Kinematik - Kinematics

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle z}$

${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

En partikels bane er en vektorfunktion af tiden , som definerer kurven sporet af den bevægelige partikel, givet ved ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {i} }}+y(t){\hat {\mathbf {j} }}+z(t){\hat {\mathbf {k} }},}$$

${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle z(t)}$

Den tilbagelagte afstand er altid større end eller lig med forskydningen.

Hastighed og hastighed

En partikels hastighed er en vektormængde, der beskriver partikelens størrelse og bevægelsesretning. Mere matematisk er ændringshastigheden for positionspunktets vektor i forhold til tid punktets hastighed. Overvej forholdet dannet ved at dividere forskellen mellem to positioner af en partikel med tidsintervallet. Dette forhold kaldes gennemsnitshastigheden over dette tidsinterval og defineres som

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {avg}}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}\ ,}$$

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta t}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}={\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }},}$$

${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$

Den hastighed af et objekt er størrelsen af dens hastighed. Det er en skalær mængde:

$${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {ds}{dt}},}$$

${\displaystyle s}$

${\displaystyle ds/dt}$

Acceleration

Hastighedsvektoren kan ændre sig i størrelse og i retning eller begge dele på én gang. Derfor tegner accelerationen sig for både ændringshastigheden for størrelsen af ​​hastighedsvektoren og hastigheden for ændring af retning af den pågældende vektor. Det samme ræsonnement, der bruges med hensyn til en partikels position for at definere hastighed, kan anvendes på hastigheden for at definere acceleration. Den acceleration af en partikel er vektoren defineret af ændringshastigheden af hastighedsvektoren. Den gennemsnitlige acceleration af en partikel over et tidsinterval er defineret som forholdet.

$${\displaystyle {\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}\ ,}$$

Partikelens acceleration er grænsen for den gennemsnitlige acceleration, efterhånden som tidsintervallet nærmer sig nul, hvilket er tidsderivatet,

$${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}={\dot {v}}_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {v}}_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {v}}_{z}{\hat {\mathbf {k} }}}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}}$$

Størrelsen af et objekts acceleration er størrelsen | en | af dens accelerationsvektor. Det er en skalær mængde:

$${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {dv}{dt}},}$$

Relativ positionsvektor

En relativ positionsvektor er en vektor, der definerer positionen af ​​et punkt i forhold til et andet. Det er forskellen i position af de to punkter. Placeringen af ​​et punkt A i forhold til et andet punkt B er simpelthen forskellen mellem deres positioner

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

hvilket er forskellen mellem komponenterne i deres positionsvektorer.

Hvis punkt A har positionskomponenter${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

Hvis punkt B har positionskomponenter${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

så er punkt A 's position i forhold til punkt B forskellen mellem deres komponenter:${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

Relativ hastighed

Relative hastigheder mellem to partikler i klassisk mekanik.

Hastigheden af ​​et punkt i forhold til et andet er simpelthen forskellen mellem deres hastigheder

$${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$

Hvis punkt A har hastighedskomponenter, og punkt

${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

Alternativt kunne det samme resultat opnås ved at beregne tidsderivatet af den relative positionsvektor r _B/A .

I det tilfælde, hvor hastigheden er tæt på lysets hastighed c (generelt inden for 95%), bruges et andet system med relativ hastighed kaldet hurtighed , der afhænger af forholdet mellem v og c , i særlig relativitet .

Relativ acceleration

Accelerationen af ​​et punkt C i forhold til et andet punkt B er simpelthen forskellen mellem deres accelerationer.

$${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$

Hvis punkt C har accelerationskomponenter, og punkt

${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

Alternativt kunne det samme resultat opnås ved at beregne anden gangs derivat af den relative positionsvektor r _B/A .

Forudsat at de indledende betingelser for positionen og hastigheden til tiden er kendt, giver den første integration partikelens hastighed som funktion af tiden. ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle t=0}$

$${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} \,d\tau =\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t.}$$

En anden integration giver sin vej (bane),

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {v} (\tau )\,d\tau =\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} \tau \right)d\tau =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.}$$

Yderligere forhold mellem forskydning, hastighed, acceleration og tid kan udledes. Da accelerationen er konstant,

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

Et forhold mellem hastighed, position og acceleration uden eksplicit tidsafhængighed kan opnås ved at løse den gennemsnitlige acceleration for tid og erstatte og forenkle

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$

${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

Prikproduktet kan erstattes af cosinus for vinklen α mellem vektorerne (se Geometrisk fortolkning af prikproduktet for flere detaljer) og vektorerne med deres størrelse, i hvilket tilfælde:

$${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

I tilfælde af acceleration altid i bevægelsesretningen og bevægelsesretningen skal være i positiv eller negativ, er vinklen mellem vektorerne ( α ) 0, så , og ${\displaystyle \cos 0=1}$

$${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$

${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$

${\displaystyle \Delta r}$

$${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

Dette reducerer de parametriske bevægelsesligninger for partiklen til et kartesisk forhold mellem hastighed og position. Denne relation er nyttig, når tiden er ukendt. Vi ved også, at eller er området under en hastighed -tid -graf.${\textstyle \Delta r=\int v\,dt}$${\displaystyle \Delta r}$

Velocity Time fysikgraf

Vi kan tage ved at tilføje det øverste område og det nederste område. Det nederste område er et rektangel, og arealet af et rektangel er hvor er bredden og højden. I dette tilfælde og (bemærk at her er forskellig fra accelerationen ). Det betyder, at det nederste område er . Lad os nu finde det øverste område (en trekant). Arealet af en trekant er hvor er basen og højden. I dette tilfælde, og eller . Tilføjelse og resultat i ligningen resulterer i ligningen . Denne ligning er gældende, når sluthastigheden

${\displaystyle \Delta r}$

${\displaystyle A\cdot B}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle A=t}$

${\displaystyle B=v_{0}}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle tv_{0}}$

${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle B=t}$

${\displaystyle H=at}$

${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$

${\displaystyle v_{0}t}$

${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \Delta r}$

${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

Figur 2: Hastighed og acceleration for ikke -ensartet cirkulær bevægelse: Hastighedsvektoren er tangential til kredsløbet, men accelerationsvektoren er ikke radialt indad på grund af dens tangentielle komponent a _θ, der øger rotationshastigheden: d ω /d t = | en _Ø | / R .

Partikelbaner i cylindrisk-polære koordinater

Det er ofte praktisk at formulere banen for en partikel r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) ved hjælp af polære koordinater i X - Y -planet. I dette tilfælde har dens hastighed og acceleration en bekvem form.

Recall at bane af en partikel P er defineret ved sin koordinat vektor r målt i en fast referenceramme F . Når partiklen bevæger sig, sporer dens koordinatvektor r ( t ) sin bane, som er en kurve i rummet, givet ved:

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {i} }}+y(t){\hat {\mathbf {j} }}+z(t){\hat {\mathbf {k} }},}$$

Betragt en partikel P, der kun bevæger sig på overfladen af ​​en cirkulær cylinder r ( t ) = konstant, det er muligt at justere Z -aksen for den faste ramme F med cylinderens akse. Derefter kan vinklen θ omkring denne akse i X - Y -planet bruges til at definere banen som,

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {i} }}+R\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {j} }}+z(t){\hat {\mathbf {k} }}}$$

De cylindriske koordinater for r ( t ) kan forenkles ved at indføre de radiale og tangentielle enhedsvektorer,

$${\displaystyle \mathbf {e} _{r}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {i} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {j} }},\quad \mathbf {e} _{\theta }=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {i} }}+\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {j} }}.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{r}={\dot {\mathbf {e} }}_{r}={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\dot {\mathbf {e} }}_{r}={\ddot {\mathbf {e} }}_{r}={\ddot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }-{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{r}}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{\theta }={\dot {\mathbf {e} }}_{\theta }=-{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{r}}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\dot {\mathbf {e} }}_{\theta }={\ddot {\mathbf {e} }}_{\theta }=-{\ddot {\theta }}\mathbf {e} _{r}-{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {e} _{\theta }.}$$

Ved hjælp af denne notation har r ( t ) form,

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R\mathbf {e} _{r}+z(t){\hat {\mathbf {k} }}.}$$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {e} _{r}+z(t){\hat {\mathbf {k} }}.}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left(R\mathbf {e} _{r}+z{\hat {\mathbf {k} }}\right)={\dot {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\dot {\mathbf {e} }}_{r}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}={\dot {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}.}$$

På samme måde er accelerationen a _P , som er tidsafledt af hastigheden v _P , givet ved:

$${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {d}{dt}}\left({\dot {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}\right)=\left({\ddot {R}}-R{\dot {\theta }}^{2}\right)\mathbf {e} _{r}+\left(R{\ddot {\theta }}+2{\dot {R}}{\dot {\theta }}\right)\mathbf {e} _{\theta }+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}.}$$

Udtrykket virker mod midten af ​​kurvens krumning af stien på det tidspunkt på stien, kaldes almindeligvis centripetalacceleration. Udtrykket kaldes Coriolis -accelerationen. ${\displaystyle -R{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {e} _{r}}$${\displaystyle 2{\dot {R}}{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }}$

Konstant radius

Hvis partikelens bane er begrænset til at ligge på en cylinder, så er radius R konstant, og hastigheds- og accelerationsvektorerne forenkles. Hastigheden af v _P er tidsderivatet af banen r ( t ),

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left(R\mathbf {e} _{r}+z{\hat {\mathbf {k} }}\right)=R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}.}$$

Plan cirkulære baner

Hver partikel på hjulet bevæger sig i en plan cirkulær bane (Kinematics of Machinery, 1876).

Et specielt tilfælde af en partikelbane på en cirkulær cylinder opstår, når der ikke er nogen bevægelse langs Z -aksen:

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R\mathbf {e} _{r}+z_{0}{\hat {\mathbf {k} }},}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left(R\mathbf {e} _{r}+z_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\right)=R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }=R\omega \mathbf {e} _{\theta },}$$

${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }}}$

Accelerationen a _P af partiklen P er nu givet ved:

$${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {d}{dt}}\left(R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }\right)=-R{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {e} _{r}+R{\ddot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }.}$$

Komponenterne

$${\displaystyle a_{r}=-R{\dot {\theta }}^{2},\quad a_{\theta }=R{\ddot {\theta }},}$$

Notationen for vinkelhastighed og vinkelacceleration defineres ofte som

$${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$

$${\displaystyle a_{r}=-R\omega ^{2},\quad a_{\theta }=R\alpha .}$$

Punktbaner i et legeme, der bevæger sig i flyet

Bevægelsen af ​​komponenter i et mekanisk system analyseres ved at vedhæfte en referenceramme til hver del og bestemme, hvordan de forskellige referencerammer bevæger sig i forhold til hinanden. Hvis den strukturelle stivhed af delene er tilstrækkelig, kan deres deformation negligeres, og stive transformationer kan bruges til at definere denne relative bevægelse. Dette reducerer beskrivelsen af ​​bevægelsen af ​​de forskellige dele af et kompliceret mekanisk system til et problem med at beskrive geometrien for hver del og den geometriske sammenslutning af hver del i forhold til andre dele.

Geometri er studiet af egenskaberne af figurer, der forbliver de samme, mens rummet transformeres på forskellige måder - mere teknisk er det studiet af invarianter under et sæt transformationer. Disse transformationer kan forårsage forskydningen af ​​trekanten i flyet, mens den lader toppunktsvinklen og afstandene mellem hjørner uændret. Kinematik beskrives ofte som anvendt geometri, hvor bevægelsen af ​​et mekanisk system beskrives ved hjælp af de stive transformationer af den euklidiske geometri.

Koordinaterne for punkter i et plan er todimensionale vektorer i R ² (todimensionelt rum). Stive transformationer er dem, der bevarer afstanden mellem to punkter. Sættet med stive transformationer i et n -dimensionelt rum kaldes den særlige euklidiske gruppe på R ⁿ , og betegnes SE ( n ) .

Forskydninger og bevægelse

Bevægelsen af ​​hver af komponenterne i Boulton & Watt -dampmaskinen (1784) er modelleret af et kontinuerligt sæt stive forskydninger.

Placeringen af ​​en komponent i et mekanisk system i forhold til en anden defineres ved at indføre en referenceramme , siger M , på en, der bevæger sig i forhold til en fast ramme, F, på den anden. Den stive transformation eller forskydning af M i forhold til F definerer de to komponenters relative position. En forskydning består af kombinationen af ​​en rotation og en translation .

Sættet af alle forskydninger af M i forhold til F kaldes konfigurationsrummet for M. En glat kurve fra en position til en anden i dette konfigurationsrum er et kontinuerligt sæt forskydninger, kaldet bevægelsen af M i forhold til F. Bevægelsen af ​​en body består af et kontinuerligt sæt rotationer og oversættelser.

Matrix repræsentation

Kombinationen af en rotation og translation i planet R ² kan repræsenteres ved en bestemt type 3 × 3 matrix kendt som en homogen transformation. Den 3 × 3 homogene transformation er konstrueret ud fra en 2 × 2 rotationsmatrix A ( φ ) og 2 × 1 translationvektoren d = ( d _x , d _y ), som:

$${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Især lad r definere punktkoordinater i en referenceramme M sammenfaldende med en fast ramme F . Når oprindelsen af M derefter forskydes af oversættelsesvektoren d i forhold til oprindelsen af F og roteres af vinklen φ i forhold til x-aksen for F , er de nye koordinater i F for punkter i M givet ved:

$${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

Homogene transformer repræsenterer affine transformationer . Denne formulering er nødvendig, fordi en oversættelse ikke er en lineær transformation af R ² . Men ved hjælp Projektiv geometri, således at R ² betragtes som en delmængde af R ³ , oversættelser bliver affine lineære transformationer.

Ren oversættelse

Hvis et stift legeme bevæger sig, så dets referenceramme M ikke roterer ( θ = 0) i forhold til den faste ramme F , kaldes bevægelsen ren translation. I dette tilfælde er banen for hvert punkt i kroppen en forskydning af banen d ( t ) for oprindelsen af M, det vil sige:

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .}$$

For legemer i ren translation er hastigheden og accelerationen af ​​hvert punkt P i kroppen givet ved:

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P}={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},}$$

Rotation af et legeme omkring en fast akse

Figur 1: Vinkelhastighedsvektoren Ω peger op for rotation mod uret og ned for rotation med uret, som specificeret af højre regel . Vinkelposition θ ( t ) ændres med tiden med en hastighed ω ( t ) = d θ /d t .

Rotations- eller vinkelkinematik er beskrivelsen af ​​et objekts rotation. I det følgende er opmærksomheden begrænset til simpel rotation omkring en akse med fast orientering. Den z -aksen er valgt for nemheds skyld.

Position

Dette muliggør en beskrivelse af en rotation som vinkelpositionen for en plan referenceramme M i forhold til en fast F omkring denne delte z -akse. Koordinaterne p = ( x , y ) i M er relateret til koordinaterne P = (X, Y) i F ved matrixligningen:

$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

hvor

$${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$

Hastighed

Hvis punktet p ikke bevæger sig i M , er dets hastighed i F givet ved

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$

$${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}.}$$

Acceleration

Accelerationen af P ( t ) i F opnås som tidsafledt af hastigheden,

$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$

$${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle \alpha ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}$$

Beskrivelsen af ​​rotation involverer derefter disse tre størrelser:

• Vinkelposition : den orienterede afstand fra en valgt oprindelse på rotationsaksen til et punkt på et objekt er en vektor r ( t ), der lokaliserer punktet. Vektoren r ( t ) har en vis fremspring (eller tilsvarende en komponent) r _⊥ ( t ) på et plan vinkelret på rotationsaksen. Derefter vinkelpositionen af dette punkt er den vinkel θ fra en referenceakse (typisk den positive x -aksen) til vektoren r _⊥ ( t ) på kendt rotationsretning (typisk givet ved højrehåndsreglen ).
• Vinkelhastighed : vinkelhastigheden ω er den hastighed, hvormed vinkelpositionen θ ændres i forhold til tiden t :
  $${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}}$$

  
  Vinkelhastigheden er repræsenteret i figur 1 ved en vektor Ω, der peger langs rotationsaksen med størrelsen ω og sans bestemt af rotationsretningen som givet af højre regel .
• Vinkelacceleration : størrelsen af ​​vinkelacceleration α er den hastighed, hvormed vinkelhastigheden ω ændres i forhold til tiden t :
  $${\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}}$$

  

Ligningerne for translationel kinematik kan let udvides til plan roterende kinematik for konstant vinkelacceleration med enkle variable udvekslinger:

$${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$

$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$

$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$

$${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

Her er θ _i og θ _f henholdsvis de indledende og sidste vinkelpositioner, ω _i og ω _f er henholdsvis de indledende og sidste vinkelhastigheder, og α er den konstante vinkelacceleration. Selvom position i rummet og hastighed i rummet begge er sande vektorer (hvad angår deres egenskaber under rotation), er vinkel i sig selv ikke en sand vektor, ligesom vinkelhastighed.

Punktbaner i kroppen bevæger sig i tre dimensioner

Vigtige formler inden for kinematik definerer hastighed og acceleration af punkter i et bevægeligt legeme, når de sporer baner i tredimensionelt rum. Dette er især vigtigt for et massemiddelpunkt i et legeme, som bruges til at udlede bevægelsesligninger ved hjælp af enten Newtons anden lov eller Lagranges ligninger .

Position

For at definere disse formler defineres bevægelsen af ​​en komponent B i et mekanisk system af sættet af rotationer [A ( t )] og oversættelser d ( t ) samlet til den homogene transformation [T ( t )] = [A ( t ), d ( t )]. Hvis p er koordinaterne for et punkt P i B målt i den bevægelige referenceramme M , er banen for dette punkt sporet i F givet ved:

$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Denne ligning for P -banen kan inverteres for at beregne koordinatvektoren p i M som:

$${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{T}&-A(t)^{T}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$

$${\displaystyle [A(t)]^{T}[A(t)]=I.\!}$$

Hastighed

Hastigheden af punktet P langs sin bane P ( t ) opnås som tidsdifferentialkoefficient denne position vektor,

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Denne formel kan modificeres til opnåelse af hastigheden af P ved flyvning på sin bane P ( t ) målt i den faste ramme F . Udskiftning af den inverse transformation for p i hastighedsligningen giver:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{T}&-{\dot {A}}A^{T}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{T},}$$

Multiplicering med operatoren [ S ], formlen for hastigheden v _P har formen:

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$

$${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$

Acceleration

Accelerationen af ​​et punkt P i et legeme B i bevægelse opnås som tidsderivatet af dets hastighedsvektor:

$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

Denne ligning kan først udvides ved at beregne

$${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

Formlen for fremskyndelse A _P kan nu fås som:

$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$

$${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$

Kinematiske begrænsninger

Kinematiske begrænsninger er begrænsninger for bevægelse af komponenter i et mekanisk system. Kinematiske begrænsninger kan anses for at have to grundlæggende former, (i) begrænsninger, der opstår fra hængsler, glidere og kamled, der definerer systemets konstruktion, kaldet holonomiske begrænsninger , og (ii) begrænsninger pålagt systemets hastighed som f.eks. knivsidens begrænsning af skøjter på et fladt plan eller rullende uden at glide af en skive eller kugle i kontakt med et fly, som kaldes ikke-holonomiske begrænsninger . Følgende er nogle almindelige eksempler.

Kinematisk kobling

En kinematisk kobling begrænser nøjagtigt alle 6 frihedsgrader.

Rulning uden at glide

En genstand, der ruller mod en overflade uden at glide, adlyder betingelsen om, at dens

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

For et objekt, der ikke vipper eller drejer, reduceres dette til . ${\displaystyle v=r\omega }$

Uforlængelig ledning

Dette er tilfældet, hvor kroppe er forbundet med en idealiseret ledning, der forbliver i spænding og ikke kan ændre længde. Begrænsningen er, at summen af ​​længder af alle segmenter af ledningen er den samlede længde, og derfor er tidsafledningen af ​​denne sum nul. Et dynamisk problem af denne type er pendulet . Et andet eksempel er en tromle, der vendes ved tyngdekraftens træk på en faldende vægt, der er fastgjort til fælgen af ​​den uløselige snor. Et ligevægtsproblem (dvs. ikke kinematisk) af denne type er kontaktledningen .

Kinematiske par

Reuleaux kaldte de ideelle forbindelser mellem komponenter, der danner en maskinkinematisk par . Han skelnede mellem højere par, der siges at have linjekontakt mellem de to links og lavere par, der har arealkontakt mellem linkene. J. Phillips viser, at der er mange måder at konstruere par på, der ikke passer til denne simple klassifikation.

Nedre par

Et lavere par er en ideel led eller holonomisk begrænsning, der opretholder kontakt mellem et punkt, en linje eller et plan i en fast (tredimensionel) krop i bevægelse til en tilsvarende punktlinje eller et plan i det faste faste legeme. Der er følgende tilfælde:

• Et revolutepar eller hængslet led kræver, at en linje eller akse i det bevægelige legeme forbliver co-lineær med en linje i det faste legeme, og et plan vinkelret på denne linje i det bevægelige legeme holder kontakt med et lignende vinkelret plan i den faste krop. Dette pålægger fem begrænsninger for den relative bevægelse af leddene, som derfor har en frihedsgrad, som er ren rotation omkring hængselets akse.
• En prismatisk led eller skyder kræver, at en linje eller akse i det bevægelige legeme forbliver co-lineær med en linje i det faste legeme, og et plan parallelt med denne linje i det bevægelige legeme opretholder kontakt med et lignende parallelt plan i den faste krop. Dette pålægger fem begrænsninger for forbindelsernes relative bevægelse, som derfor har en grad af frihed. Denne frihedsgrad er afstanden af ​​objektglasset langs linjen.
• En cylindrisk samling kræver, at en linje eller akse i det bevægelige legeme forbliver co-lineær med en linje i det faste legeme. Det er en kombination af et revolverled og et glideled. Denne led har to frihedsgrader. Placeringen af ​​det bevægelige legeme er defineret af både rotation omkring og glidning langs aksen.
• En sfærisk led eller kugleled kræver, at et punkt i den bevægelige krop opretholder kontakt med et punkt i det faste legeme. Denne led har tre frihedsgrader.
• Et plant led kræver, at et plan i det bevægelige legeme opretholder kontakt med et plan i fast legeme. Denne led har tre frihedsgrader.

Højere par

Generelt er et højere par en begrænsning, der kræver en kurve eller overflade i det bevægelige legeme for at opretholde kontakt med en kurve eller overflade i det faste legeme. For eksempel er kontakten mellem en knast og dens tilhænger et højere par kaldet en knastled . På samme måde er kontakten mellem de involutede kurver, der danner masketænderne i to tandhjul, knastled.

Kinematiske kæder

Illustration af en firestangssammenkobling fra http://en.wikisource.org/wiki/The_Kinematics_of_Machinery Kinematics of Machinery, 1876

Stive legemer ("links") forbundet med kinematiske par ("led") er kendt som kinematiske kæder . Mekanismer og robotter er eksempler på kinematiske kæder. Den grad af frihed af en kinematisk kæde er beregnet ud fra antallet af links og antallet og typen af samlinger ved hjælp af mobilitet formel . Denne formel kan også bruges til at opregne topologierne for kinematiske kæder, der har en given grad af frihed, som er kendt som typesyntese i maskindesign.

Eksempler

De plane frihedsgrader , der er samlet fra N- led og j- hængsler eller glidesamlinger, er:

• N = 2, j = 1: en to-stangs kobling, der er håndtaget;
• N = 4, j = 4: firestangsleddet ;
• N = 6, j = 7: en seks-stangs kobling . Dette skal have to links ("ternære links"), der understøtter tre led. Der er to forskellige topologier, der afhænger af, hvordan de to ternære forbindelser er forbundet. I Watt -topologien har de to ternære forbindelser et fælles led; i Stephenson -topologien har de to ternære links ikke en fælles led og er forbundet med binære links.
• N = 8, j = 10: otte-stangs kobling med 16 forskellige topologier;
• N = 10, j = 13: ti-stangs kobling med 230 forskellige topologier;
• N = 12, j = 16: tolv-bar kobling med 6.856 topologier.

For større kæder og deres koblingstopologier, se RP Sunkari og LC Schmidt, "Strukturel syntese af plane kinematiske kæder ved at tilpasse en algoritme af Mckay-typen", Mechanism and Machine Theory #41, s. 1021–1030 (2006).

Se også

Referencer

Yderligere læsning

• Koetsier, Teun (1994), "§8.3 Kinematics", i Grattan-Guinness, Ivor (red.), Companion Encyclopedia of the Mathematical Sciences's History and Philosophy , 2 , Routledge , s. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
• Moon, Francis C. (2007). Maskinerne fra Leonardo Da Vinci og Franz Reuleaux, Kinematics of Machines fra renæssancen til det 20. århundrede . Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0.
• Eduard Study (1913) DH Delphenich oversætter, "Fundamenter og mål for analytisk kinematik" .

eksterne links

• Java -applet med 1D -kinematik
• Physclips: Mekanik med animationer og videoklip fra University of New South Wales.
• Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL) med film og fotos af hundredvis af arbejdsmodeller af mekaniske systemer ved Cornell University og et e-bogs bibliotek med klassiske tekster om mekanisk design og teknik.
• Mikro-tommer positionering med kinematiske komponenter