dette hoved til at falde, og hundrede år vil ikke være tilstrækkeligt til at producere dets lignende.

Selvom Lagrange havde forberedt sig på at flygte fra Frankrig, mens der endnu var tid, var han aldrig i fare; forskellige revolutionære regeringer (og på et senere tidspunkt, Napoleon ) belønnede ham med hæder og sondringer. Denne held eller sikkerhed kan i nogen grad skyldes hans livsholdning, han udtrykte mange år før: " Jeg tror, ​​at et af de første principper for enhver klog mand generelt er at overholde nøje lovgivningen i det land, hvor han lever, selv når de er urimelige ”. Et slående vidnesbyrd om den respekt, han blev holdt i, blev vist i 1796, da den franske kommissær i Italien blev beordret til fuldt ud at deltage i Lagranges far og byde republikkens tillykke med resultaterne af sin søn, der "havde gjort ære til hele menneskeheden af ​​sit geni, og som det var den særlige herlighed i Piemonte at have frembragt. " Det kan tilføjes, at Napoleon, da han nåede magten, varmt opmuntrede til videnskabelige undersøgelser i Frankrig og var en liberal velgører af dem. Udnævnt til senator i 1799, var han den første underskriver af Sénatus-konsulten, der i 1802 annekterede sit fædreland Piemonte til Frankrig. Som følge heraf fik han fransk statsborgerskab. Franskmændene hævdede, at han var en fransk matematiker, men italienerne fortsatte med at hævde ham som italiensk.

Måleenheder

Lagrange var involveret i udviklingen af ​​det metriske målesystem i 1790'erne. Han blev tilbudt formandskabet i Kommissionen for reformen af ​​vægte og foranstaltninger ( la Commission des Poids et Mesures ), da han forberedte sig på at flygte. Efter Lavoisier død i 1794, var det i høj grad Lagrange, der påvirkede valget af måleren og kilogram enheder med decimal inddeling, som kommissionen af 1799. Lagrange var også en af de stiftende medlemmer af Præsidiet des længdegrader i 1795.

École Normale

I 1795 blev Lagrange udnævnt til en matematisk stol ved den nyetablerede École Normale , som kun nød en kort eksistens på fire måneder. Hans foredrag der var elementære; de indeholder intet af matematisk betydning, selvom de giver et kort historisk indblik i hans grund til at foreslå undecimal eller Base 11 som basenummer for det reformerede system for vægte og mål. Foredragene blev udgivet, fordi professorerne måtte "løfte sig til folkets repræsentanter og til hverken at læse eller gentage fra hukommelsen" ["Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentans du Peuple, et entr ' eux l'engagement de ne point lire ou débiter de mémoire des discours écrits "]. Diskurserne blev beordret taget ned i stenografi for at sætte stedfortrædere i stand til at se, hvordan professorerne frifandt sig selv. Man mente også, at de publicerede foredrag ville interessere en væsentlig del af borgernes ["Quoique des feuilles sténographiques soient essentiellement destinées aux eleves de l'École Noramale, on doit prévoir qu y elles seront lues par une grande partie de la Nation"].

École Polytechnique

I 1794 blev Lagrange udnævnt til professor i École Polytechnique ; og hans foredrag der, beskrevet af matematikere, der havde heldet med at kunne deltage i dem, var næsten perfekte både i form og materie. Begyndende med de mest elementære elementer førte han sine tilhørere videre, indtil de næsten var ukendte for dem selv, at de udvidede fagets grænser: frem for alt imponerede han sine elever fordelen ved altid at bruge generelle metoder udtrykt i en symmetrisk notation.

Men Lagrange synes ikke at have været en succesrig lærer. Fourier , der deltog i hans foredrag i 1795, skrev:

hans stemme er meget svag, i det mindste ved at han ikke bliver varm; han har en meget markant italiensk accent og udtaler s som z [...] De studerende, hvoraf de fleste ikke er i stand til at værdsætte ham, byder ham lidt velkommen, men professorer gør det godt.

Sene år

Lagranges grav i Panthéons krypt

I 1810 påbegyndte Lagrange en grundig revision af Mécanique analytique , men han var i stand til kun at udfylde omkring to tredjedele af det før hans død i Paris i 1813 i 128 rue du Faubourg Saint-Honoré . Napoleon hædrede ham med Grand Croix i Ordre Impérial de la Réunion kun to dage før han døde. Han blev begravet samme år i Panthéon i Paris. Indskriften på hans grav lyder i oversættelse:

JOSEPH LOUIS LAGRANGE. Senator. Greve af imperiet. Storofficer i Æreslegionen. Storkors af den kejserlige genforeningsorden . Medlem af Instituttet og Bureau of Longitude. Født i Torino den 25. januar 1736. Død i Paris den 10. april 1813.

Arbejde i Berlin

Lagrange var ekstremt videnskabeligt aktiv i tyve år, han tilbragte i Berlin. Ikke alene producerede han sin Mécanique analytique , men han bidrog med mellem et og to hundrede papirer til Turinakademiet , Berlinakademiet og det franske akademi. Nogle af disse er virkelig afhandlinger, og alle uden undtagelse er af høj kvalitet. Bortset fra en kort tid, da han var syg, producerede han i gennemsnit omkring et papir om måneden. Af disse skal du bemærke følgende som blandt de vigtigste.

Først hans bidrag til fjerde og femte bind, 1766–1773, af Miscellanea Taurinensia ; hvoraf den vigtigste var den i 1771, hvor han diskuterede, hvor mange astronomiske observationer der skulle kombineres for at give det mest sandsynlige resultat. Og senere hans bidrag til de to første bind, 1784–1785, af transaktionerne i Turinakademiet; til den første, hvoraf han bidrog med et papir om det tryk, der udøves af væsker i bevægelse, og til den anden en artikel om integration med uendelige serier , og den slags problemer, som det er egnet til.

De fleste papirer, der blev sendt til Paris, drejede sig om astronomiske spørgsmål, og blandt dem inklusive hans papir om det joviske system i 1766, hans essay om problemet med tre kroppe i 1772, hans arbejde med Månens sekulære ligning i 1773 og hans afhandling om kometforstyrrelser i 1778. Disse blev alle skrevet om emner foreslået af Académie française , og i hvert tilfælde blev prisen tildelt ham.

Lagrangian mekanik

Mellem 1772 og 1788 omformulerede Lagrange klassisk/newtonsk mekanik for at forenkle formler og lette beregninger. Disse mekanik kaldes Lagrangian mekanik .

Algebra

Det større antal af hans papirer i løbet af denne tid bidrog imidlertid til det preussiske videnskabsakademi . Flere af dem omhandler spørgsmål i algebra .

  • Hans diskussion af repræsentationer af heltal ved kvadratiske former (1769) og ved mere generelle algebraiske former (1770).
  • Hans traktat om elimineringsteori , 1770.
  • Lagranges sætning om , at rækkefølgen af ​​en undergruppe H i en gruppe G skal dele rækkefølgen af ​​G.
  • Hans papirer fra 1770 og 1771 om den generelle proces til løsning af en algebraisk ligning af enhver grad via Lagrange -opløsningsmidler . Denne metode giver ikke en generel formel for løsninger med en ligning af grad fem og højere, fordi den involverede hjælpeligning har en højere grad end den oprindelige. Betydningen af ​​denne metode er, at den udviser de allerede kendte formler til løsning af ligninger af anden, tredje og fjerde grad som manifestationer af et enkelt princip og var grundlæggende i Galois -teorien . Den komplette løsning af en binomisk ligning (nemlig en ligning med formen ± ) behandles også i disse papirer.
  • I 1773 betragtede Lagrange en funktionel determinant for orden 3, et specielt tilfælde af en Jacobian . Han beviste også udtrykket for volumenet af et tetraeder med et af hjørnerne ved oprindelsen som den sjette af absolutværdien af determinanten dannet af koordinaterne for de tre andre hjørner.

Talteori

Flere af hans tidlige artikler omhandler også spørgsmål om talteori.

  • Lagrange (1766–1769) var den første europæer, der beviste, at Pells ligning x 2 - ny 2 = 1 har en utrivelig løsning i heltalene for et ikke-kvadratisk naturligt tal n .
  • Han beviste sætningen, som Bachet udtalte uden begrundelse, at hvert positivt heltal er summen af ​​fire firkanter , 1770.
  • Han beviste Wilsons sætning, at (for ethvert heltal n > 1 ): n er en primtal, hvis og kun hvis ( n - 1)! + 1 er et multiplum af n , 1771.
  • Hans papirer fra 1773, 1775 og 1777 gav demonstrationer af flere resultater udtalt af Fermat, og ikke tidligere bevist.
  • Hans Recherches d'Arithmétique fra 1775 udviklede en generel teori om binære kvadratiske former til at håndtere det generelle problem med, hvornår et helt tal repræsenteres af formen ax 2 + med 2 + cxy .
  • Han leverede bidrag til teorien om fortsatte fraktioner .

Andet matematisk arbejde

Der er også mange artikler om forskellige punkter inden for analytisk geometri . I to af dem, der blev skrevet ret senere, i 1792 og 1793, reducerede han kvadrikkers ligninger (eller conicoider) til deres kanoniske former .

I årene fra 1772 til 1785 bidrog han med en lang række papirer, der skabte videnskaben om partielle differentialligninger . En stor del af disse resultater blev indsamlet i den anden udgave af Eulers integralregning, der blev offentliggjort i 1794.

Astronomi

Endelig er der mange papirer om problemer inden for astronomi . Af disse er de vigtigste følgende:

  • Forsøg på at løse det generelle tre-kropsproblem , med den deraf følgende opdagelse af de to konstantmønsterløsninger, kollinære og ligesidede, 1772. Disse løsninger blev senere set til at forklare, hvad der nu er kendt som Lagrangian-punkterne .
  • Om tiltrækning af ellipsoider, 1773: dette er baseret på Maclaurins arbejde.
  • Om Månens sekulære ligning, 1773; også mærkbar for den tidligste introduktion af ideen om potentialet. Et legems potentiale på et hvilket som helst tidspunkt er summen af ​​massen af ​​hvert element i kroppen, divideret med dets afstand fra punktet. Lagrange viste, at hvis potentialet i et legeme ved et eksternt punkt var kendt, kunne tiltrækningen i enhver retning med det samme findes. Teorien om potentialet blev uddybet i et papir, der blev sendt til Berlin i 1777.
  • Om bevægelsen af ​​knuderne på en planets bane , 1774.
  • Om stabiliteten af ​​planetbanerne, 1776.
  • To papirer, hvor metoden til bestemmelse af en komets kredsløb ud fra tre observationer er fuldstændig udarbejdet, 1778 og 1783: dette har faktisk ikke vist sig praktisk tilgængeligt, men hans system til beregning af forstyrrelser ved hjælp af mekaniske kvadraturer har dannet grundlaget for de fleste efterfølgende undersøgelser om emnet.
  • Hans bestemmelse af de sekulære og periodiske variationer af elementerne på planeterne, 1781–1784: de øvre grænser, der blev tildelt disse, stemmer tæt overens med dem, der senere blev opnået af Le Verrier , og Lagrange gik så langt som den viden, der var i besiddelse af masserne i planeter tilladt.
  • Tre papirer om metoden til interpolering, 1783, 1792 og 1793: den del af begrænsede forskelle, der omhandler den, er nu på samme stadium som den, hvor Lagrange forlod den.

Grundlæggende afhandling

Ud over disse forskellige artikler skrev han sin grundlæggende afhandling, Mécanique analytique .

I denne bog fastsætter han loven om virtuelt arbejde, og ud fra det ene grundlæggende princip udleder ved hjælp af beregningen af ​​variationer hele mekanikken , både i faste stoffer og væsker.

Bogens formål er at vise, at emnet implicit indgår i et enkelt princip, og at give generelle formler, hvorfra et bestemt resultat kan opnås. Metoden til generaliserede koordinater, hvormed han opnåede dette resultat, er måske det mest geniale resultat af hans analyse. I stedet for at følge bevægelsen af ​​hver enkelt del af et materialesystem, som D'Alembert og Euler havde gjort, viste han, at hvis vi bestemmer dens konfiguration med et tilstrækkeligt antal variabler x , kaldet generaliserede koordinater , hvis nummer er det samme som den af ​​de frihedsgrader, systemet besidder, så kan systemets kinetiske og potentielle energier udtrykkes i form af disse variabler og de differentielle bevægelsesligninger deraf udledes ved simpel differentiering. For eksempel erstatter han i dynamikken i et stift system betragtningen af ​​det særlige problem med den generelle ligning, som nu normalt skrives i formen

hvor T repræsenterer den kinetiske energi og V repræsenterer systemets potentielle energi. Han præsenterede derefter det, vi nu kender som metoden til Lagrange -multiplikatorer - selvom det ikke er første gang, at metoden blev offentliggjort - som et middel til at løse denne ligning. Blandt andre mindre sætninger her givet kan det være tilstrækkeligt at nævne den påstand, at den kinetiske energi, som de givne impulser tilfører et materielt system under givne begrænsninger, er et maksimum og princippet om mindst handling . Al analyse er så elegant, at Sir William Rowan Hamilton sagde, at værket kun kunne beskrives som et videnskabeligt digt. Lagrange bemærkede, at mekanik virkelig var en gren af ren matematik analog til en geometri af fire dimensioner, nemlig tiden og de tre koordinater for punktet i rummet; og det siges, at han stolte sig over, at der fra begyndelsen til slutningen af ​​værket ikke var et eneste diagram. Først kunne der ikke findes en printer, der ville udgive bogen; men Legendre fik endelig et parisisk firma til at påtage sig det, og det blev udstedt under tilsyn af Laplace, Cousin, Legendre (redaktør) og Condorcet i 1788.

Arbejde i Frankrig

Differentialregning og beregning af variationer

Joseph-Louis Lagrange

Lagranges foredrag om differentialregningen ved École Polytechnique danner grundlag for hans afhandling Théorie des fonctions analytiques , der blev offentliggjort i 1797. Dette værk er en forlængelse af en idé indeholdt i et papir, han havde sendt til Berlin -papirerne i 1772, og dets Formålet er at erstatte differentialregningen en gruppe af sætninger baseret på udviklingen af ​​algebraiske funktioner i serier, især afhængig af princippet om algebraens generalitet .

En noget lignende metode havde John Landen tidligere brugt i Residual Analysis , der blev offentliggjort i London i 1758. Lagrange mente, at han dermed kunne slippe af med de vanskeligheder, der var forbundet med brugen af ​​uendeligt store og uendeligt små mængder, som filosoffer modsatte sig. i den sædvanlige behandling af differentialregningen. Bogen er opdelt i tre dele: heraf behandler de første funktioner i den generelle funktionsteori og giver et algebraisk bevis på Taylors sætning , hvis gyldighed imidlertid er åben for tvivl; den anden omhandler applikationer til geometri; og den tredje med applikationer til mekanik.

En anden afhandling om de samme linjer var hans Leçons sur le calcul des fonctions , udgivet i 1804, med den anden udgave i 1806. Det er i denne bog, Lagrange formulerede sin berømte metode til Lagrange -multiplikatorer i forbindelse med problemer med variationskalkulation med integrerede begrænsninger. Disse værker, der er dedikeret til differentialregning og beregning af variationer, kan betragtes som udgangspunktet for undersøgelserne i Cauchy , Jacobi og Weierstrass .

Uendelige dyr

I en senere periode omfavnede Lagrange fuldstændigt brugen af uendelige tal frem for at grundlægge differentialregningen til studiet af algebraiske former; og i forordet til den anden udgave af Mécanique Analytique , der blev udgivet i 1811, begrunder han ansættelsen af ​​uendelige tal og slutter med at sige:

Når vi har forstået ånden i den uendelige metode og har verificeret nøjagtigheden af ​​dens resultater enten ved hjælp af den geometriske metode til primtal og ultimative forhold, eller ved den analytiske metode til afledte funktioner, kan vi anvende uendeligt små mængder som en sikker og værdifuld midler til at forkorte og forenkle vores beviser.

Talteori

Hans Résolution des équations numériques , udgivet i 1798, var også frugten af ​​hans foredrag ved École Polytechnique. Der giver han metoden til at tilnærme sig de virkelige rødder af en ligning ved hjælp af fortsatte fraktioner og udtaler flere andre sætninger. I en note til sidst viser han, hvordan Fermats lille sætning , altså

hvor p er en prim og a er prim til p , kan anvendes for at give den komplette algebraiske løsning af enhver binomisk ligning. Han forklarer også her, hvordan ligningen, hvis rødder er firkanterne for forskellene i rødderne i den originale ligning, kan bruges til at give betydelige oplysninger om positionen og arten af ​​disse rødder.

Himmelsk mekanik

Teorien om planetbevægelserne havde dannet genstand for nogle af de mest bemærkelsesværdige af Lagrange's Berlin -papirer. I 1806 blev emnet genåbnet af Poisson , der i et papir læst for det franske akademi viste, at Lagranges formler førte til visse grænser for banernes stabilitet. Lagrange, der var til stede, diskuterede nu hele emnet på ny, og forklarede i et brev, der blev sendt til akademiet i 1808, hvordan de periodiske og sekulære uligheder i ethvert system af indbyrdes interagerende organer kunne bestemmes ved variationen af ​​vilkårlige konstanter.

Præmier og udmærkelser

Euler foreslog Lagrange til valg til Berlin -akademiet, og han blev valgt den 2. september 1756. Han blev valgt til stipendiat i Royal Society of Edinburgh i 1790, stipendiat i Royal Society og udenlandsk medlem af Royal Swedish Academy of Sciences i 1806. I 1808 gjorde Napoleon Lagrange til en storofficer i Æreslegionen og en greve af imperiet . Han blev tildelt Grand Croix i Ordre Impérial de la Réunion i 1813, en uge før hans død i Paris, og blev begravet i Panthéon , et mausoleum dedikeret til det mest ærede franske folk.

Lagrange blev tildelt 1764 -prisen fra det franske videnskabsakademi for sin erindringsbog om månens librering . I 1766 foreslog Akademiet et problem med bevægelsen af Jupiters satellitter , og prisen blev igen tildelt Lagrange. Han delte eller vandt også priserne i 1772, 1774 og 1778.

Lagrange er en af ​​de 72 fremtrædende franske videnskabsmænd, der blev mindet på plaketter i den første fase af Eiffeltårnet, da det først åbnede. Rue Lagrange i 5. arrondissement i Paris er opkaldt efter ham. I Torino er gaden, hvor hans fødselshus stadig står, navngivet via Lagrange . Den månens krater Lagrange og asteroiden 1006 Lagrangea bære også hans navn.

Se også

Noter

Referencer

Citater

Kilder

Den oprindelige version af denne artikel er taget fra det offentlige domæne ressource En kort redegørelse for matematikkens historie (4. udgave, 1908) af WW Rouse Ball .

eksterne links