Larmor formel - Larmor formula

En Yagi-Uda antenne . Radiobølger kan udstråles fra en antenne ved at accelerere elektroner i antennen. Dette er en sammenhængende proces, så den samlede udstrålede effekt er proportional med kvadratet af antallet af elektroner, der accelererer.

I elektrodynamikken , den Larmor formel anvendes til at beregne den samlede effekt , der udstråles af en ikke-relativistisk punkt ladning som det accelererer. Det blev først udledt af JJ Larmor i 1897 i forbindelse med bølgeteorien om lys .

Når en ladet partikel (såsom en elektron , en proton eller en ion ) accelererer, stråler den væk energi i form af elektromagnetiske bølger . For hastigheder, der er små i forhold til lysets hastighed , er den samlede udstrålede effekt givet ved Larmor -formlen:

{\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {q^{2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c}} \ venstre ({\ frac {\ dot {v}} {c} } \ højre)^{2} = {2 \ over 3} {\ frac {q^{2} a^{2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c^{3}}} = {\ frac {q^{2} a^{2}} {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c^{3}}} {\ mbox {(SI -enheder)}}}

{\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {q^{2} a^{2}} {c^{3}}} {\ mbox {(cgs -enheder)}}}}

hvor eller er den korrekte acceleration, ladningen og lysets hastighed. En relativistisk generalisering er givet af Liénard – Wiechert -potentialerne . ${\ displaystyle {\ dot {v}}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle c}$

I begge enhedssystemer kan den effekt, der udstråles af en enkelt elektron, udtrykkes i form af den klassiske elektronradius og elektronmasse som:

{\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {m_ {e} r_ {e} a^{2}} {c}}}

En implikation er, at en elektron, der kredser omkring en kerne, som i Bohr -modellen , skulle miste energi, falde til kernen og atomet skulle kollapse. Dette puslespil blev ikke løst, før kvanteteorien blev introduceret.

Afledning

Afledning 1: Matematisk tilgang (ved hjælp af CGS -enheder)

Vi skal først finde formen for de elektriske og magnetiske felter. Felterne kan skrives (for en mere fuldstændig afledning se Liénard – Wiechert potentiale )

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = q \ left ({\ frac {\ mathbf {n} -{\ boldsymbol {\ beta}}} {\ gamma ^{2} (1 -{\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {n})^{3} R^{2}}} \ right) _ {\ rm {ret}}+{\ frac {q} {c}} \ venstre ({\ frac {\ mathbf {n} \ times [(\ mathbf {n} -{\ boldsymbol {\ beta}}) \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}]}} {(1 -{\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {n})^{3} R}} \ right) _ {\ rm {ret}}}

og

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {n} \ times \ mathbf {E},}

hvor er ladningens hastighed divideret med , er ladningens acceleration divideret med c , er en enhedsvektor i retningen, størrelsen på , er ladningens placering og . Vilkårene til højre evalueres på det forsinkede tidspunkt . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} -\ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} -\ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ gamma = (1- \ beta ^{2}) ^{-1/2}}$ ${\ displaystyle t _ {\ tekst {r}} = tR/c}$

Den højre side er summen af de elektriske felter, der er forbundet med hastigheden og accelerationen af den ladede partikel. Hastighedsfeltet afhænger kun af, mens accelerationsfeltet afhænger af både og og vinkelforholdet mellem de to. Da hastighedsfeltet er proportionalt med , falder det meget hurtigt med afstanden. På den anden side er accelerationsfeltet proportionalt med , hvilket betyder, at det falder meget langsommere med afstanden. På grund af dette er accelerationsfeltet repræsentativt for strålingsfeltet og er ansvarlig for at transportere det meste af energien væk fra ladningen. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}}$ ${\ displaystyle 1/R^{2}}$ ${\ displaystyle 1/R}$

Vi kan finde den energi flux tæthed af strålingen felt ved at beregne sin Poynting vektor :

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {c} {4 \ pi}} \ mathbf {E} _ {\ text {a}} \ times \ mathbf {B} _ {\ text {a}}, }

hvor 'a' -abonnementerne understreger, at vi kun tager accelerationsfeltet. Substituerer i forholdet mellem de magnetiske og elektriske felter, mens vi antager, at partiklen øjeblikkeligt hviler på et tidspunkt og forenkler ${\ displaystyle t _ {\ tekst {r}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {q^{2}} {4 \ pi c}} \ venstre | {\ frac {\ mathbf {n} \ times (\ mathbf {n} \ times {\ prik {\ boldsymbol {\ beta}}})} {R}} \ right |^{2} \ mathbf {n}.}

Hvis vi lader vinklen mellem acceleration og observationsvektoren være lig med , og vi indfører accelerationen , derefter magt udstrålede pr rumvinkel er ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} c}$

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^{2}} {4 \ pi c}} {\ frac {\ sin ^{2} (\ theta) \, a ^{2}} {c^{2}}}.}

Den samlede udstrålede effekt findes ved at integrere denne mængde over alle faste vinkler (det vil sige over og ). Dette giver ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q^{2} a^{2}} {c^{3}}},}

hvilket er Larmor -resultatet for en ikke -relativistisk accelereret ladning. Det relaterer den effekt, der udstråles af partiklen, til dens acceleration. Det viser tydeligt, at jo hurtigere ladningen accelererer, jo større bliver strålingen. Vi ville forvente dette, da strålingsfeltet er afhængigt af acceleration.

Afledning 2: Edward M. Purcell tilgang

Den fulde afledning kan findes her.

Her er en forklaring, der kan hjælpe med at forstå ovenstående side.

Denne tilgang er baseret på den begrænsede lyshastighed. En ladning, der bevæger sig med konstant hastighed, har et radialt elektrisk felt (i afstand fra ladningen), der altid kommer fra ladningens fremtidige position, og der er ingen tangential komponent i det elektriske felt . Denne fremtidige position er fuldstændig deterministisk, så længe hastigheden er konstant. Når ladningens hastighed ændres, (sig at den hopper tilbage i løbet af kort tid) "hopper" den fremtidige position, så fra dette øjeblik og fremefter kommer det radiale elektriske felt fra en ny position. I betragtning af at det elektriske felt skal være kontinuerligt, vises en ikke-nul tangential komponent i det elektriske felt , som falder som (i modsætning til den radiale komponent, der falder som ). ${\ displaystyle E_ {r}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle (E_ {t} = 0)}$ ${\ displaystyle E_ {r}}$ ${\ displaystyle E_ {t}}$ ${\ displaystyle 1/R}$ ${\ displaystyle 1/R^{2}}$

Derfor, i store afstande fra ladningen, er den radiale komponent ubetydelig i forhold til den tangentielle komponent, og derudover kan felter, der opfører sig som, ikke udstråle, fordi den Poynting -vektor, der er forbundet med dem, vil opføre sig som . ${\ displaystyle 1/R^{2}}$ ${\ displaystyle 1/R^{4}}$

Den tangentielle komponent kommer ud (SI -enheder):

{\ displaystyle E_ {t} = {{ea \ sin (\ theta)} \ over {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c^{2} R}}.}

Og for at opnå Larmour -formlen skal man integrere over alle vinkler, i stor afstand fra ladningen, den Poynting -vektor , der er forbundet med , som er: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle E_ {t}}$

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {E_ {t}^{2} \ over \ mu _ {0} c} \ mathbf {\ hat {r}} = {{e^{2} a^{2} \ sin ^{2} (\ theta)} \ over {16 \ pi ^{2} \ varepsilon _ {0} c ^{3} R ^{2}}} \ mathbf {\ hat {r}}}

giver (SI -enheder)

{\ displaystyle P = {{e^{2} a^{2}} \ over {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c^{3}}}.}

Dette svarer matematisk til:

{\ displaystyle P = {{\ mu _ {0} e^{2} a^{2}} \ over {6 \ pi c}}.}

Siden gendanner vi resultatet citeret øverst i artiklen, nemlig ${\ displaystyle c^{2} = 1/\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}}$

{\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {q^{2} a^{2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c^{3}}} = {\ frac {q^ {2} a^{2}} {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c^{3}}}.}

Relativistisk generalisering

Kovariant form

Skrevet i momentum, $p$ , er den ikke -relativistiske Larmor -formel (i CGS -enheder)

{\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q^{2}} {m^{2} c^{3}}} | {\ dot {\ mathbf {p}}} |^{2}.}

Effekten $P$ kan vise sig at være Lorentz invariant . Enhver relativistisk generalisering af Larmor -formlen skal derfor relatere $P$ til en anden Lorentz invariant størrelse. Mængden i den ikke-relativistiske formel antyder, at den relativistisk korrekte formel skal omfatte Lorentz-skalaren fundet ved at tage det indre produkt af fire-accelerationen $a$ $μ$ $=$ $dp$ $μ$ $/$ $d$ $τ$ med sig selv [her $p$ $μ$ $= (γ$ $mc$ $, γ$ $m$ $v$ $)$ er fire-momentum ]. Den korrekte relativistiske generalisering af Larmor -formlen er (i CGS -enheder) ${\ displaystyle | {\ dot {\ mathbf {p}}} |^{2}}$

${\ displaystyle P =-{\ frac {2} {3}} {\ frac {q^{2}} {m^{2} c^{3}}} {\ frac {dp _ {\ mu}} { d \ tau}} {\ frac {dp^{\ mu}} {d \ tau}}.}$

Det kan påvises, at dette indre produkt er givet af

{\ displaystyle {\ frac {dp _ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dp ^{\ mu}} {d \ tau}} = \ beta ^{2} \ venstre ({\ frac { dp} {d \ tau}} \ højre)^{2}-\ venstre ({\ frac {d {\ mathbf {p}}} {d \ tau}} \ højre)^{2},}

og så i grænsen $β ≪ 1$ reduceres den til , hvilket reproducerer det ikke -relativistiske tilfælde. ${\ displaystyle -| {\ dot {\ mathbf {p}}} |^{2}}$

Ikke-kovariant form

Ovenstående indre produkt kan også skrives i form af $β$ og dets tidsafledte. Så er den relativistiske generalisering af Larmor -formlen (i CGS -enheder)

${\ displaystyle P = {\ frac {2q^{2} \ gamma^{6}} {3c}} \ venstre [({\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}})^{2}-({\ fed symbol {\ beta}} \ gange {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}})^{2} \ højre].}$

Dette er Liénard -resultatet, som først blev opnået i 1898. Det betyder, at når Lorentz -faktoren er meget tæt på en (dvs. ) vil strålingen udsendt af partiklen sandsynligvis være ubetydelig. Men efterhånden som strålingen vokser ligesom partiklen forsøger at miste sin energi i form af EM -bølger. Når accelerationen og hastigheden er ortogonal, reduceres effekten også med en faktor , dvs. faktoren bliver . Jo hurtigere bevægelsen bliver, jo større bliver denne reduktion. ${\ displaystyle \ gamma ^{6}}$ ${\ textstyle \ gamma = 1/{\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ ll 1}$ ${\ displaystyle \ beta \ rightarrow 1}$ ${\ displaystyle \ gamma ^{6}}$ ${\ displaystyle 1- \ beta ^{2} = 1/\ gamma ^{2}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^{6}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^{4}}$

Vi kan bruge Liénards resultat til at forudsige, hvilken slags strålingstab vi kan forvente i forskellige former for bevægelse.

Vinkelfordeling

Vinkelfordelingen af udstrålet effekt er givet ved en generel formel, der kan anvendes, uanset om partiklen er relativistisk eller ej. I CGS -enheder er denne formel

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q^{2}} {4 \ pi c}} {\ frac {| \ mathbf {\ hat {n}} \ times [ (\ mathbf {\ hat {n}} -{\ boldsymbol {\ beta}}) \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}] |^{2}} {(1- \ mathbf {\ hat {n}} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}})^{5}}},}

hvor er en enhedsvektor, der peger fra partiklen mod observatøren. I tilfælde af lineær bevægelse (hastighed parallelt med acceleration) forenkles dette til ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q^{2} a^{2}} {4 \ pi c^{3}}} {\ frac {\ sin^{ 2} \ theta} {(1- \ beta \ cos \ theta)^{5}}},}

hvor er vinklen mellem observatøren og partikelens bevægelse. ${\ displaystyle \ theta}$

Spørgsmål og konsekvenser

Strålingsreaktion

Strålingen fra en ladet partikel bærer energi og momentum. For at tilfredsstille energi- og momentumbevarelse skal den ladede partikel opleve en rekyl på emissionstidspunktet. Strålingen skal udøve en ekstra kraft på den ladede partikel. Denne kraft er kendt som Abraham – Lorentz -kraften i den ikke -relativistiske grænse og Abraham – Lorentz – Dirac -kraften i den relativistiske setting.

Atomisk fysik

En klassisk elektron i Bohr -modellen, der kredser om en kerne, oplever acceleration og bør udstråle. Derfor mister elektronen energi, og elektronen skal i sidste ende spiralere ind i kernen. Atomer er ifølge klassisk mekanik derfor ustabile. Denne klassiske forudsigelse krænkes ved observation af stabile elektronbaner. Problemet løses med en kvantemekanisk beskrivelse af atomfysik , der oprindeligt blev leveret af Bohr -modellen. Klassiske løsninger til elektronorbitalers stabilitet kan påvises ved hjælp af ikke-strålingsbetingelser og i overensstemmelse med kendte fysiske love.

Se også

Noter

Referencer

J. Larmor, "Om en dynamisk teori om det elektriske og lysende medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) s. 205–300 (tredje og sidste i en række papirer med samme navn).
Jackson, John D. (1998). Klassisk elektrodynamik (3. udgave) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X. (Afsnit 14.2ff)
Misner, Charles; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Feynman Foredrag om Gravitation . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.

Languages

In other projects