Grænse (matematik) - Limit (mathematics)

I matematik er en grænse værdien, som en funktion (eller sekvens ) nærmer sig, når input (eller indeks) nærmer sig en vis værdi . Grænser er afgørende for beregning og matematisk analyse og bruges til at definere kontinuitet , derivater og integraler .

Begrebet en grænse for en sekvens er yderligere generaliseret til begrebet en grænse for et topologisk net og er tæt forbundet med grænse og direkte grænse i kategoriteori .

I formler er en grænse for en funktion normalt skrevet som

${\ displaystyle \ lim _ {x \ til c} f (x) = L,}$

eller

Ltx  →  c f ( x ) = L ,

og læses som "grænsen for f for x, når x nærmer sig c er lig med L ". Det faktum, at en funktion f nærmer sig grænsen L, når x nærmer sig c, er undertiden angivet med en højre pil (→ eller ), som i ${\ displaystyle \ rightarrow}$

${\ displaystyle f (x) \ til L {\ tekst {som}} x \ til c,}$

der lyder " af har tendens til som har tendens til ". ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle c}$

Grænse for en funktion

Når et punkt x er inden for en afstand δ af c , værdien f ( x ) er inden for en afstand ε af L .

For alle x > S , værdien f ( x ) er inden for en afstand ε af L .

Antag at f er en reelt værdsat funktion, og c er et reelt tal . Intuitivt set udtrykket

${\ displaystyle \ lim _ {x \ til c} f (x) = L}$

betyder, at f ( x ) kan fås til at være så tæt på L som ønsket ved at gøre x tilstrækkeligt tæt på c . I så fald kan ovenstående ligning læses som "grænsen for f for x , når x nærmer sig c , er L ".

Augustin-Louis Cauchy i 1821, efterfulgt af Karl Weierstrass , formaliserede definitionen af ​​grænsen for en funktion, der blev kendt som (ε, δ) -definition af grænse . Definitionen bruger ε (det små græske bogstav epsilon ) til at repræsentere et lille positivt tal, så " f ( x ) bliver vilkårligt tæt på L " betyder, at f ( x ) til sidst ligger i intervallet ( L - ε , L + ε ) , som også kan skrives ved hjælp af tegn på absolut værdi som | f ( x ) - L | < ε . Sætningen "når x nærmer sig c " angiver derefter, at vi refererer til værdier af x , hvis afstand fra c er mindre end et positivt tal δ (det lille græske bogstav delta ) - det vil sige værdier af x inden for begge ( c - δ , c ) eller ( c , c + δ ) , som kan udtrykkes med 0 <| x - c | < δ . Den første ulighed betyder, at afstanden mellem x og c er større end 0, og at x ≠ c , mens den anden angiver, at x er inden for afstand δ af c .

Ovenstående definition af en grænse gælder også, selvom f ( c ) ≠ L . Funktionen f behøver faktisk ikke engang at blive defineret ved c .

For eksempel hvis

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x^{2} -1} {x-1}}}$

så er f (1) ikke defineret (se ubestemte former ), men da x bevæger sig vilkårligt tæt på 1, nærmer f ( x ) sig tilsvarende 2:

Således kan f ( x ) laves vilkårligt tæt på grænsen på 2 - bare ved at gøre x tilstrækkeligt tæt på 1 .

Med andre ord,

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ til 1} {\ frac {x^{2} -1} {x-1}} = 2.}$$

Dette kan også beregnes algebraisk, som for alle reelle tal x ≠ 1 . ${\ textstyle {\ frac {x^{2} -1} {x-1}} = {\ frac {(x+1) (x-1)} {x-1}} = x+1}$

Nu, da x + 1 er kontinuerlig i x ved 1, kan vi nu tilslutte 1 for x , hvilket fører til ligningen

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ til 1} {\ frac {x^{2} -1} {x-1}} = 1+1 = 2.}$$

Ud over grænser ved begrænsede værdier kan funktioner også have grænser i det uendelige. Overvej f.eks. Funktionen

$${\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x-1} {x}}}$$

• f (100) = 1,9900
• f (1000) = 1,9990
• f (10000) = 1,9999

Da x bliver ekstremt stor, nærmer værdien af f ( x ) sig 2 , og værdien af f ( x ) kan gøres så tæt på 2, som man kunne ønske sig - ved at gøre x tilstrækkelig stor. Så i dette tilfælde er grænsen for f ( x ) når x nærmer sig uendelig 2 , eller i matematisk notation,

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {2x-1} {x}} = 2}$$

Grænse for en sekvens

Overvej følgende sekvens: 1.79, 1.799, 1.7999,… Det kan observeres, at tallene "nærmer sig" 1.8, sekvensens grænse.

Formelt formoder en ₁ , en ₂ , ... er en sekvens af reelle tal . Man kan konstatere, at det reelle tal L er grænsen for denne sekvens, nemlig:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = L}$

som læses som

"Grænsen for a _n når n nærmer sig uendelighed er lig med L "

hvis og kun hvis

For hvert reelt tal ε > 0 eksisterer der et naturligt tal N, så for alle n > N har vi | en _n - L | < ε .

Intuitivt betyder det, at alle elementer i sekvensen i sidste ende kommer vilkårligt tæt på grænsen, da den absolutte værdi | en _n - L | er afstanden mellem en _n og L . Ikke hver sekvens har en grænse; hvis det gør det, så kaldes det konvergent , og hvis det ikke gør det, er det divergerende . Man kan vise, at en konvergent sekvens kun har én grænse.

Grænsen for en sekvens og grænsen for en funktion er nært beslægtede. På den ene side er grænsen, når n nærmer sig uendeligheden af ​​en sekvens { a _n } simpelthen grænsen ved uendelighed for en funktion a ( n ) - defineret på de naturlige tal { n } . På den anden side, hvis X er domænet for en funktion f ( x ), og hvis grænsen som n nærmer sig uendeligt af f ( x _n ) er L for hver vilkårlig sekvens af punkter { x _n } i { X - { x ₀ }} som konvergerer til x ₀ , så grænsen for funktionen f ( x ) som x nærmer x ₀ er L . En sådan sekvens ville være { x ₀ + 1/ n } .

Begræns som "standarddel"

I ikke-standard analyse (der involverer en hyperreal udvidelse af talsystemet), grænsen for en sekvens kan udtrykkes som den standard del af værdien af den naturlige forlængelse af sekvensen ved en uendelig Hypernatural indeks n = H . Dermed, ${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {H}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ operatorname {st} (a_ {H}).}$

Her afrunder standarddelfunktionen "st" hvert endelige hyperreale tal til det nærmeste reelle tal (forskellen mellem dem er uendelig ). Dette formaliserer den naturlige intuition, at for "meget store" værdier af indekset er udtrykkene i sekvensen "meget tæt" på sekvensens grænseværdi. Omvendt er standarddelen af ​​en hyperreal repræsenteret i ultrapower -konstruktionen af ​​en Cauchy -sekvens simpelthen grænsen for denne sekvens: ${\ displaystyle a = [a_ {n}]}$${\ displaystyle (a_ {n})}$

${\ displaystyle \ operatorname {st} (a) = \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}.}$

I denne forstand er det at tage grænsen og tage standarddelen tilsvarende procedurer.

Konvergens og fast punkt

En formel definition af konvergens kan angives som følger. Antag, at fra går til er en sekvens, der konvergerer til , med for alle . Hvis positive konstanter og findes med ${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p_ {n} \ neq p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ left | p_ {n+1} -p \ right |} {\ left | p_ {n} -p \ right |^{\ alpha} }} = \ lambda}$

derefter som går fra til konvergerer til orden , med asymptotisk fejlkonstant . ${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ lambda}$

Givet en funktion med et fast punkt , er der en fin tjekliste til kontrol af konvergensen af ​​sekvensen . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p_ {n}}$

1. Kontroller først, at p faktisk er et fast punkt:

   ${\ displaystyle f (p) = p}$

2. Kontroller for lineær konvergens. Start med at finde . Hvis…${\ displaystyle \ venstre | f '(p) \ højre |}$

${\ displaystyle \ left | f '(p) \ right | \ in (0,1)}$	så er der lineær konvergens
${\ displaystyle \ venstre | f '(p) \ højre |> 1}$	serien afviger
${\ displaystyle \ left | f '(p) \ right | = 0}$	så er der i det mindste lineær konvergens og måske noget bedre, udtrykket skal kontrolleres for kvadratisk konvergens

3. Hvis det konstateres, at der er noget bedre end lineært, skal udtrykket kontrolleres for kvadratisk konvergens. Start med at finde Hvis ...${\ displaystyle \ left | f '' (p) \ right |}$

${\ displaystyle \ left | f '' (p) \ right | \ neq 0}$	så er der kvadratisk konvergens, forudsat at den er kontinuerlig ${\ displaystyle f '' (p)}$
${\ displaystyle \ left | f '' (p) \ right | = 0}$	så er der noget endnu bedre end kvadratisk konvergens
${\ displaystyle \ left | f '' (p) \ right |}$ eksisterer ikke	så er der konvergens, der er bedre end lineær, men stadig ikke kvadratisk

Grænsens beregning

Grænser kan være svære at beregne. Der findes grænseudtryk, hvis modul for konvergens er ubestemmeligt . I rekursion teori , den grænse lemma viser, at det er muligt at indkode uafgørlige problemer ved hjælp af grænser.

Se også

• Asymptotisk analyse : en metode til at beskrive begrænsende adfærd
  • Big O -notation : bruges til at beskrive en funktions begrænsende adfærd, når argumentet har tendens til en bestemt værdi eller uendelighed
• Banachgrænse defineret på Banach -rummet, der udvider de sædvanlige grænser.${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}}$
• Cauchy sekvens
  • Komplet metrisk rum
• Konvergens af tilfældige variabler
• Konvergerende matrix
• Begrænsning i kategoriteori
  • Direkte grænse
  • Omvendt grænse
• Grænse for en funktion
  • Ensidig grænse : en af ​​de to funktionsgrænser for en reel variabel x , når x nærmer sig et punkt ovenfra eller under
  • Liste over grænser : liste over grænser for fælles funktioner
  • Klem sætning : finder en grænse for en funktion ved sammenligning med to andre funktioner
• Grænsepunkt
• Grænseværdi
• Begræns overlegne og begræns lavere
• Konvergensformer
  • Et kommenteret indeks
• Konvergenshastighed : den hastighed, hvormed en konvergent sekvens nærmer sig sin grænse

Noter

Referencer

• Apostol, Tom M. (1974), Matematisk analyse (2. udgave), Menlo Park: Addison-Wesley , LCCN  72011473

eksterne links

Lyt til denne artikel ( 15 minutter )

Denne lydfil blev oprettet ud fra en revision af denne artikel af 6. juni 2021 og afspejler ikke efterfølgende ændringer. ( 2021-06-06 )

( Lydhjælp  · Flere talte artikler )