Metrisk (matematik) - Metric (mathematics)

En illustration, der sammenligner taxicab -metriken med den euklidiske metric på flyet: Ifølge taxicab -metricen har de røde, gule og blå stier samme længde (12). Ifølge den euklidiske metrik har den grønne sti længde og er den unikke korteste vej.${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} \ ca. 8,49}$

I matematik er en metrisk eller afstandsfunktion en funktion, der giver en afstand mellem hvert par punktelementer i et sæt . Et sæt med en metrik kaldes et metrisk mellemrum . En metrik inducerer en topologi på et sæt, men ikke alle topologier kan genereres af en metrik. Et topologisk rum, hvis topologi kan beskrives af en metrik, kaldes metrizable .

En vigtig kilde til metrics i differentialgeometri er metriske tensorer , to -lineære former, der kan defineres ud fra tangentvektorerne i en differentierbar manifold til en skalar. En metrisk tensor gør det muligt at bestemme afstande langs kurver gennem integration og bestemmer dermed en metrik.

Definition

En metrik på et sæt X er en funktion (kaldet afstandsfunktion eller simpelthen afstand )

${\ displaystyle d: X \ gange X \ til [0, \ infty),}$

hvor er mængden af ​​ikke-negative reelle tal og for alle opfyldes følgende tre aksiomer: ${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle x, y, z \ i X}$

1.	${\ displaystyle d (x, y) = 0 \ Venstrehøjre pil x = y}$	umiskendelige identitet
2.	${\ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$	symmetri
3.	${\ displaystyle d (x, y) \ leq d (x, z)+d (z, y)}$	trekant ulighed

En metric (som defineret) er en ikke-negativ realværdifunktion. Dette giver sammen med aksiom 1 en adskillelsesbetingelse , hvor forskellige eller separate punkter netop er dem, der har en positiv afstand mellem dem.

Kravet, der har en række, er en afklarende (men unødvendig) begrænsning i definitionen, for hvis vi havde en funktion, der opfyldte de samme tre aksiomer, kunne funktionen bevises at være stadig ikke-negativ som følger (ved hjælp af aksiomer 1, 3 og 2 i den rækkefølge): ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle d: X \ gange X \ til \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle 0 = d (x, x) \ leq d (x, y)+d (y, x) = d (x, y)+d (x, y) = 2d (x, y)}$hvilket indebærer . ${\ displaystyle 0 \ leq d (x, y)}$

En metrik kaldes en ultrametrisk, hvis den opfylder følgende stærkere version af trekantens ulighed, hvor punkter aldrig kan falde 'mellem' andre punkter:

${\ displaystyle d (x, y) \ leq \ max (d (x, z), d (y, z))}$

for alle ${\ displaystyle x, y, z \ i X}$

En metrisk d på X kaldes iboende, hvis to punkter x og y i X kan forbindes med en kurve med længde vilkårligt tæt på d ( x , y ) .

En metrisk d på en gruppe G (skrevet multiplikativt) siges at være venstre-invariant (hhv. Højre invariant ), hvis vi har

${\ displaystyle d (zx, zy) = d (x, y)}$[hhv. ]${\ displaystyle d (xz, yz) = d (x, y)}$

for alle x , y , og z i G .

En metrisk på en kommutativ additivgruppe siges at være translation invariant hvis for alle eller ækvivalent, hvis for alle Hvert vektorrum er også en kommutativ additivgruppe og en metrik på et reelt eller komplekst vektorrum, der er induceret af en norm, er altid translation uændret. En metrik på et reelt eller komplekst vektorrum induceres af en norm, hvis og kun hvis det er translation invariant og absolut homogent , hvor sidstnævnte betyder, at for alle skalarer og i alle tilfælde definerer funktionen en norm på og den kanoniske metrik induceret ved er lig med${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D (x, y) = D (x+z, y+z)}$${\ displaystyle x, y, z \ i X,}$${\ displaystyle D (x, y) = D (xy, 0)}$${\ displaystyle x, y \ i X.}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D (sx, sy) = | s | D (x, y)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle x, y \ i X,}$${\ displaystyle \ | x \ |: = D (x, 0)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle D.}$

Noter

Disse forhold udtrykker intuitive forestillinger om afstandsbegrebet . For eksempel at afstanden mellem forskellige punkter er positiv, og afstanden fra x til y er den samme som afstanden fra y til x . Trekantens ulighed betyder, at afstanden fra x til z via y er mindst lige så stor som fra x til z direkte. Euclid i sit arbejde udtalte, at den korteste afstand mellem to punkter er en linje; det var trekantens ulighed for hans geometri.

Eksempler

• Den diskrete metric : hvis x = y så er d ( x , y ) = 0. Ellers d ( x , y ) = 1.
• Den euklidiske metrik er translation og rotation invariant.
• Den hyrevogn metriske er oversættelse invariant.
• Mere generelt er enhver metrik induceret af en norm translationinvariant.
• Hvis er en sekvens af seminormer, der definerer et ( lokalt konveks ) topologisk vektorrum E , så${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$
  $${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n}}} {\ frac {p_ {n} (xy)} { 1+p_ {n} (xy)}}}$$

  
  er en metrik, der definerer den samme topologi . (Man kan erstatte med enhver summerbar sekvens af strengt positive tal .)${\ textstyle {\ frac {1} {2^{n}}}}$ ${\ displaystyle (a_ {n})}$
• Den Normeret rum er et Banach rum , hvor den absolutte værdi er en norm på den reelle linje , der fremkalder den sædvanlige euklidiske topologi på Definer en metrisk på ved for alle Ligesom  's induceret metrisk, det metriske inducerer også den sædvanlige euklidiske topologi på R . Imidlertid er ikke en komplet variabel fordi sekvensen afgrænset af en -Cauchy sekvens , men det ikke konvergerer til ethvert punkt af R . Som en konsekvens af ikke at konvergere, kan denne -Cauchy -sekvens ikke være en Cauchy -sekvens i (dvs. det er ikke en Cauchy -sekvens i forhold til normen ), for hvis det var -Cauchy, ville det faktum, at det er et Banach -rum, betyde, at det konvergerer (en modsætning).${\ displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle D: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle D (x, y) = | \ arctan (x)-\ arctan (y) |}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle | \ cdot |}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ venstre (x_ {i} \ højre) _ {i = 1}^{\ infty}}$${\ displaystyle x_ {i}: = i}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle | \ cdot |}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$
• Grafmetrik , en metrik defineret i forhold til afstande i en bestemt graf.
• Den Hamming afstand i kodning teori.
• Riemannian metric , en type metrisk funktion, der er passende at pålægge enhver differentierbar manifold . For enhver sådan manifold vælger man på hvert punkt p en symmetrisk, positiv bestemt, bilinear form L : T _p × T _p → R på tangensrummet T _p ved p , gør det på en jævn måde. Denne form bestemmer længden af ​​enhver tangentvektor v på manifolden via definitionen . Derefter for enhver differentierbar sti på manifolden defineres dens længde som integralet af tangentvektorens længde til stien på et hvilket som helst tidspunkt, hvor integrationen udføres i forhold til sti -parameteren. Endelig, for at få en metrik defineret på et hvilket som helst par { x , y } punkter i manifolden, tager man det minimale, over alle stier fra x til y , af sættet af stiplængder. En glat manifold udstyret med en Riemannian metric kaldes en Riemannian manifold .${\ textstyle \ | v \ | = {\ sqrt {L (\ mathbf {v}, \ mathbf {v})}}}}$
• Den Fubini-Study metrisk om komplekse Projektiv plads . Dette er et eksempel på en Riemannian -metrik.
• String målinger , såsom Levenshtein afstand og andre snor redigere afstande , definere en metrik på strenge .
• Grafredigeringsafstand definerer en afstandsfunktion mellem grafer .
• Den Wasserstein metrik er en afstand funktion defineret mellem to sandsynlighedsfordelinger .
• Den Finsler metrisk er en kontinuert ikke-negativt funktion F: TM → [0, + ∞) defineret på tangenten bundt.

Metrikers ækvivalens

For et givet sæt X kaldes to metrics d ₁ og d ₂ topologisk ækvivalent ( ensartet ækvivalent ), hvis identitetskortlægningen

er en homomorfisme ( ensartet isomorfisme ).

For eksempel, hvis er en metric, så og er metrics svarende til${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ min (d, 1)}$${\ displaystyle {\ frac {d} {1+d}}}$${\ displaystyle d.}$

Norminduceret metrisk

Normer på vektorrum svarer til visse metrics, nemlig homogene, translation-invariante. Med andre ord, hver norm bestemmer en metrik, og nogle metrik bestemmer en norm.

I betragtning af et normeret vektorrum kan vi definere en metric on kaldet metric induceret af eller simpelthen norm induceret metric , ved ${\ displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle d (x, y): = \ | xy \ |.}$

Metricen siges at være induceret af normen${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |.}$

Omvendt hvis en metrik på et vektorrum opfylder egenskaberne ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle X}$

• Oversættelse invarians: ;${\ displaystyle d (x, y) = d (x+a, y+a)}$
• Absolut homogenitet : ;${\ displaystyle d (\ alpha x, \ alpha y) = | \ alpha | d (x, y)}$

derefter en norm på kan defineres ved ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ | x \ |: = d (x, 0)}$

hvor metriken induceret af denne norm er den oprindelige givne metric ${\ displaystyle d.}$

Tilsvarende inducerer en seminorm en pseudometrisk (se nedenfor), og en homogen, translation invariant pseudometrisk inducerer en seminorm.

Metrics på multisets

Vi kan generalisere forestillingen om en metrik fra en afstand mellem to elementer til en afstand mellem to ikke -undtagelige begrænsede multisæt af elementer. Et multiset er en generalisering af forestillingen om et sæt, således at et element kan forekomme mere end én gang. Definer, om multisættet består af elementerne i multisættene, og det vil sige, hvis det sker én gang ind og en gang i, så forekommer det to gange i . En afstandsfunktion på sættet med ikke -undtagelige begrænsede multisæt er en metrisk if ${\ displaystyle Z = XY}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle d}$

1. ${\ displaystyle d (X) = 0}$hvis alle elementer i er ens og på anden måde ( positiv bestemthed ), det vil sige ( ikke-negativitet plus identitet af umiskendelige )${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d (X)> 0}$
2. ${\ displaystyle d (X)}$er invariant under alle permutationer af ( symmetri )${\ displaystyle X}$
3. ${\ displaystyle d (XY) \ leq d (XZ)+d (ZY)}$( trekant ulighed )

Bemærk, at den velkendte metrik mellem to elementer resulterer, hvis multisættet har to elementer i 1 og 2, og multisættene har et element hver i 3. Hvis det f.eks. Består af to forekomster af , så ifølge 1. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X, Y, Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle d (X) = 0}$

Et enkelt eksempel er sættet af alle nonempty endelige multisæt af heltal med . Mere komplekse eksempler er informationsafstand i multiset; og normaliseret kompressionsafstand (NCD) i multiset. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d (X) = \ max \ {x: x \ i X \}-\ min \ {x: x \ i X \}}$

Generaliserede metrics

Der er adskillige måder at afslappe metriens aksiomer på, hvilket giver anledning til forskellige forestillinger om generaliserede metriske rum. Disse generaliseringer kan også kombineres. Den terminologi, der bruges til at beskrive dem, er ikke fuldstændig standardiseret. Især i funktionel analyse stammer pseudometrics ofte fra seminormer på vektorrum, og derfor er det naturligt at kalde dem "semimetri". Dette er i modstrid med brugen af ​​udtrykket i topologi .

Udvidede metrics

Nogle forfattere tillader afstandsfunktionen d at nå værdien ∞, dvs. afstande er ikke-negative tal på den udvidede reelle talelinje . En sådan funktion kaldes en udvidet metrisk eller "∞-metrisk". Hver udvidet metrik kan omdannes til en begrænset metrik, således at de metriske rum er ækvivalente, hvad angår topologi -begreber (såsom kontinuitet eller konvergens ). Dette kan gøres ved hjælp af en subadditiv monotonisk stigende afgrænset funktion, der er nul ved nul, f.eks. D ′ ( x , y ) = d ( x , y ) / (1 + d ( x , y )) eller d ″ ( x , y ) = min (1, d ( x , y )).

Kravet om, at metriske værdier i [0, ∞) kan endda lempes for at overveje metrics med værdier i andre rettede sæt . Omformuleringen af ​​aksiomerne i dette tilfælde fører til konstruktion af ensartede rum : topologiske rum med en abstrakt struktur, der gør det muligt at sammenligne de lokale topologier på forskellige punkter.

Pseudometrik

En pseudometrisk på X er en funktion, der tilfredsstiller aksiomerne for en metrik, bortset fra at i stedet for den anden (identitet af umiskendelige) kræves kun d ( x , x ) = 0 for alle x . Med andre ord er aksiomerne for en pseudometrisk: ${\ displaystyle d: X \ gange X \ til \ mathbb {R}}$

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , x ) = 0 (men muligvis d ( x , y ) = 0 for nogle forskellige værdier x ≠ y .)
3. d ( x , y ) = d ( y , x )
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

I nogle sammenhænge omtales pseudometrics som semimetrics på grund af deres relation til seminorme .

Kvasimetri

Af og til er en kvasimetrisk defineret som en funktion, der opfylder alle aksiomer for en metrik med mulig undtagelse af symmetri. Navnet på denne generalisering er ikke helt standardiseret.

1. d ( x , y ) ≥ 0 ( positivitet )
2. d ( x , y ) = 0 hvis og kun hvis   x = y ( positiv bestemthed )
3. d ( x , y ) = d ( y , x )( symmetri , faldet)
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( trekant ulighed )

Kvasimetri er almindelig i det virkelige liv. For eksempel, givet et sæt X af bjerglandsbyer, danner de typiske gangtider mellem elementer i X en kvasimetrisk, fordi rejser op ad bakke tager længere tid end at rejse ned ad bakke. Et andet eksempel er en hyrevogn geometri topologi med ensrettede gader, hvor en vej fra punkt A til punkt B omfatter et andet sæt af gader end en vej fra B til A .

En kvasimetrisk på realerne kan defineres ved at indstille

d ( x , y ) = x - y hvis x ≥ y , og

d ( x , y ) = 1 ellers. 1'en kan erstattes af uendeligt eller af .${\ displaystyle 1+10^{(yx)}}$

Det topologiske rum, der ligger til grund for dette kvasimetriske rum, er Sorgenfrey -linjen . Dette rum beskriver processen med at nedlægge en metalpind: det er let at reducere størrelsen, men det er svært eller umuligt at dyrke det.

Hvis d er en kvasimetrisk på X , kan en metrisk d ' på X dannes ved at tage

d ' ( x , y ) = 1/2( d ( x , y ) + d ( y , x )).

Metametri

I en metametrisk opfyldes alle aksiomer for en metrik bortset fra at afstanden mellem identiske punkter ikke nødvendigvis er nul. Med andre ord er aksiomerne for en metametrisk:

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , y ) = 0 betyder x = y (men ikke omvendt.)
3. d ( x , y ) = d ( y , x )
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Metametri vises i undersøgelsen af Gromovs hyperboliske metriske rum og deres grænser. Den visuelle metametri på et sådant rum opfylder d ( x , x ) = 0 for punkter x på grænsen, men ellers er d ( x , x ) omtrent afstanden fra x til grænsen. Metametri blev først defineret af Jussi Väisälä.

Semimetri

En semimetrisk på X er en funktion, der opfylder de tre første aksiomer, men ikke nødvendigvis trekantens ulighed: ${\ displaystyle d: X \ gange X \ til \ mathbb {R}}$

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , y ) = 0 hvis og kun hvis   x = y
3. d ( x , y ) = d ( y , x )

Nogle forfattere arbejder med en svagere form for trekantens ulighed, såsom:

d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z ))  (ρ-afslappet trekant ulighed)

d ( x , z ) ≤ ρ max ( d ( x , y ), d ( y , z ))  (ρ-inframetrisk ulighed).

Den ρ-inframetriske ulighed indebærer den ρ-afslappede trekant ulighed (forudsat det første aksiom), og den ρ-afslappede trekant ulighed indebærer den 2ρ-inframetriske ulighed. Semimetri, der opfylder disse ækvivalente betingelser, er undertiden blevet omtalt som "quasimetrics", "nearmetrics" eller inframetrics .

De ρ-inframetriske uligheder blev introduceret til at modellere forsinkelsestider på Internettet . Trekantens ulighed indebærer den 2-inframetriske ulighed, og den ultrametriske ulighed er præcis den 1-inframetriske ulighed.

Præmetri

Slap af de sidste tre aksiomer fører til forestillingen om en præmetrisk , dvs. en funktion, der opfylder følgende betingelser:

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , x ) = 0

Dette er ikke et standardudtryk. Nogle gange bruges det til at henvise til andre generaliseringer af metrics såsom pseudosemimetrics eller pseudometrics; i oversættelser af russiske bøger fremstår det undertiden som "prametrisk". En præmetrisk, der tilfredsstiller symmetri, altså en pseudosemimetrisk, kaldes også en afstand.

Enhver præmetrisk giver anledning til en topologi som følger. For en positiv reel r er r -kuglen centreret ved et punkt p defineret som

B _r ( p ) = { x | d ( x , p ) <r}.

Et sæt kaldes åbent, hvis der for ethvert punkt p i sættet er en r -bold centreret ved p, som er indeholdt i sættet. Hvert præmetrisk rum er et topologisk rum og faktisk et sekventielt rum . Generelt behøver r -kuglerne ikke selv at være åbne sæt med hensyn til denne topologi. Hvad angår metrics, er afstanden mellem to sæt A og B defineret som

d ( A , B ) = inf _{x ∊ A , y ∊ B} d ( x , y ).

Dette definerer en premetric på magt sæt af en premetric rum. Hvis vi starter med et (pseudosemi-) metrisk rum, får vi et pseudosemimetrisk, altså et symmetrisk præmetrisk. Enhver præmetrisk giver anledning til en afskærmningsoperatør cl som følger:

cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.

Pseudoquasimetrics

Præfikserne pseudo- , quasi- og semi- kan også kombineres, f.eks. Kan en pseudoquasimetrisk (undertiden kaldet hemimetrisk ) afslappe både uskeligheds-aksiomet og symmetri-aksiomet og er simpelthen et præmetrisk tilfredsstillende trekant-ulighed. For pseudoquasimetriske rum danner de åbne r -kugler et grundlag for åbne sæt. Et meget grundlæggende eksempel på et pseudoquasimetrisk rum er sættet {0,1} med det præmetriske givet ved d (0,1) = 1 og d (1,0) = 0. Det tilhørende topologiske rum er Sierpiński -rummet .

Sæt udstyret med en udvidet pseudoquasimetrisk blev undersøgt af William Lawvere som "generaliserede metriske rum". Fra et kategorisk synspunkt er de udvidede pseudometriske mellemrum og de udvidede pseudokvasimetriske rum sammen med deres tilsvarende ikke -ekspansive kort de bedst opførte af de metriske rumkategorier. Man kan tage vilkårlige produkter og koprodukter og danne kvotientobjekter inden for den givne kategori. Hvis man dropper "forlænget", kan man kun tage endelige produkter og coprodukter. Hvis man dropper "pseudo", kan man ikke tage kvoter. Tilgangsrum er en generalisering af metriske rum, der bevarer disse gode kategoriske egenskaber.

Łukaszyk-Karmowski afstand

Łukaszyk-Karmowski-afstand er en funktion, der definerer en afstand mellem to tilfældige variabler eller to tilfældige vektorer . Aksiomerne for denne funktion er:

1. d ( x , y )> 0
2. d ( x , y ) = d ( y , x )
3. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Denne afstand tilfredsstiller identitet indiscernibles tilstand , hvis og kun hvis begge parametre beskrevet af idealiserede Dirac delta density sandsynlighed fordelingsfunktioner .

Vigtige tilfælde af generaliserede metrics

I differentialgeometri betragter man en metrisk tensor , som kan betragtes som en "uendelig" kvadratisk metrisk funktion. Dette er defineret som en ikke -genereret symmetrisk bilinear form på tangentrummet i en manifold med et passende krav til differentiering . Selvom disse ikke er metriske funktioner som defineret i denne artikel, inducerer de det, der kaldes en pseudo-semimetrisk funktion ved integration af dens kvadratrod langs en sti gennem manifolden. Hvis man pålægger det positive produkts krav om et indre produkt på den metriske tensor, begrænser dette sig til tilfældet med en Riemannian manifold , og stiintegrationen giver en metrik.

I generel relativitet er det beslægtede begreb en metrisk tensor (generel relativitet), der udtrykker strukturen af ​​et pseudo-Riemannisk manifold . Selvom udtrykket "metrisk" bruges, er den grundlæggende idé en anden, fordi der er nulvektorer uden nul i disse manifolderes tangensrum, og vektorer kan have negative kvadratiske normer. Denne generaliserede opfattelse af "metrics", hvor nulafstand ikke indebærer identitet, har også sneget sig ind i noget matematisk skrift:

Se også

• Akustisk metrisk
• Komplet metrik
• Lighedstiltag
• Signeret afstandsfunktion

Noter

Referencer