Maksimale lotterier - Maximal lotteries

Maksimale lotterier henviser til et probabilistisk afstemningssystem, der først blev overvejet af den franske matematiker og samfundsvidenskabsmand Germain Kreweras i 1965. Metoden bruger præferentielle afstemninger og returnerer såkaldte maksimale lotterier, dvs. sandsynlighedsfordeling over alternativer, der er svagt foretrukket frem for enhver anden sandsynlighed fordeling. Maksimale lotterier tilfredsstiller Condorcet-kriteriet , Smith-kriteriet , omvendelsessymmetri , polynomisk runtime og probabilistiske versioner af forstærkning , deltagelse og uafhængighed af kloner .

Maksimale lotterier svarer til blandede maximin-strategier (eller Nash-ligevægte ) i det symmetriske nulsommespil givet af de parvise flertalsmargener. Som sådan har de en naturlig fortolkning i form af valgkonkurrence mellem to politiske partier. Desuden kan de beregnes ved hjælp af lineær programmering . Stemmesystemet, der returnerer alle maksimale lotterier, er aksiomatisk karakteriseret som den eneste, der tilfredsstiller sandsynlige versioner af befolkningskonsistens (en svækkelse af forstærkning) og sammensætningskonsistens (en styrkelse af kloners uafhængighed). En social velfærdsfunktion, der rangerer maksimale lotterier, karakteriseres ved hjælp af Arrow's uafhængighed af irrelevante alternativer og Pareto-effektivitet . Maksimale lotterier tilfredsstiller en stærk forestilling om Pareto-effektivitet og en svag forestilling om strategisikkerhed . I modsætning til tilfældigt diktatur opfylder maksimale lotterier ikke standardbegrebet strategisk sikkerhed. Desuden er maksimale lotterier ikke monotone i sandsynligheder, dvs. det er muligt, at sandsynligheden for et alternativ aftager, når dette alternativ rangeres. Sandsynligheden for alternativet vil dog forblive positiv.

Maksimale lotterier eller varianter deraf er blevet genopdaget flere gange af økonomer, matematikere, politikere, filosoffer og dataloger. Især er understøttelsen af maksimale lotterier, som er kendt som det væsentlige sæt eller det topartssæt , blevet undersøgt i detaljer.

Lignende ideer vises også i studiet af forstærkningslæring og evolutionær biologi for at forklare mangfoldigheden af ​​sameksisterende arter.

Kollektive præferencer frem for lotterier

Input til dette afstemningssystem består af agenternes ordinære præferencer frem for resultater (ikke lotterier over resultater), men en relation til sæt lotterier er konstrueret på følgende måde: hvis og er forskellige lotterier i forhold til resultater, hvis den forventede værdi af margenen for sejr for et resultat valgt med distribution i en head-to-head-afstemning mod et resultat valgt med distribution er positiv. Selvom denne relation ikke nødvendigvis er transitiv, indeholder den altid mindst et maksimalt element. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ succ q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Det er muligt, at der findes flere sådanne maksimale lotterier, men enhed kan bevises i det tilfælde, hvor margenerne mellem ethvert par alternativer altid er et ulige tal. Dette er f.eks. Tilfældet, hvis der er et ulige antal vælgere, som alle har strenge præferencer frem for alternativerne. Efter samme argument gælder enhed for det originale "topartisæt", der er defineret som understøttelsen af ​​det maksimale lotteri i et turneringsspil.

Eksempel

Antag, at der er fem vælgere, der har følgende præferencer frem for tre alternativer:

• 2 vælgere: ${\ displaystyle a \ succ b \ succ c}$
• 2 vælgere: ${\ displaystyle b \ succ c \ succ a}$
• 1 vælger: ${\ displaystyle c \ succ a \ succ b}$

De parvise præferencer vælgerne kan repræsenteres i følgende skævhed-symmetrisk matrix , hvor posten for rækken og kolonne angiver antallet af vælgere, der foretrækker at minus antallet af vælgere, der foretrækker at . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {matrix} && a \ quad & b \ quad & c \ quad \\\ end {matrix}} \\ {\ begin {matrix} a \\ b \\ c \\\ slut {matrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ - 1 & 0 & 3 \\ 1 & -3 & 0 \\\ slut {pmatrix}} \ end {matrix}}}$

Denne matrix kan fortolkes som et nulsumsspil og optager en unik Nash ligevægt (eller minimax strategi ) hvor , , . Per definition er dette også det unikke maksimale lotteri i præferenceprofilen ovenfor. Eksemplet blev omhyggeligt valgt for ikke at have en Condorcet-vinder . Mange præferenceprofiler tillader en Condorcet-vinder, i hvilket tilfælde det unikke maksimale lotteri tildeler sandsynligheden 1 til Condorcet-vinderen. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p (a) = 3/5}$${\ displaystyle p (b) = 1/5}$${\ displaystyle p (c) = 1/5}$

Referencer

eksterne links

• voting.ml (websted til beregning af maksimale lotterier)
• Pnyx - Praktisk præferenceaggregering (afstemningsværktøj, der blandt andre metoder tilbyder maksimal lotteri)
• votation.ovh (fransk hjemmeside til beregning af maksimale lotterier)