Metrisk tensor - Metric tensor

I det matematiske felt med differentiel geometri er en definition af en metrisk tensor en type funktion, der som input tager et par tangentvektorer v og w ved et punkt på en overflade (eller højere dimensionel differentierbar manifold ) og producerer et reelt tal skalar g ( v , w ) på en måde, der generaliserer mange af de kendte egenskaber ved prikproduktet af vektorer i det euklidiske rum . På samme måde som et punktprodukt bruges metriske tensorer til at definere længden af ​​og vinklen mellem tangentvektorer. Gennem integration tillader den metriske tensor at definere og beregne længden af ​​kurver på manifolden.

En metrisk tensor kaldes positiv-bestemt, hvis den tildeler en positiv værdi g ( v , v )> 0 til hver ikke-nul-vektor v . En manifold udstyret med en positiv-bestemt metrisk tensor er kendt som en Riemannian manifold . På en Riemannian manifold kaldes kurven, der forbinder to punkter, der (lokalt) har den mindste længde, en geodesik , og dens længde er den afstand, som en passager i manifolden har brug for at krydse for at gå fra det ene punkt til det andet. Udstyret med denne længdeforestilling er en Riemannian-manifold et metrisk rum , hvilket betyder at den har en afstandsfunktion d ( p , q ), hvis værdi ved et par punkter p og q er afstanden fra p til q . Omvendt er selve den metriske tensor afledningen af afstandsfunktionen (taget på en passende måde). Den metriske tensor giver således uendelig afstand på manifolden.

Mens begrebet metrisk tensor var kendt i en eller anden forstand for matematikere som Carl Gauss fra det tidlige 19. århundrede, var det først i det tidlige 20. århundrede, at dens egenskaber som tensor blev forstået af især Gregorio Ricci-Curbastro og Tullio Levi-Civita , der først kodificerede forestillingen om en tensor. Den metriske tensor er et eksempel på et tensorfelt .

Komponenterne i en metrisk tensor på et koordinatbasis tager form af en symmetrisk matrix, hvis indgange transformeres kovariant under ændringer i koordinatsystemet. Således er en metrisk tensor en covariant symmetrisk tensor . Fra det koordinatuafhængige synspunkt defineres et metrisk tensorfelt til at være en ikke-degenereret symmetrisk bilineær form på hvert tangentrum, der varierer jævnt fra punkt til punkt.

Introduktion

Carl Friedrich Gauss betragtede i sin 1827 Disquisitiones generales circa superficies curvas ( generelle undersøgelser af buede overflader ) en overflade parametrisk med de kartesiske koordinater x , y og z af punkter på overfladen afhængig af to hjælpevariabler u og v . Således er en parametrisk overflade (i dagens termer) en vektorværdieret funktion

${\ displaystyle {\ vec {r}} (u, \, v) = {\ bigl (} x (u, \, v), \, y (u, \, v), \, z (u, \ , v) {\ bigr)}}$

afhængigt af et ordnet par reelle variabler ( u , v ) og defineret i et åbent sæt D i uv- planet. Et af hovedformålene med Gauss's undersøgelser var at udlede de træk ved overfladen, som kunne beskrives af en funktion, der ville forblive uændret, hvis overfladen gennemgik en transformation i rummet (såsom at bøje overfladen uden at strække den) eller en ændring i den særlige parametriske form af den samme geometriske overflade.

En naturlig sådan invariant mængde er længden af ​​en kurve trukket langs overfladen. En anden er vinklen mellem et par kurver trukket langs overfladen og mødes på et fælles punkt. En tredje sådan størrelse er arealet af et stykke overflade. Undersøgelsen af ​​disse invarianter på en overflade fik Gauss til at introducere forgængeren for den moderne forestilling om metrisk tensor.

Buelængde

Hvis variablerne u og v antages at afhænge af en tredje variabel, t , der tager værdier i et interval [ a , b ] , vil r → ( u ( t ), v ( t )) spore en parametrisk kurve i parametrisk overflade M . Den buelængde af denne kurve er givet ved integral

${\ displaystyle {\ begin {align} s & = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | {\ frac {d} {dt}} {\ vec {r}} (u (t), v ( t)) \ højre \ | \, dt \\ [5pt] & = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {u '(t) ^ {2} \, {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {u} + 2u '(t) v' (t) \, {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} + v '(t) ^ {2} \, {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}}} \, dt \ ,, \ end { justeret}}}$

hvor repræsenterer den euklidiske norm . Her kæden regel er blevet påført, og indekserne betegner partielle afledede : ${\ displaystyle \ left \ | \ cdot \ right \ |}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {u} = {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial u}} \ ,, \ quad {\ vec {r}} _ {v } = {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial v}} \ ,.}$

Integranden er begrænsningen til kurven for kvadratroden af ​​( kvadratisk ) differentiale

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = E \, (du) ^ {2} + 2F \, du \, dv + G \, (dv) ^ {2},}$

( 1 )

hvor

${\ displaystyle E = {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {u}, \ quad F = {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}, \ quad G = {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}.}$

( 2 )

De kvantitative ds i ( 1 ), kaldes linieelementet , mens ds ² kaldes første fundamentalform af M . Intuitivt repræsenterer den hoveddelen af kvadratet af forskydningen, der er gennemgået med r → ( u , v ), når u øges med du enheder, og v øges med dv enheder.

Ved hjælp af matrixnotation bliver den første grundlæggende form

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ begin {bmatrix} du & dv \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} du \\ dv \ end {bmatrix}}}$

Koordinere transformationer

Antag nu, at en anden parameterisering er valgt, ved at lade u og v afhænge af et andet par variabler u ′ og v ′ . Så er analogen af ​​( 2 ) for de nye variabler

${\ displaystyle E '= {\ vec {r}} _ {u'} \ cdot {\ vec {r}} _ {u '}, \ quad F' = {\ vec {r}} _ {u '} \ cdot {\ vec {r}} _ {v '}, \ quad G' = {\ vec {r}} _ {v '} \ cdot {\ vec {r}} _ {v'}.}$

( 2 ' )

Den kæde regel angår E ' , F ' , og G ' til E , F , og G via matrix ligning

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} E '& F' \\ F '& G' \ end {bmatrix}} = {\ begynder {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u'}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix }} ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u'}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix }}}$

( 3 )

hvor overskrift T betegner matrixtransponeringen . Matrixen med koefficienterne E , F og G arrangeret på denne måde transformerer derfor ved den Jacobianske matrix af koordinatændringen

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial v'}} \ end {bmatrix}} \ ,.}$

En matrix, der transformerer på denne måde, er en slags, hvad der kaldes en tensor . Matrixen

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}}$

med transformationsloven ( 3 ) er kendt som overfladens metriske tensor.

Uvariation af arlængde under koordinatransformationer

Ricci-Curbastro & Levi-Civita (1900) observerede først betydningen af ​​et system med koefficienter E , F og G , der transformerede på denne måde ved at passere fra et koordinatsystem til et andet. Resultatet er, at den første fundamentalform ( 1 ) er invariant under ændringer i koordinatsystemet, og at dette følger udelukkende fra transformation egenskaber E , F , og G . Faktisk ved kædereglen,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} du \\ dv \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u'}} & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} du '\\ dv' \ end {bmatrix}}}$

så det

${\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} & = {\ begin {bmatrix} du & dv \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } du \\ dv \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = {\ begin {bmatrix} du '& dv' \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ delvis u} {\ delvis u '}} og {\ dfrac {\ delvis u} {\ delvis v'}} \\ [6pt] {\ dfrac {\ delvis v} {\ delvis u '}} & {\ dfrac {\ delvis v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u } {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ [6pt] {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ delvis v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} du' \\ dv '\ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = {\ begin {bmatrix} du' & dv '\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E' & F '\\ F' & G '\ end {bmatrix}} {\ begynder {bmatrix} du' \\ dv '\ end {bmatrix}} \\ [ 6pt] & = (ds ') ^ {2} \,. \ End {justeret}}}$

Længde og vinkel

En anden fortolkning af den metriske tensor, også overvejet af Gauss, er, at den giver en måde at beregne længden af tangentvektorer til overfladen såvel som vinklen mellem to tangentvektorer. I moderne termer tillader den metriske tensor at beregne prikproduktet af tangentvektorer på en måde uafhængig af den parametriske beskrivelse af overfladen. Enhver tangentvektor ved et punkt på den parametriske overflade M kan skrives i form

${\ displaystyle \ mathbf {p} = p_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + p_ {2} {\ vec {r}} _ {v}}$

for passende reelle tal p ₁ og p ₂ . Hvis der er angivet to tangentvektorer:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & = a_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + a_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \\\ mathbf {b} & = b_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + b_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ end {align}}}$

derefter ved hjælp af punktproduktets bilinearitet ,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & = a_ {1} b_ {1} {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r} } _ {u} + a_ {1} b_ {2} {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} + b_ {1} a_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {u} + a_ {2} b_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} \\ [8pt] & = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ {2} b_ {2} G \\ [8pt] & = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {bmatrix}} \,. \ End {justeret}}}$

Dette er helt klart en funktion af de fire variabler a ₁ , b ₁ , a ₂ og b ₂ . Det betragtes dog mere rentabelt som en funktion, der tager et par argumenter a = [ a ₁ a ₂ ] og b = [ b ₁ b ₂ ], som er vektorer i uv- planet. Det vil sige

${\ displaystyle g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ { 2} b_ {2} G \ ,.}$

Dette er en symmetrisk funktion i a og b , hvilket betyder det

${\ displaystyle g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = g (\ mathbf {b}, \ mathbf {a}) \ ,.}$

Det er også bilinear , hvilket betyder at det er lineært i hver variabel a og b separat. Det er,

${\ displaystyle {\ begin {justeret} g \ left (\ lambda \ mathbf {a} + \ mu \ mathbf {a} ', \ mathbf {b} \ right) & = \ lambda g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) + \ mu g \ left (\ mathbf {a} ', \ mathbf {b} \ right), \ quad {\ text {and}} \\ g \ left (\ mathbf {a}, \ lambda \ mathbf {b} + \ mu \ mathbf {b} '\ right) & = \ lambda g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) + \ mu g \ left (\ mathbf {a}, \ mathbf {b} '\ højre) \ ende {justeret}}}$

for alle vektorer a , a ' , b og b ' i uv- planet og eventuelle reelle tal μ og λ .

Navnlig er længden af ​​en tangentvektor a givet ved

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {g (\ mathbf {a}, \ mathbf {a})}}}$

og vinklen θ mellem to vektorer a og b beregnes med

${\ displaystyle \ cos (\ theta) = {\ frac {g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf { b} \ højre \ |}} \ ,.}$

Areal

Det areal er en anden numerisk mængde, som bør afhænge kun på selve overfladen, og ikke om, hvordan det er parametriseres. Hvis overfladen M er parametreret af funktionen r → ( u , v ) over domænet D i uv- planet, så er overfladearealet af M givet af integralen

${\ displaystyle \ iint _ {D} \ left | {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v} \ right | \, du \, dv}$

hvor × betegner krydsproduktet , og den absolutte værdi angiver længden af ​​en vektor i det euklidiske rum. Ved Lagrange's identitet for krydsproduktet kan integralen skrives

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ iint _ {D} {\ sqrt {\ left ({\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {u} \ right) \ left ({\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} \ right) - \ left ({\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} \ right) ^ {2}}} \, du \, dv \\ [5pt] = {} & \ iint _ {D} {\ sqrt {EG-F ^ {2}} } \, du \, dv \\ [5pt] = {} & \ iint _ {D} {\ sqrt {\ det {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}}} \, du \ , dv \ end {align}}}$

hvor det er det afgørende .

Definition

Lad M være en glat manifold med dimension n ; for eksempel en overflade (i tilfælde n = 2 ) eller hyperoverflade i kartesiske rum ℝ ^{n + 1} . Ved hvert punkt p ∈ M er et vektorrum T _p M , kaldet tangentrummet , der består af alle tangentvektorer til manifolden ved punktet p . En metrisk tensor ved p er en funktion g _p ( X _p , Y _p ), der tager som input et par tangentvektorer X _p og Y _p ved p og producerer som output et reelt tal ( skalar ), således at følgende betingelserne er opfyldt:

• g _p er bilinær . En funktion af to vektorargumenter er bilinear, hvis den er lineær separat i hvert argument. Så hvis U _p , V _p , Y _p er tre tangentvektorer på p og en og b er reelle tal, så

  ${\ displaystyle {\ begin {align} g_ {p} (aU_ {p} + bV_ {p}, Y_ {p}) & = ag_ {p} (U_ {p}, Y_ {p}) + bg_ {p } (V_ {p}, Y_ {p}) \ ,, \ quad {\ text {and}} \\ g_ {p} (Y_ {p}, aU_ {p} + bV_ {p}) & = ag_ { p} (Y_ {p}, U_ {p}) + bg_ {p} (Y_ {p}, V_ {p}) \,. \ end {justeret}}}$

• g _p er symmetrisk . En funktion af to vektor argumenter er symmetrisk tilvejebragt, at for alle vektorer X _p og Y _p ,

  ${\ displaystyle g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p}) = g_ {p} (Y_ {p}, X_ {p}) \ ,.}$

• g _p er ikke-degenereret . En bilineær funktion er ikke-degenereret forudsat at for hver tangent vektor X _p ≠ 0 , er funktionen

  ${\ displaystyle Y_ {p} \ mapsto g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}$

opnået ved at holde X _p konstant og tillader Y _p at variere er ikke identisk nul . Det vil sige, for hver X _p ≠ 0 findes der en Y _p, således at g _p ( X _p , Y _p ) ≠ 0 .

Et metrisk tensorfelt g på M tildeler hvert punkt p af M en metrisk tensor g _p i det tangente rum ved p på en måde, der varierer jævnt med p . Mere præcist, givet ethvert åbent undersæt U af manifold M og eventuelle (glatte) vektorfelter X og Y på U , den virkelige funktion

${\ displaystyle g (X, Y) (p) = g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}$

er en glat funktion af s .

Komponenter i metricen

Komponenterne i metricen på ethvert grundlag af vektorfelter eller frame , f = ( X ₁ , ..., X _n ) er givet ved

${\ displaystyle g_ {ij} [\ mathbf {f}] = g \ venstre (X_ {i}, X_ {j} \ højre).}$

( 4 )

De n ² funktioner g _ij [ f ] danne registreringer en n × n symmetrisk matrix , G [ f ] . Hvis

${\ displaystyle v = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} X_ {i} \ ,, \ quad w = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w ^ {i} X_ {i}}$

er to vektorer ved p ∈ U , derefter bestemmes værdien af ​​metricen anvendt på v og w af koefficienterne ( 4 ) ved hjælp af bilinearitet:

${\ displaystyle g (v, w) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} v ^ {i} w ^ {j} g \ left (X_ {i}, X_ {j} \ right) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} v ^ {i} w ^ {j} g_ {ij} [\ mathbf {f}]}$

Angiver matrixen ( g _ij [ f ]) ved G [ f ] og arrangerer komponenterne i vektorerne v og w i søjlevektorer v [ f ] og w [ f ] ,

${\ displaystyle g (v, w) = \ mathbf {v} [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] \ mathbf {w} [\ mathbf {f}] = \ mathbf {w} [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] \ mathbf {v} [\ mathbf {f}]}$

hvor v [ f ] ^T og w [ f ] ^T betegner transponering af henholdsvis vektorerne v [ f ] og w [ f ] . Under en ændring af basisformularen

${\ displaystyle \ mathbf {f} \ mapsto \ mathbf {f} '= \ left (\ sum _ {k} X_ {k} a_ {k1}, \ dots, \ sum _ {k} X_ {k} a_ { kn} \ right) = \ mathbf {f} A}$

for nogle invertibel n × n matrix A = ( a _ij ) , matrixen af komponenterne i de metriske ændringer af A samt. Det er,

${\ displaystyle G [\ mathbf {f} A] = A ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] A}$

eller, hvad angår indtastningerne i denne matrix,

${\ displaystyle g_ {ij} [\ mathbf {f} A] = \ sum _ {k, l = 1} ^ {n} a_ {ki} g_ {kl} [\ mathbf {f}] a_ {lj} \ ,.}$

Af denne grund siges det , at systemet med størrelser g _ij [ f ] transformeres covariant med hensyn til ændringer i rammen f .

Metrisk i koordinater

Et system med n reelle værdifunktioner ( x ¹ , ..., x ⁿ ) , der giver et lokalt koordinatsystem på et åbent sæt U i M , bestemmer et grundlag for vektorfelter på U

${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ left (X_ {1} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {1}}}, \ dots, X_ {n} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {n}}} højre).$

Den metriske g har komponenter i forhold til denne ramme givet af

${\ displaystyle g_ {ij} \ left [\ mathbf {f} \ right] = g \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial} {\ delvist x ^ {j}}} \ højre) \ ,.}$

I forhold til et nyt system med lokale koordinater, siger

${\ displaystyle y ^ {i} = y ^ {i} (x ^ {1}, x ^ {2}, \ prikker, x ^ {n}), \ quad i = 1,2, \ prikker, n}$

den metriske tensor bestemmer en anden matrix af koefficienter,

${\ displaystyle g_ {ij} \ left [\ mathbf {f} '\ right] = g \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {i}}}, {\ frac {\ partial} { \ delvis y ^ {j}}} højre).}$

Dette nye system af funktioner er relateret til den oprindelige g _ij ( f ) ved hjælp af kædereglen

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {i}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial y ^ {i}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}}}$

så det

${\ displaystyle g_ {ij} \ left [\ mathbf {f} '\ right] = \ sum _ {k, l = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial y ^ {i}}} g_ {kl} \ left [\ mathbf {f} \ right] {\ frac {\ partial x ^ {l}} {\ partial y ^ {j}}}.}$

Eller i form af matricerne G [ f ] = ( g _ij [ f ]) og G [ f ′] = ( g _ij [ f ′]) ,

${\ displaystyle G \ left [\ mathbf {f} '\ right] = \ left ((Dy) ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathsf {T}} G ​​\ left [\ mathbf {f} \ right ] (Dy) ^ {- 1}}$

hvor Dy betegner den Jacobianske matrix for koordinatændringen.

Underskrift af en måling

Tilknyttet enhver metrisk tensor er den kvadratiske form defineret i hvert tangentrum af

${\ displaystyle q_ {m} (X_ {m}) = g_ {m} (X_ {m}, X_ {m}) \ ,, \ quad X_ {m} \ i T_ {m} M.}$

Hvis q _m er positiv for alle ikke-nul X _m , er metrikken positiv-bestemt ved m . Hvis metricen er positiv-defineret ved hver m ∈ M , kaldes g en Riemannian-metrisk . Mere generelt, hvis kvadratiske former q _m har konstant signatur uafhængig af m , så er signaturen for g denne signatur, og g kaldes en pseudo-Riemannian-metrisk . Hvis M er tilsluttet , afhænger signaturen af q _m ikke af m .

Af Sylvester lov af inerti , på basis af tangens vektorer X _jeg kan vælges lokalt, så den kvadratiske danner diagonalizes på følgende måde

${\ displaystyle q_ {m} \ left (\ sum _ {i} \ xi ^ {i} X_ {i} \ right) = \ left (\ xi ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left ( \ xi ^ {2} \ højre) ^ {2} + \ cdots + \ venstre (\ xi ^ {p} \ højre) ^ {2} - \ venstre (\ xi ^ {p + 1} \ højre) ^ { 2} - \ cdots - \ left (\ xi ^ {n} \ right) ^ {2}}$

for nogle p mellem 1 og n . Ethvert to sådanne udtryk for q (på samme punkt m af M ) vil have det samme antal p positive tegn. Signaturen for g er paret af heltal ( p , n - p ) , hvilket betyder, at der er p positive tegn og n - p negative tegn i et sådant udtryk. Tilsvarende har metricen signatur ( p , n - p ), hvis matricen g _ij for metricen har p positive og n - p negative egenværdier .

Visse metriske signaturer, der ofte opstår i applikationer, er:

• Hvis g har signatur ( n , 0) , er g en Riemannian-metrisk, og M kaldes en Riemannian-manifold . Ellers er g en pseudo-Riemannian-metrisk, og M kaldes en pseudo-Riemannian-manifold (udtrykket semi-Riemannian bruges også).
• Hvis M er firedimensionelt med signatur (1, 3) eller (3, 1) , kaldes metricen Lorentzian . Mere generelt kaldes en metrisk tensor i dimension n andet end 4 med signatur (1, n - 1) eller ( n - 1, 1) undertiden også Lorentzian.
• Hvis M er 2 n -dimensional og g har signatur ( n , n ) , kaldes metricen ultrahyperbolic .

Omvendt metrisk

Lad f = ( X ₁ , ..., X _n ) være et grundlag for vektorfelter, og som ovenfor lad G [ f ] være matrixen for koefficienter

${\ displaystyle g_ {ij} [\ mathbf {f}] = g \ venstre (X_ {i}, X_ {j} \ højre) \ ,.}$

Man kan overveje den inverse matrix G [ f ] ^-1 , som er identificeret med den inverse metric (eller konjugat eller dual metric ). Den omvendte metrik opfylder en transformationslov, når rammen f ændres af en matrix A via

${\ displaystyle G [\ mathbf {f} A] ^ {- 1} = A ^ {- 1} G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathsf {T}}.}$

( 5 )

De inverse metriske transformationer contravariantly , eller med hensyn til det omvendte af basisændring matrix A . Hvorimod metricen i sig selv tilvejebringer en måde at måle længden af ​​(eller vinklen mellem) vektorfelter på, leverer den inverse metric et middel til at måle længden af ​​(eller vinklen mellem) covectorfelter ; det vil sige felter med lineære funktionaliteter .

For at se dette, antag at α er et covectorfelt. For at bestemme, for hvert punkt p , bestemmer α en funktion α _p defineret på tangentvektorer ved p, således at følgende linearitetsbetingelse gælder for alle tangentvektorer X _p og Y _p og alle reelle tal a og b :

${\ displaystyle \ alpha _ {p} \ left (aX_ {p} + bY_ {p} \ right) = a \ alpha _ {p} \ left (X_ {p} \ right) + b \ alpha _ {p} \ venstre (Y_ {p} \ højre) \ ,.}$

Da p varierer, antages α at være en glat funktion i den forstand, at

${\ displaystyle p \ mapsto \ alpha _ {p} \ left (X_ {p} \ right)}$

er en glat funktion af p for enhver glat vektorfelt X .

Ethvert covectorfelt α har komponenter på basis af vektorfelter f . Disse bestemmes af

${\ displaystyle \ alpha _ {i} = \ alpha \ left (X_ {i} \ right) \ ,, \ quad i = 1,2, \ dots, n \ ,.}$

Betegne rækkevektoren af disse komponenter ved

${\ displaystyle \ alpha [\ mathbf {f}] = {\ big \ lbrack} {\ begin {array} {cccc} \ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ prikker & \ alpha _ {n } \ end {array}} {\ big \ rbrack} \ ,.}$

Under en ændring af f af en matrix A , α [ f ] ændrer af reglen

${\ displaystyle \ alpha [\ mathbf {f} A] = \ alpha [\ mathbf {f}] A \ ,.}$

Rækkevektoren af ​​komponenter a [ f ] transformeres som en covariant vektor.

For et par α og β af covectorfelter defineres den inverse metric, der anvendes på disse to covectors

${\ displaystyle {\ tilde {g}} (\ alpha, \ beta) = \ alpha [\ mathbf {f}] G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ beta [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}}.}$

( 6 )

Den resulterende definition, selvom det indebærer valg af basis f , afhænger faktisk ikke af f på en væsentlig måde. Faktisk skifter basis til f A giver

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ alpha [\ mathbf {f} A] G [\ mathbf {f} A] ^ {- 1} \ beta [\ mathbf {f} A] ^ {\ mathsf {T }} \\ = {} & \ venstre (\ alpha [\ mathbf {f}] A \ højre) \ venstre (A ^ {- 1} G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ venstre (A ^ {- 1} \ højre) ^ {\ mathsf {T}} \ højre) \ venstre (A ^ {\ mathsf {T}} \ beta [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} \ højre ) \\ = {} & \ alpha [\ mathbf {f}] G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ beta [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}}. \ end { justeret}}}$

Så at højre side af ligning ( 6 ) ikke påvirkes ved at ændre grundlaget f til noget andet grundlag f A overhovedet. Derfor kan ligningen tildeles en betydning uafhængigt af valg af basis. Indgangene i matrixen G [ f ] er betegnet med g ^ij , hvor indekserne i og j er hævet for at indikere transformationsloven ( 5 ).

Hæve og sænke indekser

På basis af vektorfelter f = ( X ₁ , ..., X _n ) kan ethvert glat tangentvektorfelt X skrives i form

${\ displaystyle X = v ^ {1} [\ mathbf {f}] X_ {1} + v ^ {2} [\ mathbf {f}] X_ {2} + \ dots + v ^ {n} [\ mathbf {f}] X_ {n} = \ mathbf {f} {\ begin {bmatrix} v ^ {1} [\ mathbf {f}] \\ v ^ {2} [\ mathbf {f}] \\\ vdots \\ v ^ {n} [\ mathbf {f}] \ end {bmatrix}} = \ mathbf {f} v [\ mathbf {f}]}$

( 7 )

for nogle unikt bestemte glatte funktioner v ¹ , ..., v ⁿ . Efter ændring af basis f med en ikke-ensformig matrix A ændres koefficienterne v ⁱ på en sådan måde, at ligning ( 7 ) forbliver sand. Det er,

${\ displaystyle X = \ mathbf {fA} v [\ mathbf {fA}] = \ mathbf {f} v [\ mathbf {f}] \ ,.}$

Derfor er v [ f A ] = A ⁻¹ v [ f ] . Med andre ord, komponenterne i en vektor transformation contravariantly (dvs. omvendt eller i den modsatte måde) under en ændring af basis af den non-singul matrix A . Kontravariancen af ​​komponenterne i v [ f ] betegnes notatisk ved at placere indekserne for v ⁱ [ f ] i den øverste position.

En ramme tillader også, at covektorer udtrykkes i form af deres komponenter. På basis af vektorfelterne defineres f = ( X ₁ , ..., X _n ) det dobbelte grundlag til at være de lineære funktionaliteter ( θ ¹ [ f ], ..., θ ⁿ [ f ]) således at

${\ displaystyle \ theta ^ {i} [\ mathbf {f}] (X_ {j}) = {\ begin {cases} 1 & \ mathrm {if} \ i = j \\ 0 & \ mathrm {if} \ i \ ikke = j. \ end {cases}}}$

Det vil sige θ ⁱ [ f ] ( X _j ) = δ _j ⁱ , Kronecker-deltaet . Lade

${\ displaystyle \ theta [\ mathbf {f}] = {\ begynde {bmatrix} \ theta ^ {1} [\ mathbf {f}] \\\ theta ^ {2} [\ mathbf {f}] \\\ vdots \\\ theta ^ {n} [\ mathbf {f}] \ end {bmatrix}}.}$

Under en ændring af basis f ↦ f A for en ikke-singulær matrix A , transformeres θ [ f ] via

${\ displaystyle \ theta [\ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} \ theta [\ mathbf {f}].}$

Enhver lineær funktionel α på tangentvektorer kan udvides med hensyn til den dobbelte basis θ

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = a_ {1} [\ mathbf {f}] \ theta ^ {1} [\ mathbf {f}] + a_ {2} [\ mathbf {f}] \ theta ^ {2} [\ mathbf {f}] + \ cdots + a_ {n} [\ mathbf {f}] \ theta ^ {n} [\ mathbf {f}] \\ [8pt] & = {\ big \ lbrack} {\ begin {array} {cccc} a_ {1} [\ mathbf {f}] & a_ {2} [\ mathbf {f}] & \ dots & a_ {n} [\ mathbf {f}] \ end {array}} {\ big \ rbrack} \ theta [\ mathbf {f}] \\ [8pt] & = a [\ mathbf {f}] \ theta [\ mathbf {f}] \ end {aligned}}}$

( 8 )

hvor a [ f ] angiver rækkevektoren [ a ₁ [ f ] ... a _n [ f ]] . Komponenterne en _jeg omdanne når grundlaget f erstattes af f A på en sådan måde, at ligning ( 8 ) fortsat venteposition. Det er,

${\ displaystyle \ alpha = a [\ mathbf {f} A] \ theta [\ mathbf {f} A] = a [\ mathbf {f}] \ theta [\ mathbf {f}]}$

hvorfra, fordi θ [ f A ] = A ^-1 θ [ f ] , følger det, at en [ f A ] = a [ f ] A . Dvs. komponenterne en transformation covariantly (af matrixen A snarere end dets inverse). Kovariansen af ​​komponenterne i en [ f ] betegnes notatisk ved at placere indekserne for en _i [ f ] i den nedre position.

Nu giver den metriske tensor et middel til at identificere vektorer og covektorer som følger. Holder X _p fast, funktionen

${\ displaystyle g_ {p} (X_ {p}, -): Y_ {p} \ mapsto g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}$

af tangens vektor Y _p definerer en lineær funktionel på tangentrummet på s . Denne operation tager en vektor X _p ved et punkt p og producerer en covector g _p ( X _p , -) . På basis af vektorfelter f , hvis et vektorfelt X har komponenter v [ f ] , er komponenterne i covectorfeltet g ( X , -) i den dobbelte basis angivet af posterne i rækkevektoren

${\ displaystyle a [\ mathbf {f}] = v [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}].}$

Under en basisændring f ↦ f A transformeres højre side af denne ligning via

${\ displaystyle v [\ mathbf {f} A] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f} A] = v [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} \ left (A ^ {- 1} \ højre) ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] A = v [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T} } G [\ mathbf {f}] A}$

således at a [ f A ] = a [ f ] A : a transformeres covariant. Funktionen med at associere til (kontravariant) komponenterne i et vektorfelt v [ f ] = [ v ¹ [ f ] v ² [ f ] ... v ⁿ [ f ]] ^T (covariant) komponenterne i covectorfeltet a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ]… a _n [ f ]] , hvor

${\ displaystyle a_ {i} [\ mathbf {f}] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} v ^ {k} [\ mathbf {f}] g_ {ki} [\ mathbf {f}] }$

kaldes sænkning af indekset .

For at hæve indekset anvender man den samme konstruktion, men med den inverse metric i stedet for metricen. Hvis a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] ... a _n [ f ]] er komponenterne i en covector på dobbeltbasis θ [ f ] , så er søjlevektoren

${\ displaystyle v [\ mathbf {f}] = G ^ {- 1} [\ mathbf {f}] a [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}}}$

( 9 )

har komponenter, der transformerer kontravariant:

${\ displaystyle v [\ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} v [\ mathbf {f}].}$

Følgelig mængden X = f v [ f ] ikke afhænger af valget af grundlaget f i en væsentlig måde, og definerer således et vektorfelt på M . Operationen ( 9 ), der associerer til (covariant) komponenterne i en covector a [ f ] de (kontravariant) komponenter i en vektor v [ f ] , kaldes at hæve indekset . I komponenter er ( 9 )

${\ displaystyle v ^ {i} [\ mathbf {f}] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} [\ mathbf {f}] a_ {k} [\ mathbf {f} ].}$

Fremkaldt metrisk

Lad U være et åbent sæt i ℝ ⁿ , og lad φ være en kontinuerligt differentierbar funktion fra U til det euklidiske rum ℝ ^m , hvor m > n . Kortlægningen φ kaldes en fordybelse , hvis dens forskellen er injektiv på ethvert punkt i U . Billedet af φ kaldes et nedsænket undermanifold . Mere specifikt kaldes den inducerede metriske tensor for m = 3 , hvilket betyder, at det omgivende euklidiske rum er ℝ ³ , den inducerede metriske tensor den første grundlæggende form .

Antag at φ er en nedsænkning i undermanifolden M ⊂ R ^m . Det sædvanlige euklidiske prikprodukt i ℝ ^m er en metrisk, der, når den er begrænset til vektorer, der er tangent til M , giver et middel til at tage punktproduktet af disse tangentvektorer. Dette kaldes den inducerede metrik .

Antag at v er en tangentvektor ved et punkt af U , siger

${\ displaystyle v = v ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ dots + v ^ {n} \ mathbf {e} _ {n}}$

hvor e _i er standardkoordinatvektorerne i ℝ ⁿ . Når φ anvendes på U , går vektoren v over til vektoren, der tangenterer til M givet af

${\ displaystyle \ varphi _ {*} (v) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {a = 1} ^ {m} v ^ {i} {\ frac {\ partial \ varphi ^ {a}} {\ partial x ^ {i}}} \ mathbf {e} _ {a} \ ,.}$

(Dette kaldes pushforward af v langs φ .) Givet to sådanne vektorer, v og w , defineres den inducerede metric ved

${\ displaystyle g (v, w) = \ varphi _ {*} (v) \ cdot \ varphi _ {*} (w).}$

Det følger af en ligetil beregning, at matricen for den inducerede metric på basis af koordinatvektorfelterne e er givet af

${\ displaystyle G (\ mathbf {e}) = (D \ varphi) ^ {\ mathsf {T}} (D \ varphi)}$

hvor Dφ er den Jacobianske matrix:

${\ displaystyle D \ varphi = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {2}}} & \ prikker & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {n}}} \\ [1ex] {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} & \ prikker & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {n}}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ { 1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ {2}}} & \ dots & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ {n}}} \ end {bmatrix}}.}$

Iboende definitioner af en metrisk

Begrebet en metrisk kan defineres iboende ved hjælp af sproget for fiberbundter og vektorbundter . I disse termer er en metrisk tensor en funktion

${\ displaystyle g: \ mathrm {T} M \ times _ {M} \ mathrm {T} M \ to \ mathbf {R}}$

( 10 )

fra fiberproduktet fra det tangente bundt af M med sig selv til R, således at begrænsningen af g til hver fiber er en ikke-degenereret bilinær kortlægning

${\ displaystyle g_ {p}: \ mathrm {T} _ {p} M \ times \ mathrm {T} _ {p} M \ to \ mathbf {R}.}$

Kortlægningen ( 10 ) kræves for at være kontinuerlig og ofte kontinuerligt differentierbar , glat eller ægte analytisk , afhængigt af tilfældet af interesse, og om M kan understøtte en sådan struktur.

Metrisk som en sektion af et bundt

Ved tensorproduktets universelle egenskab giver enhver bilinær kortlægning ( 10 ) naturligt anledning til et afsnit g _⊗ af det dobbelte af tensorproduktbundtet af T M med sig selv

${\ displaystyle g _ {\ otimes} \ in \ Gamma \ left ((\ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M) ^ {*} \ right).}$

Sektionen g _⊗ er defineret på enkle elementer i T M ⊗ T M ved

${\ displaystyle g _ {\ otimes} (v \ otimes w) = g (v, w)}$

og er defineret på vilkårlige elementer af T M ⊗ T M ved at udvide lineært til lineære kombinationer af enkle elementer. Den originale bilineære form g er symmetrisk, hvis og kun hvis

${\ displaystyle g _ {\ otimes} \ circ \ tau = g _ {\ otimes}}$

hvor

${\ displaystyle \ tau: \ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M {\ stackrel {\ cong} {\ to}} TM \ otimes TM}$

er fletningskortet .

Da M er endelig-dimensionel, er der en naturlig isomorfisme

${\ displaystyle (\ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M) ^ {*} \ cong \ mathrm {T} ^ {*} M \ otimes \ mathrm {T} ^ {*} M,}$

således at g _⊗ også betragtes som en sektion af bundtet T * M ⊗ T * M af det cotangente bundt T * M med sig selv. Da g er symmetrisk som en bilineær kortlægning, følger det, at g _⊗ er en symmetrisk tensor .

Metrisk i et vektorbundt

Mere generelt kan man tale om en metric i et vektorpakke . Hvis E er et vektorbundt over en manifold M , er en metric en kortlægning

${\ displaystyle g: E \ times _ {M} E \ til \ mathbf {R}}$

fra fiberproduktet fra E til R, som er bilinært i hver fiber:

${\ displaystyle g_ {p}: E_ {p} \ gange E_ {p} \ til \ mathbf {R}.}$

Ved hjælp af dualitet som ovenfor, er et metrisk ofte identificeret med en sektion af tensor produkt bundt E * ⊗ E * . (Se metrisk (vektorpakke) .)

Tangent – ​​cotangent isomorfisme

Den metriske tensor giver en naturlig isomorfisme fra det tangente bundt til det cotangente bundt , undertiden kaldet den musikalske isomorfisme . Denne isomorfisme opnås ved at sætte for hver tangentvektor X _p ∈ T _p M ,

${\ displaystyle S_ {g} X_ {p} \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, g (X_ {p}, -),}$

den lineære, funktionelle på T _p M som sender en tangent vektor Y _p på p til g _p ( X _p , Y _p ) . Der er i form af parringen [-, -] mellem T _p M og dets dobbelte plads T^∗
_sM ,

${\ displaystyle [S_ {g} X_ {p}, Y_ {p}] = g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}$

for alle tangent vektorer X _p og Y _s . Kortlægningen S _g er en lineær transformation fra T _p M til T^∗
_sM . Det følger af definitionen af ikke-degenerering, at kernen af S _g er reduceret til nul, og det af rang-ugyldighed teorem , S _g er en lineær isomorfi . Endvidere S _g er en symmetrisk lineær transformation i den forstand, at

${\ displaystyle [S_ {g} X_ {p}, Y_ {p}] = [S_ {g} Y_ {p}, X_ {p}]}$

for alle tangent vektorer X _p og Y _s .

Omvendt er enhver lineær isomorfisme S  : _Tp M → T^∗
_sM definerer en ikke-degenereret bilineær form på T _p M ved hjælp af

${\ displaystyle g_ {S} (X_ {p}, Y_ {p}) = [SX_ {p}, Y_ {p}] \ ,.}$

Denne bilineære form er symmetrisk, hvis og kun hvis S er symmetrisk. Der er således et naturligt en-til-en overensstemmelse mellem symmetriske bilineære formularer på T _p M og symmetriske lineære isomorfier af T _p M til den dobbelte T^∗
_sM .

Som p varierer over M , S _g definerer et afsnit af bundtet Hom (T M , T * M ) af vektor bundt isomorfier af tangenten bundtet til cotangens bundt. Dette afsnit har samme glathed som g : det er kontinuerligt, differentierbart, glat eller reelt analytisk ifølge g . Kortlægningen S _g , som associerede til hver vektorfelt på M en covector felt på M giver en abstrakt formulering af "sænkning indekset" på et vektorfelt. Den inverse af S _g er en kortlægning T * M → T M som analogt, giver en abstrakt formulering af "hæve indekset" på en covector felt.

Den omvendte S⁻¹
_g definerer en lineær kortlægning

${\ displaystyle S_ {g} ^ {- 1}: \ mathrm {T} ^ {*} M \ til \ mathrm {T} M}$

som er nonsingular og symmetrisk i den forstand, at

${\ displaystyle \ left [S_ {g} ^ {- 1} \ alpha, \ beta \ right] = \ left [S_ {g} ^ {- 1} \ beta, \ alpha \ right]}$

for alle covektorer α , β . En sådan ikke-singulær symmetrisk kortlægning giver (ved hjælp af tensor-hom-tillæg ) et kort

${\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {*} M \ otimes \ mathrm {T} ^ {*} M \ to \ mathbf {R}}$

eller ved dobbelt dobbelt isomorfisme til en sektion af tensorproduktet

${\ displaystyle \ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M.}$

Arclength og linieelementet

Antag, at g er en Riemannsk metrisk på M . I et lokalt koordinatsystem x ⁱ , i = 1, 2,…, n vises den metriske tensor som en matrix , der her betegnes med G , hvis poster er komponenterne g _ij af den metriske tensor i forhold til koordinatvektorfelterne.

Lad γ ( t ) være en stykkevis differentierbar parametrisk kurve i M , for a ≤ t ≤ b . Den buelængde af kurven er defineret ved

${\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ right) }} \, dt \ ,.}$

I forbindelse med denne geometriske anvendelse er den kvadratiske differentiale form

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (p) dx ^ {i} dx ^ {j}}$

kaldes den første grundlæggende form, der er knyttet til metricen, mens ds er linieelementet . Når ds ² er trukket tilbage til billedet af en kurve i M , repræsenterer kvadratet på forskellen i forhold til buelængde.

For en pseudo-Riemannisk metrik er længdeformlen ovenfor ikke altid defineret, fordi udtrykket under kvadratroden kan blive negativ. Vi definerer generelt kun kurvens længde, når størrelsen under kvadratroden altid er af det ene eller det andet tegn. I dette tilfælde skal du definere

${\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left | \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ( {\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ højre) \ højre |}} \, dt \ ,.}$

Bemærk, at mens disse formler bruger koordinatudtryk, er de faktisk uafhængige af de valgte koordinater; de afhænger kun af metricen og kurven, langs hvilken formlen er integreret.

Energien, variationer og principper og geodesik

Givet et segment af en kurve er en anden ofte defineret størrelse kurvens (kinetiske) energi :

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ højre) \, dt \ ,.}$

Denne anvendelse kommer fra fysik , specifikt klassisk mekanik , hvor integralet E kan ses direkte svarer til den kinetiske energi af en punktpartikel, der bevæger sig på overfladen af ​​en manifold. Således kan for eksempel i Jacobis formulering af Maupertuis 'princip , den metriske tensor ses at svare til massetensoren for en bevægelig partikel.

I mange tilfælde, når en beregning kræver længden, skal der også foretages en lignende beregning ved hjælp af energien. Dette fører ofte til enklere formler ved at undgå behovet for kvadratroden. Således kan for eksempel de geodesiske ligninger opnås ved at anvende variationer principper til enten længden eller energien. I sidstnævnte tilfælde ses de geodesiske ligninger stamme fra princippet om mindste handling : de beskriver bevægelsen af ​​en "fri partikel" (en partikel, der ikke føler nogen kræfter), der er begrænset til at bevæge sig på manifolden, men ellers bevæger sig frit, med konstant momentum inden i manifolden.

Kanonisk mål og volumenform

I analogi med tilfældet med overflader giver en metrisk tensor på en n -dimensional parakompakt manifold M en naturlig måde at måle det n -dimensionelle volumen af undersæt på manifolden. Det resulterende naturlige positive Borel-mål gør det muligt at udvikle en teori om integrering af funktioner på manifolden ved hjælp af den tilknyttede Lebesgue-integral .

En foranstaltning kan defineres ved Riesz repræsentation teorem , ved at give en positiv lineær funktionel Λ på plads C ₀ ( M ) af kompakt understøttede kontinuerte funktioner på M . Mere præcist, hvis M er en manifold med en (pseudo) Riemannsk metriske tensor g , så er der en unik positiv Borel foranstaltning μ _g sådan, at for enhver koordinat diagram ( U , φ ) ,

${\ displaystyle \ Lambda f = \ int _ {U} f \, d \ mu _ {g} = \ int _ {\ varphi (U)} f \ circ \ varphi ^ {- 1} (x) {\ sqrt {| \ det g |}} \, dx}$

for alle f understøttet i U . Her the g er determinanten af matrixen er dannet af bestanddelene af det metriske tensor i koordinatsystemet diagrammet. At Λ er veldefineret på funktioner, der understøttes i koordinatkvarterer, er berettiget af Jacobians ændring af variabler . Den strækker sig til en unik positiv lineær funktionel på C ₀ ( M ) ved hjælp af en skillevæg af enhed .

Hvis M også er orienteret , er det muligt at definere en naturlig volumenform ud fra den metriske tensor. I et positivt orienteret koordinatsystem ( x ¹ , ..., x ⁿ ) er volumenformen repræsenteret som

${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| \ det g |}} \, dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}$

hvor dx ⁱ er koordinadifferentialerne og ∧ betegner det udvendige produkt i algebra af forskellige former . Volumenformularen giver også en måde at integrere funktioner på manifolden, og denne geometriske integral stemmer overens med integralen opnået ved det kanoniske Borel-mål.

Eksempler

Euklidisk metrisk

Det mest kendte eksempel er den elementære euklidiske geometri : den todimensionale euklidiske metriske tensor. I de sædvanlige ( x , y ) koordinater kan vi skrive

${\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Længden af ​​en kurve reduceres til formlen:

${\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}}},.}$

Den euklidiske metrik i nogle andre almindelige koordinatsystemer kan skrives som følger.

Polære koordinater ( r , θ ) :

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = r \ cos \ theta \\ y & = r \ sin \ theta \\ J & = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \ end {bmatrix}} \,. \ end {justeret}}}$

Så

${\ displaystyle g = J ^ {\ mathsf {T}} J = {\ begin {bmatrix} \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta & -r \ sin \ theta \ cos \ theta + r \ sin \ theta \ cos \ theta \\ - r \ cos \ theta \ sin \ theta + r \ cos \ theta \ sin \ theta & r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + r ^ {2 } \ cos ^ {2} \ theta \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r ^ {2} \ end {bmatrix}}}$

ved trigonometriske identiteter .

I almindelighed i et kartesisk koordinatsystem x ^jeg på en euklidisk rum , de partielle afledede ∂ / ∂ x ^jeg er orthonormal i forhold til den euklidiske metrik. Således er den metriske tensor Kronecker delta δ _ij i dette koordinatsystem. Den metriske tensor med hensyn til vilkårlige (muligvis krøllede) koordinater q ⁱ er givet af

${\ displaystyle g_ {ij} = \ sum _ {kl} \ delta _ {kl} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ frac {\ partial x ^ {l}} {\ partial q ^ {j}}} = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {j}}}.}$

Den runde metrik på en kugle

Enhedssfæren i ℝ ³ er udstyret med en naturlig metric induceret fra den omgivende euklidiske metrik gennem processen forklaret i det inducerede metriske afsnit . I standard sfæriske koordinater ( Ø , φ ) , med θ den colatitude , vinklen målt fra z -aksen, og Ø vinklen fra x -aksen i xy -plane, metrikken tager form

${\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ sin ^ {2} \ theta \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Dette skrives normalt i form

${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ ,.}$

Lorentziske målinger fra relativitet

I fladt Minkowski-rum ( speciel relativitet ) med koordinater

${\ displaystyle r ^ {\ mu} \ rightarrow \ left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} \ right) = (ct, x, y, z) \ ,,}$

metricen er, afhængigt af valg af metrisk signatur ,

${\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {bmatrix}} \ quad {\ text {or}} \ quad g = {\ begin { bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,.}$

For en kurve med f.eks. Konstant tidskoordinat reduceres længdeformlen med denne metrik til den sædvanlige længdeformel. For en tidlignende kurve giver længdeformlen den korrekte tid langs kurven.

I dette tilfælde skrives rumtidsintervallet som

${\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = dr ^ {\ mu} dr _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} dr ^ {\ mu} dr ^ {\ nu} \ ,.}$

Den Schwarzschild metric beskriver rumtiden omkring en sfærisk symmetrisk legeme, såsom en planet, eller et sort hul . Med koordinater

${\ displaystyle \ left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} \ right) = (ct, r, \ theta, \ varphi) \ ,,}$

vi kan skrive metricen som

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} \ venstre (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ højre) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \ venstre (1- { \ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ slutning {bmatrix}} \ ,,}$

hvor G (inde i matrixen) er tyngdekonstanten og M repræsenterer det samlede masse-energiindhold i det centrale objekt.

Se også

• Grundlæggende introduktion til matematik i buet rumtid
• Clifford algebra
• Finsler manifold
• Liste over koordinatdiagrammer
• Ricci-beregning
• Tissots indicatrix , en teknik til at visualisere den metriske tensor

Bemærkninger

Referencer

• Dodson, CTJ; Poston, T. (1991), Tensorgeometri , Graduate Texts in Mathematics, 130 (2. udgave), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-10514-2 , ISBN 978-3-540-52018-4, MR  1223091
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques ( Riemannian Geometry, 3. udgave), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0.
• Gauss, Carl Friedrich (1827), General Investigations of Curved Surfaces , New York: Raven Press (udgivet 1965)oversat af AM Hiltebeitel og JC Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas" , Kommentarer Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), s. 99–146.
• Hawking, SW ; Ellis, GFR (1973), Den store skala struktur af rumtid , Cambridge University Press.
• Kay, David, Schaums oversigt over teori og problemer med Tensor Calculus , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7.
• Kline, Morris (1990), Matematisk tænkning fra gammel til moderne tid, bind 3 , Oxford University Press.
• Lee, John (1997), Riemannian manifolds , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6.
• Michor, Peter W. (2008), Emner i differentiel geometri , kandidatstudier i matematik , 93 , Providence: American Mathematical Society( vises ).
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• Ricci-Curbastro, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" , Mathematische Annalen , 54 (1): 125–201, doi : 10.1007 / BF01454201 , ISSN  1432-1807 , S2CID  120009332
• Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry (2. udg.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
• Vaughn, Michael T. (2007), Introduction to mathematical physics (PDF) , Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., doi : 10.1002 / 9783527618859 , ISBN 978-3-527-40627-2, MR  2324500
• Wells, Raymond (1980), Differential Analysis on Complex Manifolds , Berlin, New York: Springer-Verlag