Manifold - Manifold

Det virkelige projektive plan er en todimensionel manifold, der ikke kan realiseres i tre dimensioner uden selvkryds, vist her som Boy's overflade .
Jordens overflade kræver (mindst) to diagrammer for at inkludere hvert punkt. Her nedbrydes kloden i diagrammer omkring nord- og sydpolen .

I matematik er en manifold et topologisk rum, der lokalt ligner euklidisk rum nær hvert punkt. Mere præcist er en n -dimensionel manifold, eller n -manifold for kort, et topologisk rum med den egenskab, at hvert punkt har et kvarter, der er homeomorft til en åben delmængde af n -dimensionelt euklidisk rum.

Endimensionelle manifolder omfatter linjer og cirkler , men ikke figur otter . To-dimensionelle manifolder kaldes også overflader . Eksempler omfatter flyet , kuglen og torus , og også Klein -flasken og det virkelige projektive plan .

Begrebet manifold er centralt for mange dele af geometri og moderne matematisk fysik, fordi det gør det muligt at beskrive komplicerede strukturer i form af velforståede topologiske egenskaber ved enklere rum. Manifolder opstår naturligvis som løsningssæt af ligningssystemer og som grafer over funktioner. Konceptet har applikationer inden for computergrafik og augmented-reality givet behovet for at forbinde billeder med koordinater (f.eks. CT-scanninger).

Manifolds kan udstyres med ekstra struktur. En vigtig klasse af manifolder er differentierbare manifolds ; deres differentierbare struktur gør det muligt at foretage beregning . En Riemannisk metrik på en manifold gør det muligt at måle afstande og vinkler . Symplektisk mangfoldighed tjene som faserum i Hamiltonske formalisme af klassisk mekanik , mens firedimensionale Lorentzian mangfoldigheder model rumtiden i almen relativitet .

Studiet af manifolder kræver arbejdskendskab til beregning og topologi .

Motiverende eksempler

Cirkel

Figur 1: De fire diagrammer kortlægger hver del af cirklen til et åbent interval og dækker tilsammen hele cirklen.

Efter en linje er cirklen det enkleste eksempel på en topologisk manifold. Topologi ignorerer bøjning, så et lille stykke af en cirkel behandles på samme måde som et lille stykke af en linje. I betragtning af f.eks. Den øverste del af enhedscirklen , x 2  +  y 2  = 1, hvor y -koordinaten er positiv (angivet med den gule bue i figur 1 ). Ethvert punkt i denne bue kan entydigt beskrives med dets x -koordinat. Så projektion på den første koordinat er en kontinuerlig , og invertibel , kortlægning fra den øvre bue til den åbne interval (-1, 1):

Sådanne funktioner sammen med de åbne områder, de kortlægger, kaldes diagrammer . Tilsvarende er der diagrammer for de nederste (røde), venstre (blå) og højre (grønne) dele af cirklen:

Tilsammen dækker disse dele hele cirklen, og de fire diagrammer danner et atlas for cirklen.

De øverste og højre diagrammer og henholdsvis overlapper hinanden i deres domæne: deres skæringspunkt ligger i kvartalet af cirklen, hvor begge og -koordinater er positive. Hver kort denne del ind i intervallet , men forskelligt. Således kan der konstrueres en funktion , som tager værdier fra co-domænet tilbage til cirklen ved hjælp af det inverse, efterfulgt af tilbage til intervallet. For et hvilket som helst nummer a in , så:

En sådan funktion kaldes et overgangskort .

Figur 2: Et cirkelmanifolddiagram baseret på hældning, der dækker alle cirkler på nær et punkt.

De øverste, nederste, venstre og højre diagrammer danner ikke det eneste mulige atlas. Diagrammer behøver ikke være geometriske fremskrivninger, og antallet af diagrammer er et spørgsmål om valg. Overvej diagrammerne

og

Her er s linjens hældning gennem punktet ved koordinaterne ( xy ) og det faste drejepunkt (-1, 0); på samme måde er t det modsatte af linjens hældning gennem punkterne ved koordinaterne ( xy ) og (+1, 0). Den omvendte kortlægning fra s til ( xy ) er givet ved

Det kan bekræftes, at x 2  +  y 2  = 1 for alle værdier af s og t . Disse to diagrammer giver et andet atlas til cirklen med overgangskortet

(det vil sige, man har denne relation mellem s og t for hvert punkt, hvor s og t begge er nul).

Hvert diagram udelader et enkelt punkt, enten (-1, 0) for s eller (+1, 0) for t , så ingen af ​​kortene alene er tilstrækkelige til at dække hele cirklen. Det kan bevises, at det ikke er muligt at dække hele cirklen med et enkelt diagram. For eksempel, selvom det er muligt at konstruere en cirkel ud fra et enkelt linjeinterval ved at overlappe og "lime" enderne, producerer dette ikke et diagram; en del af cirklen vil blive kortlagt til begge ender på én gang og miste inverterbarhed.

Kugle

Den sfære er et eksempel på en overflade. Den enhed sfære af implicit ligning

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

kan være dækket af et atlas med seks diagrammer : planet z = 0 deler kuglen i to halve kugler ( z > 0 og z <0 ), som begge kan kortlægges på skiven x 2 + y 2 <1 ved fremspringet på koordinatplanet xy . Dette giver to diagrammer; de fire andre kort er forsynet med en lignende konstruktion med de to andre koordinatplan.

Hvad angår cirklen, kan man definere et diagram, der dækker hele kuglen, eksklusive et punkt. Således er to diagrammer tilstrækkelige, men kuglen kan ikke dækkes af et enkelt diagram.

Dette eksempel er historisk vigtigt, da det har motiveret terminologien; det blev tydeligt, at hele Jordens overflade ikke kan have en planrepræsentation bestående af et enkelt kort (også kaldet "diagram", se søkort ), og derfor har man brug for atlaser til at dække hele Jordoverfladen.

Andre kurver

Fire manifolder fra algebraiske kurver :  cirkler,  parabel,  hyperbola,  kubik.

Manifolds behøver ikke at være forbundet (alt i "ét stykke"); et eksempel er et par separate cirkler.

Manifolds behøver ikke at være lukket ; således er et linjesegment uden dets endepunkter en mangfoldighed. De er aldrig tællelig , medmindre dimensionen af manifolden er 0 Putting disse friheder sammen, andre eksempler på manifolder er en parabel , en hyperbel og locus af punkter på en kubisk kurve y 2 = x 3 - x (en lukket sløjfe stykke og et åbent, uendeligt stykke).

Dog er udelukket eksempler som to rørende cirkler, der deler et punkt for at danne en figur-8; på det delte punkt kan der ikke oprettes et tilfredsstillende diagram. Selv med bøjning tilladt af topologi ligner nærheden af ​​det delte punkt et "+", ikke en linje. Et "+" er ikke homeomorft for et linjesegment, da sletning af midtpunktet fra "+" giver et mellemrum med fire komponenter (dvs. stykker), hvorimod sletning af et punkt fra et linjesegment giver et mellemrum med højst to stykker; topologiske operationer bevarer altid antallet af stykker.

Matematisk definition

Uformelt er en manifold et rum, der er "modelleret efter" det euklidiske rum.

Der er mange forskellige slags manifolder. I geometri og topologi er alle manifolder topologiske manifolder , muligvis med yderligere struktur. En manifold kan konstrueres ved at give en samling af koordinatdiagrammer, det vil sige en dækning af åbne sæt med homeomorfismer til et euklidisk rum og lappefunktioner: homeomorfier fra et område i det euklidiske rum til et andet område, hvis de svarer til den samme del af manifolden i to forskellige koordinatdiagrammer. En manifold kan gives yderligere struktur, hvis lappefunktionerne tilfredsstiller aksiomer ud over kontinuitet. F.eks. Har differentierbare manifolds homomorfier på overlappende kvarterer, der er diffeomorfe med hinanden, så manifolden har et veldefineret sæt funktioner, der er differentierbare i hvert kvarter, og dermed differentieres på manifolden som helhed.

Formelt set er et (topologisk) manifold et andet tællbart Hausdorff -rum, der er lokalt homeomorft i forhold til det euklidiske rum.

Anden tæller og Hausdorff er punkt-fastsatte betingelser; anden tællbare udelukker mellemrum, der på en eller anden måde er 'for store' såsom den lange linje , mens Hausdorff udelukker mellemrum som "linjen med to oprindelser" (disse generaliseringer af manifolder diskuteres i ikke-Hausdorff-manifolder ).

Lokalt homeomorft i forhold til det euklidiske rum betyder, at hvert punkt har et homeomorft kvarter til en åben euklidisk n -bold ,

Mere præcist betyder lokalt homeomorfe her, at hvert punkt m i manifolden M har et åbent kvarter homeomorft til et åbent kvarter i det euklidiske rum. I betragtning af en sådan homomorfisme giver for -billedet af en -bold en homomorfisme mellem enhedskuglen og et mindre kvarter på m , så dette er ikke noget tab af generalitet. For topologiske eller differentierbare manifolder kan man også bede om, at hvert punkt har et nabo -homomorft område i hele det euklidiske rum (da dette er diffeomorft for enhedsbolden), men dette kan ikke gøres for komplekse manifolder , da den komplekse enhedsbold ikke er holomorf til komplekst rum.

Generelt tages manifolder til at have en fast dimension (rummet skal være lokalt homeomorft til en fast n -kugle), og et sådant rum kaldes en n -manifold ; nogle forfattere indrømmer imidlertid mangfoldige, hvor forskellige punkter kan have forskellige dimensioner . Hvis en manifold har en fast dimension, kaldes den en ren manifold . For eksempel har (overfladen af ​​en) kugle en konstant dimension på 2 og er derfor en ren manifold, hvorimod den usammenhængende forening af en kugle og en linje i det tredimensionelle rum ikke er en ren manifold. Da dimension er en lokal invariant (dvs. kortet, der sender hvert punkt til dimensionen i sit nabolag, over hvilket et diagram er defineret, er lokalt konstant ), har hver tilsluttet komponent en fast dimension.

Skema-teoretisk er en manifold et lokalt ringmæssigt rum , hvis strukturskår er lokalt isomorft for skåret af kontinuerlige (eller differentierbare eller komplekse-analytiske osv.) Funktioner på det euklidiske rum. Denne definition bruges mest, når man diskuterer analytiske manifolder i algebraisk geometri .

Diagrammer, atlas og overgangskort

Den sfæriske Jorden navigeres ved hjælp af flade kort eller diagrammer, samlet i et atlas. På samme måde kan en differentierbar manifold beskrives ved hjælp af matematiske kort , kaldet koordinatdiagrammer , samlet i et matematisk atlas . Det er generelt ikke muligt at beskrive en manifold med kun et diagram, fordi manifoldens globale struktur er forskellig fra diagrammernes enkle struktur. For eksempel kan intet enkelt fladt kort repræsentere hele Jorden uden adskillelse af tilstødende funktioner på tværs af kortets grænser eller dobbeltarbejde af dækning. Når en manifold er konstrueret ud fra flere overlappende diagrammer, bærer de områder, hvor de overlapper hinanden, information, der er afgørende for at forstå den globale struktur.

Diagrammer

Et koordinatkort , et koordinatdiagram eller simpelthen et diagram over en manifold er et inverterbart kort mellem en delmængde af manifolden og et simpelt rum, så både kortet og dets inverse bevarer den ønskede struktur. For en topologisk mangfoldighed er det enkle rum en delmængde af noget euklidisk rum, og interessen fokuserer på den topologiske struktur. Denne struktur bevares af

homeomorfismer , inverterbare kort, der er kontinuerlige i begge retninger.

I tilfælde af en differentierbar manifold giver et sæt diagrammer, der kaldes et atlas, os mulighed for at foretage beregning på manifolder. Polare koordinater danner for eksempel et diagram for flyet minus den positive

x -akse og oprindelsen. Et andet eksempel på et diagram er kortet χ øverst nævnt ovenfor, et diagram for cirklen.

Atlas

Beskrivelsen af ​​de fleste manifolder kræver mere end et diagram. En bestemt samling af diagrammer, der dækker en manifold, kaldes et atlas . Et atlas er ikke unikt, da alle manifolds kan dækkes på flere måder ved hjælp af forskellige kombinationer af diagrammer. To atlas siges at være ækvivalente, hvis deres forening også er et atlas.

Atlaset, der indeholder alle mulige diagrammer, der er i overensstemmelse med et givet atlas, kaldes det maksimale atlas (dvs. en ækvivalensklasse, der indeholder det givne atlas). I modsætning til et almindeligt atlas er det maksimale atlas for et givet manifold unikt. Selvom det er nyttigt til definitioner, er det et abstrakt objekt og bruges ikke direkte (f.eks. I beregninger).

Overgangskort

Diagrammer i et atlas kan overlappe hinanden, og et enkelt punkt i en manifold kan være repræsenteret i flere diagrammer. Hvis to kort overlapper hinanden, repræsenterer dele af dem den samme region af manifolden, ligesom et kort over Europa og et kort over Asien begge kan indeholde Moskva. I betragtning af to overlappende diagrammer kan der defineres en overgangsfunktion, som går fra en åben kugle ind til manifolden og derefter tilbage til en anden (eller måske den samme) åbne bold ind . Det resulterende kort, ligesom kortet

T i cirkeleksemplet ovenfor, kaldes en ændring af koordinater , en koordinattransformation , en overgangsfunktion eller et overgangskort .

Yderligere struktur

Et atlas kan også bruges til at definere yderligere struktur på manifolden. Strukturen defineres først på hvert diagram separat. Hvis alle overgangskort er kompatible med denne struktur, overføres strukturen til manifolden.

Dette er standardmåden, som differentierbare manifolder defineres på. Hvis et atlas overgangsfunktioner bevarer en topologisk manifold bevarer den naturlige differentialstruktur af (det vil sige, hvis de er

diffeomorfismer ), overføres differentialstrukturen til manifolden og gør den til en differentierbar manifold. Komplekse manifolder introduceres på en analog måde ved at kræve, at et atlas overgangsfunktioner er holomorfe funktioner . For symplektiske manifolder skal overgangsfunktionerne være symplectomorphisms .

Strukturen på manifolden afhænger af atlaset, men nogle gange kan man sige, at forskellige atlas giver anledning til den samme struktur. Sådanne atlas kaldes kompatible .

Disse forestillinger gøres generelt præcise ved brug af pseudogrupper .

Manifold med grænse

En manifold med grænse er en manifold med en kant. For eksempel er et ark papir en 2-manifold med en 1-dimensionel grænse. Grænsen for en n -manifold med grænse er en ( n −1) -manifold. En disk (cirkel plus interiør) er en 2-manifold med grænse. Dens grænse er en cirkel, en 1-manifold . En firkant med interiør er også en 2-manifold med grænse. En kugle (kugle plus interiør) er en 3-manifold med grænse. Dens grænse er en kugle, en 2-manifold. (Se også Grænse (topologi) ).

I fagsprog er en manifold med grænse et rum, der indeholder både indre punkter og grænsepunkter. Hvert interiørpunkt har et nabolag, der er homeomorft i forhold til den åbne n -bold {( x 1 , x 2 , ..., x n ) | Σ x i 2 <1}. Hvert grænsepunkt har et nabolag, der er homeomorft til den "halve" n -kugle {( x 1 , x 2 , ..., x n ) | Σ x i 2 <1 og x 1 ≥ 0} . Homeomorfismen skal sende hvert grænsepunkt til et punkt med x 1  = 0.

Grænse og interiør

Lad M være en mangfoldighed med grænse. Det indre af M , betegnet Int M , er det sæt punkter i M, som har kvarterer homomorfe til en åben delmængde af . Den

grænse af M , betegnet ∂ M , er komplementet af Int M i M . Grænsebetingelserne punkter kan karakteriseres som de punkter, som lander på grænsen hyperplan ( x n = 0) af under nogle koordinat diagram.  

Hvis M er en manifold med grænse for dimension n , så er Int

M en manifold (uden grænse) af dimension n og ∂ M er en manifold (uden grænse) for dimension n - 1 .  

Konstruktion

En enkelt manifold kan konstrueres på forskellige måder, der hver især understreger et andet aspekt af manifolden og derved fører til et lidt andet synspunkt.

Diagrammer

Diagrammet kortlægger den del af kuglen med positiv z -koordinat til en disk.

Måske er den enkleste måde at konstruere en manifold den, der bruges i eksemplet ovenfor på cirklen. Først identificeres en delmængde af , og derefter konstrueres et atlas, der dækker denne delmængde. Begrebet

mangfoldighed voksede historisk fra konstruktioner som denne. Her er et andet eksempel, der anvender denne metode til konstruktion af en kugle:

Kugle med diagrammer

En kugle kan behandles på næsten samme måde som cirklen. I matematik er en kugle bare overfladen (ikke det solide indre), som kan defineres som en delmængde af :

Sfæren er todimensionel, så hvert diagram vil kortlægge en del af kuglen til en åben delmængde af . Overvej den nordlige halvkugle, som er delen med positiv

z -koordinat (farvet rød på billedet til højre). Funktionen χ defineret af

kortlægger den nordlige halvkugle til den åbne enhedsskive ved at projicere den på ( x , y ) planet. Et lignende diagram findes på den sydlige halvkugle. Sammen med to diagrammer, der projicerer på ( x , z ) planet og to diagrammer, der projicerer på ( y , z ) planet, opnås et atlas på seks diagrammer, der dækker hele kuglen.

Dette kan let generaliseres til sager med højere dimension.

Patchwork

En manifold kan konstrueres ved at lime stykker sammen på en konsekvent måde og gøre dem til overlappende diagrammer. Denne konstruktion er mulig for enhver manifold, og derfor bruges den ofte som en karakterisering, især til differentierbare og Riemannian manifolds. Det fokuserer på et atlas, da patches naturligvis giver diagrammer, og da der ikke er noget ydre rum involveret, fører det til et iboende syn på manifolden.

Fordeleren er konstrueret ved at specificere et atlas, som selv er defineret af overgangskort. Et punkt på manifolden er derfor en ækvivalensklasse af punkter, der er kortlagt til hinanden ved overgangskort. Diagrammer kortlægger ækvivalensklasser til punkter i en enkelt patch. Der er normalt stærke krav til konsistensen af ​​overgangskortene. For topologiske manifolder kræves det, at de er homomorfismer; hvis de også er diffeomorfismer, er den resulterende manifold en differentierbar manifold.

Dette kan illustreres med overgangskortet t = 1s fra anden halvdel af cirkeleksemplet. Start med to kopier af linjen. Brug koordinaterne s for den første kopi og t for den anden kopi. Lim nu begge kopier sammen ved at identificere punktet t på den anden kopi med punktet s = 1t på den første kopi (punkterne t = 0 og s = 0 er ikke identificeret med noget punkt på den første og anden kopi, henholdsvis). Dette giver en cirkel.

Intrinsisk og ekstrinsisk udsigt

Den første konstruktion og denne konstruktion er meget ens, men repræsenterer temmelig forskellige synspunkter. I den første konstruktion ses manifolden som indlejret i noget euklidisk rum. Dette er den ydre opfattelse . Når en manifold ses på denne måde, er det let at bruge intuition fra euklidiske rum til at definere yderligere struktur. For eksempel i et euklidisk rum er det altid klart, om en vektor på et tidspunkt er tangential eller normal for en eller anden overflade gennem dette punkt.

Patchwork -konstruktionen bruger ikke nogen indlejring, men betragter simpelthen manifolden som et topologisk rum i sig selv. Dette abstrakte synspunkt kaldes det iboende syn . Det kan gøre det sværere at forestille sig, hvad en tangentvektor kan være, og der er ingen iboende forestilling om et normalt bundt, men i stedet er der et iboende stabilt normalt bundt .

n -Sphere som et patchwork

Den n -sphere S n er en generalisering af ideen om en cirkel (1-område) og kugle (2-sfære) til højere dimensioner. En n -sfære S n kan konstrueres ved at lime to kopier sammen . Overgangskortet mellem dem er

inversion i en sfære , defineret som

Denne funktion er sin egen omvendte og kan derfor bruges i begge retninger. Da overgangskortet er en glat funktion , definerer dette atlas en glat manifold. I tilfælde n = 1 forenkles eksemplet til det tidligere viste cirkeleksempel.

Identifikation af punkter i en manifold

Det er muligt at definere forskellige punkter i en manifold til at være ens. Dette kan visualiseres som limning af disse punkter sammen i et enkelt punkt og danner et kvotrum . Der er imidlertid ingen grund til at forvente, at sådanne kvotrum er mangfoldige. Blandt de mulige kvotrum, der ikke nødvendigvis er mangfoldige, betragtes orbifolds og CW-komplekser som relativt velopdragen . Et eksempel på et kvotrum i en manifold, der også er en manifold, er det virkelige projektive rum , der er identificeret som et kvotrum i den tilsvarende sfære.

En metode til at identificere punkter (lim dem sammen) er gennem en højre (eller venstre) handling af en gruppe , som virker på manifolden. To punkter identificeres, hvis det ene flyttes til det andet af et eller andet gruppeelement. Hvis M er manifolden og G er gruppen, betegnes det resulterende kvotrum med M / G (eller G \ M ).

Fordelere, der kan konstrueres ved at identificere punkter, omfatter tori og reelle projektive rum (startende med henholdsvis et plan og en kugle).

Limning langs grænser

To manifolder med grænser kan limes sammen langs en grænse. Hvis dette gøres på den rigtige måde, er resultatet også en mangfoldighed. På samme måde kan to grænser for en enkelt manifold limes sammen.

Formelt defineres limningen ved en bijection mellem de to grænser. To punkter identificeres, når de kortlægges på hinanden. For en topologisk manifold bør denne bijektion være en homomorfisme, ellers vil resultatet ikke være en topologisk manifold. Tilsvarende skal det for en differentierbar manifold være en diffeomorfisme. For andre manifolder bør andre strukturer bevares.

En endelig cylinder kan konstrueres som en manifold ved at starte med en strimmel [0,1] × [0,1] og lime et par modsatte kanter på grænsen af ​​en passende diffeomorfisme. Et projektionsplan kan opnås ved at lime en kugle med et hul i den til en Möbius -strimmel langs deres respektive cirkulære grænser.

Kartesiske produkter

Det kartesiske produkt af manifolder er også en manifold.

Produktmanifoldets dimension er summen af ​​dimensionerne af dens faktorer. Dens topologi er produkttopologien , og et kartesisk diagramprodukt er et diagram for produktmanifolden. Således kan et atlas til produktmanifolden konstrueres ved hjælp af atlas til dets faktorer. Hvis disse atlas definerer en differentiel struktur på faktorerne, definerer det tilsvarende atlas en differentiel struktur på produktmanifolden. Det samme gælder for enhver anden struktur, der er defineret på faktorerne. Hvis en af ​​faktorerne har en grænse, har produktmanifolden også en grænse. Kartesiske produkter kan bruges til at konstruere tori og endelige cylindre , f.eks. Som henholdsvis S 1  ×  S 1 og S 1  × [0,1].

En endelig cylinder er en manifold med grænse.

Historie

Studiet af manifolder kombinerer mange vigtige matematikområder: det generaliserer begreber som kurver og overflader samt ideer fra lineær algebra og topologi.

Tidlig udvikling

Inden det moderne koncept om en manifold var der flere vigtige resultater.

Ikke-euklidisk geometri mener rum, hvor Euclid 's parallel postulat mislykkes. Saccheri studerede først sådanne geometrier i 1733, men søgte kun at modbevise dem. Gauss , Bolyai og Lobachevsky opdagede dem uafhængigt 100 år senere. Deres forskning afdækkede to typer rum, hvis geometriske strukturer adskiller sig fra det klassiske euklidiske rum; disse gav anledning til hyperbolsk geometri og elliptisk geometri . I den moderne teori om manifolder svarer disse forestillinger til Riemannian manifolds med henholdsvis konstant negativ og positiv krumning .

Carl Friedrich Gauss kan have været den første til at betragte abstrakte rum som matematiske objekter i sig selv. Hans theorema egregium giver en metode til beregning af en overflades krumning uden at tage hensyn til det omgivende rum, overfladen ligger i. En sådan overflade ville i moderne terminologi blive kaldt en manifold; og i moderne termer beviste sætningen, at overfladens krumning er en iboende egenskab . Manifoldteori er udelukkende kommet til at fokusere på disse iboende egenskaber (eller invarianter), mens den stort set ignorerer de ydre egenskaber i det omgivende rum.

Et andet, mere topologisk eksempel på en manifolds iboende egenskab er dens Euler -karakteristik . Leonhard Euler viste, at for en konveks polytop i det tredimensionale euklidiske rum med V- hjørner (eller hjørner), E- kanter og F- flader,

Den samme formel vil gælde, hvis vi projicerer polytopens hjørner og kanter på en kugle og skaber et topologisk kort med V -hjørner, E -kanter og F -flader, og faktisk forbliver det sandt for ethvert sfærisk kort, selvom det gør det ikke stammer fra en konveks polytop. Således er 2 en topologisk invariant af sfæren, kaldet dens Euler -karakteristik . På den anden side kan en torus skives åbent af sine 'parallelle' og 'meridian' cirkler, hvilket skaber et kort med V  = 1 toppunkt, E  = 2 kanter og F  = 1 flade. Således er Euler -karakteristikken for torus 1 - 2 + 1 = 0. Euler -karakteristikken for andre overflader er en nyttig topologisk invariant , som kan udvides til højere dimensioner ved hjælp af Betti -tal . I midten af ​​1800 -tallet forbandt
Gauss -Bonnet -sætningen Euler -karakteristikken med den gaussiske krumning.

Syntese

Undersøgelser af Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacobi om inversion af elliptiske integraler i første halvdel af 1800 -tallet fik dem til at overveje særlige typer komplekse manifolder, nu kendt som Jacobians . Bernhard Riemann bidrog yderligere til deres teori og tydeliggjorde den geometriske betydning af processen med analytisk fortsættelse af funktioner af komplekse variabler.

En anden vigtig kilde til mangfoldigheder i matematik fra 1800 -tallet var analytisk mekanik , som udviklet af Siméon Poisson , Jacobi og William Rowan Hamilton . De mulige tilstande af et mekanisk system menes at være punkter i et abstrakt rum, fase plads i Lagrange og Hamiltonian formalismer af klassisk mekanik. Dette rum er faktisk en højdimensionel manifold, hvis dimension svarer til systemets frihedsgrader, og hvor punkterne er specificeret af deres generaliserede koordinater . For en ubegrænset bevægelse af frie partikler svarer manifolden til det euklidiske rum, men forskellige bevaringslove begrænser det til mere komplicerede formationer, f.eks. Liouville tori . Teorien om en roterende fast krop, udviklet i det 18. århundrede af Leonhard Euler og Joseph-Louis Lagrange , giver et andet eksempel, hvor manifolden er utrivelig. Geometriske og topologiske aspekter af klassisk mekanik blev understreget af Henri Poincaré , en af ​​grundlæggerne af topologi.

Riemann var den første til at udføre omfattende arbejde med at generalisere ideen om en overflade til højere dimensioner. Navnet manifold stammer fra Riemanns originale tyske udtryk, Mannigfaltigkeit , som William Kingdon Clifford oversatte som "manifoldness". I sit indledende foredrag i Göttingen beskrev Riemann sættet af alle mulige værdier for en variabel med visse begrænsninger som en Mannigfaltigkeit , fordi variablen kan have mange værdier. Han skelner mellem stetige Mannigfaltigkeit og diskrete Mannigfaltigkeit ( kontinuerlig mangfoldighed og diskontinuerlig mangfoldighed ), afhængigt af om værdien ændres kontinuerligt eller ej. Som kontinuerlige eksempler henviser Riemann ikke kun til farver og placeringen af ​​objekter i rummet, men også de mulige former for en rumlig figur. Ved hjælp af induktion konstruerer Riemann en n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ( n gange forlænget manifoldness eller n-dimensionel manifoldness ) som en kontinuerlig stak af (n − 1) dimensionelle manifoldnesses. Riemanns intuitive forestilling om en Mannigfaltigkeit udviklede sig til det, der i dag er formaliseret som en mangfoldighed. Riemannian manifolds og Riemann overflader er opkaldt efter Riemann.

Poincarés definition

I sit meget indflydelsesrige papir, Analysis Situs , gav Henri Poincaré en definition af en differentierbar manifold ( variété ), der tjente som en forløber for det moderne koncept om en manifold.

I det første afsnit af Analysis Situs definerer Poincaré en manifold som niveausættet for en kontinuerligt differentierbar funktion mellem euklidiske rum, der opfylder nondegeneracy -hypotesen om den implicitte funktionssætning . I det tredje afsnit begynder han med at bemærke, at grafen for en kontinuerligt differentierbar funktion er en mangfoldighed i sidstnævnte betydning. Derefter foreslår han en ny, mere generel definition af mangfoldighed baseret på en 'kæde af mangfoldigheder' ( une chaîne des variétés ).

Poincarés forestilling om en kæde af manifolder er en forløber for den moderne forestilling om atlas. Især betragter han to manifolder defineret henholdsvis som grafer over funktioner og . Hvis disse mangfoldigheder overlapper hinanden (

en une partie commune ), kræver han, at koordinaterne kontinuerligt afhænger af koordinaterne og omvendt (' ... les sont fonctions analytiques des et inversement '). På denne måde introducerer han en forløber for forestillingen om et diagram og et overgangskort .

F.eks. Kan enhedscirklen i flyet betragtes som funktionens graf eller også funktionen i et kvarter ved hvert punkt undtagen punkterne (1, 0) og (-1, 0); og i nærheden af ​​disse punkter kan det betragtes som grafen for henholdsvis og . Cirklen kan repræsenteres ved en graf i nærheden af ​​hvert punkt, fordi venstre side af dens definerende ligning har en nul -gradient på hvert punkt i cirklen. Ved den

implicitte funktionsteorem er hver submanifold af det euklidiske rum lokalt grafen for en funktion.

Hermann Weyl gav en iboende definition på differentierbare manifolder i sit foredragskursus om Riemann -overflader i 1911–1912 og åbnede vejen for det generelle begreb om et topologisk rum, der fulgte kort tid efter. I løbet af 1930'erne tydeliggjorde Hassler Whitney og andre de grundlæggende aspekter af emnet, og dermed blev intuitioner tilbage til sidste halvdel af 1800 -tallet præcise og udviklet gennem differential geometri og Lie -gruppeteori. Især Whitney -indlejringssætningen viste, at den iboende definition i form af diagrammer svarede til Poincarés definition med hensyn til undersæt i det euklidiske rum.

Topologi af manifolder: højdepunkter

To-dimensionelle manifolds, også kendt som en 2D- overflade indlejret i vores fælles 3D-rum, blev betragtet af Riemann under dække af Riemann-overflader og blev strengt klassificeret i begyndelsen af ​​det 20. århundrede af Poul Heegaard og Max Dehn . Poincaré var banebrydende i undersøgelsen af ​​tredimensionelle manifolder og rejste et grundlæggende spørgsmål om dem, i dag kendt som Poincaré-formodningen . Efter næsten et århundrede beviste Grigori Perelman Poincaré -formodningen (se løsningen på Poincaré -formodningen ). William Thurston 's geometrization program , formuleret i 1970'erne, forudsat en vidtrækkende udvidelse af poincaréformodningen til de generelle tredimensionelle mangfoldigheder. Fire-dimensionelle manifolder blev bragt i spidsen for matematisk forskning i 1980'erne af Michael Freedman og i en anden setting, af Simon Donaldson , der blev motiveret af den dengang nylige fremgang inden for teoretisk fysik ( Yang – Mills teori ), hvor de fungerer som en erstatning for almindelig 'flad' rumtid . Andrey Markov Jr. viste i 1960, at der ikke findes nogen algoritme til klassificering af fire-dimensionelle manifolder. Vigtigt arbejde med højere dimensionelle manifolder, herunder analoger af Poincaré-formodningen , var tidligere blevet udført af René Thom , John Milnor , Stephen Smale og Sergei Novikov . En meget gennemgående og fleksibel teknik, der ligger til grund for meget arbejde med topologien af ​​manifolder, er Morse -teori .

Yderligere struktur

Topologiske manifolder

Den enkleste slags manifold at definere er den topologiske manifold, der lokalt ligner et "almindeligt" euklidisk rum . Per definition er alle manifolder topologiske manifolder, så udtrykket "topologisk manifold" bruges normalt til at understrege, at en manifold mangler yderligere struktur, eller at kun dens topologiske egenskaber overvejes. Formelt set er en topologisk manifold et topologisk rum

lokalt homeomorft i forhold til et euklidisk rum. Det betyder, at hvert punkt har et kvarter, for hvilket der findes en homomorfisme (en bijektiv kontinuerlig funktion, hvis inverse også er kontinuerlig), der kortlægger dette kvarter til . Disse homeomorfismer er diagrammerne over manifolden.

Et topologisk manifold ligner lokalt et euklidisk rum på en temmelig svag måde: Mens det for hvert enkelt diagram er muligt at skelne differentierbare funktioner eller måle afstande og vinkler, har et rum kun i kraft af at være et topologisk manifold ikke nogen særlig og konsekvent valg af sådanne begreber. For at diskutere sådanne egenskaber for en manifold skal man specificere yderligere struktur og overveje differentierbare manifolds og Riemannian manifolds diskuteret nedenfor. Især den samme underliggende topologiske manifold kan have flere indbyrdes uforenelige klasser af differentierbare funktioner og et uendeligt antal måder at specificere afstande og vinkler på.

Normalt gøres yderligere tekniske antagelser om det topologiske rum for at udelukke patologiske tilfælde. Det er sædvanligt at kræve, at rummet er Hausdorff og andet tællbart .

Den dimension af manifolden på et vist tidspunkt er dimensionen af euklidisk rum at diagrammerne på det tidspunkt kort til (antal n i definitionen). Alle punkter i en tilsluttet manifold har samme dimension. Nogle forfattere kræver, at alle diagrammer over et topologisk mangfoldigt kort til euklidiske rum af samme dimension. I så fald har hver topologisk manifold en topologisk invariant, dens dimension.

Differentierbare manifolder

Til de fleste anvendelser anvendes en særlig form for topologisk manifold, nemlig en differentierbar manifold . Hvis de lokale diagrammer på en manifold er kompatible i en vis forstand, kan man definere retninger, tangentrum og differentierbare funktioner på denne manifold. Især er det muligt at bruge beregning på en differentierbar manifold. Hvert punkt i en n -dimensionel differentierbar manifold har et tangentrum . Dette er et n -dimensionelt euklidisk rum, der består af tangentvektorerne i kurverne gennem punktet.

To vigtige klasser af differentierbare manifolds er glatte og analytiske manifolds . For glatte manifolds er overgangskortene glatte, det vil sige uendeligt differentierbart. Analytiske manifolder er glatte manifolds med den yderligere betingelse, at overgangskortene er analytiske (de kan udtrykkes som effektserier ). Sfæren kan få analytisk struktur, ligesom de fleste kendte kurver og overflader.

Et sæt, der kan rettes på, generaliserer ideen om en stykkevis jævn eller rektificerbar kurve til højere dimensioner; sæt, der kan korrigeres, er imidlertid ikke i almindelige manifolder.

Riemanniske manifolds

For at måle afstande og vinkler på manifolder skal manifolden være Riemannian. En Riemannian manifold er en differentierbar manifold, hvor hvert tangentrum er udstyret med et indre produkt ⟨⋅, ⋅⟩ på en måde, der varierer jævnt fra punkt til punkt. Givet to tangentvektorer u og v , det indre produkt u , v giver et reelt tal. Den prik (eller skalar) produkt er et typisk eksempel på et indre produkt. Dette gør det muligt at definere forskellige forestillinger såsom længde, vinkler , områder (eller mængder ), krumning og divergens af vektorfelter .

Alle differentierbare manifolder (med konstant dimension) kan gives strukturen af ​​et Riemannian manifold. Det euklidiske rum selv bærer en naturlig struktur af Riemannian manifold (tangentrummene er naturligt identificeret med selve det euklidiske rum og bærer det standard skalarprodukt af rummet). Mange velkendte kurver og overflader, herunder f.eks. Alle n -kugler, er specificeret som underrum i et euklidisk rum og arver en metrik fra deres indlejring i det.

Finsler manifolds

Et Finsler -manifold tillader definition af afstand, men kræver ikke begrebet vinkel; det er en analytisk mangfoldighed, hvor hvert tangentrum er udstyret med en norm , || · ||, på en måde, der varierer jævnt fra punkt til punkt. Denne norm kan udvides til en metrik , der definerer længden af ​​en kurve; men det kan generelt ikke bruges til at definere et indre produkt.

Enhver Riemannian manifold er en Finsler manifold.

Lie grupper

Løgengrupper , opkaldt efter Sophus Lie , er differentierbare manifolder, der også bærer strukturen af ​​en gruppe, der er sådan, at gruppens operationer er defineret af glatte kort.

Et euklidisk vektorrum med gruppedriften af ​​vektortilsætning er et eksempel på en ikke-kompakt Lie-gruppe. Et enkelt eksempel på en kompakt Lie -gruppe er cirklen: gruppeoperationen er simpelthen rotation. Denne gruppe, kendt som U (1), kan også karakteriseres som gruppen af komplekse tal af modul 1 med multiplikation som gruppeoperationen.

Andre eksempler på Lie-grupper inkluderer særlige grupper af matricer , som alle er undergrupper af den generelle lineære gruppe , gruppen af n ved n matricer med ikke-nul determinant. Hvis matrixposterne er reelle tal , vil dette være en n 2 -dimensionel frakoblet manifold. De ortogonale grupper , kuglens symmetri -grupper og hypersfærer , er n ( n −1)/2 -dimensionelle manifolder, hvor n −1 er kuglens dimension. Yderligere eksempler findes i tabellen over Lie -grupper .

Andre typer af manifolder

  • En kompleks manifold er en manifold, hvis diagrammer tager værdier ind, og hvis overgangsfunktioner er
holomorfe på overlapningerne. Disse manifolder er de grundlæggende objekter for undersøgelse i kompleks geometri . En en-kompleks-dimensionel manifold kaldes en Riemann-overflade . En n -dimensionel kompleks manifold har dimension 2 n som en reel differentierbar manifold.
  • En CR -manifold er en manifold, der er modelleret efter grænser for domæner i .
  • 'Uendelige dimensionelle manifolder': for at give mulighed for uendelige dimensioner kan man overveje Banach -manifolder, der er lokalt homeomorfe i forhold til Banach -rum . På samme måde er Fréchet -manifolder lokalt homeomorfe i forhold til Fréchet -rum .
  • En symplektisk manifold er en slags manifold, der bruges til at repræsentere faserummene i klassisk mekanik . De er udstyret med en 2-form, der definerer Poisson-beslaget . En nært beslægtet type manifold er en kontaktmanifold .
  • En kombinatorisk manifold er en slags manifold, som er diskretisering af en manifold. Det betyder normalt en stykkevis lineær manifold fremstillet af simple komplekser .
  • En digital manifold er en særlig form for kombinatorisk manifold, der er defineret i det digitale rum. Se digital topologi
  • Klassificering og invarianter

    Forskellige forestillinger om manifolder har forskellige forestillinger om klassificering og invariant; i dette afsnit fokuserer vi på glatte lukkede manifolder.

    Klassificeringen af ​​glatte lukkede manifolder er i princippet godt forstået , undtagen i dimension 4 : i lave dimensioner (2 og 3) er den geometrisk, via uniformeringsteoremet og løsningen af ​​Poincaré -formodningen og i høj dimension (5 og derover) det er algebraisk, via kirurgisk teori . Dette er en klassificering i princippet: Det generelle spørgsmål om, hvorvidt to glatte manifolder er diffeomorfe, kan ikke beregnes generelt. Endvidere er specifikke beregninger fortsat vanskelige, og der er mange åbne spørgsmål.

    Orienterbare overflader kan visualiseres og deres diffeomorfismeklasser opregnes efter slægt. I betragtning af to orienterbare overflader kan man afgøre, om de er diffeomorfe ved at beregne deres respektive slægter og sammenligne: de er diffeomorfe, hvis og kun hvis slægterne er ens, så slægten danner et komplet sæt invarianter .

    Dette er meget sværere i højere dimensioner: højere-dimensionelle manifolder kan ikke visualiseres direkte (selvom visuel intuition er nyttig til at forstå dem), og deres diffeomorfismeklasser kan heller ikke opregnes, og man kan heller ikke generelt afgøre, om to forskellige beskrivelser af en højere-dimensionel manifold henviser til det samme objekt.

    Imidlertid kan man afgøre, om to manifolder er forskellige, hvis der er en iboende egenskab, der adskiller dem. Sådanne kriterier omtales sædvanligvis som invarianter , fordi de, selv om de kan defineres i form af en vis præsentation (såsom slægten i form af en triangulering), er de samme i forhold til alle mulige beskrivelser af en bestemt mangfoldighed: de er invariante under forskellige beskrivelser.

    Naivt kunne man håbe på at udvikle et arsenal af uforanderlige kriterier, der definitivt ville klassificere alle mangfoldigheder op til isomorfisme. Desværre er det kendt, at der for manifolds af dimension 4 og højere ikke findes noget program, der kan afgøre, om to manifolds er diffeomorfe.

    Glatte manifolds har et rigt sæt invarianter , der kommer fra punktsat topologi , klassisk algebraisk topologi og geometrisk topologi . De mest kendte invarianter, som er synlige for overflader, er orienterbarhed (en normal invariant, også påvist ved homologi ) og slægt (en homologisk invariant).

    Glatte lukkede manifolder har ingen lokale invarianter (bortset fra dimension), selvom geometriske manifolds har lokale invarianter, især krumningen af ​​en Riemannian manifold og torsionen af en manifold udstyret med en affin forbindelse . Denne sondring mellem lokale invarianter og ingen lokale invarianter er en almindelig måde at skelne mellem geometri og topologi . Alle invarianter af en glat lukket manifold er således globale.

    Algebraisk topologi er en kilde til en række vigtige globale invariante egenskaber. Nogle nøglekriterier omfatter den simpelthen tilsluttede ejendom og orienterbarhed (se nedenfor). Faktisk blev flere grene af matematik, såsom homologi og homotopiteori , og teorien om karakteristiske klasser grundlagt for at studere mangfoldige egenskaber ved mangfoldige egenskaber.

    Overflader

    Orienterbarhed

    I dimensioner to og højere er et simpelt, men vigtigt invariant kriterium spørgsmålet om, hvorvidt en mangfoldighed indrømmer en meningsfuld orientering. Overvej et topologisk manifold med diagrammer, der kortlægger til . I betragtning af et

    ordnet grundlag for , får et diagram sit stykke af manifolden til selv at få en følelse af orden, som i 3-dimensioner kan ses som enten højrehåndet eller venstrehåndet. Overlappende diagrammer er ikke forpligtet til at være enige i deres følelse af at bestille, hvilket giver mangfoldige en vigtig frihed. For nogle manifolder, ligesom kuglen, kan diagrammer vælges, så overlappende regioner er enige om deres "hænder"; disse er orienterbare manifolder. For andre er dette umuligt. Sidstnævnte mulighed er let at overse, fordi enhver lukket overflade indlejret (uden selvkryds) i tredimensionelt rum er orienterbar.

    Nogle illustrerende eksempler på ikke-orienterbare manifolder omfatter: (1) Möbius-strimlen , som er en manifold med grænse, (2) Klein-flasken , som skal skæres i sin 3-rumsrepræsentation, og (3) det virkelige projektionsplan , som opstår naturligt i geometri.

    Möbius -strimmel

    Möbius -strimmel

    Begynd med en uendelig cirkulær cylinder, der står lodret, en manifold uden grænser. Skær tværs over det højt og lavt for at producere to cirkulære grænser og den cylindriske strimmel mellem dem. Dette er en orienterbar manifold med grænse, hvorpå "kirurgi" vil blive udført. Skær strimlen op, så den kan rulles ud til at blive et rektangel, men hold styr på de afskårne ender. Drej den ene ende 180 °, så den indre overflade vender ud, og lim enderne sammen igen problemfrit. Dette resulterer i en strimmel med et permanent halvt twist: Möbius-strimlen. Dens grænse er ikke længere et par cirkler, men (topologisk) en enkelt cirkel; og det, der engang var dets "inderside", er smeltet sammen med sit "ydre", så det nu kun har en enkelt side. På samme måde som Klein -flasken nedenfor ville denne todimensionelle overflade skulle krydse sig selv i to dimensioner, men kan let konstrueres i tre eller flere dimensioner.

    Klein flaske

    Den Klein flaske nedsænket i tre-dimensionelle rum

    Tag to Möbius strimler; hver har en enkelt sløjfe som grænse. Ret disse sløjfer ud i cirkler, og lad strimlerne forvrænges til krydshætter . Ved at lime cirklerne sammen vil der dannes en ny, lukket manifold uden grænser, Klein -flasken. At lukke overfladen gør ikke noget for at forbedre den manglende orienterbarhed, det fjerner blot grænsen. Således er Klein -flasken en lukket overflade uden skelnen mellem indvendig og udvendig. I det tredimensionelle rum skal overfladen af ​​en Klein-flaske passere gennem sig selv. At bygge en Klein-flaske, der ikke skærer sig selv, kræver fire eller flere rumdimensioner.

    Rigtigt projektivt fly

    Begynd med en kugle centreret om oprindelsen. Hver linje gennem oprindelsen gennemborer kuglen i to modsatte punkter kaldet antipoder . Selvom der ikke er nogen måde at gøre det fysisk, er det muligt (ved at overveje et kvotrum ) at matematisk fusionere hvert antipodepar til et enkelt punkt. Den således fremstillede lukkede overflade er det virkelige projektive plan, endnu en ikke-orienterbar overflade. Den har en række tilsvarende beskrivelser og konstruktioner, men denne rute forklarer sit navn: alle punkterne på en given linje gennem oprindelsesprojektet til det samme "punkt" på dette "plan".

    Slægt og Euler karakteristik

    For todimensionelle manifolder er en vigtig invariant egenskab slægten eller "antal håndtag", der er til stede i en overflade. En torus er en kugle med et håndtag, en dobbelt torus er en kugle med to håndtag osv. Det er faktisk muligt fuldt ud at karakterisere kompakte, todimensionale manifolder på grundlag af slægt og orienterbarhed. I højere dimensionelle manifolder er slægten erstattet af forestillingen om Euler-karakteristik og mere generelt Betti-tal og homologi og kohomologi .

    Kort over manifolder

    Ligesom der er forskellige typer af manifolder, er der forskellige typer kort over manifolds . Ud over kontinuerlige funktioner og glatte funktioner generelt er der kort med særlige egenskaber. I geometrisk topologi er en grundtype indlejringer , hvor knudeori er et centralt eksempel, og generaliseringer som nedsænkning , nedsænkning , dækning af rum og forgrenede dækningsrum . Grundlæggende resultater omfatter Whitney -indlejringssætningen og Whitney -nedsænkningssætningen .

    I Riemannisk geometri kan man bede om kort for at bevare den Riemanniske metrik, hvilket fører til forestillinger om isometriske indlejringer , isometriske fordybelser og Riemanniske nedsænkninger ; et grundlæggende resultat er Nash -indlejringssætningen .

    Skalarfunktioner

    3D farve plot af de sfæriske harmoniske grader

    Et grundeksempel på kort mellem manifolder er skalarfunktioner på en manifold,

    eller

    undertiden kaldet regulære funktioner eller funktionaliteter , analogt med algebraisk geometri eller lineær algebra. Disse er af interesse både i sig selv og for at studere den underliggende mangfoldighed.

    I geometrisk topologi, mest almindeligt studerede er Morse funktioner , der giver handlebody nedbrydninger, mens i matematisk analyse , man ofte studerer løsning på partielle differentialligninger , et vigtigt eksempel herpå er harmonisk analyse , hvor man studerer harmoniske funktioner : kernen af Laplace operatør . Dette fører til funktioner som de sfæriske harmoniske og til opvarmning af kernemetoder til undersøgelse af manifolder, såsom at høre formen på en tromle og nogle beviser for Atiyah -Singer index sætning .

    Generaliseringer af manifolder

    Uendelige dimensionelle manifolder
    Definitionen af ​​en manifold kan generaliseres ved at droppe kravet om endelig dimension. Således er en uendelig dimensionel manifold et topologisk rum lokalt homeomorft til et topologisk vektorrum over realerne. Dette udelader punkt-sæt aksiomer, hvilket tillader højere kardinaliteter og ikke-Hausdorff manifolds ; og den udelader en endelig dimension, så strukturer som Hilbert -manifolder kan modelleres på Hilbert -rum , Banach -manifolder, der skal modelleres på Banach -rum , og Fréchet -manifolder, der kan modelleres på Fréchet -rum . Normalt slapper man af på den ene eller den anden tilstand: manifolder med de punktsatte aksiomer studeres i generel topologi , mens uendeligt-dimensionelle manifolder studeres i funktionel analyse .
    Orbifolds
    En orbifold er en generalisering af manifold, der muliggør visse former for " singulariteter " i topologien. Groft sagt er det et rum, der lokalt ligner kvotienterne af nogle enkle rum ( f.eks euklidisk rum) ved de handlinger af forskellige endelige grupper . Singulariteterne svarer til faste punkter i gruppeaktionerne, og handlingerne skal være kompatible i en vis forstand.
    Algebraiske sorter og ordninger
    Ikke-ental algebraiske sorter over de reelle eller komplekse tal er mangfoldige. Man generaliserer dette først ved at tillade singulariteter, for det andet ved at tillade forskellige felter og for det tredje ved at efterligne lappekonstruktionen af ​​manifolder: ligesom en manifold limes sammen fra åbne undersæt af det euklidiske rum, limes en algebraisk variant sammen fra affine algebraiske sorter, som er nul sæt polynomer over algebraisk lukkede felter. Skemaer limes ligeledes sammen fra affine skemaer, som er en generalisering af algebraiske sorter. Begge er relateret til manifolder, men er konstrueret algebraisk ved hjælp af skiver i stedet for atlas.
    På grund af entallige punkter er en sort generelt ikke en mangfoldighed, men sprogligt er den franske variant , tyske Mannigfaltigkeit og engelsk manifold stort set synonym . På fransk kaldes en algebraisk variant une variété algébrique (en algebraisk variant ), mens en glat manifold kaldes une variété différentielle (en differential sort ).
    Lagdelt rum
    Et "lagdelt rum" er et rum, der kan opdeles i stykker ("strata"), hvor hvert lag er en manifold, hvor lagene passer sammen på foreskrevne måder (formelt en filtrering ved lukkede undergrupper). Der er forskellige tekniske definitioner, især et Whitney -lagdelt rum (se Whitney -forhold ) for glatte manifolder og et topologisk lagdelt rum til topologiske manifolder. Grundlæggende eksempler omfatter manifold med grænse (topdimensionel manifold og codimension 1 -grænse) og manifolds med hjørner (topdimensionel manifold, codimension 1 -grænse, codimension 2 -hjørner). Whitney -lagdelte rum er en bred klasse af rum, herunder algebraiske sorter, analytiske sorter, semialgebraiske sæt og subanalytiske sæt .
    CW-komplekser
    Et CW -kompleks er et topologisk rum dannet ved at lime diske af forskellig dimension sammen. Generelt er det resulterende rum ental, derfor ikke en mangfoldighed. De er imidlertid af central interesse i algebraisk topologi, især inden for homotopiteori .
    Homologimanifold
    En homologimanifold er et rum, der opfører sig som en mangfoldighed fra homologiteoriens synspunkt. Disse er ikke alle manifolds, men (i høj dimension) kan analyseres ved kirurgiteori på samme måde som manifolds, og mangel på at være en manifold er en lokal obstruktion, som i kirurgiteori.
    Differentialerum
    Lad være et nonempty sæt. Antag, at der blev valgt en familie af reelle funktioner på . Betegn det ved . Det er en algebra med hensyn til den punktvise tilføjelse og multiplikation. Lad være udstyret med topologien forårsaget af . Antag også, at følgende betingelser holder. For det første: for hver , hvor og vilkårlig , sammensætningen . For det andet: hver funktion, der i hvert punkt lokalt falder sammen med en eller anden funktion fra , tilhører også . Et par, som ovenstående betingelser holder for, kaldes et Sikorski -differentialrum.

    Se også

    Efter dimension

    Noter

    Referencer

    Werke und wissenschaftlicher Nachlass , Sändig Reprint. ISBN  3-253-03059-8 . Mannigfaltigkeit ) først dukker op.
  • Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 1854 -indledningsforedraget i Göttingen ( Habilitationsschrift ).
  • Spivak, Michael (1965) Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus . WA Benjamin Inc. (genoptrykt af Addison-Wesley og Westview Press). ISBN  0-8053-9021-9 . Berømt spredt avanceret bachelor- / førsteårs kandidattekst.
  • Spivak, Michael (1999) A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (3. udgave) Publish or Perish Inc. Encyclopedic five-volume series presenting a systematic treatment of the theory of manifolds, Riemannian geometry, classic differential geometry, and talrige andre emner på det første - og andetårs kandidatniveauer.
  • Tu, Loring W. (2011). En introduktion til manifolds (2. udgave). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.. Kortfattet førsteårs kandidattekst.
  • eksterne links