Lineær kombination - Linear combination

I matematik er en lineær kombination et udtryk konstrueret ud fra et sæt udtryk ved at multiplicere hvert udtryk med en konstant og tilføje resultaterne (f.eks. Ville en lineær kombination af x og y være ethvert udtryk for formen ax + med , hvor a og b er konstanter). Begrebet lineære kombinationer er centralt for lineær algebra og relaterede matematikfelter. Det meste af denne artikel beskæftiger sig med lineære kombinationer i sammenhæng med et vektorrum over et felt , med nogle generaliseringer givet i slutningen af artiklen.

Definition

Lad V være et vektorrum over feltet K . Som sædvanligt kalder vi elementer af V- vektorer og kaldelementer af K- skalarer . Hvis v ₁ , ..., v _n er vektorer og en ₁ , ..., en _n er skalarer, derefter lineær kombination af de vektorer med disse skalarer som koefficienter er

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + a_ {3} \ mathbf {v} _ {3} + \ cdots + a_ { n} \ mathbf {v} _ {n}.}

Der er en vis tvetydighed i brugen af udtrykket "lineær kombination" med hensyn til, om det henviser til udtrykket eller dets værdi. I de fleste tilfælde understreges værdien, som i påstanden "sættet af alle lineære kombinationer af v ₁ , ..., v _n danner altid et underområde". Man kan dog også sige "to forskellige lineære kombinationer kan have den samme værdi", i hvilket tilfælde henvisningen er til udtrykket. Den subtile forskel mellem disse anvendelser er essensen af begrebet lineær afhængighed : en familie F af vektorer er lineært uafhængige, netop hvis en hvilken som helst lineær kombination af vektorerne i F (som værdi) er unik (som udtryk). Under alle omstændigheder, selv når det betragtes som udtryk, er alt, hvad der betyder noget om en lineær kombination, koefficienten for hver v _i ; trivielle modifikationer såsom permuting af termerne eller tilføjelse af udtryk med nul koefficient producerer ikke særskilte lineære kombinationer.

I en given situation kan K og V specificeres eksplicit, eller de kan være indlysende ud fra sammenhængen. I så fald taler vi ofte om en lineær kombination af vektorerne v ₁ , ..., v _n , med uspecificerede koefficienter (bortset fra at de skal tilhøre K ). Eller hvis S er en delmængde af V , kan vi tale om en lineær kombination af vektorer i S , hvor både koefficienterne og vektorerne er uspecificerede, bortset fra at vektorerne skal høre til sættet S (og koefficienterne skal høre til K ). Endelig kan vi bare tale om en lineær kombination , hvor intet er specificeret (bortset fra at vektorerne skal høre til V, og koefficienterne skal høre til K ); i dette tilfælde henviser man sandsynligvis til udtrykket, da hver vektor i V bestemt er værdien af en eller anden lineær kombination.

Bemærk, at per definition involverer en lineær kombination kun endeligt mange vektorer (undtagen som beskrevet i generaliseringer nedenfor). Sættet S , som vektorerne er taget fra (hvis en nævnes), kan dog stadig være uendelig ; hver enkelt lineær kombination vil kun omfatte endeligt mange vektorer. Der er heller ingen grund til, at n ikke kan være nul ; i så fald erklærer vi efter sædvane, at resultatet af den lineære kombination er den nulvektor i V .

Eksempler og modeksempler

Euklidiske vektorer

Lad feltet K være sættet R for reelle tal , og lad vektorrummet V være det euklidiske mellemrum R ³ . Overvej vektorerne e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) og e ₃ = (0,0,1) . Derefter enhver vektor i R ³ er en lineær kombination af e ₁ , e ₂ , og e ₃ .

At se, at dette er tilfældet, tage en vilkårlig vektor ( en ₁ , en ₂ , en ₃ ) i R ³ , og skrive:

{\ displaystyle {\ begin {align} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) & = (a_ {1}, 0,0) + (0, a_ {2}, 0) + ( 0,0, a_ {3}) \\ [6pt] & = a_ {1} (1,0,0) + a_ {2} (0,1,0) + a_ {3} (0,0,1 ) \\ [6pt] & = a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + a_ {3} \ mathbf {e} _ {3}. \ end {justeret}}}

Funktioner

Lad K være mængden C af alle komplekse tal , og lad V være sættet C _C ( R ) af alle kontinuerte funktioner fra reelle linje R til den komplekse plan C . Overvej vektorerne (funktionerne) f og g defineret af f ( t ): = e ^it og g ( t ): = e ^{- it} . (Her e er bunden af den naturlige logaritme , om 2.71828 ..., og jeg er den imaginære enhed , en kvadratroden af -1). Nogle lineære kombinationer af f og g er:

${\ displaystyle \ cos t = {\ tfrac {1} {2}} \, e ^ {it} + {\ tfrac {1} {2}} \, e ^ {- it}}$
${\ displaystyle 2 \ sin t = (- i) e ^ {it} + (i) e ^ {- it}.}$

På den anden side er den konstante funktion 3 ikke en lineær kombination af f og g . For at se dette, antag at 3 kunne skrives som en lineær kombination af e ^it og e ^{- it} . Dette betyder, at der ville eksistere komplekse skalarer a og b således, at ae ^det + være ^{- det} = 3 for alle reelle tal t . Indstilling af t = 0 og t = π giver ligningerne a + b = 3 og a + b = −3 , og dette kan klart ikke ske. Se Eulers identitet .

Polynomer

Lad K være R , C , eller ethvert område, og lad V være mængden P af alle polynomier med koefficienter taget fra marken K . Overvej vektorerne (polynomer) p ₁ : = 1, p ₂ : = x + 1 og p ₃ : = x ² + x + 1 .

Er polynomet x ² - 1 en lineær kombination af p ₁ , p ₂ og p ₃ ? For at finde ud af det skal du overveje en vilkårlig lineær kombination af disse vektorer og prøve at se, hvornår den er lig med den ønskede vektor x ² - 1. Valg af vilkårlige koefficienter a ₁ , a ₂ og en ₃ , vi ønsker

{\ displaystyle a_ {1} (1) + a_ {2} (x + 1) + a_ {3} (x ^ {2} + x + 1) = x ^ {2} -1.}

Multiplicere polynomierne ud, betyder det

{\ displaystyle (a_ {1}) + (a_ {2} x + a_ {2}) + (a_ {3} x ^ {2} + a_ {3} x + a_ {3}) = x ^ {2 } -1}

og samler som kræfter på x , får vi

{\ displaystyle a_ {3} x ^ {2} + (a_ {2} + a_ {3}) x + (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3}) = 1x ^ {2} + 0x + ( -1).}

To polynomer er ens, hvis og kun hvis deres tilsvarende koefficienter er ens, så vi kan konkludere

{\ displaystyle a_ {3} = 1, \ quad a_ {2} + a_ {3} = 0, \ quad a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} = - 1.}

Dette system med lineære ligninger kan let løses. For det første siger den første ligning simpelthen, at en ₃ er 1. Når vi ved det, kan vi løse den anden ligning for en ₂ , som kommer ud til -1. Endelig fortæller den sidste ligning os, at en ₁ også er -1. Derfor er den eneste mulige måde at få en lineær kombination på med disse koefficienter. Ja,

{\ displaystyle x ^ {2} -1 = -1- (x + 1) + (x ^ {2} + x + 1) = - p_ {1} -p_ {2} + p_ {3}}

så x ² - 1 er en lineær kombination af p ₁ , p ₂ og p ₃ .

På den anden side, hvad med polynomet x ³ - 1? Hvis vi forsøger at gøre denne vektor til en lineær kombination af p ₁ , p ₂ og p ₃ , så får vi ligningen efter samme proces som før

{\ displaystyle {\ begin {align} & 0x ^ {3} + a_ {3} x ^ {2} + (a_ {2} + a_ {3}) x + (a_ {1} + a_ {2} + a_ { 3}) \\ [5pt] = {} & 1x ^ {3} + 0x ^ {2} + 0x + (- 1). \ End {justeret}}}

Men når vi sætter tilsvarende koefficienter lig i dette tilfælde, ligningen for x ³ er

{\ displaystyle 0 = 1}

hvilket altid er falsk. Derfor er der ingen måde for dette at arbejde på, og x ³ - 1 er ikke en lineær kombination af p ₁ , p ₂ og p ₃ .

Det lineære span

Tag et vilkårligt felt K , et vilkårligt vektorrum V , og lad v ₁ , ..., v _n være vektorer (i V ). Det er interessant at overveje sættet med alle lineære kombinationer af disse vektorer. Dette sæt kaldes det lineære span (eller bare span ) for vektorerne, siger S = { v ₁ , ..., v _n }. Vi skriver spændvidden for S som spændvidde ( S ) eller sp ( S ):

{\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}): = \ {a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n}: a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ i K \}.}

Lineær uafhængighed

For nogle sæt af vektorer v ₁ , ..., v _n kan en enkelt vektor skrives på to forskellige måder som en lineær kombination af dem:

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ sum _ {i} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i} b_ {i} \ mathbf {v} _ {i} {\ sms {hvor}} a_ {i} \ neq b_ {i}.}

Tilsvarende er en ikke-triviel kombination ved at trække disse ( ) nul: ${\ displaystyle c_ {i}: = a_ {i} -b_ {i}}$

{\ displaystyle \ mathbf {0} = \ sum _ {i} c_ {i} \ mathbf {v} _ {i}.}

Hvis det er muligt, kaldes v ₁ , ..., v _nlineært afhængig ; ellers er de lineært uafhængige . På samme måde kan vi tale om lineær afhængighed eller uafhængighed af et vilkårligt sæt S af vektorer.

Hvis S er lineært uafhængige og spændvidden af S lig V , derefter S er en basis for V .

Affine, koniske og konvekse kombinationer

Ved at begrænse koefficienterne anvendt i lineære kombinationer kan man definere de relaterede begreber affinekombination , konisk kombination og konveks kombination og de tilknyttede forestillinger om sæt lukket under disse operationer.

Type kombination	Begrænsninger på koefficienter	Navn på sæt	Modelrum
Lineær kombination	ingen begrænsninger	Vector underrum	${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$
Affine kombination	${\ textstyle \ sum a_ {i} = 1}$	Afgræns underrum	Afgrænse hyperplan
Konisk kombination	${\ displaystyle a_ {i} \ geq 0}$	Konveks kegle	Kvadrant , oktant eller orthant
Konveks kombination	${\ displaystyle a_ {i} \ geq 0}$ og ${\ textstyle \ sum a_ {i} = 1}$	Konveks sæt	Simplex

Fordi disse er mere begrænsede operationer, vil flere undergrupper blive lukket under dem, så affine undergrupper, konvekse kegler og konvekse sæt er generaliseringer af vektorunderrum: et vektordelrum er også et affint underrum, et konveks kegle og et konveks sæt, et konveks sæt behøver ikke at være et vektorunderrum, affin eller en konveks kegle.

Disse begreber opstår ofte, når man kan tage visse lineære kombinationer af objekter, men ikke nogen: for eksempel er sandsynlighedsfordelinger lukket under konveks kombination (de danner et konveks sæt), men ikke koniske eller affine kombinationer (eller lineære) og positive mål er lukket under konisk kombination, men ikke affine eller lineære - derfor definerer man underskrevne mål som den lineære lukning.

Lineære og affine kombinationer kan defineres over ethvert felt (eller ring), men konisk og konveks kombination kræver en forestilling om "positiv" og kan derfor kun defineres over et ordnet felt (eller ordnet ring ), generelt de reelle tal.

Hvis man kun tillader skalær multiplikation, ikke tilføjelse, opnår man en (ikke nødvendigvis konveks) kegle ; man begrænser ofte definitionen til kun at tillade multiplikation med positive skalarer.

Alle disse begreber er normalt defineret som delmængder af et omgivende vektorrum (undtagen affine rum, som også betragtes som "vektorrum, der glemmer oprindelsen") snarere end at blive axiomatiseret uafhængigt.

Operad teori

Mere abstrakt kan man på sproget med operateori betragte vektorrum som algebraer over operaen (den uendelige direkte sum , så kun endeligt mange udtryk er ikke-nul; dette svarer til kun at tage begrænsede summer), som parametrerer lineære kombinationer : vektoren svarer for eksempel til den lineære kombination . På samme måde kan man overveje affinekombinationer, koniske kombinationer og konvekse kombinationer til at svare til underoperaderne, hvor udtrykkene er 1, henholdsvis udtrykkene ikke er negative eller begge. Grafisk er disse det uendelige affine hyperplan, det uendelige hyperoktant og det uendelige simplex. Dette formaliserer, hvad der menes med at være eller standard simplex er modelrum, og sådanne observationer som, at hver afgrænset konveks polytop er billedet af en simplex. Her svarer underoperationer til mere begrænsede operationer og dermed mere generelle teorier. ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (2,3, -5,0, \ dots)}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbf {v} _ {1} +3 \ mathbf {v} _ {2} -5 \ mathbf {v} _ {3} +0 \ mathbf {v} _ {4} + \ cdots}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$

Fra dette synspunkt kan vi tænke på lineære kombinationer som den mest generelle form for operation på et vektorrum - at sige, at et vektorrum er en algebra over operaden af lineære kombinationer, er netop udsagnet om, at alle mulige algebraiske operationer i en vektor rum er lineære kombinationer.

De grundlæggende operationer for addition og skalar multiplikation sammen med eksistensen af en additiv identitet og additive inverser kan ikke kombineres på en mere kompliceret måde end den generiske lineære kombination: de grundlæggende operationer er et genereringssæt til operaden af alle lineære kombinationer.

I sidste ende ligger denne kendsgerning i centrum for nytten af lineære kombinationer i studiet af vektorrum.

Generaliseringer

Hvis V er en topologisk vektorrum , så kan der være en måde at gøre følelse af visse uendelige lineær kombinationer under anvendelse topologien af V . For eksempel kan vi muligvis tale om en ₁v ₁ + en ₂v ₂ + en ₃v ₃ + ⋯, der foregår for evigt. Sådanne uendelige lineære kombinationer giver ikke altid mening; vi kalder dem konvergerende, når de gør det. Tilladelse af mere lineære kombinationer i dette tilfælde kan også føre til et andet koncept for span, lineær uafhængighed og basis. Artiklerne om de forskellige varianter af topologiske vektorrum går nærmere ind på disse.

Hvis K er en kommutativ ring i stedet for et felt, generaliserer alt, hvad der er blevet sagt ovenfor om lineære kombinationer til denne sag uden ændring. Den eneste forskel er, at vi kalder mellemrum som dette V- moduler i stedet for vektorrum. Hvis K er en ikke-kommutativ ring, generaliserer konceptet stadig med en advarsel: Da moduler over ikke-kommutative ringe kommer i venstre og højre version, kan vores lineære kombinationer også komme i en af disse versioner, uanset hvad der er passende for det givne modul. Dette er simpelthen et spørgsmål om at udføre skalar multiplikation på den rigtige side.

En mere kompliceret twist kommer, når V er en bimodule over to ringe, K _L og K _R . I så fald ser den mest generelle lineære kombination ud

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} b_ {n}}

hvor et ₁ , ..., en _n tilhører K _L , b ₁ , ..., b _n hører til K _R , og v ₁ , ..., v _n tilhører V .

Ansøgning

En vigtig anvendelse af lineære kombinationer er at bølgefunktioner i kvantemekanik .

Se også

Vægtet sum

Citater

Referencer

Lærebog

Axler, Sheldon Jay (2015). Lineær algebra udført højre (3. udgave). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). En (kortfattet) introduktion til lineær algebra . American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4419-9.
Lay, David C .; Lay, Steven R .; McDonald, Judi J. (2016). Lineær algebra og dets applikationer (5. udgave). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
Strang, Gilbert (2016). Introduktion til lineær algebra (5. udgave). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Internettet

"Lineære kombinationer" . nLab . 27. oktober 2015 . Hentet 16. februar 2021 .

eksterne links

Lineære kombinationer og span: Forståelse af lineære kombinationer og spændvidder for vektorer , khanacademy.org.

Languages

In other projects