Mandelbulb - Mandelbulb

Den mandelbulb er en tredimensionel fraktal , konstrueret for første gang i 1997 af Jules Ruis og i 2009 videreudviklet af Daniel White og Paul Nylander hjælp sfæriske koordinater .

Et kanonisk 3-dimensionelt Mandelbrot-sæt eksisterer ikke, da der ikke er nogen 3-dimensionel analog af det todimensionale rum med komplekse tal. Det er muligt at konstruere Mandelbrot sæt i 4 dimensioner ved hjælp af quaternions og bicomplex tal .

Ruis formel for " n th power" af vektoren i ℝ ³ er at se på http://www.fractal.org/Formula-Mandelbulb.pdf${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle x, y, z \ rangle}$

Eksponentieringsbetegnelsen kan defineres ved: {x, y, z} ^n = (r ^n) {cos (n*φ)*cos (n*θ), sin (n*φ)*cos (n*θ ), sin (n*θ)} hvor r = sqrt (x^2 + y^2 + z^2) og r1 = sqrt (x^2 + y^2)

Da vi definerer θ som vinklen i z-r1-mellemrum og φ som vinklen i xy-mellemrum derefter θ = atan2 (z / r1) så θ = atan2 (z / sqrt (x^2 + y^2)) og φ = atan2 (y/x)

Tilføjelsesbetegnelsen i z -> z^n + c ligner standardkompleks addition og er simpelthen defineret af: (x, y, z} + {a, b, c) = {x + a, y + b, z+c} Resten af ​​algoritmen ligner 2D Mandelbrot!

Oversigt Formel 3D Mandelbulb, Juliusbulb og Juliabulb

r = sqrt (x^2 + y^2 + z^2)

θ = atan2 (z / sqrt (x^2 + y^2)

φ = atan2 (y/x)

newx = (r^n) * cos (n * φ) * cos (n * θ)

newy = (r^n) * sin (n * φ) * cos (n * θ)

newz = (r^n) * sin (n * θ)

hvor n er rækkefølgen af ​​3D Mandelbulb, Juliusbulb/Juliabulb.

Kvadratisk formel

Andre formler kommer fra identiteter, der parametrerer summen af ​​firkanter for at give en effekt af summen af ​​firkanter, som f.eks.

${\ displaystyle (x^{2} -y^{2} -z^{2})^{2}+(2xz)^{2}+(2xy)^{2} = (x^{2}+ y^{2}+z^{2})^{2},}$

som vi kan tænke på som en måde at firkantet en triplet af tal, så modulet er kvadreret. Så dette giver f.eks.

${\ displaystyle x \ til x^{2} -y^{2} -z^{2}+x_ {0},}$

${\ displaystyle y \ til 2xz+y_ {0},}$

${\ displaystyle z \ to 2xy+z_ {0}}$

eller forskellige andre permutationer. Denne "kvadratiske" formel kan anvendes flere gange for at få mange power-2 formler.

Kubisk formel

Andre formler kommer fra identiteter, der parametrerer summen af ​​firkanter for at give en effekt af summen af ​​firkanter, som f.eks.

${\ displaystyle (x^{3} -3xy^{2} -3xz^{2})^{2}+(y^{3} -3yx^{2}+yz^{2})^{2} +(z^{3} -3zx^{2}+zy^{2})^{2} = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3},}$

som vi kan tænke på som en måde at kube en trilling af tal på, så modulet er i terninger. Så dette giver f.eks.

${\ displaystyle x \ til x^{3} -3x (y^{2}+z^{2})+x_ {0}}$

${\ displaystyle y \ to -y^{3}+3yx^{2} -yz^{2}+y_ {0}}$

${\ displaystyle z \ til z^{3} -3zx^{2}+zy^{2}+z_ {0}}$

eller andre permutationer.

Dette reduceres til den komplekse fraktal, når z  = 0 og når y  = 0. ${\ displaystyle w \ to w^{3}+w_ {0}}$${\ displaystyle w \ to {\ overline {w}}^{3}+w_ {0}}$

Der er flere måder at kombinere to sådanne "kubiske" transformationer for at få en power-9 transform, som har lidt mere struktur.

Quintic formel

En anden måde at skabe Mandelbulbs med kubisk symmetri er ved at tage den komplekse iterationsformel for et helt tal m og tilføje udtryk for at gøre det symmetrisk i 3 dimensioner, men holde tværsnittene til at være den samme 2-dimensionelle fraktal. (De 4 stammer fra, at .) Tag f.eks . I to dimensioner, hvor , dette er ${\ displaystyle z \ til z^{4m+1}+z_ {0}}$${\ displaystyle i^{4} = 1}$${\ displaystyle z \ til z^{5}+z_ {0}}$${\ displaystyle z = x+iy}$

${\ displaystyle x \ til x^{5} -10x^{3} y^{2}+5xy^{4}+x_ {0},}$

${\ displaystyle y \ to y^{5} -10y^{3} x^{2}+5yx^{4}+y_ {0}.}$

Dette kan derefter udvides til tre dimensioner for at give

${\ displaystyle x \ til x^{5} -10x^{3} (y^{2}+Ayz+z^{2})+5x (y^{4}+By^{3} z+Cy^ {2} z^{2}+Byz^{3}+z^{4})+Dx^{2} yz (y+z)+x_ {0},}$

${\ displaystyle y \ to y^{5} -10y^{3} (z^{2}+Axz+x^{2})+5y (z^{4}+Bz^{3} x+Cz^ {2} x^{2}+Bzx^{3}+x^{4})+Dy^{2} zx (z+x)+y_ {0},}$

${\ displaystyle z \ til z^{5} -10z^{3} (x^{2}+Axy+y^{2})+5z (x^{4}+Bx^{3} y+Cx^ {2} y^{2}+Bxy^{3}+y^{4})+Dz^{2} xy (x+y)+z_ {0}}$

for vilkårlige konstanter A , B , C og D , der giver forskellige Mandelbulbs (normalt sat til 0). Sagen giver en Mandelbulb, der mest ligner det første eksempel, hvor n  = 9. Et mere behageligt resultat for den femte effekt opnås ved at basere den på formlen . ${\ displaystyle z \ til z^{9}}$${\ displaystyle z \ to -z^{5}+z_ {0}}$

Power-ni formel

Denne fraktal har tværsnit af power-9 Mandelbrot-fraktalen. Den har 32 små løg, der spirer fra hovedsfæren. Det er defineret ved f.eks.

${\ displaystyle x \ til x^{9} -36x^{7} (y^{2}+z^{2})+126x^{5} (y^{2}+z^{2})^ {2} -84x^{3} (y^{2}+z^{2})^{3}+9x (y^{2}+z^{2})^{4}+x_ {0} ,}$

${\ displaystyle y \ to y^{9} -36y^{7} (z^{2}+x^{2})+126y^{5} (z^{2}+x^{2})^ {2} -84y^{3} (z^{2}+x^{2})^{3}+9y (z^{2}+x^{2})^{4}+y_ {0} ,}$

${\ displaystyle z \ til z^{9} -36z^{7} (x^{2}+y^{2})+126z^{5} (x^{2}+y^{2})^ {2} -84z^{3} (x^{2}+y^{2})^{3}+9z (x^{2}+y^{2})^{4}+z_ {0} .}$

Denne formel kan skrives på en kortere måde:

${\ displaystyle x \ til {\ frac {1} {2}} \ venstre (x+i {\ sqrt {y^{2}+z^{2}}} \ højre)^{9}+{\ frac {1} {2}} \ venstre (xi {\ sqrt {y^{2}+z^{2}}} \ højre)^{9}+x_ {0}}$

og tilsvarende for de andre koordinater.

Sfærisk formel

En perfekt sfærisk formel kan defineres som en formel

${\ displaystyle (x, y, z) \ til {\ big (} f (x, y, z)+x_ {0}, g (x, y, z)+y_ {0}, h (x, y , z)+z_ {0} {\ big)},}$

hvor

${\ displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n} = f (x, y, z)^{2}+g (x, y, z)^{ 2}+h (x, y, z)^{2},}$

hvor f , g og h er n th-automatisk rationelle trinomials og n er et helt tal. Den kubiske fraktal ovenfor er et eksempel.

Anvendelse i medier

• I den computeranimerede film Big Hero 6 fra 2014 finder klimakset sted midt i et ormehul , som er repræsenteret af det stiliserede indre af en Mandelbulb.
• I 2018 science fiction- gyser udslettelse , en udenjordisk væsen vises i form af en delvis mandelbulb.
• I webcomic Unsounded er ånden i kerht repræsenteret af en stiliseret gylden mandelbulb.

Se også

• Mandelbox
• Liste over fraktaler efter Hausdorff -dimension

Referencer

6. http://www.fractal.org the Fractal Navigator af Jules Ruis

eksterne links

• til den første brug af Mandelbulb -formlen på www.fractal.org -webstedet Jules Ruis
• Mandelbulb: The Unraveling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, på Daniel Whites websted
• Flere varianter af Mandelbulb, på Paul Nylanders websted
• En fractal renderer med open source, der kan bruges til at oprette billeder af Mandelbulb
• Formel for Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb af Jules Ruis
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb med eksempler på ægte 3D -objekter
• Video: Udsigt over Mandelbulb
• Diskussionstråden i Fractalforums.com, der førte til Mandelbulb
• Video flyve igennem af en animeret Mandelbulb -verden