Magnetisk helicitet - Magnetic helicity

Magnetisk helicitet er en mængde, der findes i forbindelse med magnetohydrodynamik . Det kvantificerer topologiske aspekter af magnetfeltlinjerne: hvor meget de er forbundet, snoet, vredet og knyttet. Når et systems elektriske resistivitet er nul, bevares dets totale magnetiske helicitet (det er en ideel kvadratisk invariant ). Når et magnetfelt indeholder magnetisk helicitet, har det en tendens til at danne storskala strukturer af små skalaer. Denne proces kan betegnes som en omvendt overførsel i Fourier -rummet .

Denne anden egenskab gør magnetisk helicitet speciel: tredimensionelle turbulente strømme har en tendens til at "ødelægge" strukturen, i den forstand at store hvirvler bryder op i mindre og mindre (en proces kaldet "direkte energikaskade" , beskrevet af Lewis Fry Richardson og Andrey Nikolaevich Kolmogorov ). På de mindste skalaer spredes hvirvlerne i varme gennem viskøse effekter. Gennem en slags "invers kaskade af magnetisk helicitet" sker det modsatte: små spiralformede strukturer (med en magnetisk helicitet uden nul) fører til dannelsen af ​​store magnetiske felter. Dette er for eksempel synligt i det heliosfæriske strømark - en stor magnetisk struktur i vores solsystem.

Magnetisk helicitet er af stor relevans i flere astrofysiske systemer, hvor resistiviteten typisk er meget lav, så magnetisk helicitet bevares til en meget god tilnærmelse. For eksempel: magnetisk helicitetsdynamik er vigtig i solblusser og koronale masseudstødninger . Magnetisk helicitet er til stede i solvinden . Dens bevarelse er meget vigtig i dynamoprocesser . Det spiller også en rolle inden for fusionsforskning , for eksempel i omvendte feltklemforsøg .

Matematisk definition

Heliciteten af et glat vektorfelt defineret på et domæne i 3D -rum er standardmålet for, i hvilket omfang feltlinjerne vikles og spoles rundt om hinanden. Det er defineret som volumenintegralet af skalarproduktet af og dets krølle : ${\ displaystyle H^{\ mathbf {f}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ mathbf {f}}}$

${\ displaystyle H^{\ mathbf {f}} = \ int {\ mathbf {f}} \ cdot {\ nabla \ times {\ mathbf {f}}} \, d^{3} {\ mathbf {r} }}$,

hvor er differentialvolumenelementet for volumenintegralet, integrationen finder sted over hele det betragtede domæne. ${\ displaystyle d^{3} {\ mathbf {r}}}$

Hvad angår magnetisk helicitet , er det heliciteten af ​​det magnetiske vektorpotential , sådan det er magnetfeltet : ${\ displaystyle H^{\ mathbf {M}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {A}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}$

${\ displaystyle H^{\ mathbf {M}} = \ int {\ mathbf {A}} \ cdot {\ mathbf {B}} \, d^{3} {\ mathbf {r}}}$.

Magnetisk helicitet har enheder af Wb ² ( webers squared) i SI -enheder og Mx ² ( maxwells squared) i gaussiske enheder .

Magnetisk helicitet bør ikke forveksles med magnetfeltets helicitet , med strømmen. Denne mængde kaldes " nuværende helicitet ". I modsætning til magnetisk helicitet er strømhelicitet ikke en ideel invariant (den bevares ikke, selv når den elektriske resistivitet er nul). ${\ displaystyle H^{\ mathbf {J}} = \ int {\ mathbf {B}} \ cdot {\ mathbf {J}} \, d^{3} {\ mathbf {r}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {J}} = \ nabla \ times {\ mathbf {B}}}$

Da det magnetiske vektorpotentiale ikke er målerinvariant, er magnetisk helicitet heller ikke måleinvariant generelt. Som en konsekvens heraf kan man ikke måle det fysiske systems magnetiske helicitet direkte. Under visse betingelser og under visse forudsætninger kan man imidlertid måle den aktuelle helicitet af et system og ud fra det, når yderligere betingelser er opfyldt og under yderligere forudsætninger, udlede den magnetiske helicitet.

Topologisk fortolkning

Navnet "helicitet" er baseret på det faktum, at en væskepartikels bane i en væske med hastighed og vorticitet danner en spiral i områder, hvor den kinetiske helicitet . Hvornår er spiralen højrehåndet, og hvornår den er venstrehåndet. Denne adfærd er meget ens for magnetfeltlinjer. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle H^{K} = \ int \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ neq 0}$${\ displaystyle \ textstyle H^{K}> 0}$${\ displaystyle \ textstyle H^{K} <0}$

Regioner, hvor magnetisk helicitet ikke er nul, kan også indeholde andre slags magnetiske strukturer som spiralformede magnetiske feltlinjer. Magnetisk helicitet er i sandhed en generalisering af det topologiske koncept om at kæde nummer til de differentielle størrelser, der kræves for at beskrive magnetfeltet. Forbindelsesnummeret beskriver, hvor meget magnetfeltlinjer er indbyrdes forbundne (se et matematisk bevis på det). Gennem et enkelt eksperiment med papir og saks kan man vise, at magnetfeltlinjer, der vender om hinanden, kan betragtes som værende indbyrdes forbundne (figur 5 in). Således kan tilstedeværelsen af ​​magnetisk helicitet tolkes som spiralformede magnetiske feltlinjer, sammenkoblede magnetiske strukturer, men også magnetiske feltlinjer, der vender om hinanden.

Eksempel på spiralformede strukturer i DNA'et . Det ligner lignende for spiralformede magnetiske feltlinjer. Topologisk set: vrideenheder og vridningsenheder kan udskiftes.

Magnetfeltlinjer, der drejer rundt om hinanden, kan have flere former. Lad os for eksempel overveje et sæt drejning af magnetfeltlinjer i et tæt kvarter, som danner et såkaldt " magnetisk fluxrør " (se figur for en illustration).

" Twist " betyder, at fluxrøret roterer rundt om sin egen akse (tal med Twist = ). Topologisk set enheder af twist og af vride (som midler, rotationen af flux røraksen selv - tal med vride = ) kan omdannes til hinanden. Man kan også vise, at knuder også svarer til enheder med twist og/eller vridning. ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ pm 1}$

Som med mange mængder inden for elektromagnetisme er magnetisk helicitet (som beskriver magnetiske feltlinjer) tæt forbundet med væskemekanisk helicitet (som beskriver væskestrømningslinjer) og deres dynamik er indbyrdes forbundet.

Ideel kvadratisk invariance

I slutningen af ​​1950'erne opdagede Lodewijk Woltjer og Walter M. Elsässer uafhængigt den ideelle invariance af magnetisk helicitet, det vil sige dens bevarelse i tilfælde af nulmodstand. Woltjers bevis, der gælder for et lukket system, gentages i følgende:

I ideel MHD styres magnetfeltet og magnetisk vektors potentielle tidsudvikling af:

${\ displaystyle \ partial _ {t} {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}),}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t} {\ mathbf {A}} = {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}+\ nabla (\ Phi),}$

hvor den anden ligning opnås ved "uncurling" den første, og er en skalar potentiale givet ved gauge tilstand (se afsnittet om gauge overvejelse ). Ved at vælge måleren, så skalarpotentialet forsvinder ( = 0), er magnetiske helicitetstidens evolution givet ved: ${\ displaystyle \ nabla (\ Phi)}$${\ displaystyle \ nabla (\ Phi)}$

${\ displaystyle \ delvis _ {t} H^{\ mathbf {M}} = \ int (\ delvis _ {t} {\ mathbf {A}}) \ cdot {\ mathbf {B}}+{\ mathbf { A}} \ cdot \ partial _ {t} {\ mathbf {B}} d^{3} {\ mathbf {r}} = \ int ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}} ) \ cdot {\ mathbf {B}} d^{3} {\ mathbf {r}}+\ int {\ mathbf {A}} \ cdot (\ nabla \ times \ partial _ {t} {\ mathbf {A }}) d^{3} {\ mathbf {r}}}$.

Den første integral er nul, da den er ortogonal i forhold til tværproduktet . Den anden integral kan integreres af dele, hvilket giver: ${\ displaystyle {\ mathbf {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} H^{\ mathbf {M}} = \ int _ {V} \ nabla \ times {\ mathbf {A}} \ cdot (\ delvis _ {t} {\ mathbf {A }}) d^{3} {\ mathbf {r}}+\ int _ {S} {\ mathbf {A}} \ gange (\ delvis _ {t} {\ mathbf {A}}) d^{2 } {\ mathbf {r}} = 0.}$

Det første integral udføres over hele volumenet og er nul, fordi det er skrevet ovenfor. Det andet integral svarer til overfladeintegralet over grænserne for det lukkede system. Det er nul, fordi bevægelser inde i det lukkede system ikke kan påvirke vektorpotentialet udenfor, således at ved grænseoverfladen , da det magnetiske vektorpotentiale er en kontinuerlig funktion. ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ mathbf {B}} \ perp \ delvis _ {t} {\ mathbf {A}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ delvis _ {t} A = 0}$

I alle situationer, hvor magnetisk helicitet er måler invariant (se afsnittet nedenfor), bevares magnetisk helicitet derfor ideelt uden behov for det specifikke målervalg . ${\ displaystyle \ nabla (\ Phi) = 0}$

Magnetisk helicitet forbliver bevaret i en god tilnærmelse selv med en lille, men begrænset resistivitet, i hvilket tilfælde magnetisk genforbindelse spilder energi .

Omvendt overførselsejendom

Små spiralformede strukturer har en tendens til at danne større og større magnetiske strukturer. Dette kan kaldes en omvendt overførsel i Fourier -rummet i modsætning til den (direkte) energikaskade i tredimensionelle turbulente hydrodynamiske strømme. Muligheden for en sådan omvendt overførsel er først blevet foreslået af Uriel Frisch og samarbejdspartnere og er blevet verificeret gennem mange numeriske eksperimenter. Som en konsekvens er tilstedeværelsen af ​​magnetisk helicitet en mulighed for at forklare eksistensen og opretholdelsen af ​​store magnetiske strukturer i universet.

Et argument for denne omvendte overførsel taget fra gentages her, som er baseret på den såkaldte "realiserbarhedstilstand" på det magnetiske helicitet Fourier-spektrum (hvor er Fourier-koefficienten ved bølgevektoren i magnetfeltet og lignende for stjernen betegner det komplekse konjugat ). "Realiserbarhedsbetingelsen" svarer til en anvendelse af Cauchy-Schwarz ulighed , hvilket giver: ${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k}}^{M} = {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}}^{*} \ cdot {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {B}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {A}}}}$

${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k}}^{M} | \ leq {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}}^{M}} {| {\ mathbf {k }} |}}}$,

med det magnetiske energispektrum. At opnå denne ulighed, den omstændighed, at (med den cylinderspole del af Fourier transformerede magnetiske vektor potentiale, vinkelret på wavevector i Fourier space) er blevet anvendt, siden . Faktoren 2 er ikke til stede i papiret, da den magnetiske helicitet er defineret der alternativt som . ${\ displaystyle E _ {\ mathbf {k}}^{M} = {\ frac {1} {2}} {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}^{*} \ cdot {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle | {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} | = | {\ mathbf {k}} || {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}}^{\ perp} |}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}}^{\ perp}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} = i {\ mathbf {k}} \ times {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k }}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int {\ mathbf {A}} \ cdot {\ mathbf {B}} d^{3} {\ mathbf {r}}}$

Man kan derefter forestille sig en indledende situation uden hastighedsfelt og et magnetfelt, der kun er til stede ved to bølvektorer og . Vi antager et fuldt spiralformet magnetfelt, hvilket betyder, at det mætter realiserbarhedstilstanden: og . Forudsat at al energi og magnetisk helicitet overføres til en anden bølgevektor , bevarer den magnetiske helicitet på den ene side og af den samlede energi (summen af ​​(m) agnetisk og (k) inetisk energi) på den anden side: ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {p}}^{M} | = {\ frac {2E _ {\ mathbf {p}}^{M}} {| {\ mathbf {p} } |}}}$${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {q}}^{M} | = {\ frac {2E _ {\ mathbf {q}}^{M}} {| {\ mathbf {q} } |}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle E^{T} = E^{M}+E^{K}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}}^{M} = H _ {\ mathbf {p}}^{M}+H _ {\ mathbf {q}}^{M},}$

${\ displaystyle E _ {\ mathbf {k}}^{T} = E _ {\ mathbf {p}}^{T}+E _ {\ mathbf {q}}^{T} = E _ {\ mathbf {p}} ^{M}+E _ {\ mathbf {q}}^{M}.}$

Den anden lighed for energien stammer fra det faktum, at vi betragter en indledende tilstand uden kinetisk energi. Så har vi nødvendigvis . Ja, hvis vi ville have det , så: ${\ displaystyle | \ mathbf {k} | \ leq \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} |> \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}}^{M} = H _ {\ mathbf {p}}^{M}+H _ {\ mathbf {q}}^{M} = {\ frac {2E _ {\ mathbf {p}}^{M}} {| \ mathbf {p} |}}+{\ frac {2E _ {\ mathbf {q}}^{M}} {| \ mathbf {q} |}}> {\ frac {2 (E _ {\ mathbf {p}}^{M}+E _ {\ mathbf {q}}^{M})} {| \ mathbf {k} |}} = {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}}^{T}} {| \ mathbf {k} |}} \ geq {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}}^{M}} {| \ mathbf {k} |}},}$

hvilket ville bryde realiserbarhedstilstanden. Det betyder, at . Især for , den magnetiske helicitet overføres til en mindre bølgevektor, hvilket betyder til større skalaer. ${\ displaystyle | \ mathbf {k} | \ leq \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$${\ displaystyle | {\ mathbf {p}} | = | {\ mathbf {q}} |}$

Måleovervejelser

Magnetisk helicitet er en målerafhængig mængde, fordi den kan redefineres ved at tilføje en gradient til den ( målevalg ). For perfekt at udføre grænser eller periodiske systemer uden en netto magnetisk flux er den magnetiske helicitet indeholdt i hele domænet imidlertid målerinvariant, det vil sige uafhængigt af målerens valg. En måler-invariant relativ helicitet er blevet defineret for volumener med ikke-nul magnetisk flux på deres grænseoverflader. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Se også

• Woltjers sætning

Referencer

eksterne links

• AA Pevtsov s spiralitetsgrad Side
• Mitch Bergers Publikationer Side