Laplace operatør - Laplace operator

Del af en række artikler om
Regning
Grundlæggende sætning Leibniz integreret regel Funktionsgrænser Kontinuitet Middelværdisætning Rolles sætning
Differentiale Definitioner Afledt  ( generaliseringer ) Differentiale uendelig af en funktion i alt Begreber Differentieringsnotation Andet derivat Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterede priser Taylors sætning Regler og identiteter Sum Produkt Kæde Strøm Kvotient L'Hôpital's regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel Reynolds
Integreret Lister over integraler Integreret transformation Definitioner Antiderivativ Integreret  ( forkert ) Riemann integreret Lebesgue integration Kontur integration Integration af inverse funktioner Integration af Dele Diske Cylindriske skaller Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise fraktioner Ændrer rækkefølge Reduktionsformler Differentiering under det integrerede tegn Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Skiftevis Strøm Binomial Taylor Konvergens test Summand limit (term test) Forhold Rod Integreret Direkte sammenligning Begræns sammenligning Skiftevis serie Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Gradient Divergens Krølle Laplacian Retningsbestemt derivat Identiteter Sætninger Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserede Stokes
Multivariabel Formalisme Matrix Tensor Ydre Geometrisk Definitioner Delvist afledt Flere integrerede Linje integreret Overflade integreret Volumen integreret Jacobian Hessian
Specialiseret Brøk Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrationsbi Analyse
v t e

I matematik er Laplace -operatoren eller Laplacian en differentialoperator givet ved divergensen af gradienten af en skalarfunktion på det euklidiske rum . Det er normalt betegnet med symbolerne , (hvor er nabla -operatoren ) eller . I et kartesisk koordinatsystem er Laplacian givet ved summen af ​​anden partielle derivater af funktionen med hensyn til hver uafhængige variabel . I andre koordinatsystemer , såsom cylindriske og sfæriske koordinater , har Laplacian også en nyttig form. Uformelt måler Laplacian Δ f ( p ) for en funktion f på et punkt p , hvor meget middelværdien af f over små kugler eller kugler centreret ved p afviger fra f ( p ) . ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla}$${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ Delta}$

Laplace-operatøren er opkaldt efter den franske matematiker Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), der først anvendte operatøren til studiet af himmelsk mekanik , hvor operatøren giver et konstant multiplum af massetætheden, når den påføres tyngdekraften potentiale på grund af massefordelingen med den givne tæthed. Løsninger af ligningen Δ f = 0 , nu kaldet Laplaces ligning , er de såkaldte harmoniske funktioner og repræsenterer de mulige tyngdefelter i vakuumområder .

Laplacian forekommer i differentialligninger, der beskriver mange fysiske fænomener, såsom elektriske og gravitationspotentialer , diffusionsligningen for varme og væskestrøm , bølgeudbredelse og kvantemekanik . Laplacian repræsenterer fluxdensiteten af gradientstrømmen for en funktion. F.eks. Er nettohastigheden, hvormed et kemikalie opløst i en væske bevæger sig mod eller væk fra et eller andet tidspunkt, proportionalt med Laplacian af den kemiske koncentration på det tidspunkt; udtrykt symbolsk, er den resulterende ligning diffusionsligningen. Af disse grunde bruges den i vid udstrækning i videnskaberne til modellering af en række fysiske fænomener. Laplacian er den enkleste elliptiske operator og er kernen i Hodge -teorien samt resultaterne af de Rham -kohomologi . Inden for billedbehandling og computersyn har den laplanske operatør været brugt til forskellige opgaver, såsom blob og kantdetektering .

Definition

Laplace -operatoren er en andenordens differentialoperator i det n -dimensionelle euklidiske rum , defineret som divergensen ( ) af gradienten ( ). Så hvis er en todifferentierbar realværdifunktion , defineres Laplacian af : ${\ displaystyle \ nabla \ cdot}$${\ displaystyle \ nabla f}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^{2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$

( 1 )

hvor sidstnævnte betegnelser stammer fra formelt at skrive:

${\ displaystyle \ nabla f = \ venstre ({\ frac {\ delvis f} {\ delvis x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ delvis f} {\ delvis x_ {n}}} \ højre ).}$

Tilsvarende er laplacian af f summen af ​​alle de ublandede anden partielle derivater i de kartesiske koordinater x _i :

${\ displaystyle \ Delta f = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ delvis^{2} f} {\ delvis x_ {i}^{2}}}}$

( 2 )

Som en andenordens differensoperatoren, Laplace operatør maps C ^k funktioner til C ^{k -2} funktioner til k ≥ 2 . Udtrykket ( 1 ) (eller ækvivalent ( 2 )) definerer en operator Δ: C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ ) , eller mere generelt, en operator Δ: C ^k (Ω) → C ^{k - 2} (Ω) for ethvert åbent sæt Ω .

Motivering

Spredning

I fysiske teori om diffusion , Laplace operatør (via Laplace ligning ) opstår naturligt i den matematiske beskrivelse af ligevægt . Hvis u er densiteten ved ligevægt af en vis mængde, f.eks. En kemisk koncentration, er nettofluxen af u gennem grænsen for enhver glat region V nul, forudsat at der ikke er nogen kilde eller synke inden for V :

${\ displaystyle \ int _ {\ delvis V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \, dS = 0,}$

hvor n er for passiv enhed normal til grænsen for V . Ved divergens sætning ,

${\ displaystyle \ int _ {V} \ operatorname {div} \ nabla u \, dV = \ int _ {\ delvis V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \, dS = 0.}$

Da dette gælder for alle glatte områder V , kan det påvises, at dette indebærer:

${\ displaystyle \ operatorname {div} \ nabla u = \ Delta u = 0.}$

Den venstre side af denne ligning er Laplace-operatoren. Laplace-operatøren har selv en fysisk fortolkning for ikke-ligevægtsdiffusion som det omfang, i hvilket et punkt repræsenterer en kilde eller synk af kemisk koncentration, i en forstand præciseret af diffusionsligningen .

Gennemsnit

I betragtning af en to gange kontinuerligt differentierbar funktion , et punkt og et reelt tal , lader vi være gennemsnitsværdien af over bolden med radius centreret på og være middelværdien af over kuglen med radius centreret ved . Så har vi: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle h> 0}$${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {B} (s, h)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {S} (s, h)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {B} (p, h) = f (p)+{\ frac {\ Delta f (p)} {2 (n+2)}} h^{2} +o (h^{2}) \ quad {\ mbox {for}} \; \; h \ til 0}$

og

${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {S} (p, h) = f (p)+{\ frac {\ Delta f (p)} {2n}} h^{2}+o (h^ {2}) \ quad {\ mbox {for}} \; \; h \ til 0.}$

Tæthed forbundet med et potentiale

Hvis φ betegner det elektrostatiske potentiale, der er forbundet med en ladningsfordeling q , er selve ladningsfordelingen givet af negativet fra Laplacian af φ :

${\ displaystyle q =-\ varepsilon _ {0} \ Delta \ varphi,}$

hvor ε ₀ er den elektriske konstant .

Dette er en konsekvens af Gauss lov . Hvis V er en glat region, er strømningen af ​​det elektrostatiske felt E ifølge Gauss lov proportional med den vedlagte ladning:

${\ displaystyle \ int _ {\ delvis V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {n} \, dS = \ int _ {V} \ operatorname {div} \ mathbf {E} \, dV = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \, dV.}$

hvor den første lighed skyldes divergenssætningen . Da det elektrostatiske felt er potentialets (negative) gradient, giver dette nu:

${\ displaystyle -\ int _ {V} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) \, dV = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \, dV.}$

Så da dette gælder for alle regioner V , må vi have

${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) =-{\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} q}$

Den samme fremgangsmåde indebærer, at det negative af Laplacian af tyngdekraftspotentialet er massefordelingen . Ofte er ladnings (eller masse) fordelingen givet, og det tilhørende potentiale er ukendt. At finde den potentielle funktion underlagt passende randbetingelser svarer til at løse Poissons ligning .

Energiminimering

En anden motivation for Laplacian optræder i fysik er, at løsninger til Δ f = 0 i en region U er funktioner, der gør Dirichlet energi funktionel stationær :

${\ displaystyle E (f) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {U} \ lVert \ nabla f \ rVert ^{2} \, dx.}$

For at se denne, formoder f  : U → R er en funktion, og u  : U → R er en funktion, Vanishes på grænsen af U . Derefter:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} E (f+\ varepsilon u) = \ int _ {U} \ nabla f \ cdot \ nabla u \, dx =-\ int _ {U} u \, \ Delta f \, dx}$

hvor den sidste ligestilling følger ved hjælp af Greens første identitet . Denne beregning viser, at hvis Δ f = 0 , så er E stationær omkring f . Omvendt, hvis E er stationær omkring f , så er Δ f = 0 ved det fundamentale lemma for beregning af variationer .

Koordinere udtryk

To dimensioner

Laplace -operatøren i to dimensioner er givet ved:

I kartesiske koordinater ,

${\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis x ^{2}}}+{\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis y ^{2} }}}$

hvor x og y er standard kartesiske koordinater for xy -planet.

I polære koordinater ,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta f & = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ delvis r}} \ venstre (r {\ frac {\ delvis f} {\ delvis r}} \ højre)+{\ frac {1} {r ^{2}}} {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis \ theta ^{2}}} \\ & = { \ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis r ^{2}}}+{\ frac {1} {r}} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis r}}+{\ frac {1} {r ^{2}}} {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis \ theta ^{2}}}, \ slut {justeret}}}$

hvor r repræsenterer den radiale afstand og θ vinklen.

Tre dimensioner

I tre dimensioner er det almindeligt at arbejde med laplacierne i en række forskellige koordinatsystemer.

I kartesiske koordinater ,

${\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis x ^{2}}}+{\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis y ^{2} }}+{\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis z ^{2}}}.}$

I cylindriske koordinater ,

${\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ delvis \ rho}} \ venstre (\ rho {\ frac {\ delvis f} {\ delvis \ rho }} \ right)+{\ frac {1} {\ rho ^{2}}} {\ frac {\ partial ^{2} f} {\ partial \ varphi ^{2}}}+{\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis z ^{2}}},}$

hvor repræsenterer den radiale afstand, φ azimutvinklen og z højden. ${\ displaystyle \ rho}$

I sfæriske koordinater :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta f & = {\ frac {1} {r^{2}}} {\ frac {\ partial} {\ delvis r}} \ venstre (r^{2} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis r}} \ højre)+{\ frac {1} {r^{2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partiel} {\ delvis \ theta}} \ venstre (\ sin \ theta {\ frac {\ partiel f} {\ delvis \ theta}} \ højre)+{\ frac {1} {r ^{2} \ sin ^{2} \ theta}} {\ frac { \ delvis ^{2} f} {\ delvis \ varphi ^{2}}}, \ slut {justeret}}}$

hvor φ betegner azimutvinklen og θ den zenit vinkel eller co-bredde .

Generelt krumme lineære koordinater ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ):

${\ displaystyle \ Delta = \ nabla \ xi ^{m} \ cdot \ nabla \ xi ^{n} {\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis \ xi ^{m} \ delvis \ xi ^{ n}}}+\ nabla ^{2} \ xi ^{m} {\ frac {\ partial} {\ delvis \ xi ^{m}}} = g ^{mn} \ venstre ({\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis \ xi ^{m} \ delvis \ xi ^{n}}}-\ Gamma _ {mn} ^{l} {\ frac {\ delvis} {\ delvis \ xi ^{l }}}\ret),}$

hvor summering over de gentagne indekser er underforstået , er g ^mn den inverse metriske tensor og Γ ^l _mn er Christoffels symboler for de valgte koordinater.

N dimensioner

I vilkårlige krum koordinater i N dimensioner ( ξ ¹ , ..., ξ ^N ), vi kan skrive de Laplace i form af den inverse metriske tensor , : ${\ displaystyle g^{ij}}$

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} {\ frac {\ partial} {\ delvis \ xi ^{i}}} \ venstre ({\ sqrt {\ det g }} g ^{ij} {\ frac {\ partial} {\ delvis \ xi ^{j}}} \ højre),}$

fra Voss - Weyl -formlen for divergensen .

I sfæriske koordinater i N dimensioner , med parametrisering x = rθ ∈ R ^N med r repræsenterer et positivt reelt radius og θ et element af enheden sfære S ^{N -1} ,

${\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis r ^{2}}}+{\ frac {N-1} {r}} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis r}}+{\ frac {1} {r^{2}}} \ Delta _ {S^{N-1}} f}$

hvor Δ _{S ^{N −1}} er Laplace – Beltrami -operatoren på ( N -1) -kuglen, kendt som den sfæriske Laplacian. De to radiale afledte termer kan omskrives tilsvarende:

${\ displaystyle {\ frac {1} {r^{N-1}}} {\ frac {\ partiel} {\ delvis r}} \ venstre (r^{N-1} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis r}} \ højre).}$

Som en konsekvens kan den sfæriske Laplacian af en funktion defineret på S ^{N −1} ⊂ R ^N beregnes som den normale Laplacian af funktionen udvidet til R ^N ∖ {0}, så den er konstant langs stråler, dvs. homogen af grad nul.

Euklidisk invariance

Laplacian er invariant under alle euklidiske transformationer : rotationer og oversættelser . I to dimensioner betyder det for eksempel, at:

${\ displaystyle \ Delta (f (x \ cos \ theta -y \ sin \ theta +a, x \ sin \ theta +y \ cos \ theta +b)) = (\ Delta f) (x \ cos \ theta - y \ sin \ theta +a, x \ sin \ theta +y \ cos \ theta +b)}$

for alle θ , a og b . I vilkårlige dimensioner,

${\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ rho) = (\ Delta f) \ circ \ rho}$

når ρ er en rotation, og ligeledes:

${\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ tau) = (\ Delta f) \ circ \ tau}$

når τ er en oversættelse. (Mere generelt forbliver dette sandt, når ρ er en ortogonal transformation som f.eks. En refleksion .)

Faktisk er algebraen for alle skalære lineære differentialoperatorer med konstante koefficienter, der pendler med alle euklidiske transformationer, den polynomiske algebra, der genereres af Laplace -operatøren.

Spektral teori

Den spektret af Laplace-operatoren består af alle egenværdier A , hvor der er en tilsvarende eigenfunction f med:

${\ displaystyle -\ Delta f = \ lambda f.}$

Dette er kendt som Helmholtz -ligningen .

Hvis Ω er et afgrænset domæne i R ⁿ , er Laplacians egenfunktioner et orthonormalt grundlag for Hilbert -rummet L ² (Ω) . Dette resultat følger i det væsentlige fra spektralsætningen om kompakte selvtilstødende operatører , der er anvendt på inversen af ​​laplacianeren (som er kompakt, ved Poincaré-uligheden og Rellich – Kondrachov-sætningen ). Det kan også vises, at egenfunktionerne er uendeligt forskellige funktioner. Mere generelt gælder disse resultater for Laplace - Beltrami -operatøren på ethvert kompakt Riemannian manifold med grænse, eller faktisk for Dirichlet egenværdiproblem for enhver elliptisk operator med glatte koefficienter på et afgrænset domæne. Når Ω er n -kuglen , er Laplacians egenfunktioner de sfæriske harmoniske .

Vector Laplacian

Den vektor Laplace-operatoren , også angivet ved , er en differensoperatoren defineret over et vektorfelt . Vektoren Laplacian ligner skalaren Laplacian; hvorimod scalar Laplacian gælder for et skalarfelt og returnerer en skalær mængde, gælder vektoren Laplacian for et vektorfelt og returnerer en vektormængde. Når det beregnes i orthonormale kartesiske koordinater , er det returnerede vektorfelt lig med vektorfeltet i skalaren Laplacian, der påføres hver vektorkomponent. ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$

Den vektor Laplace af en vektorfelt defineres som ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ nabla ^{2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A})-\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}).}$

I kartesiske koordinater reduceres dette til den meget enklere form som

${\ displaystyle \ nabla ^{2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^{2} A_ {x}, \ nabla ^{2} A_ {y}, \ nabla ^{2} A_ {z}), }$

hvor ,, og er komponenterne i vektorfeltet , og lige til venstre for hver vektorfeltkomponent er (skalaren) Laplace -operatoren. Dette kan ses som et specielt tilfælde af Lagranges formel; se Vector tredobbelt produkt . ${\ displaystyle A_ {x}}$${\ displaystyle A_ {y}}$${\ displaystyle A_ {z}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$

For udtryk for vektoren Laplacian i andre koordinatsystemer se Del i cylindriske og sfæriske koordinater .

Generalisering

Laplacian for ethvert tensorfelt ("tensor" inkluderer skalar og vektor) er defineret som divergensen af tensorens gradient : ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

${\ displaystyle \ nabla ^{2} \ mathbf {T} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {T}.}$

I det særlige tilfælde, hvor er en skalar (en tensor på nul), tager laplacien den velkendte form. ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

Hvis er en vektor (en tensor af første grad), er gradienten et kovariantderivat, der resulterer i en tensor af anden grad, og divergensen af ​​denne er igen en vektor. Formlen for vektoren Laplacian ovenfor kan bruges til at undgå tensormatematik og kan vise sig at være ækvivalent med divergensen af ​​den jacobiske matrix vist nedenfor for gradienten af ​​en vektor: ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ begin {bmatrix} T_ {xx} & T_ {xy} & T_ { xz} \\ T_ {yx} & T_ {yy} & T_ {yz} \\ T_ {zx} & T_ {zy} & T_ {zz} \ end {bmatrix}}, {\ text {hvor}} T_ {uv} \ equiv {\ frac {\ delvis T_ {u}} {\ delvis v}}.}$

Og på samme måde kan et prikprodukt, der evaluerer til en vektor, af en vektor ved gradienten af ​​en anden vektor (en tensor på 2. grad) ses som et produkt af matricer:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} \ end {bmatrix}} \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {x} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {y} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {z} \ end { bmatrix}}.}$

Denne identitet er et koordinatafhængigt resultat og er ikke generelt.

Brug i fysik

Et eksempel på brugen af ​​vektoren Laplacian er Navier-Stokes ligninger for en Newtonsk inkomprimerbar strøm :

${\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partiel t}}+(\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} \ right) = \ rho \ mathbf {f} -\ nabla p+\ mu \ venstre (\ nabla ^{2} \ mathbf {v} \ højre),}$

hvor udtrykket med vektoren Laplace af hastigheden felt repræsenterer de viskose spændinger i væsken. ${\ displaystyle \ mu \ venstre (\ nabla ^{2} \ mathbf {v} \ højre)}$

Et andet eksempel er bølgelegningen for det elektriske felt, der kan udledes af Maxwells ligninger i fravær af ladninger og strømme:

${\ displaystyle \ nabla ^{2} \ mathbf {E} -\ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^{2} \ mathbf {E}} {\ delvis t ^{2 }}} = 0.}$

Den tidligere ligning kan også skrives som:

${\ displaystyle \ Box \, \ mathbf {E} = 0,}$

hvor

${\ displaystyle \ Box \ equiv {\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis t ^{2}}}-\ nabla ^{2}, }$

er D'Alembertian , brugt i Klein -Gordon -ligningen .

Generaliseringer

En version af Laplacian kan defineres overalt, hvor Dirichlet -energifunktionen giver mening, hvilket er teorien om Dirichlet -former . For rum med yderligere struktur kan man give mere eksplicitte beskrivelser af Laplacian som følger.

Laplace – Beltrami operatør

Laplacianeren kan også generaliseres til en elliptisk operator kaldet Laplace - Beltrami -operatoren defineret på en Riemannian manifold . D'Alembert-operatøren generaliserer til en hyperbolsk operatør på pseudo-Riemanniske manifolder . Laplace – Beltrami -operatoren, når den anvendes på en funktion, er sporet ( tr ) af funktionens hessiske :

${\ displaystyle \ Delta f = \ operatorname {tr} {\ big (} H (f) {\ big)}}$

hvor sporet tages med hensyn til inversen af ​​den metriske tensor . Laplace – Beltrami -operatoren kan også generaliseres til en operator (også kaldet Laplace – Beltrami -operatoren), der opererer på tensorfelter , ved en lignende formel.

En anden generalisering af Laplace-operatøren, der er tilgængelig på pseudo-Riemannian manifolds, anvender det udvendige derivat , hvorved "geometerets Laplacian" udtrykkes som

${\ displaystyle \ Delta f = \ delta df.}$

Her δ er kodifferentialen , som også kan udtrykkes i form af Hodge -stjernen og det udvendige derivat. Denne operatør adskiller sig i tegn fra "analytikerens laplacian" defineret ovenfor. Mere generelt defineres "Hodge" Laplacian på differentielle former α by

${\ displaystyle \ Delta \ alpha = \ delta d \ alpha +d \ delta \ alpha.}$

Dette er kendt som Laplace – de Rham -operatøren , der er relateret til Laplace – Beltrami -operatøren af Weitzenböck -identiteten .

D'Alembertian

Laplacian kan generaliseres på visse måder til ikke-euklidiske rum, hvor det kan være elliptisk , hyperbolsk eller ultrahyperbolisk .

I Minkowski rum den Laplace-Beltrami operatør bliver D'Alembert operatør eller D'Alembertian: ${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ square = {\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis t ^{2}}}-{\ frac {\ delvis ^{ 2}} {\ delvis x ^{2}}}-{\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis y ^{2}}}-{\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis z^{2}}}.}$

Det er generaliseringen af ​​Laplace-operatøren i den forstand, at det er differentialoperatoren, der er invariant under isometrigruppen i det underliggende rum, og det reducerer til Laplace-operatøren, hvis den er begrænset til tidsuafhængige funktioner. Det overordnede tegn på metriken her vælges således, at operatørens rumlige dele indrømmer et negativt tegn, som er den sædvanlige konvention inden for partikelfysik med høj energi . D'Alembert -operatøren er også kendt som bølgeoperatoren, fordi den er differentialoperatoren, der optræder i bølgeligningerne , og den er også en del af Klein -Gordon -ligningen , som reduceres til bølge -ligningen i det masseløse tilfælde.

Den ekstra faktor c i metriket er nødvendig i fysikken, hvis rum og tid måles i forskellige enheder; en lignende faktor ville være påkrævet, hvis for eksempel x -retningen blev målt i meter, mens y -retningen blev målt i centimeter. Faktisk arbejder teoretiske fysikere normalt i enheder, således at c = 1 for at forenkle ligningen.

Se også

• Laplace – Beltrami-operatør , generalisering til submanifolds i euklidisk rum og Riemannian og pseudo-Riemannian manifold.
• Den vektor Laplacian operatør, en generalisering af Laplace til vektorfelter .
• Den Laplacian i differential geometri .
• Den diskrete Laplace-operatør er en grænseværdig analog af den kontinuerlige Laplacian, defineret på grafer og gitre.
• Laplacian er en almindelig operatør inden for billedbehandling og edb -vision (se Laplacian of Gaussian , blob detektor og skala mellemrum ).
• Den liste over formler i riemannsk geometri indeholder udtryk for Laplace i form af Christoffel symboler.
• Weyls lemma (Laplace -ligning) .
• Earnshaw's sætning, der viser, at stabil statisk tyngdekraft, elektrostatisk eller magnetisk suspension er umulig.
• Del i cylindriske og sfæriske koordinater .
• Andre situationer, hvor en Laplacian er defineret, er: analyse af fraktaler , tidsskala -beregning og diskret udvendig beregning .

Noter

Referencer

• Evans, L. (1998), Partial Differential Equations , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Feynman, R .; Leighton, R; Sands, M. (1970), "Kapitel 12: Elektrostatiske analoger", The Feynman Lectures on Physics , 2 , Addison-Wesley-Longman
• Gilbarg, D .; Trudinger, N. (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
• Schey, HM (1996), Div, Grad, Curl og alt det , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

Yderligere læsning

• http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node23.html

eksterne links

• "Laplace operator" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Laplacian" . MathWorld .
• Laplacian i polære koordinater afledning