Momentum - Momentum

Momentum
Et pulje-break-off skud
Momentum af en pool cue bold overføres til de rackede bolde efter kollision.
Fælles symboler
p , s
SI -enhed kg⋅m/s
Andre enheder
slugft/s
Bevares ? Ja
Dimension MLT −1

I Newtons mekanik er lineær momentum , translationel momentum eller simpelthen momentum produktet af et objekts masse og hastighed . Det er en vektormængde , der har en størrelse og en retning. Hvis m er et objekts masse og v er dens hastighed (også en vektor mængde), derefter objektets momentum p er

I International System of Units (SI) er måleenheden for momentum kilogrammetre i sekundet (kg⋅m/s), hvilket svarer til newton-sekund .

Newtons anden bevægelseslov siger, at ændringshastigheden for et legems momentum er lig med den nettokraft, der virker på det. Momentum afhænger af referencerammen , men i enhver inertial ramme er det en bevaret størrelse, hvilket betyder, at hvis et lukket system ikke påvirkes af ydre kræfter, ændres dets totale lineære momentum ikke. Momentum er også bevaret i særlig relativitet (med en modificeret formel) og i en modificeret form i elektrodynamik , kvantemekanik , kvantefeltteori og generel relativitet . Det er et udtryk for en af ​​de grundlæggende symmetrier af rum og tid: translationel symmetri .

Avancerede formuleringer af klassisk mekanik, Lagrangian og Hamiltonian mekanik , giver mulighed for at vælge koordinatsystemer, der inkorporerer symmetrier og begrænsninger. I disse systemer er den bevarede mængde generaliseret momentum , og generelt er denne forskellig fra den kinetiske momentum, der er defineret ovenfor. Begrebet generaliseret momentum overføres til kvantemekanik, hvor det bliver en operator på en bølgefunktion . Momentum- og positionsoperatørerne hænger sammen med Heisenberg -usikkerhedsprincippet .

I kontinuerlige systemer såsom elektromagnetiske felter , væskedynamik og deformerbare legemer kan en momentumtæthed defineres, og en kontinuumversion af bevarelsen af ​​momentum fører til ligninger som f.eks. Navier -Stokes -ligningerne for væsker eller Cauchy -momentumligningen for deformerbare faste stoffer eller væsker.

Newtonian

Momentum er en vektormængde : den har både størrelse og retning. Da momentum har en retning, kan den bruges til at forudsige den resulterende retning og bevægelseshastighed for objekter, efter at de kolliderer. Nedenfor beskrives momentums grundlæggende egenskaber i en dimension. Vektorligningerne er næsten identiske med skalarligningerne (se flere dimensioner ).

Enkelt partikel

Momentum af en partikel er konventionelt repræsenteret af bogstavet p . Det er et produkt af to mængder, partikelens masse (repræsenteret med bogstavet m ) og dens hastighed ( v ):

Momentum er produktet af enhederne masse og hastighed. I SI -enheder , hvis massen er i kilogram, og hastigheden er i meter i sekundet, er momentum i kilogram meter i sekundet (kg⋅m/s). I cgs -enheder , hvis massen er i gram og hastigheden i centimeter pr. Sekund, så er momentum i gram centimeter pr. Sekund (g⋅cm/s).

Som en vektor har momentum størrelse og retning. For eksempel har et 1 kg modelfly, der kører ret nordpå med 1 m/s i lige og jævn flyvning, et momentum på 1 kg⋅m/s nordpå målt med reference til jorden.

Mange partikler

Momentumet i et partikelsystem er vektorsummen af ​​deres momenta. Hvis to partikler har de respektive masser m 1 og m 2 og hastighederne v 1 og v 2 , er det samlede momentum

Momenta for mere end to partikler kan tilføjes mere generelt med følgende:

Et partikelsystem har et massecenter , et punkt bestemt af den vægtede sum af deres positioner:

Hvis en eller flere af partiklerne bevæger sig, vil systemets massecenter generelt også bevæge sig (medmindre systemet er i ren rotation omkring det). Hvis partiklernes samlede masse er , og massens centrum bevæger sig med hastigheden v cm , er systemets momentum:

Dette er kendt som Eulers første lov .

Forhold til kraft

Hvis nettokraften F påført på en partikel er konstant, og anvendes i et tidsinterval Δ t , fremdriften af partiklen ændres med et beløb

I differentiel form er dette Newtons anden lov ; ændringshastigheden for en partikels momentum er lig med den øjeblikkelige kraft F, der virker på den,

Hvis nettokraften opleves af et ændringer partikel som funktion af tiden, F ( t ) er ændringen i bevægelsesmængde (eller impuls J ) mellem tidspunkterne t 1 og t 2 IS

Impuls måles i de afledte enheder i newton sekund (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) eller dyne sekund (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

Under antagelsen om konstant masse m svarer det til at skrive

derfor er nettokraften lig med partikelens masse gange dens acceleration .

Eksempel : Et modelfly med en masse på 1 kg accelererer fra hvile til en hastighed på 6 m/s nordpå om 2 sekunder. Den nettokraft, der kræves for at producere denne acceleration, er 3  newton nordpå. Ændringen i momentum er 6 kg⋅m/s nordpå. Frekvensen for ændring af momentum er 3 (kg⋅m/s)/s nordpå, hvilket numerisk svarer til 3 newton.

Bevarelse

I et lukket system (et system , der ikke udveksler noget med sine omgivelser og ikke påvirkes af eksterne kræfter) forbliver det samlede momentum konstant. Denne kendsgerning, kendt som loven om bevarelse af momentum , er underforstået af Newtons bevægelseslove . Antag for eksempel, at to partikler interagerer. Som forklaret af den tredje lov er kræfterne mellem dem lige store, men modsatte i retning. Hvis partiklerne er nummereret 1 og 2, siger den anden lov, at F 1 = dp 1/dtog F 2 =dp 2/dt. Derfor,

med det negative tegn, der angiver, at kræfterne er imod. Tilsvarende,

Hvis partiklernes hastigheder er u 1 og u 2 før interaktionen, og bagefter er de v 1 og v 2 , så

Denne lov gælder, uanset hvor kompliceret kraften er mellem partikler. Tilsvarende, hvis der er flere partikler, tilføjer momentum udvekslet mellem hvert par partikler til nul, så den samlede ændring i momentum er nul. Denne bevaringslov gælder for alle interaktioner, herunder kollisioner og adskillelser forårsaget af eksplosive kræfter. Det kan også generaliseres til situationer, hvor Newtons love ikke holder, for eksempel i relativitetsteorien og i elektrodynamikken .

Afhængighed af referenceramme

Momentum er en målbar mængde, og målingen afhænger af referencerammen . For eksempel: hvis et fly med en masse m  kg flyver gennem luften med en hastighed på 50 m/s, kan dets momentum beregnes til at være 50 m  kg.m/s. Hvis flyet flyver i en modvind på 5 m/s, er dets hastighed i forhold til jordens overflade kun 45 m/s, og dets momentum kan beregnes til at være 45 m  kg.m/s. Begge beregninger er lige korrekte. I begge referencerammer vil enhver ændring i momentum blive fundet i overensstemmelse med de relevante fysiske love.

Antag, at en partikel har position x i en stationær referenceramme. Set fra en anden referenceramme, der bevæger sig med en ensartet hastighed u , ændres positionen (repræsenteret ved et primet koordinat) med tiden som

Dette kaldes en galileisk transformation . Hvis partiklen bevæger sig med hastigheddx/dt= v i den første referenceramme, i den anden bevæger den sig med hastighed

Da u ikke ændres, er accelerationerne de samme:

Således bevares momentum i begge referencerammer. Desuden, så længe kraften har samme form, i begge rammer, er Newtons anden lov uændret. Kræfter som Newtonsk tyngdekraft, der kun afhænger af skalarafstanden mellem objekter, opfylder dette kriterium. Denne uafhængighed af referenceramme kaldes newtonsk relativitet eller galileisk invariance .

En ændring af referenceramme kan ofte forenkle beregninger af bevægelse. For eksempel ved en kollision af to partikler kan der vælges en referenceramme, hvor en partikel begynder i hvile. En anden, almindeligt anvendt referenceramme, er massens centrum - en, der bevæger sig med massens centrum. I denne ramme er den samlede momentum nul.

Ansøgning om kollisioner

I sig selv er loven om bevarelse af momentum ikke nok til at bestemme partiklers bevægelse efter en kollision. En anden egenskab ved bevægelsen, kinetisk energi , skal være kendt. Dette er ikke nødvendigvis bevaret. Hvis det bevares, kaldes kollisionen for en elastisk kollision ; hvis ikke, er det en uelastisk kollision .

Elastiske kollisioner

Elastisk kollision af lige masser
Elastisk kollision af ulige masser

En elastisk kollision er en, hvor ingen kinetisk energi omdannes til varme eller en anden form for energi. Perfekt elastiske kollisioner kan opstå, når genstandene ikke rører hinanden, som for eksempel ved atom- eller atomspredning, hvor elektrisk frastødning holder objekterne fra hinanden. En slynge -manøvre af en satellit omkring en planet kan også ses som en perfekt elastisk kollision. En kollision mellem to pool bolde er et godt eksempel på en næsten helt elastisk kollision, på grund af deres høje stivhed , men når organer kommer i kontakt er der altid nogle spredning .

Et frontalt elastisk sammenstød mellem to kroppe kan repræsenteres ved hastigheder i en dimension langs en linje, der passerer gennem legemerne. Hvis hastighederne er u 1 og u 2 før kollisionen og v 1 og v 2 efter, er ligningerne, der udtrykker bevarelse af momentum og kinetisk energi:

En ændring af referencerammen kan forenkle analysen af ​​en kollision. Antag for eksempel, at der er to legemer med samme masse m , et stationært og et nærmer sig det andet med en hastighed v (som i figuren). Massens centrum bevæger sig med hastighedv/2 og begge kroppe bevæger sig mod det med hastighed v/2. På grund af symmetrien skal begge dele efter kollisionen bevæge sig væk fra massens centrum med samme hastighed. Ved at tilføje massecentrets hastighed til begge, finder vi ud af, at kroppen, der bevægede sig, nu er stoppet, og den anden bevæger sig væk med hastighed v . Kroppene har udvekslet deres hastigheder. Uanset legemernes hastigheder fører et skift til midten af ​​massestellet os til den samme konklusion. Derfor er de endelige hastigheder givet ved

Generelt, når de indledende hastigheder kendes, er sluthastighederne givet ved

Hvis det ene legeme har meget større masse end det andet, påvirkes dets hastighed lidt af et sammenstød, mens det andet legeme vil opleve en stor ændring.

Uelastiske kollisioner

en perfekt uelastisk kollision mellem lige masser

Ved en uelastisk kollision omdannes noget af de kolliderende legemers kinetiske energi til andre energiformer (såsom varme eller lyd ). Eksempler omfatter trafikkollisioner , hvor effekten af ​​tab af kinetisk energi kan ses i skaden på køretøjerne; elektroner mister noget af deres energi til atomer (som i Franck – Hertz -eksperimentet ); og partikelacceleratorer , hvor den kinetiske energi omdannes til masse i form af nye partikler.

Ved en perfekt uelastisk kollision (f.eks. En insekt, der rammer en forrude), har begge kroppe den samme bevægelse bagefter. Et uelastisk kollision mellem to kroppe kan repræsenteres ved hastigheder i en dimension langs en linje, der passerer gennem legemerne. Hvis hastighederne er u 1 og u 2 før kollisionen, vil begge legemer i en perfekt uelastisk kollision bevæge sig med hastigheden v efter kollisionen. Ligningen, der udtrykker bevarelse af momentum, er:

Hvis et legeme er ubevægeligt til at begynde med (f.eks. ), Er ligningen for bevarelse af momentum

I en anden situation, hvis referencerammen bevæger sig med den endelige hastighed således , at genstandene ville blive bragt til hvile ved en perfekt uelastisk kollision, og 100% af den kinetiske energi konverteres til andre energiformer. I dette tilfælde ville legemernes initialhastigheder være nul, eller legemerne skulle være masseløse.

Et mål for kollisionens uelasticitet er restitutionskoefficienten C R , defineret som forholdet mellem relativ separationshastighed og relativ tilgangshastighed. Ved at anvende dette mål på en bold, der hopper fra en fast overflade, kan dette let måles ved hjælp af følgende formel:

Momentum og energiligninger gælder også for bevægelser af objekter, der begynder sammen og derefter bevæger sig fra hinanden. For eksempel er en eksplosion resultatet af en kædereaktion, der omdanner potentiel energi, der er lagret i kemisk, mekanisk eller nuklear form, til kinetisk energi, akustisk energi og elektromagnetisk stråling. Raketter gør også brug af bevarelse af momentum: drivmiddel skubbes udad, får fart, og et lige og modsat momentum overføres til raketten.

Flere dimensioner

To-dimensionel elastisk kollision. Der er ingen bevægelse vinkelret på billedet, så kun to komponenter er nødvendige for at repræsentere hastighederne og momenta. De to blå vektorer repræsenterer hastigheder efter kollisionen og tilføjes vektorielt for at få den oprindelige (røde) hastighed.

Virkelig bevægelse har både retning og hastighed og skal repræsenteres af en vektor . I et koordinatsystem med x , y , z akser har hastighed komponenter v x i x -retningen, v y i y -retning, v z i z -retning. Vektoren er repræsenteret med et fed skrift:

På samme måde er momentum en vektormængde og repræsenteret med et fed skrift:

Ligningerne i de foregående afsnit arbejder i vektorform, hvis skalerne p og v erstattes af vektorer p og v . Hver vektorligning repræsenterer tre skalarligninger. For eksempel,

repræsenterer tre ligninger:

De kinetiske energiligninger er undtagelser fra ovenstående erstatningsregel. Ligningerne er stadig endimensionale, men hver skalar repræsenterer vektoren , f.eks.

Hver vektorligning repræsenterer tre skalarligninger. Ofte kan koordinater vælges, så der kun er brug for to komponenter, som i figuren. Hver komponent kan opnås separat og resultaterne kombineres til frembringelse af et vektorresultat.

En enkel konstruktion, der involverer massens midterramme, kan bruges til at vise, at hvis en stationær elastisk kugle rammes af en kugle i bevægelse, vil de to gå i rette vinkler efter kollisionen (som på figuren).

Objekter med variabel masse

Begrebet momentum spiller en grundlæggende rolle i forklaringen af ​​adfærden for objekter med variabel masse, såsom en raket, der skubber brændstof ud eller en stjerne, der samler gas. Ved analyse af et sådant objekt behandler man objektets masse som en funktion, der varierer med tiden: m ( t ) . Objektets momentum på tidspunktet t er derfor p ( t ) = m ( t ) v ( t ) . Man kan derefter forsøge at påberåbe Newtons anden lov om bevægelse ved at sige, at den ydre kraft F på objektet er relateret til dets momentum p ( t ) ved F =dp/dt, men dette er forkert, ligesom det relaterede udtryk findes ved at anvende produktreglen på d ( mv )/dt:

(ukorrekt)

Denne ligning beskriver ikke korrekt bevægelsen af ​​objekter med variabel masse. Den korrekte ligning er

hvor u er hastigheden af ​​den udstødte/tilførte masse set i objektets hvilestel . Dette adskiller sig fra v , som er selve objektets hastighed set i en inertial ramme.

Denne ligning er afledt ved at holde styr på både objektets momentum såvel som momentum for den udstødte/tilførte masse ( dm ). Når det betragtes sammen, udgør objektet og massen ( dm ) et lukket system, hvor total momentum bevares.

Relativistisk

Lorentz uoverensstemmelse

Newtons fysik antager, at absolut tid og rum eksisterer uden for enhver observatør; dette giver anledning til galileisk invariance . Det resulterer også i en forudsigelse om, at lysets hastighed kan variere fra en referenceramme til en anden. Dette er i modstrid med observation. I den særlige relativitetsteori holder Einstein det postulat, at bevægelsesligningerne ikke afhænger af referencerammen, men antager, at lysets hastighed c er uændret. Som et resultat hænger position og tid i to referencerammer sammen med Lorentz -transformationen i stedet for den galileiske transformation .

Overvej f.eks. En referenceramme, der bevæger sig i forhold til en anden med hastigheden v i x -retningen. Den galileiske transformation giver koordinaterne for den bevægelige ramme som

mens Lorentz -transformationen giver

hvor γ er Lorentz -faktoren :

Newtons anden lov, med massen fast, er ikke invariant under en Lorentz -transformation. Det kan imidlertid gøres invariant ved at gøre inertets masse m af et objekt til en funktion af hastighed:

m 0 er objektets invariante masse .

Det ændrede momentum,

adlyder Newtons anden lov:

Inden for den klassiske mekanik dominerer relativistisk momentum det newtonske momentum tæt: ved lav hastighed er γm 0 v omtrent lig med m 0 v , det newtonske udtryk for momentum.

Formulering med fire vektorer

I teorien om særlig relativitetsteori udtrykkes fysiske størrelser i form af fire vektorer, der inkluderer tid som en fjerde koordinat sammen med de tre rumkoordinater. Disse vektorer repræsenteres generelt med store bogstaver, for eksempel R for position. Udtrykket for fire-momentum afhænger af, hvordan koordinaterne udtrykkes. Tiden kan angives i dens normale enheder eller ganges med lysets hastighed, så alle komponenterne i firevektoren har længdedimensioner. Hvis sidstnævnte skalering anvendes, et interval af korrekt tid , τ , defineret af

er invariant under Lorentz -transformationer (i dette udtryk og i det følgende (+ - - -) metriske signatur er blevet brugt, bruger forskellige forfattere forskellige konventioner). Matematisk kan denne invariance sikres på en af ​​to måder: ved at behandle de fire vektorer som euklidiske vektorer og gange tiden med −1 ; eller ved at holde tiden i en reel mængde og indlejre vektorerne i et Minkowski -rum . I et Minkowski-rum defineres skalarproduktet af to fire-vektorer U = ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) og V = ( V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ) som

I alle koordinatsystemerne er den ( kontravariant ) relativistiske firehastighed defineret af

og (kontravariant) fire-momentum er

hvor m 0 er den invariante masse. Hvis R = ( ct , x , y , z ) (i Minkowski -mellemrum), så

Ved hjælp af Einsteins masseenergiækvivalens , E = mc 2 , kan dette omskrives som

Således er bevarelse af fire momentum Lorentz-invariant og indebærer bevarelse af både masse og energi.

Størrelsen af ​​momentum fire-vektoren er lig med m 0 c :

og er uændret på tværs af alle referencerammer.

Det relativistiske forhold mellem energi og momentum gælder selv for masseløse partikler som f.eks. Fotoner; ved at indstille m 0 = 0 følger det

I et spil relativistiske "billard", hvis en stationær partikel bliver ramt af en bevægelig partikel i en elastisk kollision, vil stierne dannet af de to bagefter danne en spids vinkel. Dette er i modsætning til det ikke-relativistiske tilfælde, hvor de rejser i rette vinkler.

Fire-momentum af en plan bølge kan relateres til en bølge fire-vektor

For en partikel er forholdet mellem tidsbestemte komponenter, E = ħ ω , Planck -Einstein -forholdet , og forholdet mellem rumlige komponenter, p = ħ k , beskriver en de Broglie -materiebølge .

Generaliseret

Newtons love kan være vanskelige at anvende på mange former for bevægelse, fordi bevægelsen er begrænset af begrænsninger . For eksempel er en perle på en abacus tvunget til at bevæge sig langs sin ledning, og en pendulbob er tvunget til at svinge i en fast afstand fra drejen. Mange sådanne begrænsninger kan inkorporeres ved at ændre de normale kartesiske koordinater til et sæt generaliserede koordinater, der kan være færre i antal. Forfinede matematiske metoder er blevet udviklet til løsning af mekaniske problemer i generaliserede koordinater. De introducerer et generaliseret momentum , også kendt som det kanoniske eller konjugerede momentum , der udvider begreberne både lineært momentum og vinkelmoment . For at skelne det fra generaliseret momentum omtales produktet af masse og hastighed også som mekanisk , kinetisk eller kinematisk momentum . De to hovedmetoder er beskrevet nedenfor.

Lagrangian mekanik

I Lagrangian mekanik er en Lagrangian defineret som forskellen mellem den kinetiske energi T og den potentielle energi V :

Hvis de generaliserede koordinater er repræsenteret som en vektor q = ( q 1 , q 2 , ..., q N ) og tidsdifferentiering repræsenteres med en prik over variablen, så er bevægelsesligningerne (kendt som Lagrange eller Euler– Lagrange -ligninger ) er et sæt N -ligninger:

Hvis en koordinat q i ikke er en kartesisk koordinat, har den tilhørende generaliserede momentkomponent p i ikke nødvendigvis dimensionerne af lineær momentum. Selvom q i er en kartesisk koordinat, vil p i ikke være det samme som det mekaniske momentum, hvis potentialet afhænger af hastighed. Nogle kilder repræsenterer den kinematiske momentum ved symbolet Π .

I denne matematiske ramme er et generaliseret momentum forbundet med de generaliserede koordinater. Dens komponenter defineres som

Hver komponent p j siges at være det konjugerede momentum for koordinaten q j .

Hvis nu en given koordinat q i ikke vises på Lagrangian (selvom dens tidsafledte kan vises), så

Dette er generaliseringen af ​​bevarelsen af ​​momentum.

Selvom de generaliserede koordinater blot er de almindelige rumlige koordinater, er de konjugerede momenta ikke nødvendigvis de almindelige momentumkoordinater. Et eksempel findes i afsnittet om elektromagnetisme.

Hamiltonsk mekanik

I hamiltons mekanik erstattes Lagrangian (en funktion af generaliserede koordinater og deres derivater) af en Hamiltonian, der er en funktion af generaliserede koordinater og momentum. Hamiltonian defineres som

hvor momentum opnås ved at differentiere Lagrangian som ovenfor. De hamiltonske bevægelsesligninger er

Som i Lagrangian mekanik, bevares dets konjugerede momentumkomponent, hvis der ikke forekommer en generaliseret koordinat i Hamilton.

Symmetri og bevarelse

Bevarelse af bevægelsesmængde er en matematisk konsekvens af homogenitet (shift symmetri ) plads (position i rummet er den kanoniske konjugat mængde til momentum). Det vil sige, bevarelse af momentum er en konsekvens af, at fysikkens love ikke afhænger af position; dette er et specielt tilfælde af Noeters sætning . For systemer, der ikke har denne symmetri, er det muligvis ikke muligt at definere bevarelse af momentum. Eksempler, hvor bevarelse af momentum ikke finder anvendelse, inkluderer buede rumtider i generel relativitet eller tidskrystaller i kondenseret fysik .

Elektromagnetisk

Partikel i et felt

I Maxwells ligninger medieres kræfterne mellem partikler af elektriske og magnetiske felter. Den elektromagnetiske kraft ( Lorentz -kraft ) på en partikel med ladning q på grund af en kombination af elektrisk felt E og magnetfelt B er

(i SI -enheder ). Det har et elektrisk potentiale φ ( r , t ) og magnetisk vektorpotentiale A ( r , t ) . I det ikke-relativistiske regime er dets generaliserede momentum

mens det i relativistisk mekanik bliver dette

Mængden kaldes undertiden den potentielle fremdrift . Det er momentum på grund af partikelens interaktion med de elektromagnetiske felter. Navnet er en analogi med den potentielle energi , som er energien på grund af partikelens interaktion med de elektromagnetiske felter. Disse mængder danner en fire-vektor, så analogien er konsistent; Desuden er begrebet potentiel momentum vigtigt for at forklare det såkaldte skjulte momentum for de elektromagnetiske felter

Bevarelse

I Newtons mekanik kan loven om bevarelse af momentum udledes af handlings- og reaktionsloven , der siger, at hver kraft har en frem- og tilbagegående lig og modsatrettet kraft. Under visse omstændigheder kan bevægelige ladede partikler udøve kræfter på hinanden i ikke-modsatte retninger. Ikke desto mindre bevares partiklernes kombinerede momentum og det elektromagnetiske felt.

Vakuum

Lorentz -kraften giver partikel et momentum, så ved Newtons anden lov skal partiklen give et momentum til de elektromagnetiske felter.

I et vakuum er momentum pr. Volumenhed

hvor μ 0 er vakuumpermeabiliteten og c er lysets hastighed . Momentumtætheden er proportional med Poynting -vektoren S, der giver retningsfrekvensen for energioverførsel pr. Arealenhed:

Hvis momentum skal bevares over volumen V over et område Q , skal ændringer i stofets momentum gennem Lorentz -kraften afbalanceres af ændringer i momentumet i det elektromagnetiske felt og momentumudstrømning. Hvis P mech er momentum for alle partiklerne i Q , og partiklerne behandles som et kontinuum, giver Newtons anden lov

Det elektromagnetiske momentum er

og ligningen for bevarelse af hver komponent i momentum er

Udtrykket til højre er en integral over overfladearealet Σ af overfladen σ repræsenterer momentum strømning ind i og ud af volumenet, og n j er en komponent af fladenormalen af S . Mængden T ij kaldes Maxwell -spændingstensoren , defineret som

Medier

Ovenstående resultater er for de mikroskopiske Maxwell -ligninger, der kan anvendes på elektromagnetiske kræfter i et vakuum (eller i meget lille skala i medier). Det er vanskeligere at definere momentumtæthed i medier, fordi opdelingen i elektromagnetisk og mekanisk er vilkårlig. Definitionen af ​​elektromagnetisk momentumtæthed er ændret til

hvor H-feltet H er relateret til B-feltet og magnetiseringen M ved

Den elektromagnetiske spændingstensor afhænger af mediernes egenskaber.

Kvantemekanisk

I kvantemekanikken defineres momentum som en selvtilstødende operatorbølgefunktionen . De Heisenberg princippet usikkerhed definerer grænser for, hvor præcist momentum og positionen af en enkelt observerbar systemet kan kendes på en gang. I kvantemekanik er position og momentum konjugerede variabler .

For en enkelt partikel beskrevet i positionsbasis kan momentumoperatoren skrives som

hvor er gradientoperatoren , ħ er den reducerede Planck -konstant , og i er den imaginære enhed . Dette er en almindeligt forekommende form for momentumoperatoren, selvom momentumoperatøren i andre baser kan antage andre former. For eksempel er momentumoperatoren i momentumrum repræsenteret som

hvor operatøren p, der virker på en bølgefunktion ψ ( p ) giver den bølgefunktion ganget med værdien p på en analog måde til den måde, hvorpå positionsoperatoren, der virker på en bølgefunktion ψ ( x ) giver den bølgefunktion ganget med værdi x .

For både massive og masseløse objekter er relativistisk momentum relateret til fasekonstanten ved

Elektromagnetisk stråling (herunder synligt lys , ultraviolet lys og radiobølger ) bæres af fotoner . Selvom fotoner (lysets partikelaspekt) ikke har nogen masse, har de stadig fart. Dette fører til applikationer såsom solsejl . Beregningen af ​​lysets momentum i dielektriske medier er noget kontroversiel (se kontrovers mellem Abraham – Minkowski ).

I deformerbare kroppe og væsker

Bevaring i et kontinuum

Bevægelse af en materiel krop

På områder som væskedynamik og fast mekanik er det ikke muligt at følge bevægelsen af ​​individuelle atomer eller molekyler. I stedet skal materialerne tilnærmes af et kontinuum , hvor der er en partikel eller væskepakke på hvert punkt, der tildeles gennemsnittet af atomernes egenskaber i en lille region i nærheden. Især har den en tæthed ρ og hastighed v, der afhænger af tid t og position r . Momentum pr. Volumenhed er ρ v .

Overvej en vandsøjle i hydrostatisk ligevægt . Alle kræfterne på vandet er i balance, og vandet er ubevægeligt. På en given dråbe vand er to kræfter afbalanceret. Den første er tyngdekraften, som virker direkte på hvert atom og molekyle indeni. Gravitationskraften pr. Volumenhed er ρ g , hvor g er gravitationsacceleration . Den anden kraft er summen af ​​alle de kræfter, der udøves på dens overflade af det omgivende vand. Kraften nedenunder er større end kraften ovenfra med lige den mængde, der er nødvendig for at afbalancere tyngdekraften. Den normale kraft pr. Arealenhed er trykket p . Den gennemsnitlige kraft pr. Volumenhed inde i dråben er trykets gradient, så kraftbalance -ligningen er

Hvis kræfterne ikke er afbalanceret, accelererer dråben. Denne acceleration er ikke blot den partielle derivatv/.Tfordi væsken i et givet volumen ændres med tiden. I stedet er materialederivatet nødvendigt:

Anvendt på enhver fysisk mængde inkluderer materialederivatet ændringshastigheden på et punkt og ændringerne på grund af advektion, da væske føres forbi punktet. Per volumenhed er hastigheden for ændring i momentum lig med ρD v/Dt. Dette er lig med nettokraften på dråben.

Kræfter, der kan ændre momentum i en dråbe, inkluderer gradient af tryk og tyngdekraft, som ovenfor. Derudover kan overfladekræfter deformere dråben. I det enkleste tilfælde er en forskydningsspænding τ , der udøves af en kraft parallelt med dråbes overflade, proportional med deformations- eller belastningshastigheden . En sådan forskydningsspænding opstår, hvis væsken har en hastighedsgradient, fordi væsken bevæger sig hurtigere på den ene side end den anden. Hvis hastigheden i x -retningen varierer med z , er tangentialkraften i retning x pr. Arealenhed normal til z -retningen

hvor μ er viskositeten . Dette er også en strømning eller strømning pr. Arealenhed af x -momentum gennem overfladen.

Herunder virkningen af viskositet, de momentum balance ligningerne for inkompressibel strømning af en newtonsk væske er

Disse er kendt som Navier – Stokes ligninger .

Momentumbalanceligningerne kan udvides til mere generelle materialer, herunder faste stoffer. For hver overflade med normal i retning i og kraft i retning j , er der en spændingskomponent σ ij . De ni komponenter udgør Cauchy stress tensor σ , som omfatter både tryk og forskydning. Den lokale bevarelse af momentum udtrykkes ved Cauchy -momentumligningen :

hvor f er kropskraften .

Cauchy -momentumligningen er stort set anvendelig til deformationer af faste stoffer og væsker. Forholdet mellem spændingerne og belastningshastigheden afhænger af materialets egenskaber (se Typer af viskositet ).

Akustiske bølger

En forstyrrelse i et medium giver anledning til svingninger eller bølger , der spreder sig væk fra deres kilde. I en væske kan små ændringer i tryk p ofte beskrives ved den akustiske bølgeligning :

hvor c er lydens hastighed . I et fast stof kan lignende ligninger opnås for spredning af tryk ( P-bølger ) og forskydning ( S-bølger ).

Strømmen eller transport pr. Arealenhed af en momentumkomponent ρv j med en hastighed v i er lig med ρ v j v j . I den lineære tilnærmelse, der fører til ovenstående akustiske ligning, er tidsgennemsnittet for denne flux nul. Imidlertid kan ikke -lineære effekter give anledning til et nul -gennemsnit. Det er muligt, at momentumflux opstår, selvom selve bølgen ikke har en middel momentum.

Konceptets historie

Omkring 530 e.Kr., der arbejdede i Alexandria, udviklede den byzantinske filosof John Philoponus et begreb om momentum i sin kommentar til Aristoteles ' fysik . Aristoteles hævdede, at alt, hvad der bevæger sig, skal holdes i bevægelse af noget. For eksempel skal en kastet bold holdes i bevægelse ved luftens bevægelser. De fleste forfattere fortsatte med at acceptere Aristoteles 'teori indtil Galileos tid, men nogle få var skeptiske. Philoponus påpegede det absurde i Aristoteles 'påstand om, at bevægelse af et objekt fremmes af den samme luft, der modstår dets passage. Han foreslog i stedet, at der blev givet en impuls til objektet ved at kaste det. Ibn Sīnā (også kendt under hans latiniserede navn Avicenna ) læste Philoponus og offentliggjorde sin egen bevægelsesteori i The Book of Healing i 1020. Han var enig i, at kasteren sender et projektil til et projektil; men i modsætning til Philoponus, der mente, at det var en midlertidig dyd, der ville falde selv i et vakuum, så han det som en vedholdende, der krævede eksterne kræfter som luftmodstand for at sprede den. Philoponus's arbejde og muligvis Ibn Sīnās arbejde blev læst og forfinet af de europæiske filosoffer Peter Olivi og Jean Buridan . Buridan, der omkring 1350 blev udnævnt til rektor ved universitetet i Paris, henviste til, at drivkraften var proportional med vægten gange hastigheden. Desuden var Buridans teori forskellig fra hans forgængers ved, at han ikke betragtede impuls som selvdissiperende, idet han hævdede, at et legeme ville blive arresteret af kræfterne i luftmodstand og tyngdekraft, som kunne være i modstrid med dets fremdrift.

René Descartes mente, at den samlede "bevægelsesmængde" ( latin : quantitas motus ) i universet er bevaret, hvor bevægelsesmængden forstås som et produkt af størrelse og hastighed. Dette bør ikke læses som en erklæring om den moderne momentumlov, da han ikke havde et massebegreb, der adskiller sig fra vægt og størrelse, og vigtigere, mente han, at det er hastighed frem for hastighed, der bevares. Så for Descartes, hvis et objekt i bevægelse sprang af en overflade og ændrede dets retning, men ikke dets hastighed, ville der ikke være nogen ændring i dens bevægelsesmængde. Galileo , i sine to nye videnskaber , brugte det italienske ord impeto til på lignende måde at beskrive Descartes 'bevægelsesmængde.

Leibniz gav i sin " Diskurs om metafysik " et argument mod Descartes konstruktion af bevarelsen af ​​"bevægelsesmængden" ved hjælp af et eksempel på at tabe blokke af forskellige størrelser forskellige afstande. Han påpeger, at kraft bevares, men bevægelsesmængde, opfattet som et produkt af objektets størrelse og hastighed, ikke bevares.

Christiaan Huygens konkluderede ganske tidligt, at Descartes love for elastisk kollision af to kroppe må være forkerte, og han formulerede de korrekte love. Et vigtigt skridt var hans anerkendelse af den galileiske invariance af problemerne. Hans synspunkter tog derefter mange år at blive cirkuleret. Han gav dem personligt videre til William Brouncker og Christopher Wren i London i 1661. Hvad Spinoza skrev til Henry Oldenburg om dem i 1666, som var under den anden engelsk-hollandske krig , blev bevogtet. Huygens havde faktisk udarbejdet dem i et manuskript De motu corporum ex percussione i perioden 1652–6. Krigen sluttede i 1667, og Huygens meddelte sine resultater til Royal Society i 1668. Han offentliggjorde dem i Journal des sçavans i 1669.

Den første korrekte erklæring om loven om bevarelse af momentum var af den engelske matematiker John Wallis i sit arbejde fra 1670, Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus : "den oprindelige tilstand af kroppen, enten af ​​hvile eller bevægelse, vil vedvare" og " Hvis kraften er større end modstanden, vil der opstå bevægelse ". Wallis brugte momentum til bevægelsesmængde og vis til kraft. Newtons Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , da det først blev udgivet i 1687, viste en lignende støbning rundt efter ord til brug for det matematiske momentum. Hans definition II definerer quantitas motus , "kvantitet af bevægelse", som "der stammer fra stoffets hastighed og mængde sammen", hvilket identificerer det som momentum. Når han således i lov II refererer til mutatio motus , "bevægelsesændring", der er proportional med den imponerede kraft, forstås det generelt som momentum og ikke bevægelse. Det forblev kun at tildele en standardbetegnelse til bevægelsesmængden. Den første brug af "momentum" i sin rette matematiske forstand er ikke klar, men på tidspunktet for Jennings Miscellanea i 1721, fem år før den sidste udgave af Newtons Principia Mathematica , blev momentum M eller "bevægelsesmængde" defineret for elever som "et rektangel", produktet af Q og V , hvor Q er "materialemængde" og V er "hastighed",s/t.

Se også

Referencer

Bibliografi

  • Halliday, David; Resnick, Robert (13. august 2013). Grundlæggende fysik . John Wiley & Sons. Kapitel 9. ISBN 9781118230718.
  • Dugas, René (1988). En mekanikhistorie . Oversat til engelsk af JR Maddox (Dover red.). New York: Dover Publications. ISBN 9780486656328.
  • Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (2005). Feynman -foredragene om fysik, bind 1: hovedsageligt mekanik, stråling og varme (Definitiv red.). San Francisco: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0805390469.
  • Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (2006). Feynman -foredragene om fysik (Definitive red.). San Francisco: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0805390476.
  • Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (2005). Feynman -foredragene om fysik, bind III: Quantum Mechanics (Definitive ed.). New York: BasicBooks. ISBN 978-0805390490.
  • Goldstein, Herbert (1980). Klassisk mekanik (2. udgave). Reading, MA: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
  • Hånd, Louis N .; Finch, Janet D. Analytisk mekanik . Cambridge University Press. Kapitel 4.
  • Jackson, John David (1975). Klassisk elektrodynamik (2. udgave). New York: Wiley. ISBN 978-0471431329.
  • Jammer, Max (1999). Begreber magt: en undersøgelse af dynamikkernes fundament (Facsim red.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 9780486406893.
  • Landau, LD; Lifshitz, EM (2000). Den klassiske feltteori . Engelsk udgave, genoptrykt med rettelser; oversat fra russisk af Morton Hamermesh (4. udgave). Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.
  • Rindler, Wolfgang (1986). Essential Relativity: Special, general and cosmological (2. udgave). New York: Springer. ISBN 978-0387100906.
  • Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Fysik for forskere og ingeniører (6. udgave). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
  • Stenger, Victor J. (2000). Tidløs virkelighed: Symmetri, enkelhed og flere universer . Prometheus bøger. s. Især kapitel 12.
  • Tipler, Paul (1998). Fysik for forskere og ingeniører: bind. 1: Mekanik, oscillationer og bølger, termodynamik (4. udgave). WH Freeman. ISBN 978-1-57259-492-0.
  • Tritton, DJ (2006). Fysisk væskedynamik (2. udgave). Oxford: Claredon Press. s. 58. ISBN 978-0198544937.

eksterne links