Matematik i bookmaking - Mathematics of bookmaking

I gambling sprogbrug, hvilket gør en bog er den praksis med æglæggende indsatser på de forskellige mulige udfald af en enkelt begivenhed. Sætningen stammer fra praksis med at registrere sådanne indsatser i en hårdbundet hovedbog ('bogen') og giver det engelske sprog udtrykket bookmaker for den person, der lægger indsatser og dermed 'laver bogen'.

Lav en 'bog' (og forestillingen om omringning)

En bookmaker bestræber sig på at acceptere væddemål om resultatet af en begivenhed i de rigtige proportioner for at tjene penge uanset hvilket resultat der hersker. Se hollandsk bog og sammenhæng (filosofisk spilstrategi) . Dette opnås primært ved at justere det, der er bestemt til at være de sande odds for de forskellige resultater af en begivenhed på en nedadgående måde (dvs. bookmakeren vil udbetale ved hjælp af sine faktiske odds, et beløb, der er mindre end de sande odds ville have betalt, og dermed sikre et overskud).

De odds, der er angivet for en bestemt begivenhed, kan være faste, men er mere tilbøjelige til at svinge for at tage højde for størrelsen på de væddemål, som spillerne placerede i optakten til den faktiske begivenhed (f.eks. Et hestevæddeløb). Denne artikel forklarer matematikken ved at lave en bog i (enklere) tilfælde af den tidligere begivenhed. For den anden metode, se Parimutuel -væddemål .

Det er vigtigt at forstå forholdet mellem brøk- og decimalodds. Brøkoddser er dem, der er skrevet ab (a/b eller a til b) betyder, at en vindende spiller vil modtage deres penge tilbage plus en enheder for hver b -enhed, de satser. Multiplicering af både a og b med det samme tal giver odds svarende til ab. Decimalodds er en enkelt værdi, større end 1, der repræsenterer det beløb, der skal udbetales for hvert enhedsspil. For eksempel vil et væddemål på £ 40 på 6-4 (fraktionerede odds) udbetale £ 40 + £ 60 = £ 100. De ækvivalente decimalodds er 2,5; £ 40 x 2,5 = £ 100. Vi kan konvertere brøk til decimal odds med formlen D = b+a / b . Derfor kan fraktionelle odds på a-1 (dvs. b = 1) opnås ud fra decimalodds med a = D-1.

Det er også vigtigt at forstå forholdet mellem odds og underforståede sandsynligheder: Brøkodds på ab (med tilsvarende decimalodds D) repræsenterer en underforstået sandsynlighed for b ⁄ a+b = 1 ⁄ D , f.eks. 6-4 svarer til 4 ⁄ 6+ 4 = 4 ⁄ 10 = 0,4 (40%). En underforstået sandsynlighed for x er repræsenteret ved fraktionelle odds på (1-x)/x, f.eks. 0,2 er (1-0,2)/0,2 = 0,8/0,2 = 4/1 (4-1, 4 til 1) (ækvivalent 1 ⁄ x - 1 til 1), og decimalodds på D = 1 ⁄ x .

Eksempel

Når man overvejer en fodboldkamp (begivenheden), der enten kan være en 'hjemmesejr', 'uafgjort' eller 'udekamp' (resultaterne), kan følgende odds blive stødt på at repræsentere den sande chance for hvert af de tre resultater:

Hjem: Evens

Uafgjort: 2-1

Ude: 5-1

Disse odds kan repræsenteres som underforståede sandsynligheder (eller procenter ved at gange med 100) som følger:

Jævn (eller 1-1) svarer til en underforstået sandsynlighed på 1 ⁄ 2 (50%)

2-1 svarer til en underforstået sandsynlighed på 1 ⁄ 3 (33 1 ⁄ 3 %)

5-1 svarer til en underforstået sandsynlighed på 1 ⁄ 6 (16 2 ⁄ 3 %)

Ved at lægge procenterne sammen opnås en samlet 'bog' på 100% (hvilket repræsenterer en rimelig bog). Bookmakeren vil, i sit ønske om at benytte sig af et overskud, altid reducere disse odds. Overvej den enkleste model for at reducere, som bruger en proportionel formindskelse af odds. For ovenstående eksempel er følgende odds i samme andel med hensyn til deres underforståede sandsynligheder (3: 2: 1):

Hjem: 4-6

Uafgjort: 6-4

Ude: 4-1

4-6 svarer til en underforstået sandsynlighed på 3 ⁄ 5 (60%)

6-4 svarer til en underforstået sandsynlighed på 2 ⁄ 5 (40%)

4-1 svarer til en underforstået sandsynlighed på 1 ⁄ 5 (20%)

Ved at lægge disse procenter sammen opnås en 'bog' på 120%.

Det beløb, hvormed den faktiske 'bog' overstiger 100% er kendt som 'overround', 'bookmaker margin' eller ' vigorish ' eller 'vig': det repræsenterer bookmakerens forventede fortjeneste. Således, i en "ideel" situation, hvis bookmakeren accepterer £ 120 i væddemål til sine egne noterede odds i den korrekte andel, vil han kun udbetale £ 100 (inklusive returnerede indsatser) uanset hvad det faktiske resultat af fodboldkampen er. Undersøger, hvordan han potentielt opnår dette:

En indsats på 60,00 £ @ 4-6 returnerer 100,00 £ (nøjagtigt) for en hjemmesejr.

En indsats på 40,00 £ @ 6-4 returnerer 100,00 £ (nøjagtigt) for en uafgjort kamp

En indsats på 20,00 £ @ 4-1 returnerer 100,00 £ (nøjagtigt) for en sejr på udebane

Samlet antal indsatser - £ 120,00 og en maksimal udbetaling på £ 100,00 uanset resultatet. Dette £ 20,00 overskud repræsenterer en 16 2 / 3  fortjeneste på omsætning (20,00 / 120,00)%.

I virkeligheden bruger bookmakere modeller til reducering, der er mere komplicerede end modellen for den "ideelle" situation.

Bookmaker margin i engelske fodboldligaer

Bookmaker -marginen i engelske fodboldligaer er faldet i de seneste år. Undersøgelsen af ​​seks store bookmakere mellem sæsonen 2005/06 og sæsonen 2017/2018 viste, at den gennemsnitlige margin i Premier League faldt fra 9% til 4%, i English Football League Championship , English Football League One og English Football League Two fra 11% til 6%og i National League fra 11%til 8%.

Overround på flere væddemål

Når en punter ( bettor ) kombinerer mere end ét valg i for eksempel en dobbelt , diskant eller akkumulator, forstærkes effekten af ​​omlægningen i bogen for hvert valg til skade for spilleren med hensyn til det økonomiske afkast i forhold til de sande odds for at alle valg vinder og dermed resulterer i et vellykket væddemål.

For at forklare konceptet i de mest grundlæggende situationer vil der blive set på et eksempel bestående af en dobbelt bestående af at vælge vinderen fra hver af to tenniskampe:

I kamp 1 mellem spillere A og B vurderes begge spillere at have lige stor chance for at vinde. Situationen er den samme i Match 2 mellem spillerne C og D . I en rimelig bog i hver af deres kampe, dvs. hver har en bog på 100%, vil alle spillere blive tilbudt til odds Evens (1-1). Imidlertid vil en bookmaker sandsynligvis tilbyde odds 5-6 (for eksempel) på hvert af de to mulige resultater i hver begivenhed (hver tenniskamp). Dette resulterer i en bog for hver af tenniskampene på 109,09 ...%, beregnet med 100 × ( 6 ⁄ 11 + 6 ⁄ 11 ) dvs. 9,09% overround.

Der er fire mulige resultater ved at kombinere resultaterne fra begge kampe: Det vindende par kan være AC , AD , BC eller BD . Da hvert af resultaterne for dette eksempel bevidst er valgt for at sikre, at de er lige så sandsynlige, kan det udledes, at sandsynligheden for hvert udfald er 1 ⁄ 4 eller 0,25, og at fraktionelle odds mod hver enkelt er 3-1. Et væddemål på 100 enheder (for enkelthed) på en af ​​de fire kombinationer ville give et afkast på 100 × (3/1 + 1) = 400 enheder, hvis det lykkedes, hvilket afspejler decimalodds på 4,0.

Decimaloddsene for et multiple bet beregnes ofte ved at multiplicere decimaloddsene for de enkelte væddemål, tanken er, at hvis begivenhederne er uafhængige, så bør den underforståede sandsynlighed være produktet af de implicitte sandsynligheder for de enkelte væddemål. I ovennævnte tilfælde med fraktionelle odds på 5-6, decimal odds er 11 / 6 . Så decimaloddsene for dobbeltvæddet er 11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6 = 1.833 ... × 1.833 ... = 3.3611 ... eller brøkodds på 2.3611-1. Dette repræsenterer en underforstået sandsynlighed på 29,752% (1/3,3611) og ganget med 4 (for hver af de fire lige sandsynlige kombinationer af resultater) giver en samlet bog på 119,01%. Således er overrundingen lidt mere end fordoblet ved at kombinere to single bets til en double.

Generelt beregnes den kombinerede omkreds på en dobbelt (O _D ), udtrykt som en procentdel, ud fra de enkelte bøger B ₁ og B ₂ , udtrykt som decimaler, med O _D = B ₁ × B ₂ × 100 - 100. I eksemplet har vi O _D = 1.0909 × 1.0909 × 100 - 100 = 19.01%.

Denne massive stigning i den potentielle fortjeneste for bookmakeren (19% i stedet for 9% på en begivenhed; i dette tilfælde det dobbelte) er hovedårsagen til, at bookmakere betaler bonusser for det vellykkede udvælgelse af vindere i flere væddemål: sammenlign tilbyder 25% bonus om det korrekte valg af fire vindere fra fire markeringer i en Yankee , for eksempel, når potentialet overround på et enkelt firdoblet løb med individuelle bøger på 120% er over 107% (en bog på 207%). Det er derfor, bookmakere tilbyder væddemål som Lucky 15 , Lucky 31 og Lucky 63 ; tilbyder dobbelt odds for en vinder og stigende procentvise bonusser for to, tre og flere vindere.

Generelt beregnes den samlede procentdel af bøger med B ₁ , B ₂ , ..., B _i givet i decimaler for ethvert akkumulator -væddemål fra to til i -valg beregnet med B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100. F.eks. Den tidligere nævnte firdobling bestående af individuelle bøger på 120% (1,20) giver en omlægning på 1,20 × 1,20 × 1,20 × 1,20 × 100 - 100 = 107,36%.

Afgørelse af vindende væddemål

Ved afregning af vindende væddemål bruges enten decimalodds, eller en tilføjes til brøkoddset: dette er for at inkludere indsatsen i afkastet. Pladsdelen af hvervejs- væddemål beregnes separat fra vindedelen ; fremgangsmåden er identisk men oddsene reduceres med uanset sted faktor er for den pågældende begivenhed (se Accumulator nedenfor for detaljeret eksempel). Alle væddemål betragtes som 'vind'-væddemål, medmindre' hver vej 'specifikt er angivet. Alle viser brug af brøkodds: erstat (brøkodds + 1) med decimalodds, hvis decimalodds er kendt. Ikke-løbere behandles som vindere med fraktionelle odds på nul (decimalodds på 1). Fraktioner af pence i alt gevinster uvægerligt rundes ned ved bookmakere til nærmeste øre nedenfor. Beregninger nedenfor for indsatser med flere væddemål resulterer i, at der vises totaler for de separate kategorier (f.eks. Dobbelte, tredobbelte osv.), Og derfor er det samlede afkast muligvis ikke nøjagtigt det samme som det beløb, der er modtaget ved at bruge computersoftwaren til rådighed for bookmakere til at beregne total gevinster.

Singler

Vind single

F.eks £ 100 single på 9-2; samlet indsats = £ 100

Returnerer = £ 100 × (9/2 + 1) = £ 100 × 5,5 = £ 550

Hver enkelt single

F.eks £ 100 hver enkelt single til 11-4 ( 1 ⁄ 5 odds et sted); samlet indsats = £ 200

Returnerer (win) = £ 100 × (11/4 + 1) = £ 100 × 3,75 = £ 375

Returnerer (sted) = £ 100 × (11/20 + 1) = £ 100 × 1,55 = £ 155

Samlet afkast, hvis udvælgelsen vinder = £ 530; hvis den kun placeres = £ 155

Flere indsatser

Hver-vejs flere væddemål afgøres normalt ved hjælp af en standard " Win to Win, Place to Place " -metode, hvilket betyder, at indsatsen består af en gevinstakkumulator og en separat stedakkumulator (Bemærk: en dobbelt- eller diskant er en akkumulator med 2 eller 3 valg henholdsvis). En mere ualmindelig måde at afvikle denne type væddemål er imidlertid " Every-Way all Every-Way " (kendt som " Equividedivided ", som normalt skal anmodes som sådan på væddemålssedlen), hvor afkastene fra et udvalg i akkumulatoren deles for at danne en ensartet indsats hver vej på det næste udvalg og så videre, indtil alle valg er blevet brugt. Det første eksempel nedenfor viser de to forskellige tilgange til afvikling af denne type væddemål.

Dobbelt

Fx £ 100 hver vej dobbelt med vindere på 2-1 ( 1 ⁄ 5 odds en plads) og 5-4 ( 1 ⁄ 4 odds en plads); samlet indsats = £ 200

Bemærk: " Win to Win, Place to Place " vil altid give et større afkast, hvis alle valg vinder, hvorimod " Every-Way all Every-Way " giver større kompensation, hvis et valg er en taber, da hver af de andre vindere giver en større mængde stedpenge til efterfølgende valg.

Diskant

Fx £ 100 diskant med vindere på 3-1, 4-6 og 11-4; samlet indsats = £ 100

Returnerer = £ 100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £ 2500

Akkumulator

F.eks. £ 100 hver enkelt femdoblet akkumulator med vindere på Evens ( 1 ⁄ 4 odds en plads), 11-8 ( 1 ⁄ 5 odds), 5-4 ( 1 ⁄ 4 odds), 1-2 (alle op til at vinde) og 3-1 ( 1 ⁄ 5 odds); samlet indsats = £ 200

Bemærk: 'Alt for at vinde' betyder, at der er utilstrækkelige deltagere i stævnet til at give stedodds (f.eks. 4 eller færre løbere i et hestevæddeløb). Det eneste 'sted' er derfor førstepladsen, som gevinstoddsene gives til.

Returnerer (vind femdoblet) = £ 100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412,50

Returnerer (fem gange) = £ 100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502,03

Samlet afkast = 6914,53 £

Full-cover væddemål

Trixie

Yankee

Trixie , Yankee , canadier , Heinz , Super Heinz og Goliath danner en familie af væddemål kendt som fuld cover -væddemål, som har alle mulige multipler til stede. Eksempler på vindende Trixie- og Yankee -væddemål er blevet vist ovenfor. De andre navngivne indsatser beregnes på en lignende måde ved at se på alle de mulige kombinationer af valg i deres multipler. Bemærk: En dobbelt kan betragtes som en fuld cover bet med kun to valg.

Skulle et valg i et af disse væddemål ikke vinde, behandles de resterende vindere som værende et helt vellykket væddemål på det næste 'familiemedlem' ned. For eksempel betyder kun to vindere ud af tre i en Trixie , at væddemålet afgøres som en dobbelt; kun fire vindere ud af fem i en canadisk betyder, at det er afgjort som en Yankee ; kun fem vindere ud af otte i en Goliath betyder, at den er afgjort som canadier . Pladsdelen af ​​hvervejsspil beregnes separat ved hjælp af reducerede stedodds. Således afgøres en hvervejs Super Heinz på syv heste med tre vindere og yderligere to placerede heste som en gevinst Trixie og et sted canadisk . Stort set alle bookmakere bruger computersoftware til at lette, hurtige og nøjagtige beregninger til afregning af multiples -væddemål.

Spil på fuld cover med singler

Patent

Patent , Lucky 15 , Lucky 31 , Lucky 63 og højere Lucky bets udgør en familie af væddemål kendt som full cover bets med singler, der har alle mulige multipla til stede sammen med single bets på alle valg. Et eksempel på et vindende patentbet er blevet vist ovenfor. De andre navngivne indsatser beregnes på en lignende måde ved at se på alle de mulige kombinationer af valg i deres multipler og singler.

Skulle et valg i et af disse væddemål ikke vinde, behandles de resterende vindere som værende et fuldstændigt vellykket væddemål på det næste 'familiemedlem' ned. For eksempel betyder kun to vindere ud af tre i et patent , at indsatsen afgøres som en dobbelt og to singler; kun tre vindere ud af fire i en Lucky 15 betyder, at det er afgjort som et patent ; kun fire vindere ud af seks i en Lucky 63 betyder, at den er afgjort som en Lucky 15 . Pladsdelen af ​​hvervejsspil beregnes separat ved hjælp af reducerede stedodds. Således afgøres en hvervejs Lucky 63 på seks heste med tre vindere og yderligere to placerede heste som et gevinstpatent og et sted Lucky 31 .

Algebraisk fortolkning

Afkast på ethvert væddemål kan betragtes som beregnet som 'indsatsenhed' × 'oddsmultiplikator'. Den samlede 'oddsmultiplikator' er en samlet decimaloddsværdi og er resultatet af alle de individuelle væddemål, der udgør et fulddækningsspil, inklusive singler, hvis det er nødvendigt. F.eks. Hvis en succesfuld £ 10 Yankee returnerede £ 461,35, så er den samlede 'odds multiplikator' ( OM ) 46,135.

Hvis a , b , c , d ... repræsenterer decimaloddsene , dvs. (brøkodds + 1), kan en OM beregnes algebraisk ved at multiplicere udtrykkene ( a + 1), ( b + 1), ( c + 1) ... osv. Sammen på den krævede måde og trække fra 1. Hvis det er nødvendigt, kan (decimalodds + 1) erstattes af (brøkodds + 2).

Eksempler

3 markeringer med decimalodds a , b og c . Udvidelse ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) giver algebraisk abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1. Dette svarer til OM for et patent (diskant: abc ; fordobler: ab , ac og bc ; singler: a , b og c ) plus 1 . Derfor for at beregne afkastet for et vindende patent er det bare et tilfælde af at multiplicere ( a + 1), ( b + 1) og ( c + 1) sammen og trække 1 for at få OM for det vindende væddemål, dvs. OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) - 1 . Nu multipliceres med enhedsindsatsen for at få det samlede afkast på indsatsen.

F.eks. Det tidligere beskrevne vindende patent kan hurtigere og mere enkelt vurderes af følgende:

Samlet afkast = £ 2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = £ 99,33

Ignorerer du nogen bonusser, en 50 pence hver vej Lucky 63 (samlet indsats £ 63) med 4 vindere [2-1, 5-2, 7-2 (alle 1 ⁄ 5 odds en plads) og 6-4 ( 1 ⁄ 4 odds et sted)] og en yderligere placeret hest [9-2 ( 1 ⁄ 5 odds et sted)] kan relativt let beregnes som følger:

Returnerer (vind del) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = £ 172,75

eller mere enkelt som 0,50 × (4 × 4,5 × 5,5 × 3,5 - 1)

Returnerer (steddel) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1 ] = £ 11.79

eller mere enkelt som 0,50 × (2,4 × 2,5 × 2,7 × 2,375 × 2,9 - 1)

Samlet afkast = £ 184,54

For familien med fuld cover -væddemål, der ikke inkluderer singler, foretages en justering af beregningen for at efterlade kun double, triple og akkumulatorer. Således har en tidligere beskrevet vindende £ 10 Yankee med vindere på 1-3, 5-2, 6-4 og Evens afkast beregnet af:

£ 10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) - 1 - [(1/3 + 1) + (5/ 2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = 999,16 £

I virkeligheden er indsatsen blevet beregnet som en Lucky 15 minus singlerne. Bemærk, at den samlede returværdi på £ 999,16 er en krone højere end den tidligere beregnede værdi, da denne hurtigere metode kun indebærer afrunding af det endelige svar og ikke afrunding ved hvert enkelt trin.

I algebraiske termer er OM for Yankee -bet givet ved:

OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) - 1 - ( a + b + c + d )

I dagene før softwaren blev tilgængelig til brug for bookmakere og dem, der afgjorde væddemål i Licensed Betting Offices (LBO'er), var denne metode praktisk talt en rigueur til at spare tid og undgå de mange gentagne beregninger, der var nødvendige for at afvikle væddemål af hele dækningstypen.

Afregning af andre former for vindende væddemål

Op og ned

Runde Robin

En Round Robin med 3 vindere beregnes som en Trixie plus tre op og ned væddemål med 2 vindere i hver.

En Round Robin med 2 vindere beregnes som et dobbelt plus et op og ned bet med 2 vindere plus to op og ned væddemål med 1 vinder i hver.

En Round Robin med 1 vinder beregnes som to op og ned væddemål med en vinder i hver.

Flag- og Superflag- væddemål kan beregnes på samme måde som ovenfor ved hjælp af det relevante fulddækningsspil (hvis tilstrækkelige vindere) sammen med det krævede antal 2 vinder- og 1 vinder Op og Ned-væddemål.

Bemærk: Ekspertvæddemålere inden introduktionen af ​​bet-afviklingssoftware ville altid have brugt en metode af algebraisk type sammen med en simpel lommeregner til at bestemme afkastet på et væddemål (se nedenfor).

Algebraisk fortolkning

Hvis a , b , c , d ... repræsenterer decimaloddsene , dvs. (fraktionelle odds + 1), kan en 'oddsmultiplikator' OM beregnes algebraisk ved at multiplicere udtrykkene ( a + 1), ( b + 1) , ( c + 1) ... osv. sammen på den krævede måde og tilføjelse eller fradrag af yderligere komponenter. Om nødvendigt kan (decimalodds + 1) erstattes af (brøkodds + 2).

Eksempler

Se også

• Statistisk forening fodbold forudsigelser
• Ordliste over væddemål, der tilbydes af britiske bookmakere

Noter

Referencer

• Cortis, D. (2015). "Forventede værdier og varians i bookmakerudbetalinger: En teoretisk tilgang til at sætte grænser for odds". Journal of Prediction Markets. 1. 9.
• Sidney, C (1976). The Art of Legging , Maxline International.
• Sidney, C (2003). The Art of Legging: The History, Theory, and Practice of Bookmaking on the English Turf , 3. udgave, Rotex Publishing 2003, 224 s. ISBN  978-1-872254-06-7 . Definitiv og omfattende revideret og opdateret 3. udgave om bookmakers historie, teori, praksis og matematik plus matematik fra off-betting-væddemål, spil og deres beregning og ansvarskontrol .

Yderligere læsning

• " Finding a Edge ", Ron Loftus , US-SC-North Charleston: Create Space., 2011, 144 sider.
• " Sådan laver du en bog ", Phil Bull , London: Morrison & Gibb Ltd., 1948, 160 s.
• " Bogen om bookmaking ", Ferde Rombola, Californien: Romford Press, 1984, 147 sider. ISBN  978-0-935536-37-9 .
• The Art of Bookmaking , Malcolm Boyle, High Stakes Publishing 2006.
• Secrets of Successful Betting , Michael Adams, Raceform, 2002.
• The Mathematics of Games and Gambling , Edward W. Packel, Mathematical Association of America , 2006.
• The Mathematics of Gambling , Edward O. Thorp, L. Stuart, 1984.
• "Maximin Hedges", Jean-Claude Derderian, Mathematics Magazine , bind 51, nummer 3. (maj, 1978), siderne 188–192.
• "Carnap og de Finetti om indsatser og sandsynligheden for entydige begivenheder: Det hollandske bogargument genovervejet" Klaus Heilig, The British Journal for the Philosophy of Science , bind 29, nummer 4. (december 1978), side 325–346.
• "Test af effektiviteten ved væddemål på baner ved hjælp af bookmaker -odds", Ron Bird, Michael McCrae, Management Science , bind 33, nummer 12 (december 1987), side 152–156.
• "Hvorfor er der en favorit-Longshot-bias i britiske væddeløbsmarkeder for væddeløb", Leighton Vaughan Williams, David Paton. The Economic Journal , bind 107, nummer 440 (januar, 1997), side 150–158.
• Optimal bestemmelse af bookmakers væddemål: Theory and Tests , af John Fingleton og Patrick Waldron, Trinity Economic Paper Series, Technical Paper No. 96/9, Trinity College, University of Dublin , 1999.
• "Odds That Don't Add Up!", Mike Fletcher, Teaching Mathematics and its Applications , 1994, bind 13, nummer 4, side 145–147.
• "Information, priser og effektivitet på et marked med faste odds", Peter F. Pope, David A. Peel, Economica, New Series , bind 56, nummer 223, (august 1989), side 323–341.
• "A Mathematical Perspective on Gambling", Molly Maxwell, MIT Undergraduate Journal of Mathematics , bind 1, (1999), side 123–132.
• " Sandsynlighedsguide til spil: The Mathematics of terninger, spillemaskiner, roulette, baccarat, blackjack, poker, lotteri og sportsspil ", Catalin Barboianu, Infarom, 2006, 316pp. ISBN  973-87520-3-5 .