Inertimoment - Moment of inertia

Inertimoment
Маховик.jpg
Svinghjul har store inertimomenter for at udjævne rotationsbevægelser.
Fælles symboler
jeg
SI -enhed kg m 2
Andre enheder
lbf · ft · s 2
Afledninger fra
andre mængder
Dimension M L 2
Tightrope walkers bruger inertimomentet for en lang stang til balance, når de går rebet. Samuel Dixon krydser Niagara -floden i 1890.

Det inertimoment , ellers kendt som masseinertimoment , kantet masse , inertimomentet masse , eller mest præcist, rotationsinerti , af et stift legeme er en mængde, der bestemmer drejningsmoment nødvendig for en ønsket vinkelacceleration omkring en rotationsakse , beslægtet med hvordan masse bestemmer den kraft, der er nødvendig for en ønsket acceleration . Det afhænger af kroppens massefordeling og den valgte akse, hvor større momenter kræver mere drejningsmoment for at ændre kroppens rotationshastighed.

Det er en omfattende (additiv) ejendomme: for en punktmasse inertimomentet er simpelthen massen gange kvadratet af den vinkelrette afstand til omdrejningsaksen. Inertimomentet for et stift sammensat system er summen af ​​inertimomenterne for dets komponentsubsystemer (alle taget omkring den samme akse). Dens enkleste definition er det andet massemoment med hensyn til afstanden fra en akse .

For kroppe, der er tvunget til at rotere i et plan, er kun deres inertimoment omkring en akse vinkelret på planet, en skalær værdi, vigtig. For kroppe, der frit kan rotere i tre dimensioner, kan deres øjeblikke beskrives ved en symmetrisk 3 × 3 matrix , med et sæt indbyrdes vinkelrette hovedakser, for hvilke denne matrix er diagonal, og drejningsmomenter omkring akserne virker uafhængigt af hinanden.

Introduktion

Når et legeme frit kan rotere rundt om en akse, skal der påføres drejningsmoment for at ændre dets vinkelmoment . Mængden af ​​drejningsmoment, der er nødvendig for at forårsage en given vinkelacceleration (ændringshastigheden i vinkelhastighed ) er proportional med kroppens inertimoment. Inertimoment kan udtrykkes i enheder på kilogram meter i kvadrat (kg · m 2 ) i SI- enheder og pund-fod-sekund i kvadrat (lbf · ft · s 2 ) i kejserlige eller amerikanske enheder.

Inertimoment spiller den rolle i rotationskinetikken, som masse (inerti) spiller i lineær kinetik - begge karakteriserer modstanden fra et legeme mod ændringer i dets bevægelse. Inertimomentet afhænger af, hvordan massen fordeles omkring en rotationsakse, og vil variere afhængigt af den valgte akse. For en punktlignende masse er inertimomentet omkring en akse givet ved , hvor er punktets afstand fra aksen og er massen. For et udvidet stift legeme er inertimomentet blot summen af ​​alle de små massestykker ganget med kvadratet af deres afstande fra aksen i rotation. For en udstrakt krop med en regelmæssig form og ensartet tæthed producerer denne summering undertiden et enkelt udtryk, der afhænger af objektets dimensioner, form og samlede masse.

I 1673 introducerede Christiaan Huygens denne parameter i sin undersøgelse af svingningen af ​​et legeme, der hængte fra en pivot, kendt som et sammensat pendul . Begrebet inertimoment blev introduceret af Leonhard Euler i sin bog Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum i 1765, og det er inkorporeret i Eulers anden lov .

Den naturlige svingningsfrekvens for et sammensat pendul opnås fra forholdet mellem det drejningsmoment, der pålægges af tyngdekraften på pendulets masse og modstanden mod acceleration, der er defineret af inertimomentet. Sammenligning af denne naturlige frekvens med en simpel pendul, der består af et enkelt massepunkt, giver en matematisk formulering for inertimoment for et udvidet legeme.

Inertimoment forekommer også i momentum , kinetisk energi og i Newtons bevægelseslove for en stiv krop som en fysisk parameter, der kombinerer dens form og masse. Der er en interessant forskel i den måde, hvorpå inertimoment fremstår i plan og rumlig bevægelse. Plan bevægelse har en enkelt skalar, der definerer inertimomentet, mens for rumlige bevægelser giver de samme beregninger en 3 × 3 matrix af inertimomenter, kaldet inertimatrix eller inerti tensor.

Inertimomentet for et roterende svinghjul bruges i en maskine til at modstå variationer i påført drejningsmoment for at udjævne dets rotationsydelse. Et flys inertimoment omkring dets langsgående, vandrette og lodrette akser bestemmer, hvordan styrekræfterne på kontrolfladerne på dets vinger, elevatorer og ror (r) påvirker flyets bevægelser i rullning, stigning og gab.

Definition

Inertimoment er defineret som produktet af sektionsmasse og kvadratet af afstanden mellem referenceaksen og centroiden af ​​sektionen.

Spinning kunstskøjteløbere kan reducere deres inertimoment ved at trække i deres arme, så de kan snurre hurtigere på grund af bevarelse af vinkelmoment .
Video af roterende stolforsøg, der illustrerer inertimoment. Når den spinderende professor trækker i armene, falder hans inertimoment; for at bevare vinkelmoment stiger hans vinkelhastighed.

Inertimoment I defineres som forholdet mellem et systems nettovinkelmoment L og dets vinkelhastighed ω omkring en hovedakse, dvs.

Hvis vinkelsporet i et system er konstant, så når inertimomentet bliver mindre, skal vinkelhastigheden stige. Dette sker, når roterende kunstskøjteløbere trækker i deres udstrakte arme eller dykkere krøller deres kroppe i en tuck -position under et dyk for at snurre hurtigere.

Hvis kroppens form ikke ændrer sig, så optræder dets inertimoment i Newtons bevægelseslov som forholdet mellem et påført moment τ på et legeme og vinkelacceleration α omkring en hovedakse, dvs.

For et simpelt pendul giver denne definition en formel for inertimoment I med hensyn til pendulets masse m og dens afstand r fra drejepunktet som,

Pendulets inertimoment afhænger således af både et legems masse m og dets geometri eller form, som defineret af afstanden r til rotationsaksen.

Denne enkle formel generaliserer for at definere inertimoment for et vilkårligt formet legeme som summen af ​​alle elementmængderne d m hver gang med kvadratet af dets vinkelrette afstand r til en akse k . Et vilkårligt objekts inertimoment afhænger således af den rumlige fordeling af dets masse.

Generelt set i betragtning af et objekt med masse m kan en effektiv radius k defineres afhængigt af en bestemt rotationsakse med en sådan værdi, at dens inertimoment omkring aksen er

hvor k er kendt som radius af gyration omkring aksen.

Eksempler

Simpelt pendul

Inertimoment kan måles ved hjælp af et simpelt pendul, fordi det er modstanden mod rotationen forårsaget af tyngdekraften. Matematisk er pendulets inertimoment forholdet mellem drejningsmomentet på grund af tyngdekraften omkring et penduls drejning og dets vinkelacceleration omkring det drejepunkt. For et simpelt pendul findes dette at være produktet af partikelens masse med kvadratet af dets afstand til drejen, det vil sige

Dette kan vises som følger: Tyngdekraften på massen af ​​et simpelt pendul genererer et drejningsmoment omkring aksen vinkelret på pendulbevægelsens plan. Her er afstandsvektoren vinkelret på og fra kraften til momentaksen og er nettokraften på massen. Forbundet med dette moment er en kantet acceleration , , af strengen og masse omkring denne akse. Da massen er begrænset til en cirkel, er tangens acceleration af massen . Da momentligningen bliver til:

hvor er en enhedsvektor vinkelret på pendulets plan. (Det andet til sidste trin anvender vektor triple produktudvidelse med vinkelret på og .) Størrelsen er inertimoment for denne enkelt masse omkring drejepunktet.

Mængden vises også i vinkelmomentet for et simpelt pendul, som beregnes ud fra pendelmassens hastighed omkring drejen, hvor er massens vinkelhastighed omkring drejepunktet. Dette vinkelmoment er givet af

ved hjælp af en lignende afledning til den foregående ligning.

På samme måde er pendulmassens kinetiske energi defineret af pendulets hastighed omkring drejen for at give

Dette viser, at mængden er, hvordan masse kombineres med kroppens form for at definere rotationsinerti. Inertimomentet for et vilkårligt formet legeme er summen af ​​værdierne for alle masseelementerne i kroppen.

Sammensatte pendler

Pendler brugt i Mendenhall gravimeter apparater, fra 1897 videnskabeligt tidsskrift. Det bærbare gravimeter udviklet i 1890 af Thomas C. Mendenhall leverede de mest nøjagtige relative målinger af det lokale gravitationsfelt på jorden.

Et sammensat pendul er et legeme dannet af en samling af partikler med kontinuerlig form, der roterer stift omkring en omdrejningspunkt. Dens inertimoment er summen af ​​inertimomenterne for hver af de partikler, den er sammensat af. Den naturlige frekvens ( ) af en forbindelse pendul afhænger af dens inertimoment, ,

hvor er objektets masse, er lokal tyngdekraftacceleration, og er afstanden fra drejepunktet til objektets massecenter. Måling af denne svingningsfrekvens over små vinkelforskydninger giver en effektiv måde at måle et legems inertimoment på.

For at bestemme kroppens inertimoment skal du blot suspendere det fra et bekvemt drejepunkt, så det svinger frit i et plan vinkelret på retningen for det ønskede inertimoment, og derefter måle dets naturlige frekvens eller oscillationsperiode ( ) , at opnå

hvor er oscillationens periode (varighed) (normalt i gennemsnit over flere perioder).

Oscillationscenter

Et simpelt pendul, der har samme naturlige frekvens som et sammensat pendul, definerer længden fra drejen til et punkt, der kaldes det sammensatte penduls oscillationscenter . Dette punkt svarer også til percussionens centrum . Længden bestemmes ud fra formlen,

eller

Den sekunder pendul , som tilvejebringer den "kryds" og "tock" af et bornholmerur, tager et sekund for at svinge fra side til side. Dette er en periode på to sekunder, eller en naturlig frekvens for pendulet. I dette tilfælde kan afstanden til midten af ​​oscillation ,, beregnes til at være

Bemærk, at afstanden til svingningscentret for sekunderpendulet skal justeres for at rumme forskellige værdier for den lokale tyngdekraftacceleration. Kater's pendul er et sammensat pendul, der bruger denne egenskab til at måle den lokale acceleration af tyngdekraften og kaldes et gravimeter .

Måling af inertimoment

Inertimoment for et komplekst system, såsom et køretøj eller et fly omkring dets lodrette akse, kan måles ved at suspendere systemet fra tre punkter for at danne et trifilar -pendul . Et trifilar -pendul er en platform understøttet af tre ledninger, der er designet til at svinge i torsion omkring dens lodrette midterakse. Oscillationsperioden for det trifilariske pendul giver systemets inertimoment.

Bevægelse i et fast plan

Punktmasse

Fire objekter med identiske masser og radier, der kører ned ad et fly, mens de ruller uden at glide.
Fra bagsiden til forsiden:
Tiden for hvert objekt til at nå målstregen afhænger af deres inertimoment. ( OGV -version )

Inertimomentet omkring en krops akse beregnes ved at summere for hver partikel i kroppen, hvor er den vinkelrette afstand til den angivne akse. For at se, hvordan inertimoment opstår i studiet af bevægelsen af ​​et udvidet legeme, er det praktisk at overveje en stiv samling af punktmasser. (Denne ligning kan bruges til akser, der ikke er hovedakser, forudsat at det forstås, at dette ikke fuldt ud beskriver inertimomentet.)

Overvej den kinetiske energi i en samling af masser, der ligger på afstandene fra drejepunktet , som er det nærmeste punkt på rotationsaksen. Det er summen af ​​den kinetiske energi for de enkelte masser,

Dette viser, at kroppens inertimoment er summen af ​​hvert af udtrykkene, dvs.

Således er inertimoment en fysisk egenskab, der kombinerer massen og fordelingen af ​​partiklerne omkring rotationsaksen. Bemærk, at rotation omkring forskellige akser i samme krop giver forskellige inertimomenter.

Inertimomentet for et kontinuerligt legeme, der roterer omkring en bestemt akse, beregnes på samme måde, undtagen med uendeligt mange punktpartikler. Således fjernes summeringsgrænserne, og summen skrives som følger:

Et andet udtryk erstatter summeringen med en integral ,

Her giver funktionen massetætheden på hvert punkt , er en vektor vinkelret på rotationsaksen og strækker sig fra et punkt på rotationsaksen til et punkt i det faste stof, og integrationen evalueres over kroppens volumen . Inertimomentet for en flad overflade ligner, idet massetætheden erstattes af dens arealmassefylde med integralet vurderet over sit areal.

Bemærk om andet arealmoment : Inertimomentet for et legeme, der bevæger sig i et plan, og det andet arealmoment i et stråles tværsnit er ofte forvirret. Inertimoment for et legeme med formen af ​​tværsnittet er det andet øjeblik i dette område omkring -aksen vinkelret på tværsnittet, vægtet af dens densitet. Dette kaldes også områdets polære moment og er summen af ​​de andet øjeblikke om - og -akser. Spændingerne i en stråle beregnes ved hjælp af det andet moment i tværsnitsområdet omkring enten -aksen eller -aksen afhængigt af belastningen.

Eksempler

Inertimoment stang center.svg

Inertimomentet for et sammensat pendul konstrueret af en tynd skive monteret for enden af ​​en tynd stang, der svinger omkring en drejning i den anden ende af stangen, begynder med beregningen af ​​inertimomentet for den tynde stang og tynde skive om deres respektive massecentre.

  • Inertimomentet for en tynd stang med konstant tværsnit og densitet og med længde omkring en vinkelret akse gennem dens massecenter bestemmes af integration. Juster -aksen med stangen, og lokaliser derefter oprindelsen, dens massecenter i midten af ​​stangen
    hvor er stangens masse.
  • Inertimomentet for en tynd skive med konstant tykkelse , radius og densitet omkring en akse gennem dens centrum og vinkelret på dens flade (parallelt med dens rotationssymmetriakse ) bestemmes af integration. Juster -aksen med skivens akse og definerer et volumen element som , derefter
    hvor er dens masse.
  • Inertimoment for det sammensatte pendul opnås nu ved at tilføje stangens og skivens inertimoment omkring drejepunktet som,
    hvor er pendulets længde. Bemærk, at den parallelle aksesætning bruges til at flytte inertimomentet fra massens centrum til pendulets drejepunkt.

En liste over inertimomenter for standard kropsformer giver en måde at opnå inertimoment for et komplekst legeme som en samling af enklere formede legemer. Sætningen med den parallelle akse bruges til at flytte de enkelte organers referencepunkt til samlingens referencepunkt.

Inertimoment fast kugle.svg

Som endnu et eksempel kan du overveje inertimomentet for en fast kugle med konstant densitet omkring en akse gennem dens massecenter. Dette bestemmes ved at opsummere inertimomenterne for de tynde skiver, der kan danne kuglen, hvis centre er langs den akse, der er valgt til overvejelse. Hvis boldens overflade er defineret af ligningen

så er kvadratet af skivens radius ved tværsnittet langs -aksen

Derfor er boldens inertimoment summen af ​​inertimomenterne på skiverne langs -aksen,

hvor er kuglens masse.

Stiv krop

Cylindrene med højere inertimoment ruller ned ad en skråning med en mindre acceleration, da mere af deres potentielle energi skal konverteres til den roterende kinetiske energi.

Hvis et mekanisk system er tvunget til at bevæge sig parallelt med et fast plan, sker rotationen af ​​et legeme i systemet omkring en akse vinkelret på dette plan. I dette tilfælde er massens inertimoment i dette system en skalar kendt som det polære inertimoment . Definitionen af ​​det polære inertimoment kan opnås ved at overveje momentum, kinetisk energi og Newtons love for den plane bevægelse af et stift partikelsystem.

Hvis et system af partikler,, er samlet til et stift legeme, kan systemets momentum skrives i form af positioner i forhold til et referencepunkt og absolutte hastigheder :

hvor er systemets vinkelhastighed og er hastigheden på .

Til plan bevægelse ledes vinkelhastighedsvektoren langs enhedsvektoren, der er vinkelret på bevægelsesplanet. Indfør enhedsvektorerne fra referencepunktet til et punkt , og enhedsvektoren , så

Dette definerer den relative positionsvektor og hastighedsvektoren for det stive system af partiklerne, der bevæger sig i et plan.

Note om krydsproduktet : Når et legeme bevæger sig parallelt med et jordplan, ligger banerne for alle punkter i kroppen i planer parallelt med dette jordplan. Det betyder, at enhver rotation, som kroppen gennemgår, skal være omkring en akse vinkelret på dette plan. Plan bevægelse præsenteres ofte som projiceret på dette jordplan, så rotationsaksen fremstår som et punkt. I dette tilfælde er kroppens vinkelhastighed og vinkelacceleration skalarer, og det faktum, at de er vektorer langs rotationsaksen, ignoreres. Dette foretrækkes normalt til introduktioner til emnet. Men i tilfælde af inertimoment drager kombinationen af ​​masse og geometri fordel af krydsproduktets geometriske egenskaber. Af denne grund er kroppens vinkelhastighed og accelerationer i dette afsnit om plan bevægelse vektorer vinkelret på jordplanet, og tværproduktoperationer er de samme som bruges til undersøgelse af rumlig stiv kropsbevægelse.

Vinklet momentum

Vinkelmomentvektoren til den plane bevægelse af et stift partikelsystem er givet ved

Brug massemidtpunktet som referencepunkt således

og definere inertimoment i forhold til massens centrum som

så forenkles ligningen for vinkelmoment til

Inertimomentet omkring en akse vinkelret på bevægelsen af ​​det stive system og gennem massens centrum er kendt som det polære inertimoment . Specifikt er det det andet massemoment i forhold til den ortogonale afstand fra en akse (eller pol).

For en given mængde vinkelmoment resulterer et fald i inertimomentet i en stigning i vinkelhastigheden. Kunstskøjteløbere kan ændre deres inertimoment ved at trække i deres arme. Således resulterer vinkelhastigheden opnået af en skater med udstrakte arme i en større vinkelhastighed, når armene trækkes ind på grund af det reducerede inertimoment. En kunstskøjteløber er imidlertid ikke en stiv krop.

Kinetisk energi

Denne roterende forskydning fra 1906 bruger inertimomentet for to svinghjul til at lagre kinetisk energi, som ved frigivelse bruges til at skære metalmateriale (International Library of Technology, 1906).

Den kinetiske energi i et stift system af partikler, der bevæger sig i flyet, er givet ved

Lad referencepunktet være massens centrum for systemet, så det andet udtryk bliver nul, og introducer inertimomentet, så den kinetiske energi er givet ved

Inertimomentet er kroppens inertimoment .

Newtons love

En John Deere -traktor fra 1920'erne med det egerede svinghjul på motoren. Svinghjulets store inertimoment udglatter traktorens drift.

Newtons love for et stift system af partikler, kan skrives i form af en resulterende kraft og drejningsmoment ved et referencepunkt for at give

hvor betegner banen for hver partikel.

De kinematik af et stift legeme giver formlen for fremskyndelse af partiklen med hensyn til position og acceleration af referencen partikel samt vinkelhastigheden vektor og vinkelacceleration vektor af den stive system med partikler som,

For systemer, der er begrænset til plan bevægelse, rettes vinkelhastigheds- og vinkelaccelerationsvektorerne langs vinkelret på bevægelsesplanet, hvilket forenkler denne accelerationsligning. I dette tilfælde kan accelerationsvektorerne forenkles ved at indføre enhedsvektorerne fra referencepunktet til et punkt og enhedsvektorerne , så

Dette giver det resulterende drejningsmoment på systemet som

hvor og er enhedsvektoren vinkelret på planet for alle partiklerne .

Brug massecentret som referencepunkt og definer inertimomentet i forhold til massens centrum , så forenkles ligningen for det resulterende drejningsmoment til

Bevægelse i rummet af en stiv krop og inertimatrixen

De skalære inertimomenter optræder som elementer i en matrix, når et partikelsystem samles til et stift legeme, der bevæger sig i det tredimensionelle rum. Denne inertimatrix vises i beregningen af ​​vinkelmomentet, kinetisk energi og resulterende drejningsmoment for det stive partikelsystem.

Lad partikelsystemet være placeret ved koordinaterne med hastigheder i forhold til en fast referenceramme. For et (muligvis bevægeligt) referencepunkt er de relative positioner

og (absolutte) hastigheder er

hvor er systemets vinkelhastighed, og er hastigheden på .

Vinklet momentum

Bemærk, at krydsproduktet kan skrives tilsvarende som matrixmultiplikation ved at kombinere den første operand og operatoren til en skæv-symmetrisk matrix , konstrueret af komponenterne i :

Inertimatricen er konstrueret ved at overveje vinkelmomentet, hvor kroppens referencepunkt er valgt til at være massens centrum :

hvor udtrykkene indeholdende ( ) sum til nul ved definitionen af massecenter .

Derefter kan den skæv-symmetriske matrix opnået fra den relative positionsvektor bruges til at definere,

hvor defineret af

er den symmetriske inertimatrix for det stive partikelsystem målt i forhold til massens centrum .

Kinetisk energi

Den kinetiske energi i et stift partikelsystem kan formuleres i form af massens centrum og en matrix af systemets inertimomenter. Lad partikelsystemet være placeret ved koordinaterne med hastigheder , så er den kinetiske energi

hvor er positionsvektoren for en partikel i forhold til massens centrum.

Denne ligning udvides til at give tre udtryk

Det andet udtryk i denne ligning er nul, fordi det er massens centrum. Indfør den skæv-symmetriske matrix, så den kinetiske energi bliver

Således er den kinetiske energi i det stive partikelsystem givet ved

hvor er inertimatricen i forhold til massens centrum og er den samlede masse.

Resulterende moment

Inertimatricen vises i anvendelsen af ​​Newtons anden lov på en stiv samling af partikler. Det resulterende drejningsmoment på dette system er,

hvor er partikelens acceleration . De kinematik af et stift legeme giver formlen for fremskyndelse af partiklen med hensyn til position og acceleration af referencepunktet, samt vinkelhastigheden vektor og vinkelacceleration vektor af den stive system,

Brug massemidlet som referencepunkt, og indfør den skæv-symmetriske matrix for at repræsentere krydsproduktet for at opnå

Beregningen bruger identiteten

hentet fra Jacobi -identiteten for det tredobbelte krydsprodukt som vist i beviset herunder:

Bevis  -

Derefter bruges følgende Jacobi -identitet på det sidste udtryk:

Resultatet af anvendelse af Jacobi -identitet kan derefter fortsættes som følger:

Det endelige resultat kan derefter erstattes med hovedbeviset som følger:

Bemærk, at for enhver vektor , gælder følgende:

Endelig bruges resultatet til at fuldføre hovedbeviset som følger:

Således er det resulterende drejningsmoment på det stive partikelsystem givet ved

hvor er inertimatricen i forhold til massens centrum.

Parallelakse sætning

Inertis matrix for et legeme afhænger af valget af referencepunktet. Der er et nyttigt forhold mellem inertimatricen i forhold til massens centrum og inertimatrixen i forhold til et andet punkt . Dette forhold kaldes parallelle aksesætning.

Overvej inertimatricen opnået for et stift system af partikler målt i forhold til et referencepunkt , givet ved

Lad så være massemidtpunktet for det stive system

hvor er vektoren fra massens centrum til referencepunktet . Brug denne ligning til at beregne inertimatricen,

Fordel på tværs af produktet for at opnå

Det første udtryk er inertimatricen i forhold til massens centrum. Det andet og tredje udtryk er nul pr. Definition af massecentret . Og det sidste udtryk er systemets samlede masse ganget med kvadratet af den skæv-symmetriske matrix konstrueret af .

Resultatet er den parallelle aksesætning,

hvor er vektoren fra massens centrum til referencepunktet .

Bemærk på minustegnet : Ved at bruge den skæve symmetriske matrix af positionsvektorer i forhold til referencepunktet har inertimatricen for hver partikel formen , der ligner den, der vises i plan bevægelse. For at få dette til at fungere korrekt er det dog nødvendigt med et minustegn. Dette minustegn kan , hvis det ønskes, absorberes i udtrykket ved hjælp af egenskaben skæv-symmetri .

Skalær inertimoment i et fly

Det skalære inertimoment,, for et legeme omkring en bestemt akse, hvis retning er angivet af enhedsvektoren og passerer gennem kroppen på et punkt, er som følger:

hvor er systemets inertimatrix i forhold til referencepunktet , og er den skæve symmetriske matrix opnået fra vektoren .

Dette er afledt som følger. Lad en stiv samling af partikler , have koordinater . Vælge som et referencepunkt og beregne inertimomentet omkring en linje L defineret af enhedsvektoren gennem referencepunktet , . Den vinkelrette vektor fra denne linje til partiklen opnås ved at fjerne den komponent, der rager ud på .

hvor er identitetsmatricen for at undgå forvirring med inertimatricen og er den ydre produktmatrix dannet ud fra enhedsvektoren langs linjen .

For at relatere dette skalære inertimoment til kroppens inertimatrix, introducer den skæv-symmetriske matrix således, at så har vi identiteten

bemærker, at det er en enhedsvektor.

Størrelsen i kvadrat af den vinkelrette vektor er

Forenklingen af ​​denne ligning anvender den tredobbelte skalarproduktidentitet

hvor prikken og krydsprodukterne er blevet udskiftet. Udveksling af produkter og forenkling ved at bemærke det og er ortogonale:

Således opnås inertimomentet omkring linjen igennem i retningen fra beregningen

hvor er systemets inertimatrix -matrix i forhold til referencepunktet .

Dette viser, at inertimatricen kan bruges til at beregne inertimoment for et legeme omkring enhver specificeret rotationsakse i kroppen.

Inerti tensor

For det samme objekt vil forskellige rotationsakser have forskellige inertimomenter omkring disse akser. Generelt er inertimomenterne ikke ens, medmindre objektet er symmetrisk omkring alle akser. Det inertimoment tensor er en bekvem måde at opsummere alle inertimomenter af et objekt med en mængde. Det kan beregnes med hensyn til ethvert punkt i rummet, selvom massemidtpunktet oftest bruges til praktiske formål.

Definition

For en stiv genstand for punkt masserne , inertimomentet tensor er givet ved

Dens komponenter defineres som

hvor

  • , Er lig med 1, 2 eller 3 for , og henholdsvis
  • er vektoren til punktmassen fra det punkt, tensoren beregnes om og
  • er Kronecker -deltaet .

Bemærk, at definitionen er en symmetrisk tensor .

De diagonale elementer er mere kortfattet skrevet som

mens de off-diagonale elementer, også kaldet produkterne af inerti , er

Her betegner inertimomentet omkring -aksen, når objekterne drejes rundt om x -aksen, angiver inertimomentet omkring -aksen, når objekterne roteres omkring -aksen osv.

Disse mængder kan generaliseres til et objekt med distribueret masse, beskrevet af en massetæthedsfunktion, på lignende måde som det skalære inertimoment. Man har så

hvor er deres ydre produkt , E 3 er 3 × 3 identitetsmatrixen , og V er et område i rummet, der fuldstændigt indeholder objektet.

Alternativt kan det også skrives i form af vinkelmomentoperatoren :

Inerti -tensoren kan bruges på samme måde som inertimatricen til at beregne det skalære inertimoment omkring en vilkårlig akse i retningen ,

hvor prikproduktet tages med de tilsvarende elementer i komponentens tensorer. Et produkt af inerti -udtryk som f.eks. Opnås ved beregningen

og kan tolkes som inertimomentet omkring -aksen, når objektet roterer rundt om -aksen.

Komponenterne i tensorer af grad to kan samles til en matrix. For inerti -tensoren er denne matrix givet af,

Det er almindeligt i stive organ mekanik til brug notation, der udtrykkeligt identificerer de , og -axes, såsom og for komponenterne i inerti tensor.

Alternativ træghedskonvention

Der er nogle CAD- og CAE -applikationer, f.eks. SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX og MSC Adams, der anvender en alternativ konvention for inertiprodukter. Ifølge denne konvention fjernes minustegnet fra produktet af inertiformler og indsættes i stedet i inertimatrixen:

Bestem inertikonvention (Metode for hovedakser)

Hvis man har inertidataene uden at vide, hvilken inertikonvention, der er blevet brugt, kan det bestemmes, om man også har hovedakser . Med hovedakse -metoden laver man inertimatricer ud fra følgende to antagelser:

  1. Standard inertikonventionen er blevet brugt .
  2. Den alternative træghedskonvention er blevet brugt .

Dernæst beregner man egenvektorerne for de to matricer. Matricen, hvis egenvektorer er parallelle med hovedakslerne, svarer til den inertikonvention, der er blevet brugt.

Afledning af tensorkomponenterne

Afstanden af en partikel fra rotationsaksen, der passerer gennem oprindelsen i retningen, er , hvor er enhedsvektor. Inertimomentet på aksen er

Omskriv ligningen ved hjælp af matrix transpose :

hvor E 3 er 3 × 3 identitetsmatrixen .

Dette fører til en tensorformel for inertimomentet

For flere partikler behøver vi kun at huske, at inertimomentet er additivt for at se, at denne formel er korrekt.

Inerti tensor af oversættelse

Lad være inerti -tensoren for et legeme beregnet ved dets massecenter og være kroppens forskydningsvektor. Inerti -tensoren for det oversatte legeme i forhold til dets oprindelige massecenter er givet ved:

hvor er kroppens masse, E 3 er 3 × 3 identitetsmatrixen og er det ydre produkt .

Inerti tensor af rotation

Lad være den

matrix, der repræsenterer en krops rotation. Den roterede krops inertielle tensor er givet ved:

Inertimatrix i forskellige referencerammer

Anvendelsen af ​​inertimatricen i Newtons anden lov forudsætter, at dens komponenter beregnes i forhold til akser parallelt med inertirammen og ikke i forhold til en kropsfast referenceramme. Det betyder, at når kroppen bevæger sig, ændres komponenterne i inertimatricen med tiden. I modsætning hertil er komponenterne i inertimatrixen målt i en kropsfast ramme konstante.

Kropsramme

Lad kropsrammens inertimatrix i forhold til massens centrum betegnes , og definer orienteringen af ​​kropsrammen i forhold til inertialrammen ved hjælp af rotationsmatricen , således at,

hvor vektorer i kroppens faste koordinatramme har koordinater i inertialrammen. Derefter er inertismatricen for kroppen målt i inertirammen givet ved

Bemærk, at det ændrer sig, når kroppen bevæger sig, mens den forbliver konstant.

Hovedakser

Målt i kropsrammen er inertimatricen en konstant reel symmetrisk matrix. En ægte symmetrisk matrix har den egentlige sammensætning i produktet af en rotationsmatrix og en diagonal matrix , givet af

hvor

Søjlerne i rotation matrix definerer retningerne af hovedakserne af kroppen, og konstanterne , og kaldes

vigtigste inertimomenter . Dette resultat blev først vist af JJ Sylvester (1852) , og er en form for Sylvesters inertilov . Hovedaksen med det højeste inertimoment kaldes undertiden figuraksen eller figuraksen .

Når alle de vigtigste inertimomenter er forskellige, specificeres hovedakser gennem massecentret unikt, og det stive legeme kaldes en asymmetrisk top . Hvis to hovedmomenter er de samme, kaldes det stive legeme for en symmetrisk top, og der er ikke noget unikt valg for de to tilsvarende hovedakser. Hvis alle tre hovedmomenter er ens, kaldes det stive legeme for en sfærisk top (selvom den ikke behøver at være kugleformet), og enhver akse kan betragtes som en hovedakse, hvilket betyder, at inertimomentet er det samme om enhver akse.

De vigtigste akser er ofte på linje med objektets symmetriakser. Hvis et stift legeme har en symmetriakse af orden , hvilket betyder, at det er symmetrisk under rotationer på

360 °/ m omkring den givne akse, er denne akse en hovedakse. Når , den stive krop er en symmetrisk top. Hvis et stift legeme har mindst to symmetriakser, der ikke er parallelle eller vinkelret på hinanden, er det en kugleformet top, for eksempel en terning eller et andet platonisk fast stof .

Den bevægelse af køretøjer er ofte beskrevet i form af giring, hældning, og rul som normalt svarer omtrent til rotationer om de tre hovedakser. Hvis køretøjet har bilateral symmetri, svarer en af ​​hovedakslerne nøjagtigt til den tværgående akse.

Et praktisk eksempel på dette matematiske fænomen er den rutinemæssige bilopgave med at afbalancere et dæk , hvilket i bund og grund betyder at justere massefordelingen af ​​et bilhjul, så dets hovedinjektionsakse er på linje med akslen, så hjulet ikke svinger.

Roterende molekyler er også klassificeret som asymmetriske, symmetriske eller sfæriske toppe, og strukturen af ​​deres rotationsspektre er forskellig for hver type.

Ellipsoid

En ellipsoide med de semi-vigtigste diametre mærket , og .

Inertimomentet i matrix i krop-rammekoordinater er en kvadratisk form, der definerer en overflade i kroppen kaldet Poinsots ellipsoid . Lad være inertimatricen i forhold til massens centrum på linje med hovedakslerne, derefter overfladen

eller

definerer en ellipsoid i kropsrammen. Skriv denne ligning i formen,

for at se, at denne ellipsoids semi-primære diametre er givet af

Lad et punkt på denne ellipsoid defineres i form af dens størrelse og retning , hvor er en enhedsvektor. Derefter giver ovenstående forhold, mellem inertimatrixen og det skalære inertimoment omkring en akse i retningen , sig

Således er størrelsen af ​​et punkt i retningen på inerti -ellipsoiden

Se også

Referencer

eksterne links